专题07求二次函数解析式的方法（题型专练）数学新教材人教版九年级上册

专题07 求二次函数解析式的方法 （题型突破·举一反三） 题型01 利用三点式求解析式 题型02 利用顶点式求解析式 题型03 利用交点式求解析式 题型04 利用对称轴求解析式 题型05 利用定点求解析式 题型06 利用平移的性质求解析式 题型07 利用对称的性质求解析式 题型08 利用旋转的性质求解析式 ▌题型01 利用三点式求解析式 核心知识点 1. 适用条件：已知抛物线上三个互不重复、能够提供三个独立条件的点A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)、C(x₃，y₃)。 2. 基本设法：设二次函数为y=ax²+bx+c（a≠0），将三点坐标分别代入，得到关于a、b、c的三元一次方程组。 3. 若三个点中含有y轴交点(0，c)，可先直接确定c；若含有x轴交点，可结合交点式适当简化。 4. 三点必须能唯一确定一条抛物线；若三点共线，则所得a可能为0，不构成二次函数。 解题思路 1. 观察三个点是否有特殊坐标：x=0可直接确定c；y=0可转化为零点条件；横坐标关于某值对称时可先求对称轴。 2. 一般情况下直接设y=ax²+bx+c，将三点代入。 3. 解方程组时优先采用消元法：利用两式相减消去c，降低运算量。 4. 求出a、b、c后，把至少一个已知点重新代入验算。 【例1】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知抛物线过三点，则该抛物线的解析式为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】已知抛物线与轴交于两点，设交点式代入第三点求解更简便． 【详解】解：∵抛物线过点，， ∴设抛物线解析式为， 将代入解析式，得， 解得， ∴． 【变式1-1】（25-26九年级上·贵州黔西南·阶段检测）在平面直角坐标系中，二次函数的图象过，，三点． (1)求该二次函数的解析式； (2)求该二次函数图象的开口方向和对称轴； (3)若，，是该二次函数图象上的三个点，则，，的大小关系是________．（用“”连接） 【答案】(1) (2)开口向上，对称轴是直线 (3) 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式的方法．也考查了二次函数的性质． （1）用待定系数法求出二次函数关系式，再求解即可； （2）先化为顶点式，根据二次函数解析式可知抛物线的开口方向、对称轴； （3）将，，分别代入二次函数关系式，求出函数值，再比较大小即可． 【详解】（1）解：把代入可得：． 把分别代入得 ．解得． 所以二次函数的解析式为； （2）解：， 因为二次项系数， 所以二次函数图象的开口方向向上， 由顶点式可知其对称轴为直线； （3）解：已知，，是该二次函数图象上的三个点． 把代入得：， 把代入得：， 把代入得：， 因为，所以． 故答案为：． 【变式1-2】（23-24九年级上·西藏拉萨·期中）已知一个二次函数的图像经过，，三点． (1)求该二次函数的表达式； (2)写出该抛物线的对称轴及顶点坐标． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）由于二次函数的图像经过，，三点，因而将，，三点代入，得，解方程组即可求出、、的值，进而得出该二次函数的表达式； （2）先把化成顶点式，然后根据的图象与性质即可直接得出答案． 【详解】（1）解：二次函数的图像经过，，三点， 将，，三点代入，得： ， 解得：， 该二次函数的表达式为； （2）解：， 该抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，把化成顶点式，的图像与性质，解三元一次方程组等知识点，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式及二次函数的图象与性质是解题的关键． 【变式1-3】（24-25九年级上·上海·阶段检测）已知抛物线经过、、三点． (1)求抛物线的解析式，并写出抛物线的顶点的坐标； (2)该抛物线经过平移后得到新抛物线，求原抛物线平移的方向和距离． 【答案】(1)抛物线的解析式为，抛物线的顶点的坐标为； (2)原抛物线向下平移4个单位，再向右平移1个单位得到新抛物线． 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析，二次函数的平移． （1）根据题意设抛物线的解析式为，将代入求解即可，再配成顶点式，即可写出顶点的坐标； （2）先求得新抛物线顶点的坐标为，利用平移的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过、， ∴设抛物线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点的坐标为； （2）解：∵， ∴新抛物线顶点的坐标为， ∵抛物线的顶点的坐标为， ∴原抛物线向下平移4个单位，再向右平移1个单位得到新抛物线． 【变式1-4】（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图所示，二次函数的图象经过、、三点．    (1)求二次函数的解析式； (2)方程有两个实数根，m的取值范围为__________． (3)不等式的解集为__________； 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查二次函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式、二次函数图象与一次函数的交点问题，利用数形结合思想求解是解答的关键． （1）利用待定系数法，设二次函数的解析式为，进而代值求解a值即可； （2）先求得二次函数的最小值，再结合图象，求得使直线与二次函数图象有两个交点时的m值的取值范围即可； （3）先判断出二次函数的图象与直线的交点坐标为，，再根据图象，求得使二次函数的图象位于直线上方部分的点的横坐标取值范围即可． 【详解】（1）解：根据题意，设二次函数的解析式， 将代入，得， ∴二次函数的解析式为，即； （2）解：∵， ∴当时，y有最小值， ∴当时，直线与二次函数的图象有一个交点，即方程有两个相等的实数根， 当时，直线与二次函数的图象有两个交点，即方程有两个不相等的实数根， 故答案为：； （3）解：由图可知，二次函数的图象与直线的交点坐标为，， ∴当或时，二次函数的图象位于直线上方， 故不等式的解集为或， 故答案为：或． ▌题型02 利用顶点式求解析式 核心知识点 1. 顶点式：y=a(x-h)²+k（a≠0），顶点为(h，k)，对称轴为x=h。 2. 已知顶点坐标和抛物线上另一个点时，只剩一个未知参数a，一次代入即可求出。 3. 若只给对称轴x=h和最值k，也可确定顶点(h，k)，再用顶点式。 4. 顶点式能直接反映开口方向、对称轴和最值，是压轴题中最常用的形式之一。 解题思路 1. 从题目中提取顶点坐标(h，k)：可能直接给出，也可能由“最大值/最小值”“最高点/最低点”“对称轴与图象交点”等语言获得。 2. 设y=a(x-h)²+k。 3. 选取另一个已知点代入求a。 4. 若题目最终要求一般式，再将顶点式展开；否则尽量保留顶点式，便于后续研究最值和对称性。 【例2】（24-25九年级上·山东泰安·期中）已知二次函数，当时，函数取得最值10，当时，，则函数解析式为________（一般式）． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式．由于已知抛物线的顶点坐标，则可设顶点式，然后把代入求出a的值即可． 【详解】解：当时，函数取得最值10，即抛物线的顶点坐标为， 设， 当时，， 把代入， 得， ， ， 故答案为：． 【变式2-1】（24-25九年级上·甘肃平凉·阶段检测）已知二次函数，当时，函数取得最值4，当时，，则函数解析式为______________． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式∶在利用待定系数法求二次函数关系式时，关键是要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解，一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 由于已知抛物线的顶点坐标，则可设顶点式，然后把代入求出a的值即可． 【详解】解∶当时，函数取得最值4，即抛物线的顶点坐标为， 设， 当时，， 把代入， 则， ， ， 故答案为：． 【变式2-2】（2026九年级上·全国·专题练习）已知抛物线的顶点坐标为，且经过点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)求该抛物线与轴的交点坐标． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）令，则，计算即可得出结果． 【详解】（1）解：设这个二次函数的解析式为， 将代入解析式得， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：令，则， 解得， ∴该抛物线与轴的交点坐标为，． 【变式2-3】（25-26九年级上·天津西青·期末）已知抛物线（a，b，c为常数，且）与轴的一个交点坐标是，顶点坐标是． (1)求该抛物线解析式中，，的值； (2)直接写出当时，函数值的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的性质，熟练掌握待定系数法，是解题的关键． （1）根据顶点坐标是设出抛物线的解析式为：，然后代入求出a的值即可得出函数解析式，然后变为一般式即可得出b、c的值； （2）根据二次函数的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标是， ∴设抛物线的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， ∴； （2）解：由（1）可得，抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴当时，y随x的增大而增大， 把代入得：， 把代入得：， ∴当时，． 【变式2-4】（2026·河南商丘·一模）已知二次函数 的图象的顶点坐标为． (1)求该二次函数的表达式，并在平面直角坐标系中画出该二次函数的图象． (2)若点在抛物线上，且满足，求m 的取值范围． (3)当 时，二次函数的最大值与最小值的差为2，请直接写出n的取值． 【答案】(1)，见解析 (2) (3)的取值为或 【分析】（1）已知二次函数一般式和顶点坐标，可利用顶点坐标公式或顶点式代入求解参数、，再根据函数性质描点画图; （2）求时对应的值，结合抛物线开口向上的性质，确定时的范围； （3）抛物线开口向上，对称轴，顶点纵坐标（最小值），分区间在对称轴左侧、跨对称轴、在对称轴右侧三种情况讨论最值，结合“最值差”列方程求解． 【详解】（1）解：二次函数的顶点坐标为， 设顶点式为， 展开得：， 与原式对比一次项系数： ， 常数项：，， 二次函数表达式为． 画图步骤： 对称轴为直线，顶点； 令， ，，， 得到与轴交点、； 令，得到与轴交点； 描点：、、、、，用平滑曲线连接． 图像如下： （2）解：当时，， 整理：， 解得 ，， ，抛物线开口向上， 时，． （3）解：二次函数，对称轴，最小值为， ① 区间在对称轴左侧：， 二次函数的最大值为，最小值为 ， ， ，但(不合题意，舍去)； ②区间在对称轴右侧：， 二次函数的最大值为，最小值为， ， ，但(不合题意，舍去)； ③区间跨对称轴：，最小值为 此时最大值在区间端点取到： 若右端点更大：，，；（满足） 若左端点更大：，，．（满足） 综上，或． ▌题型03 利用交点式求解析式 核心知识点 1. 交点式：y=a(x-x₁)(x-x₂)（a≠0），其中(x₁，0)、(x₂，0)为抛物线与x轴的两个交点。 2. 已知两个x轴交点和抛物线上另一个点时，交点式通常是最简设法。 3. 对称轴可由两个零点的中点得到：x=(x₁+x₂)/2。 4. 若抛物线与x轴只有一个交点，则两个零点重合，可写成y=a(x-x₀)²。 解题思路 1. 从图象或题意中确定两个零点x₁、x₂。 2. 设y=a(x-x₁)(x-x₂)。 3. 将第三个已知点代入求a。 4. 根据后续问题需要选择是否展开；若继续研究零点、符号或与x轴围成图形，保留交点式更有利。 【例3】（2022·云南昆明·模拟预测）已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为、，且与y轴的交点为，求这个函数解析式和抛物线的顶点坐标． 【答案】抛物线解析式为，抛物线得顶点坐标为 【分析】待定系数法求出抛物线的解析式，再化为顶点式，写出顶点坐标即可． 【详解】解：设抛物线解析式为， 把代入得， 解得：， 所以抛物线解析式为， 而， 所以抛物线的顶点坐标为． 【变式3-1】（24-25九年级上·吉林长春·阶段检测）如图，二次函数经过点，． (1)求该二次函数的解析式； (2)利用图象的特点填空： ①当________时，方程； ②不等式的解集为________． 【答案】(1)； (2)①1；②且 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式和抛物线与轴的交点问题． （1）利用待定系数法求解即可； （2）①先利用配方法得到，则当时，有最小值； ②写出函数图象在轴下方所对应的自变量的范围，并且自变量不取顶点的横坐标． 【详解】（1）解：∵二次函数经过点，， ∴，解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：①， 当时，有最小值， 即时，方程， 故答案为：1； ②不等式的解集为且． 故答案为：且． 【变式3-2】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段检测）已知二次函数的图象与x轴交于． (1)求二次函数的解析式； (2)当时，求自变量x的值． 【答案】(1)； (2)当时，自变量的值为或6 【分析】此题考查了二次函数与轴的交点、待定系数法求二次函数解析式以及一元二次方程的应用，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． （1）将与坐标代入二次函数解析式求出与的值，即可确定出二次函数解析式； （2）把代入解析式解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：将，代入解析式得： ， 解得：，． 则抛物线解析式为； （2）解：当时，即， 解得：，， 当时，自变量的值为或6． 【变式3-3】（22-23九年级上·山东菏泽·期末）如图，二次函数的图象与轴交于两点，与y轴交于C点． (1)求此二次函数解析式和点C的坐标； (2)动点P在二次函数图象上，且位于第一象限，过点P作垂直x轴于点H，连接，是否存在点P使为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，． 【分析】（1）根据二次函数的图象与轴交于，两点，写出二次函数的解析式，即可； （2）过点P作于，根据等腰直角三角形的性质可得，设，可得，可得到关于x的方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴交于，两点， ∴二次函数解析式为：， 令，则， ∴． （2）解：存在， 如图，过点P作于， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， 设， ∴， ∴，即， 解得：， ∵位于第一象限，则舍去， ∴． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的面积的计算，掌握“利用待定系数法求解二次函数的解析式”是解本题的关键． 【变式3-4】（22-23九年级上·天津和平·阶段检测）二次函数的图像与x轴交于，两点，且函数有最大值是2． (1)求二次函数的解析式； (2)设此二次函数与y轴的交点为点C，求的面积； (3)当x为何值时，．（请直接写出结果） 【答案】(1) (2) (3)或者 【分析】（1）根据，可得对称轴为：，即可得抛物线的顶点坐标为：，设二次函数解析式为：，将代入中，即可求解； （2）当时，，即有C点坐标为：，则，再根据，，可得，，进而有，即，问题得解； （3）即是函数图像在x轴下方部分（含与x轴交点）所对应的自变量的取值范围，据此结合图像即可作答． 【详解】（1）∵二次函数的图像与x轴交于，两点， ∴抛物线的对称轴为：， ∵函数的最大值为2， ∴抛物线的顶点坐标为：， ∴设二次函数解析式为：， 将代入中，有：， ∴， 即：二次函数解析式为：； （2）∵二次函数解析式为：， ∴当时，， ∴C点坐标为：， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵在坐标系中有， ∴， 即的面积为； （3）将二次函数解析式变形为：， 画出二次函数的图像，如下， ∵，， ∴结合二次函数的图像可得，当时，自变量x的取值范围为：或者， 故答案为：或者． 【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，解答本题的关键是求出二次函数的顶点坐标． ▌题型04 利用对称轴求解析式 核心知识点 1. 二次函数y=ax²+bx+c的对称轴为x=-b/(2a)。 2. 若已知对称轴x=h，可得到b=-2ah；也可直接设成y=a(x-h)²+k。 3. 若同时知道一对关于对称轴对称的点，它们纵坐标相等，且横坐标满足x₁+x₂=2h。 4. 已知对称轴通常能把三个参数之间建立一个关系，从而减少未知量。 解题思路 1. 先判断题目还给了哪些条件：若有顶点纵坐标，优先用顶点式；若有两个x轴交点，优先结合交点式；若另有两点，则可用一般式配合-b/(2a)=h。 2. 把“对称轴条件”转化为参数关系。 3. 再代入其余点坐标列方程，解出参数。 4. 最后检查所得解析式的对称轴是否确为x=h。 【例4】（23-24九年级上·辽宁·阶段检测）已知抛物线经过，两点，则该抛物线的解析式为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据已知条件得出对称轴为直线，求得，即可求解． 【详解】解：∵抛物线经过，两点， ∴抛物线的对称轴为直线， 又 ∴, ∴解析式为， 故选：B． 【变式4-1】（25-26九年级上·山东烟台·期中）已知一条抛物线经过，，，四点，则此抛物线的解析式为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质、待定系数法求二次函数解析式，利用点求出常数项，由点B和点C纵坐标相同得出对称轴为，从而得到一次项系数与二次项系数的关系，再代入点坐标求出a和b的值，即可获得答案． 【详解】解：设该抛物线解析式为， 将点代入，得，即， ∴该函数解析式为， 由于点和点的纵坐标相同，故点B与点C关于抛物线的对称轴对称， ∴该函数图像的对称轴为， 又∵抛物线的对称轴公式为， ∴， 将点代入解析式，得，即， 将代入，可得，即， 解得， ∴， ∴该抛物线的解析式为． 故答案为：． 【变式4-2】（2025·江西·模拟预测）如图，二次函数的图象经过，两点，C为抛物线的顶点，其纵坐标为． (1)直接写出顶点C的坐标； 求二次函数的解析式． (2)若经过点A的抛物线与具有相同的对称轴． 判断：点B_____（填“在”或“不在”）在抛物线上． 将抛物线绕着点B旋转得到新的抛物线，记为，D为的顶点，将C，D两点间的距离记为d，求d的取值范围． 【答案】(1)，（或） (2)①在，② 【分析】本题主要涉及二次函数的性质及应用，正确求出函数解析式是解题的关键． （1）利用已知点的坐标可求出对称轴，可知顶点C的坐标； 已知顶点C的坐标，设二次函数解析式（顶点式），代入已知点，可得二次函数的解析式； （2）因为抛物线与具有相同的对称轴，根据抛物线的对称性，所以点B在抛物线上； 直线为抛物线的对称轴．F为抛物线的顶点，F，B，D三点共线，且．过B，D分别作直线的垂线，垂足分别为M，E，可得的长，由D点在上，且点到直线的距离垂线最短，可得d的取值范围 【详解】（1）解： 二次函数的图象经过，两点， 对称轴为 C为抛物线的顶点，其纵坐标为． 点C坐标为． 设二次函数解析式，将代入， 得，解得． 二次函数的解析式为或． （2）解∶ ①在， 因为抛物线与具有相同的对称轴，且经过点，根据抛物线的对称 性，点关于对称轴的对称点为，所以点B在抛物线上． 如图，直线为抛物线的对称轴． F为抛物线的顶点， ∴F，B，D三点共线，且． 过B，D分别作直线的垂线，垂足分别为M，E， ，． ∵将抛物线绕着点B旋转得到新的抛物线， 点D在直线上运动. ∵， d的取值范围为． 【变式4-3】（21-22九年级上·陕西延安·阶段检测）已知二次函数（是常数）． (1)当时，求二次函数图象与轴的交点坐标； (2)若，是该二次函数图象上的两个不同点，求的值和该二次函数解析式． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）把代入得出，再把代入得出，求出x的值即可； （2）根据，是该二次函数图象上的两个不同点，得出该函数的对称轴是直线，从而得出，求出m的值即可得出答案． 【详解】（1）解：当时，， 当时，得， 解得：，， 即二次函数图象与轴的交点坐标为，． （2）解：∵，是该二次函数图象上的两个不同点， ∴该函数的对称轴是直线， ∵二次函数， ∴， 解得，， ∴该二次函数解析式是． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数的解析式，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，求出二次函数的对称轴为直线． 【变式4-4】（20-21九年级上·福建南平·阶段检测）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过（2，﹣2），（0，﹣2），函数的最小值是﹣4． （1）求二次函数的解析式． （2）当自变量的取值范围为什么时，该二次函数的图象在横轴上方？请直接写出答案． 【答案】（1）y=2（x﹣1）2﹣4；（2）当x＜1﹣或x＞1+时，该二次函数的图象在横轴上方 【分析】（1）根据二次函数的图象经过，，得到对称轴为x=1，即可得到顶点坐标，设顶点式y=a（x﹣1）2﹣4，待定系数法求解即可； （2）令y=0求出x的值，根据二次函数图象的性质即可求解． 【详解】解：（1）∵二次函数的图象经过，， ∴抛物线的对称轴为直线x=1， ∴抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）2﹣4， 把代入得a（0﹣1）2﹣4=﹣2，解得a=2， ∴抛物线的解析式为y=2（x﹣1）2﹣4； （2）当y=0时，2（x﹣1）2﹣4=0，解得x1=1﹣，x2=1+， ∴抛物线与x轴的交点坐标为，， ∴当x＜或x＞1+时，y＞0， 即当x＜或x＞1+时，该二次函数的图象在横轴上方． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化解一元二次方程的问题．解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了二次函数的性质． ▌题型05 利用定点求解析式 核心知识点 1. “定点”指位置确定、坐标不随参数变化的点。若已知抛物线经过定点P(x₀，y₀)，则必有 y₀=ax₀²+bx₀+c。 2. 单独一个定点只能提供一个独立条件，通常需要与顶点、对称轴、交点或其他点联合使用。 3. 若题目给的是含参数的函数族，可通过整理式子、令参数项系数为0等方式寻找所有图象共同经过的定点。 4. 当定点是坐标轴上的特殊点时，常能直接确定某个参数，如经过(0，c)可直接得到常数项。 解题思路 1. 明确定点坐标，并判断它提供几个条件。 2. 根据其他已知信息选择最简函数形式。 3. 将定点坐标代入，形成关于待定参数的方程。 4. 若研究“函数族恒过定点”，把解析式整理为“与参数无关部分 + 参数×某式”，令参数相关部分恒为0，求定点横坐标，再求纵坐标。 【例5】（25-26九年级上·浙江金华·阶段检测）不论为何值，抛物线均经过定点，抛物线与轴交于两个不同的点和点，若，则_________ ． 【答案】或 【分析】本题考查的知识点是抛物线的定点问题、韦达定理的应用以及角度的几何意义；解题的关键是先求出抛物线的定点，再利用的几何特征确定交点的坐标，最后代入抛物线方程求解并验证判别式． 【详解】解：原抛物线整理为： ， 不论为何值，抛物线均过定点， 令 解得： 定点 如下图，过作轴， 则，， ，， 为等腰直角三角形， 点坐标为或 将代入抛物线方程得： 解得； 将代入抛物线方程得： 解得； 抛物线与轴交于两个不同的点， ，且， 解得：且， 当或时，均满足该条件， 故答案为：或． 【变式5-1】（2025·河南平顶山·三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线. (1)该抛物线经过一个定点：_______（写出坐标）． (2)若抛物线的对称轴为直线，求抛物线解析式． (3)在（2）的基础上，若点为抛物线上一点，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查的重点是二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称轴与二次函数系数之间的关系． （1）根据二次函数的性质，可以知道抛物线经过一个定点； （2）利用对称轴与抛物线系数之间的关系，可以计算出k的值，推导出抛物线的解析式； （3）根据抛物线的性质，可以知道m的取值范围． 【详解】（1）解：已知抛物线， ∵当时，， ∴抛物线经过一个定点， 故答案为：； （2）解：的对称轴为直线， ，解得， 将代入，得抛物线解析式为； （3）解：点为抛物线上一点， ， ， ， 移项，得，即， ①或②， 解①，得；解②，得， 当时，的取值范围为或． 【变式5-2】（2024·湖南·一模）定义：若抛物线的图象恒过定点，则称为抛物线的“不动点”．已知：若抛物线与轴交于点，顶点为． (1)求抛物线的不动点坐标； (2)若抛物线的对称轴是直线，对称轴与轴交于点． ①求抛物线的解析式； ②如图所示，是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，连接，求的面积的最大值． 【答案】(1)和 (2)①；② 【分析】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，二次函数图象上的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象及性质是关键． （1）根据抛物线的“不动点”定义即可解决问题． （2）①根据抛物线的对称轴是直线，建立方程求解即可求得a的值；②过点P作轴，交直线于E，运用待定系数法可得直线的解析式为，设，则，再运用二次函数的性质即可求得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，， 当时，， ∴抛物线恒过定点和， ∴抛物线的不动点坐标为和； （2）解：①∵抛物线， ∴抛物线L的对称轴是直线， 解得， ∴． ②如图，过点P作轴，交直线于E， ∵抛物线的对称轴直线与轴交于点， ∴， 当时，， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则， 令， 解得：， ∴， ∴P是第一象限抛物线上的一个动点， ∴， ∵， ∴ ， ∴当时，最大，最大值为． 【变式5-3】（24-25九年级下·安徽淮南·阶段检测）已知，抛物线． (1)①无论取何值，抛物线经过定点____________； ②随着的取值的变化，顶点随之变化，是的函数，记为函数，则函数的关系式为：______________； (2)如图，若抛物线与轴仅有一个公共点时，①直接写出此时抛物线的函数关系式； ②请在图中画出顶点满足的函数的大致图象，在轴上任取一点，过点作平行于轴的直线分别交、于点、，若为等腰直角三角形，求点的坐标； (3)二次函数的图象与轴交于点，连接，若二次函数的图象与线段有两个交点，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①；② (2)①； ②的图象如图所示： 点的坐标为或 (3) 【分析】（1）①把抛物线化为可得定点坐标；②利用抛物线的顶点坐标公式可得答案； （2）①由，再建立方程求解即可；②的图象如图所示：设，轴，可得，，结合为等腰直角三角形，可得，再建立方程求解即可； （3）如图， 求解，当过时，可得，当抛物线与线段只有交点时，求解直线为，可得方程有两个相等实根，进一步求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴当时，， ∴抛物线过定点； ②∵顶点， ∴， ∴ ∴； （2）解：①∵抛物线与轴仅有一个公共点时， ∴， 解得：， ∴抛物线为：； ②设，轴， ∴，， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴或， 解得：或（舍去，） ∴或； （3）解：如图，∵当时，， ∴， 当过时， ∴， 解得：， 当抛物线与线段只有交点时， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为， ∴方程有两个相等实根， ∴， 解得：， ∴二次函数的图象与线段有两个交点，的取值范围为． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合应用，画二次函数的简易图象，一元二次方程的解法与根的判别式的应用，等腰直角三角形的性质，轴对称的性质，理解题意，选择合适的方法解题是关键． ▌题型06 利用平移的性质求解析式 核心知识点 1. 二次函数图象平移时，形状和开口大小不变，因此二次项系数a不变。 2. 若y=a(x-h)²+k向右平移m个单位、向上平移n个单位，得到y=a[x-(h+m)]²+(k+n)。 3. 口诀可理解为：横向“左加右减”作用在x内部，纵向“上加下减”作用在函数整体。 4. 平移后顶点也作同样的平移，因此先移动顶点再写顶点式通常最安全。 解题思路 1. 先把原函数尽量化为顶点式，找出原顶点。 2. 根据平移方向和距离得到新顶点坐标。 3. 二次项系数a保持不变，直接写出新函数顶点式。 4. 若题目给的是平移后的解析式反求原函数，则进行相反方向平移。 【例6】（26-27九年级上·全国·课后作业）填空 （1）在平面直角坐标系中，把抛物线先向上平移5个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得抛物线对应的函数解析式为_____________； （2）在平面直角坐标系中，把抛物线先向下平移1个单位长度，再向右平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数解析式为_____________． 【答案】 【详解】解：（1）原抛物线解析式为，向上平移5个单位，在原式末尾加5：； 向左平移2个单位，将上一步得到的解析式的自变量x替换为：． （2）将原抛物线向下平移1个单位长度：整个解析式整体减1，得； 向右平移1个单位长度：将解析式中所有x替换为，代入得： ， ， ， ． 【变式6-1】（25-26九年级下·北京西城·开学考试）把抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为______． 【答案】 【分析】根据抛物线平移规律的“上加下减，左加右减”法则代入计算即可得到答案． 【详解】解：抛物线向左平移3个单位长度， 抛物线解析式为：， 再向下平移1个单位长度， 抛物线解析式为：， 化简得，展开得 ． 【变式6-2】（25-26九年级上·江西赣州·期末）已知抛物线与y轴交点的纵坐标为，且经过点． (1)求抛物线的解析式； (2)将该抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位，平移后的抛物线经过点，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了用待定系数法求抛物线的解析式和抛物线的平移规律，利用已知点坐标代入解析式建立方程求解参数以及掌握“左加右减、上加下减”的平移法则是解题的关键． （1）将抛物线与 轴交点和点代入解析式，通过解方程组求出和，即可得到抛物线的解析式； （2）根据“左加右减、上加下减”的平移规律得到平移后的抛物线解析式，再将点 代入，即可求出的值． 【详解】（1）解：把点，代入，得 ， 解得， ∴； （2）解：依题意，平移后的抛物线为：， 把代入，得 ， 解得． 【变式6-3】（26-27九年级上·全国·单元复习）已知二次函数的图象为抛物线C． (1)抛物线C顶点坐标为_____________； (2)将抛物线C先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线，直接写出抛物线的函数解析式； (3)当时，求该二次函数的函数值y的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据二次函数的顶点式（），其顶点坐标为即可求解； （2）根据抛物线平移遵循“左加右减，上加下减”的规律求解； （3）由题得抛物线的对称轴为直线，可得时，y随x的增大而增大，时，y随x的增大而减小，再得到最值即可求解． 【详解】（1）解：对于二次函数的顶点式（），其顶点坐标为． 在二次函数中，，， 所以抛物线的顶点坐标为． （2）解：抛物线先向左平移个单位长度，即将变为， 得到， 再向上平移个单位长度，即在整体上加， 得到抛物线的函数解析式为； （3）解：， ∴，抛物线开口向上，对称轴为， 当时，y随x的增大而增大， 当时，y随x的增大而减小， 当时，y有最小值1． 当时，； 当时，； ， ∴当时，． 【变式6-4】（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知抛物线，现将该函数图象向右平移2个单位，向上平移5个单位得到抛物线． (1)求抛物线的解析式． (2)当时，求抛物线的最大值和最小值． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)当时，抛物线的最大值为，最小值为 【分析】（1）抛物线的平移法则：左加右减，上加下减； （2）由二次函数的性质可得在上，随着的增大而减小，由此计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵抛物线，现将该函数图象向右平移2个单位，向上平移5个单位得到抛物线， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵抛物线的解析式为，， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵， ∴在上，随着的增大而减小， 当时，取得最大值，为， 当时，取得最小值，为； 故当时，抛物线的最大值为，最小值为． ▌题型07 利用对称的性质求解析式 核心知识点 1. 图象关于x轴对称：点(x，y)变为(x，-y)，函数关系可理解为新函数y=-f(x)。 2. 图象关于y轴对称：点(x，y)变为(-x，y)，新函数可写为y=f(-x)。 3. 图象关于原点中心对称：点(x，y)变为(-x，-y)，新图象满足y=-f(-x)。 4. 关于直线x=m对称时，点的横坐标满足x+x'=2m；顶点横坐标也关于x=m作镜像，纵坐标不变。 解题思路 1. 先确定“关于谁对称”，把关键点（尤其是顶点、与坐标轴交点）进行对称变换。 2. 若原函数已知，可直接使用坐标替换法得到新函数；若只知道图象特征，则先求对称后的顶点或交点。 3. 二次函数关于竖直直线对称后仍是抛物线，开口方向和开口大小不变；关于x轴对称后开口方向相反。 4. 代入一个对称后的已知点进行检验。 【例7】（2023九年级·全国·专题练习）若抛物线与抛物线关于x轴对称，则抛物线C的解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图像与几何变换，利用关于轴对称的点坐标特点，横坐标不变，纵坐标互为相反数从而得出，，，然后代入即可得出答案． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为，且抛物线与抛物线关于轴对称， ∴抛物线的顶点坐标为，且， ∴，， ∴函数的解析式为：． 故选：C． 【变式7-1】（25-26九年级上·河南商丘·阶段检测）抛物线关于x轴对称后所得到的抛物线解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数关于x轴对称的性质是解题的关键． 对于抛物线，关于x轴对称后，新抛物线的解析式为（原理：关于x轴对称时，横坐标x不变，纵坐标y变为，即把原解析式中的y替换为，再整理）． 【详解】解：根据题意得，关于x轴对称时为， ∴， 故选B． 【变式7-2】（2026·江西上饶·一模）如图（1），在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图（2），作抛物线，使它与抛物线关于原点成中心对称，求抛物线的解析式； (3)如图（3），将（2）中抛物线向上平移2个单位长度，得到抛物线，抛物线与抛物线相交于两点（点在点的左侧）． ①求点和点的坐标及直线的解析式； ②如图，点在上，过点作轴，交于点，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3)①；；②4 【分析】（1）将点和点代入，即可求解； （2）利用对称性求出函数顶点关于原点的对称点为，即可求函数的解析式； （3）①通过联立方程组，求出点和点坐标即可； ②求出直线的解析式，过点作轴交于点，设，则 ，可求，即可求出的最大值4． 【详解】（1）解：将点和点代入， ∴， 解得， ∴． （2）∵， ∴抛物线的顶点， ∵顶点关于原点的对称点为， ∴抛物线的解析式为， ∴． （3）①由题意可得，抛物线的解析式为， 联立方程组， 解得和， ∴或； 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴， ②过点作轴交于点，如图所示： 设，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值． 【变式7-3】（25-26九年级上·上海闵行·期中）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点是原点，抛物线与抛物线关于x轴对称． (1)求的值以及抛物线的表达式； (2)将抛物线向右平移n个单位后得到新抛物线，如果新拋物线恰好经过，求的值． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查待定系数法求解析式，二次函数图象的平移． （1）把原点代入抛物线，即可求出m的值，根据轴对称的性质即可求出抛物线的解析式； （2）根据二次函数图象的平移规律得到新抛物线的解析式为，将点代入，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点是原点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∵抛物线与抛物线关于x轴对称， ∴抛物线的解析式为． （2）解：将抛物线向右平移n个单位后得到新抛物线的解析式为， ∵新拋物线恰好经过， ∴， 解得或． 【变式7-4】（25-26九年级上·陕西延安·阶段检测）已知抛物线． (1)写出抛物线的开口方向和顶点坐标； (2)将该抛物线以轴为对称轴作轴对称变换，求得到的新抛物线的函数解析式． 【答案】(1)抛物线的开口向上，顶点坐标为； (2)新抛物线的解析式为． 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的变换，掌握知识点的应用是解题的关键． （）把解析式配成顶点式即可求解； （）与该抛物线关于轴对称的抛物线开口向上，顶点坐标为，然后根据顶点式求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的解析式为，， ∴抛物线的开口向上，顶点坐标为； （2）解：∵原抛物线的顶点坐标为， ∴与该抛物线关于轴对称的抛物线开口向上且开口大小一样，顶点坐标为， ∴新抛物线的解析式为． 【变式7-5】（2024·陕西咸阳·二模）已知抛物线：与轴交于点，抛物线与关于轴对称． (1)求抛物线的函数表达式； (2)为坐标原点，点是轴正半轴上一点，，点是轴负半轴上的动点，点是第二象限抛物线上的动点，连接,是否存在点，使得以点为顶点的三角形与全等？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查二次函数的性质． （1）先将抛物线化为顶点式，再根据抛物线与关于轴对称得抛物线的顶点坐标，最后由开口方向即可得出； （2）先由抛物线：求出点的坐标，再根据题意，分两种情况：当时及当时，设点的坐标为，分别求出的值即可，具体见详解． 【详解】（1）解：抛物线: ∴抛物线的顶点为， ∵抛物线与关于轴对称 ∴抛物线的顶点为，且抛物线开口向下， ∴抛物线的函数表达式为; （2）∵抛物线：与y轴交于点， ，即 ， ∵点是轴正半轴上一点， 由题意可知，与有一条公共边，设点的坐标为， 分两种情况： 当时，， 轴，即点与点的纵坐标一样， 令，解得， 当时，此时点与点重合，点与点重合，， ∴平分，即点到轴，轴的距离相等 ，解得， 综上，存在点，使得以点为顶点的三角形与全等，点的坐标为或． ▌题型08 利用旋转的性质求解析式 核心知识点 1. 初中范围内常见的是图象或关键点绕原点旋转180°，点(x，y)变为(-x，-y)。 2. 若原函数为y=f(x)，绕原点旋转180°后的图象可表示为y=-f(-x)。对于二次函数，所得图象仍可写成二次函数。 3. 绕某定点P(m，n)旋转180°时，P是原点与对应点连线的中点：x+x'=2m，y+y'=2n。 4. 对二次函数图象作180°旋转后，开口方向相反，顶点旋转到对应位置；可先旋转顶点，再结合一个对应点求式。 解题思路 1. 明确旋转中心和旋转角。若为180°，优先使用中心对称的坐标规律。 2. 把原图象上的关键点（顶点、交点、已知点）分别求出旋转后的坐标。 3. 根据旋转后得到的顶点或三个点，选择顶点式或一般式求新解析式。 4. 若原解析式已知且绕原点180°，可直接作变量替换得到y=-f(-x)，再整理。 【例8】（25-26九年级上·上海宝山·期末）在平面直角坐标系中，将抛物线绕其顶点旋转后再适当平移得到抛物线，如果抛物线经过抛物线的顶点，那么称抛物线是抛物线的“子抛物线”．已知抛物线与轴交于点，顶点为． (1)求抛物线的表达式和点的坐标； (2)如果抛物线是的“子抛物线”，且经过原点，顶点为． ①求证：抛物线也是抛物线的“子抛物线”； ②设直线与抛物线分别交于点M、N，是否存在，使得四边形是平行四边形？如果存在，试求的值；如果不存在，试说明理由． 【答案】(1)； (2)①证明：将抛物线绕其顶点旋转后得到的抛物线的表达式为， 设抛物线的表达式为 ∵抛物线是的“子抛物线”， ∴抛物线经过点， 又∵抛物线经过原点， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为， ∴点E的坐标为，抛物线绕其顶点旋转后得到的抛物线的表达式为， 在中，当时，， ∴点E在抛物线上，即抛物线的顶点在抛物线上， 又∵抛物线向左平移5个单位长度，向下平移个单位长度可得到抛物线， ∴抛物线也是抛物线的“子抛物线”； ② 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数与平行四边形综合，二次函数的图象与性质，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）①抛物线绕其顶点旋转180度后所得的抛物线的顶点坐标与原抛物线的顶点坐标相同，但是开口方向与原抛物线相反，据此可设抛物线的表达式为，再根据“子抛物线”的定义和抛物线经过原点求出抛物线的解析式，进而求出点E的坐标，再求出抛物线绕其顶点旋转180度后所得的抛物线解析式，证明点E在抛物线，且抛物线能由抛物线绕其顶点旋转180度后所得的抛物线平移得到即可证明结论；②根据平行四边形两条对角线的中点坐标相同列式求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为， ∴点D的坐标为； （2）①略 ②∵四边形是平行四边形， ∴由平行四边形两条对角线的中点坐标相同可得， ∴， 解得． 【变式8-1】（25-26九年级上·上海·阶段检测）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，直线与轴相交于点，与的平分线相交于点，直线的解析式为，． (1)直接写出点坐标； (2)若点在此抛物线上，求抛物线的解析式； (3)在（2）的条件下，把抛物线的图像绕点旋转，得到相关抛物线图像，图像的对称轴与轴交点坐标为，当时，函数最大值为，最小值为，且，求的解析式并直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，全等三角形的性质与判定，旋转的性质． （1）对于直线，令，得出，即可求出点坐标； （2）过两点作轴的垂线，垂足分别为，先证明，再证明，得到点的坐标，进而利用待定系数法求解析式，即可求解； （3）根据（2）的解析式，可得的顶点坐标为，当时，随着的增大而增大，进而根据题意得出 ，顶点坐标为，根据时，函数最大值为，最小值为，得出，，根据，解方程得出，进而求得的顶点坐标为，代入解析式，即可求解． 【详解】（1）解：直线与轴相交于点， 当时，，解得， ； （2）解：如图所示，过两点作轴的垂线，垂足分别为， 得到， 直线与轴相交于点，与的平分线相交于点， ． ， ， ， ， ． ，即， ． 又由（1）得，即， ． 在和中， ， ， ，， ， ． 抛物线经过点，， ，解得， 抛物线的解析式为； （3）解：由（2）得抛物线的解析式为， 其顶点坐标为，且开口向上， 当时，随着的增大而增大． 把抛物线的图像绕点旋转，得到相关抛物线图像，如图所示， 抛物线的顶点坐标为，且开口向下， 抛物线的解析式为． 图像的对称轴与轴交点坐标为， ，即抛物线的顶点坐标为． 当时，函数最大值为，最小值为， ，， ， ， 解得或（舍去）， 抛物线的顶点坐标为， ，解得， 抛物线的解析式为． 【变式8-2】（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）（1）如图，已知点，且，抛物线（）图象经过A，B，C三点．求抛物线的解析式； （2）若点P是如图中的直线上方的抛物线上的一个动点，求四边形面积的最大值． （3）将图中的抛物线向下平移5个单位，将平移所得抛物线（）的部分记为，将绕原点旋转后的图象记为，将，合起来得到的图象记为L，完成以下问题： ①抛物线的函数解析式为 （）． ②若直线与L有三个交点，把这三个交点的横坐标从左至右依次记为，与，且 ，求t的值． ③若点，在L上，且，请直接写出m的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3）①；②；③或 【分析】（1）根据点，且，求得两点的坐标，用待定系数法即可求解； （2）设直线的解析式为，将点，代入， 得，解得，求得，作轴，交于点，设，则，，由，得 即可求解； （3）①根据中心对称的特点得出的顶点坐标为，将绕点原点旋转后，的对称点坐标为，即可求得；②结合图像，分时，时，两种情况，当时，，，是方程的两个根，得 ，，，即可求解，进而可求得，同理可求的另一个值；③分两种情况：当点在上时，点关于直线的对称点， 当点在上时，点关于直线的对称点，结合题意列出不等式即可求解或． 【详解】解：（1）点， ， ， ， ，， 抛物线（）图象经过A，B，C三点， 得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）设直线的解析式为，将点，代入， 得， 解得， ， 作轴，交于点， 设，则，， ， ； ， 四边形面积的最大值为； （3）①将图中的抛物线向下平移5个单位， 所得抛物线为， 顶点坐标为， 将绕原点旋转后，的对称点坐标为， 即为抛物线的顶点坐标，这时抛物线开口向上， 抛物线的解析式为，即； ②将，合起来得到的图象记为L，如下图， 当时，，，是方程的两个根， 此时 ，，， ，即， ， 把代入， 同理可求当时，； 综上所述，t的值为； ③当点在上时，点关于直线的对称点， ， ， ； 当点在上时，点关于直线的对称点， ， ， ； 综上所述，m的取值范围是或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到待定系数法求二次函数的解析式、面积问题，二次函数图像的变换等，其中结合图形分类讨论是本题解题的关键． 【变式8-3】（24-25九年级下·全国·二轮复习）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线C：与x轴相交于A，B两点，顶点为D，其中，，设点是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转，得到新的抛物线． (1)求抛物线C的函数解析式； (2)若抛物线与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，求m的取值范围； (3)如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线上的对应点，设M是C上的动点，N是上的动点，试探究四边形能否成为正方形？若能，求出m的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)四边形能成为正方形，或12 【分析】（1）运用待定系数法将，，代入中，即可求得答案； （2）设抛物线的解析式为：，联立方程组，可得，由抛物线与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，得出，解不等式组即可求得答案； （3）分两种情形：情形1，如图2，作轴于E，轴于H．利用证明，进而得出，根据点M在上，建立方程求解即可．情形2，如图3，解法与情形1相同． 【详解】（1）解：由题意，把点、代入中， 得：， 解得：， ∴抛物线C的函数解析式为：； （2）解：如图1，由题意，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为：， 由， 消去y得到：， ∵抛物线与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点， ∴， 解得：， ∴满足条件的m的取值范围为：； （3）解：结论：四边形能成为正方形． 理由：情形1，如图2，作轴于E，轴于H． 设， 将代入得：， 解得：（负值舍去）， ∴， 当是等腰直角三角形时，四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵点M在上， ∴， 解得或（舍）， ∴时，四边形是正方形． 情形2，如图，四边形是正方形，同法可得， 把代入中，， 解得或（舍去）， ∴时，四边形是正方形． 综上，四边形能成为正方形，或． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，二次函数图象和性质，全等三角形判定和性质，正方形性质，中心对称和旋转的性质，一元二次方程的根与系数的关系等知识，解题的关键是灵活运用中心对称和旋转的性质等相关知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题． 【变式8-4】（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线W：与x轴交于和两点． (1)求抛物线W的解析式． (2)如图，将抛物线绕点N旋转后得到抛物线，抛物线与x轴交于另一点Q． ①直接写出点Q的坐标和抛物线的解析式． ②利用①中的结论，当时，求抛物线的最大值和最小值． (3)P为抛物线 W上的一个动点，点P的横坐标为，以点P为中心作正方形，，且轴． ①当抛物线落在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而减小时，求m的取值范围． ②正方形的边与抛物线只有两个交点，且交点的纵坐标之差为时，请直接写出m的值． 【答案】(1) (2)①，；②抛物线的最大值为4，最小值为3 (3)①；②或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①求出抛物线W的顶点坐标，根据抛物线是将抛物线绕点N旋转后得到的，即得出点和抛物线的顶点坐标，从而可设抛物线的顶点式，再将点代入即可解答； ②根据抛物线的解析式和x的取值范围，结合图象即可解答； （3）①由抛物线W的解析式可知其对称轴为直线．根据题意可知点C和点D位于y轴上，且正方形在直线的左侧，即得出，求解即可； ②分类讨论：Ⅰ当正方形与抛物线的交点在边和上时、Ⅱ当正方形与抛物线的交点在边和上时和Ⅲ当正方形与抛物线的交点在边和上时，分别求解即可． 【详解】（1）解：将和代入， 得：，解得：， ∴抛物线W的解析式为； （2）解：①∵， ∴抛物线W的顶点坐标为． ∵将抛物线绕点N旋转后得到抛物线，抛物线与x轴交于另一点Q， ∴点Q与点M关于点N对称，抛物线的顶点与抛物线W的顶点关于点N对称， ∴，抛物线的顶点坐标为． 设抛物线的解析式为， 将代入，得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； ②∵抛物线的解析式为， 又∵， ∴，； （3）解：①∵抛物线W的解析式为， ∴其对称轴为直线． ∵四边形为正方形，且轴， ∴轴，轴，轴． ∵点P的横坐标为，且点P为正方形中心，， ∴点C和点D位于y轴上． ∵抛物线落在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而减小， ∴正方形在直线的左侧， ∴， ∴； ②分类讨论：Ⅰ当正方形与抛物线的交点在边和上时，如图1， ∴． ∵交点的纵坐标之差为， ∴， ∴； Ⅱ当正方形与抛物线的交点在边和上时，如图2， ∴． ∵交点的纵坐标之差为， ∴， 解得：，（舍）； Ⅲ当正方形与抛物线的交点在边和上时，如图3， ∴． ∵交点的纵坐标之差为， ∴， 解得：，（舍）． 综上可知，m的值为或或． 【点睛】本题为二次函数综合题，考查利用待定系数法求函数解析式，中心对称的性质，二次函数的性质，正方形的性质，坐标与图形等知识，正确求出二次函数解析式并利用数形结合的思想是解题关键． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 求二次函数解析式的方法 （题型突破·举一反三） 题型01 利用三点式求解析式 题型02 利用顶点式求解析式 题型03 利用交点式求解析式 题型04 利用对称轴求解析式 题型05 利用定点求解析式 题型06 利用平移的性质求解析式 题型07 利用对称的性质求解析式 题型08 利用旋转的性质求解析式 ▌题型01 利用三点式求解析式 核心知识点 1. 适用条件：已知抛物线上三个互不重复、能够提供三个独立条件的点A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)、C(x₃，y₃)。 2. 基本设法：设二次函数为y=ax²+bx+c（a≠0），将三点坐标分别代入，得到关于a、b、c的三元一次方程组。 3. 若三个点中含有y轴交点(0，c)，可先直接确定c；若含有x轴交点，可结合交点式适当简化。 4. 三点必须能唯一确定一条抛物线；若三点共线，则所得a可能为0，不构成二次函数。 解题思路 1. 观察三个点是否有特殊坐标：x=0可直接确定c；y=0可转化为零点条件；横坐标关于某值对称时可先求对称轴。 2. 一般情况下直接设y=ax²+bx+c，将三点代入。 3. 解方程组时优先采用消元法：利用两式相减消去c，降低运算量。 4. 求出a、b、c后，把至少一个已知点重新代入验算。 【例1】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知抛物线过三点，则该抛物线的解析式为（     ）． A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26九年级上·贵州黔西南·阶段检测）在平面直角坐标系中，二次函数的图象过，，三点． (1)求该二次函数的解析式； (2)求该二次函数图象的开口方向和对称轴； (3)若，，是该二次函数图象上的三个点，则，，的大小关系是________．（用“”连接） 【变式1-2】（23-24九年级上·西藏拉萨·期中）已知一个二次函数的图像经过，，三点． (1)求该二次函数的表达式； (2)写出该抛物线的对称轴及顶点坐标． 【变式1-3】（24-25九年级上·上海·阶段检测）已知抛物线经过、、三点． (1)求抛物线的解析式，并写出抛物线的顶点的坐标； (2)该抛物线经过平移后得到新抛物线，求原抛物线平移的方向和距离． 【变式1-4】（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图所示，二次函数的图象经过、、三点．    (1)求二次函数的解析式； (2)方程有两个实数根，m的取值范围为__________． (3)不等式的解集为__________； ▌题型02 利用顶点式求解析式 核心知识点 1. 顶点式：y=a(x-h)²+k（a≠0），顶点为(h，k)，对称轴为x=h。 2. 已知顶点坐标和抛物线上另一个点时，只剩一个未知参数a，一次代入即可求出。 3. 若只给对称轴x=h和最值k，也可确定顶点(h，k)，再用顶点式。 4. 顶点式能直接反映开口方向、对称轴和最值，是压轴题中最常用的形式之一。 解题思路 1. 从题目中提取顶点坐标(h，k)：可能直接给出，也可能由“最大值/最小值”“最高点/最低点”“对称轴与图象交点”等语言获得。 2. 设y=a(x-h)²+k。 3. 选取另一个已知点代入求a。 4. 若题目最终要求一般式，再将顶点式展开；否则尽量保留顶点式，便于后续研究最值和对称性。 【例2】（24-25九年级上·山东泰安·期中）已知二次函数，当时，函数取得最值10，当时，，则函数解析式为________（一般式）． 【变式2-1】（24-25九年级上·甘肃平凉·阶段检测）已知二次函数，当时，函数取得最值4，当时，，则函数解析式为______________． 【变式2-2】（2026九年级上·全国·专题练习）已知抛物线的顶点坐标为，且经过点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)求该抛物线与轴的交点坐标． 【变式2-3】（25-26九年级上·天津西青·期末）已知抛物线（a，b，c为常数，且）与轴的一个交点坐标是，顶点坐标是． (1)求该抛物线解析式中，，的值； (2)直接写出当时，函数值的取值范围． 【变式2-4】（2026·河南商丘·一模）已知二次函数 的图象的顶点坐标为． (1)求该二次函数的表达式，并在平面直角坐标系中画出该二次函数的图象． (2)若点在抛物线上，且满足，求m 的取值范围． (3)当 时，二次函数的最大值与最小值的差为2，请直接写出n的取值． ▌题型03 利用交点式求解析式 核心知识点 1. 交点式：y=a(x-x₁)(x-x₂)（a≠0），其中(x₁，0)、(x₂，0)为抛物线与x轴的两个交点。 2. 已知两个x轴交点和抛物线上另一个点时，交点式通常是最简设法。 3. 对称轴可由两个零点的中点得到：x=(x₁+x₂)/2。 4. 若抛物线与x轴只有一个交点，则两个零点重合，可写成y=a(x-x₀)²。 解题思路 1. 从图象或题意中确定两个零点x₁、x₂。 2. 设y=a(x-x₁)(x-x₂)。 3. 将第三个已知点代入求a。 4. 根据后续问题需要选择是否展开；若继续研究零点、符号或与x轴围成图形，保留交点式更有利。 【例3】（2022·云南昆明·模拟预测）已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为、，且与y轴的交点为，求这个函数解析式和抛物线的顶点坐标． 【变式3-1】（24-25九年级上·吉林长春·阶段检测）如图，二次函数经过点，． (1)求该二次函数的解析式； (2)利用图象的特点填空： ①当________时，方程； ②不等式的解集为________． 【变式3-2】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段检测）已知二次函数的图象与x轴交于． (1)求二次函数的解析式； (2)当时，求自变量x的值． 【变式3-3】（22-23九年级上·山东菏泽·期末）如图，二次函数的图象与轴交于两点，与y轴交于C点． (1)求此二次函数解析式和点C的坐标； (2)动点P在二次函数图象上，且位于第一象限，过点P作垂直x轴于点H，连接，是否存在点P使为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式3-4】（22-23九年级上·天津和平·阶段检测）二次函数的图像与x轴交于，两点，且函数有最大值是2． (1)求二次函数的解析式； (2)设此二次函数与y轴的交点为点C，求的面积； (3)当x为何值时，．（请直接写出结果） ▌题型04 利用对称轴求解析式 核心知识点 1. 二次函数y=ax²+bx+c的对称轴为x=-b/(2a)。 2. 若已知对称轴x=h，可得到b=-2ah；也可直接设成y=a(x-h)²+k。 3. 若同时知道一对关于对称轴对称的点，它们纵坐标相等，且横坐标满足x₁+x₂=2h。 4. 已知对称轴通常能把三个参数之间建立一个关系，从而减少未知量。 解题思路 1. 先判断题目还给了哪些条件：若有顶点纵坐标，优先用顶点式；若有两个x轴交点，优先结合交点式；若另有两点，则可用一般式配合-b/(2a)=h。 2. 把“对称轴条件”转化为参数关系。 3. 再代入其余点坐标列方程，解出参数。 4. 最后检查所得解析式的对称轴是否确为x=h。 【例4】（23-24九年级上·辽宁·阶段检测）已知抛物线经过，两点，则该抛物线的解析式为(    ) A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26九年级上·山东烟台·期中）已知一条抛物线经过，，，四点，则此抛物线的解析式为______． 【变式4-2】（2025·江西·模拟预测）如图，二次函数的图象经过，两点，C为抛物线的顶点，其纵坐标为． (1)直接写出顶点C的坐标； 求二次函数的解析式． (2)若经过点A的抛物线与具有相同的对称轴． 判断：点B_____（填“在”或“不在”）在抛物线上． 将抛物线绕着点B旋转得到新的抛物线，记为，D为的顶点，将C，D两点间的距离记为d，求d的取值范围． 【变式4-3】（21-22九年级上·陕西延安·阶段检测）已知二次函数（是常数）． (1)当时，求二次函数图象与轴的交点坐标； (2)若，是该二次函数图象上的两个不同点，求的值和该二次函数解析式． 【变式4-4】（20-21九年级上·福建南平·阶段检测）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过（2，﹣2），（0，﹣2），函数的最小值是﹣4． （1）求二次函数的解析式． （2）当自变量的取值范围为什么时，该二次函数的图象在横轴上方？请直接写出答案． ▌题型05 利用定点求解析式 核心知识点 1. “定点”指位置确定、坐标不随参数变化的点。若已知抛物线经过定点P(x₀，y₀)，则必有 y₀=ax₀²+bx₀+c。 2. 单独一个定点只能提供一个独立条件，通常需要与顶点、对称轴、交点或其他点联合使用。 3. 若题目给的是含参数的函数族，可通过整理式子、令参数项系数为0等方式寻找所有图象共同经过的定点。 4. 当定点是坐标轴上的特殊点时，常能直接确定某个参数，如经过(0，c)可直接得到常数项。 解题思路 1. 明确定点坐标，并判断它提供几个条件。 2. 根据其他已知信息选择最简函数形式。 3. 将定点坐标代入，形成关于待定参数的方程。 4. 若研究“函数族恒过定点”，把解析式整理为“与参数无关部分 + 参数×某式”，令参数相关部分恒为0，求定点横坐标，再求纵坐标。 【例5】（25-26九年级上·浙江金华·阶段检测）不论为何值，抛物线均经过定点，抛物线与轴交于两个不同的点和点，若，则_________ ． 【变式5-1】（2025·河南平顶山·三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线. (1)该抛物线经过一个定点：_______（写出坐标）． (2)若抛物线的对称轴为直线，求抛物线解析式． (3)在（2）的基础上，若点为抛物线上一点，且，求的取值范围． 【变式5-2】（2024·湖南·一模）定义：若抛物线的图象恒过定点，则称为抛物线的“不动点”．已知：若抛物线与轴交于点，顶点为． (1)求抛物线的不动点坐标； (2)若抛物线的对称轴是直线，对称轴与轴交于点． ①求抛物线的解析式； ②如图所示，是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，连接，求的面积的最大值． 【变式5-3】（24-25九年级下·安徽淮南·阶段检测）已知，抛物线． (1)①无论取何值，抛物线经过定点____________； ②随着的取值的变化，顶点随之变化，是的函数，记为函数，则函数的关系式为：______________； (2)如图，若抛物线与轴仅有一个公共点时，①直接写出此时抛物线的函数关系式； ②请在图中画出顶点满足的函数的大致图象，在轴上任取一点，过点作平行于轴的直线分别交、于点、，若为等腰直角三角形，求点的坐标； (3)二次函数的图象与轴交于点，连接，若二次函数的图象与线段有两个交点，直接写出的取值范围． ▌题型06 利用平移的性质求解析式 核心知识点 1. 二次函数图象平移时，形状和开口大小不变，因此二次项系数a不变。 2. 若y=a(x-h)²+k向右平移m个单位、向上平移n个单位，得到y=a[x-(h+m)]²+(k+n)。 3. 口诀可理解为：横向“左加右减”作用在x内部，纵向“上加下减”作用在函数整体。 4. 平移后顶点也作同样的平移，因此先移动顶点再写顶点式通常最安全。 解题思路 1. 先把原函数尽量化为顶点式，找出原顶点。 2. 根据平移方向和距离得到新顶点坐标。 3. 二次项系数a保持不变，直接写出新函数顶点式。 4. 若题目给的是平移后的解析式反求原函数，则进行相反方向平移。 【例6】（26-27九年级上·全国·课后作业）填空 （1）在平面直角坐标系中，把抛物线先向上平移5个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得抛物线对应的函数解析式为_____________； （2）在平面直角坐标系中，把抛物线先向下平移1个单位长度，再向右平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数解析式为_____________． 【变式6-1】（25-26九年级下·北京西城·开学考试）把抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为______． 【变式6-2】（25-26九年级上·江西赣州·期末）已知抛物线与y轴交点的纵坐标为，且经过点． (1)求抛物线的解析式； (2)将该抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位，平移后的抛物线经过点，求的值． 【变式6-3】（26-27九年级上·全国·单元复习）已知二次函数的图象为抛物线C． (1)抛物线C顶点坐标为_____________； (2)将抛物线C先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线，直接写出抛物线的函数解析式； (3)当时，求该二次函数的函数值y的取值范围． 【变式6-4】（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知抛物线，现将该函数图象向右平移2个单位，向上平移5个单位得到抛物线． (1)求抛物线的解析式． (2)当时，求抛物线的最大值和最小值． ▌题型07 利用对称的性质求解析式 核心知识点 1. 图象关于x轴对称：点(x，y)变为(x，-y)，函数关系可理解为新函数y=-f(x)。 2. 图象关于y轴对称：点(x，y)变为(-x，y)，新函数可写为y=f(-x)。 3. 图象关于原点中心对称：点(x，y)变为(-x，-y)，新图象满足y=-f(-x)。 4. 关于直线x=m对称时，点的横坐标满足x+x'=2m；顶点横坐标也关于x=m作镜像，纵坐标不变。 解题思路 1. 先确定“关于谁对称”，把关键点（尤其是顶点、与坐标轴交点）进行对称变换。 2. 若原函数已知，可直接使用坐标替换法得到新函数；若只知道图象特征，则先求对称后的顶点或交点。 3. 二次函数关于竖直直线对称后仍是抛物线，开口方向和开口大小不变；关于x轴对称后开口方向相反。 4. 代入一个对称后的已知点进行检验。 【例7】（2023九年级·全国·专题练习）若抛物线与抛物线关于x轴对称，则抛物线C的解析式为（　　） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26九年级上·河南商丘·阶段检测）抛物线关于x轴对称后所得到的抛物线解析式为（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2026·江西上饶·一模）如图（1），在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图（2），作抛物线，使它与抛物线关于原点成中心对称，求抛物线的解析式； (3)如图（3），将（2）中抛物线向上平移2个单位长度，得到抛物线，抛物线与抛物线相交于两点（点在点的左侧）． ①求点和点的坐标及直线的解析式； ②如图，点在上，过点作轴，交于点，求的最大值． 【变式7-3】（25-26九年级上·上海闵行·期中）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点是原点，抛物线与抛物线关于x轴对称． (1)求的值以及抛物线的表达式； (2)将抛物线向右平移n个单位后得到新抛物线，如果新拋物线恰好经过，求的值． 【变式7-4】（25-26九年级上·陕西延安·阶段检测）已知抛物线． (1)写出抛物线的开口方向和顶点坐标； (2)将该抛物线以轴为对称轴作轴对称变换，求得到的新抛物线的函数解析式． 【变式7-5】（2024·陕西咸阳·二模）已知抛物线：与轴交于点，抛物线与关于轴对称． (1)求抛物线的函数表达式； (2)为坐标原点，点是轴正半轴上一点，，点是轴负半轴上的动点，点是第二象限抛物线上的动点，连接,是否存在点，使得以点为顶点的三角形与全等？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． ▌题型08 利用旋转的性质求解析式 核心知识点 1. 初中范围内常见的是图象或关键点绕原点旋转180°，点(x，y)变为(-x，-y)。 2. 若原函数为y=f(x)，绕原点旋转180°后的图象可表示为y=-f(-x)。对于二次函数，所得图象仍可写成二次函数。 3. 绕某定点P(m，n)旋转180°时，P是原点与对应点连线的中点：x+x'=2m，y+y'=2n。 4. 对二次函数图象作180°旋转后，开口方向相反，顶点旋转到对应位置；可先旋转顶点，再结合一个对应点求式。 解题思路 1. 明确旋转中心和旋转角。若为180°，优先使用中心对称的坐标规律。 2. 把原图象上的关键点（顶点、交点、已知点）分别求出旋转后的坐标。 3. 根据旋转后得到的顶点或三个点，选择顶点式或一般式求新解析式。 4. 若原解析式已知且绕原点180°，可直接作变量替换得到y=-f(-x)，再整理。 【例8】（25-26九年级上·上海宝山·期末）在平面直角坐标系中，将抛物线绕其顶点旋转后再适当平移得到抛物线，如果抛物线经过抛物线的顶点，那么称抛物线是抛物线的“子抛物线”．已知抛物线与轴交于点，顶点为． (1)求抛物线的表达式和点的坐标； (2)如果抛物线是的“子抛物线”，且经过原点，顶点为． ①求证：抛物线也是抛物线的“子抛物线”； ②设直线与抛物线分别交于点M、N，是否存在，使得四边形是平行四边形？如果存在，试求的值；如果不存在，试说明理由． 【变式8-1】（25-26九年级上·上海·阶段检测）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，直线与轴相交于点，与的平分线相交于点，直线的解析式为，． (1)直接写出点坐标； (2)若点在此抛物线上，求抛物线的解析式； (3)在（2）的条件下，把抛物线的图像绕点旋转，得到相关抛物线图像，图像的对称轴与轴交点坐标为，当时，函数最大值为，最小值为，且，求的解析式并直接写出的值． 【变式8-2】（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）（1）如图，已知点，且，抛物线（）图象经过A，B，C三点．求抛物线的解析式； （2）若点P是如图中的直线上方的抛物线上的一个动点，求四边形面积的最大值． （3）将图中的抛物线向下平移5个单位，将平移所得抛物线（）的部分记为，将绕原点旋转后的图象记为，将，合起来得到的图象记为L，完成以下问题： ①抛物线的函数解析式为 （）． ②若直线与L有三个交点，把这三个交点的横坐标从左至右依次记为，与，且 ，求t的值． ③若点，在L上，且，请直接写出m的取值范围． 【变式8-3】（24-25九年级下·全国·二轮复习）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线C：与x轴相交于A，B两点，顶点为D，其中，，设点是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转，得到新的抛物线． (1)求抛物线C的函数解析式； (2)若抛物线与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，求m的取值范围； (3)如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线上的对应点，设M是C上的动点，N是上的动点，试探究四边形能否成为正方形？若能，求出m的值；若不能，请说明理由． 【变式8-4】（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线W：与x轴交于和两点． (1)求抛物线W的解析式． (2)如图，将抛物线绕点N旋转后得到抛物线，抛物线与x轴交于另一点Q． ①直接写出点Q的坐标和抛物线的解析式． ②利用①中的结论，当时，求抛物线的最大值和最小值． (3)P为抛物线 W上的一个动点，点P的横坐标为，以点P为中心作正方形，，且轴． ①当抛物线落在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而减小时，求m的取值范围． ②正方形的边与抛物线只有两个交点，且交点的纵坐标之差为时，请直接写出m的值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $