2026—2027学年人教版九年级数学上册26.1-26.2二次函数周练（错题巩固+压轴训练）

**基本信息** 2026-2027学年人教版九年级数学上册26.1～26.2周练，通过错题巩固与压轴训练结合，分层考查二次函数概念、图象及性质，适配周测精准复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6/24|二次函数定义（1）、顶点坐标（2）、图象性质（3）|结合错题重做（5、6），强化几何直观| |填空题|4/20|顶点最值（7）、与x轴交点（8）、取值范围（9）|注重符号意识与运算能力| |解答题|4/56|解析式求解（11）、面积计算（11）、动点最值（12、13）、最短路径（14）|压轴题（12-14）突出模型意识与推理能力，适配中考命题趋势|

2026—2027学年人教版九年级数学上册 26.1～26.2 二次函数的概念、图象与性质 周练 （错题巩固 ＋ 压轴训练） 满分：120分 时间：90分钟 班级：__________ 姓名：__________ 学号：__________ 得分：__________ 一、选择题（每小题4分，共24分。每小题只有一个选项符合题意） 1．下列函数中，属于二次函数的是（ ） A．y＝2x＋1 B．y＝x²＋1÷x C．y＝－3x² D．y＝(x＋1)²－x² 2．抛物线 y＝2(x－3)²＋5 的顶点坐标是（ ） A．(－3，5) B．(3，5) C．(3，－5) D．(－3，－5) 3．下列关于抛物线 y＝－x²＋2x＋3 的说法，正确的是（ ） A．开口向上 B．对称轴是直线 x＝－1 C．顶点坐标是(1，4) D．与 y 轴交于点(0，－3) 4．把抛物线 y＝x² 先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，所得抛物线的解析式是（ ） A．y＝(x＋2)²＋3 B．y＝(x－2)²＋3 C．y＝(x－2)²－3 D．y＝(x＋2)²－3 5．（错题重做）二次函数 y＝ax²＋bx＋c 的图象如图1所示，下列结论正确的是（ ） 图1 A．a＞0 B．b＜0 C．c＞0 D．abc＜0 6．（错题重做）已知二次函数 y＝(x－1)²－4 的图象如图2所示，下列说法正确的是（ ） 图2 A．当 x＞1 时，y 随 x 的增大而减小 B．当 x＜1 时，y 随 x 的增大而增大 C．函数有最小值，最小值为－4 D．图象与 x 轴无交点 二、填空题（每小题5分，共20分） 7．抛物线 y＝－2x²＋8x－5 的顶点坐标是__________，当 x＝__________时，y 取得最______值，最______值为__________。 8．若抛物线 y＝x²－4x＋c 与 x 轴有公共点，则 c 的取值范围是__________。 9．（错题重做）已知二次函数 y＝ax²＋bx＋c 的图象如图3所示，则使 y＞0 成立的 x 的取值范围是__________。 图3 10．抛物线 y＝x²－2x－3 的顶点为 P，与 y 轴的交点为 C，则顶点 P 到原点 O 的距离 OP＝__________（结果保留根号）。 三、解答题（共56分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11．（本小题12分）如图5，抛物线 y＝x²＋bx＋c 经过点 A(－1，0)、B(3，0)，与 y 轴交于点 C，顶点为 D。 （1）求抛物线的解析式； （2）求顶点 D 的坐标及对称轴； （3）求 △ABC 的面积。 图5 12．（本小题14分）如图6，抛物线 y＝－x²＋bx＋c 经过点 A(－1，0)、B(3，0)，与 y 轴交于点 C。 （1）求抛物线的解析式及点 C 的坐标； （2）点 P 是第一象限内抛物线上的一个动点，连接 PB、PC，求 △PBC 面积的最大值，并求出此时点 P 的坐标。 图6 13．（本小题15分·压轴训练）如图7，抛物线 y＝ax²＋bx＋4 经过点 A(－1，0)、B(4，0)，与 y 轴交于点 C。 （1）求抛物线的解析式； （2）求直线 BC 的解析式； （3）点 M 是第一象限内抛物线上的动点，过点 M 作 MN⊥x 轴，交直线 BC 于点 N。求线段 MN 的最大值及此时点 M 的坐标。 图7 14．（本小题15分·压轴训练）在图8中，抛物线 y＝－x²＋3x＋4 与 x 轴交于点 A(－1，0)、B(4，0)，与 y 轴交于点 C，对称轴为直线 l。 （1）写出抛物线对称轴 l 的表达式； （2）点 D 是对称轴 l 上的一个动点，连接 DA、DC。求 DA＋DC 的最小值（结果保留根号）。 图8 参考答案与解析 一、选择题 1．C 提示：A 是一次函数；B 含 1÷x，不是整式；D 化简为 y＝2x＋1，是一次函数；只有 C 符合 y＝ax²＋bx＋c（a≠0）的定义。 2．B 提示：顶点式 y＝a(x－h)²＋k 的顶点为(h，k)，故顶点为(3，5)。 3．C 提示：a＝－1＜0 开口向上错误；对称轴 x＝－b÷(2a)＝－2÷(－2)＝1；顶点(1，4)正确；与 y 轴交于(0，3)。 4．B 提示：左加右减、上加下减，向右平移2得 y＝(x－2)²，再向上3得 y＝(x－2)²＋3。 5．C 提示：开口向下→a＜0；对称轴 x＝1＞0 且 a＜0→b＞0；与 y 轴交于正半轴→c＞0；abc＝(－)·(＋)·(＋)＝－，故 abc＜0 亦对，但 c＞0 最直接，选 C。 6．C 提示：a＝1＞0 开口向上，有最小值－4；对称轴 x＝1，x＞1 时 y 随 x 增大而增大，x＜1 时随 x 增大而减小；与 x 轴交于(－1，0)、(3，0)。 二、填空题 7．顶点(2，3)；x＝2 时 y 取最大值，最大值为 3。 解析：y＝－2(x²－4x)－5＝－2(x－2)²＋8－5＝－2(x－2)²＋3，a＜0 有最大值。 8．c≤4。 解析：△＝(－4)²－4×1×c＝16－4c≥0，解得 c≤4。 9．－1＜x＜3。 解析：由图3知抛物线与 x 轴交于(－1，0)、(3，0)，且开口向下，故 y＞0 时图象在 x 轴上方，对应 －1＜x＜3。 10．。 解析：y＝x²－2x－3＝(x－1)²－4，顶点 P(1，－4)。OP＝√(1²＋(－4)²)＝＝。 三、解答题 11．（1）抛物线过 A(－1，0)、B(3，0)，且二次项系数为1，故 y＝(x＋1)(x－3)＝x²－2x－3，即 b＝－2，c＝－3。 （2）y＝x²－2x－3＝(x－1)²－4，顶点 D(1，－4)，对称轴为直线 x＝1。 （3）与 y 轴交点 C(0，－3)。AB＝3－(－1)＝4，AB 边上的高为 |y_C|＝3，∴ S△ABC＝½×4×3＝6。 12．（1）过 A(－1，0)、B(3，0)，二次项系数为－1，y＝－(x＋1)(x－3)＝－x²＋2x＋3，∴ b＝2，c＝3，C(0，3)。 （2）直线 BC：过 B(3，0)、C(0，3)，解析式为 y＝－x＋3。设 P(x，－x²＋2x＋3)(0＜x＜3)，过 P 作 PQ⊥x 轴交 BC 于 Q(x，－x＋3)。 铅垂高 PQ＝(－x²＋2x＋3)－(－x＋3)＝－x²＋3x＝－(x－1.5)²＋9÷4，当 x＝1.5 时 PQ 最大＝9÷4。 ∴ S△PBC＝×PQ×(x_B－x_C)＝×(9÷4)×3＝27÷8。此时 P(1.5，3.75)。△PBC 面积最大值为 27÷8。 13．（1）过 A(－1，0)、B(4，0)，常数项为4，设 y＝a(x＋1)(x－4)＝a(x²－3x－4)，则－4a＝4，a＝－1。∴ y＝－x²＋3x＋4。 （2）C(0，4)。直线 BC 过 B(4，0)、C(0，4)，解析式为 y＝－x＋4。 （3）设 M(x，－x²＋3x＋4)(0＜x＜4)，则 N(x，－x＋4)。MN＝(－x²＋3x＋4)－(－x＋4)＝－x²＋4x＝－(x－2)²＋4。 当 x＝2 时 MN 最大＝4，此时 M(2，6)。 14．（1）y＝－x²＋3x＋4＝－(x－1.5)²＋6.25，对称轴 l：x＝3÷2＝1.5。 （2）点 A 关于对称轴 l 的对称点为 B(4，0)，故 DA＝DB，∴ DA＋DC＝DB＋DC≥BC。当 D、B、C 共线时取等号，最小值为 BC。 BC＝＝＝4。∴ DA＋DC 的最小值为 4。 学科网（北京）股份有限公司 $