4.5 相似三角形的性质 同步练习 2026-2027学年浙教版九年级数学上册

**基本信息** 初中数学相似三角形性质同步练，通过选择、填空、解答题分层设计，实现从基础性质到综合应用的梯度巩固，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|相似比与面积比、简单应用|选择1-5、填空11-13，直接考查定义与性质，如相似三角形面积比计算| |中档|综合判定与性质、实际应用|选择6-8、解答17-19，结合图形变换（位似）与测量问题（标杆测高），培养模型意识| |拔高|复杂推理与动态探究|选择9-10、解答22-24，涉及圆与相似综合、动态几何问题，发展逻辑推理与创新意识|

第四章相似三角形 第5节 相似三角形的性质 一选择题(每题3分，共30分) 1.已知△ABC∽△DEF,A,B,C的对应点分别是D,E,F,AB:DE=9:4,则S△ABC:S△DEF等于( ) A.3:2 B.9:4 C.16:81 D.81:16 2.如图,利用标杆BE测量建筑物的高度,如果标杆BE=1.2m,测得AB=1.6m,BC=18.4m,则建筑物的高CD为 ( ) A.13.8m B.15m C.18.4m D.20m 3.下列命题中，真命题是 ( ) A.邻边之比相等的两个平行四边形一定相似 B.邻边之比相等的两个矩形一定相似 C.对角线之比相等的两个矩形一定相似 D.对角线之比相等的两个平行四边形一定相似 4.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为3，则点D的坐标为( ) A.() B. () C. () D. () 5.如图,D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,DE∥AC,若 则S△BDE:S△ADC= ( ) A.1:16 B.1:18 C.1:20 D.1:24 6.如图所示为一个铁夹子的侧面示意图，C是连结夹面的轴上一点，CD⊥OA于点D。这个侧面图是轴对称图形,直线OC是它的对称轴。若DA=15mm,DO=24mm,DC=10mm，则点A与点B之间的距离为 ( ) A.20mm B.30mm C.40mm D.50mm 7.如图,AC是菱形ABCD的对角线,AE=EF=FC,则S△BMN:S菱形ABCD的值为 ( ) A. B. C. D. 8.如图,已知在△ABC中,∠BAC=90°, ,点D是BC边上一点,∠CAD=30°,则AD的长为( ) A. B. C. D. 9.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,P是边AC上一点,过点P作PQ∥AB交BC于点Q,D为线段PQ的中点,BD平分∠ABC。下列四个结论:①△BQD是等腰三角形;②BQ=DP; 其中正确的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 10.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,P是AC上的一点,PH⊥AB于点H,以PH为直径作⊙O，当CH与PB的交点落在⊙O上时，AP的值为( ) A. B. C.2 D.3 填空题(每题3分，共18分) 11.两个相似多边形的一组对应边分别为3cm和4.5cm。如果它们的面积和为78cm²，那么较大多边形的面积为 cm²。 12.如图1，“矩”在古代指两条边成直角的曲尺，它的两边长分别为a，b。中国古老的天文和数学著作《周髀算经》中简明扼要地阐述了“矩”的功能：“平距以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”。其中“偃矩以望高”的意思就是把“矩”仰立放可测物体的高度。如图2，从“矩”AFE的一端A望向树顶端的点C，使视线通过“矩”的另一端E,测得BD=8m,AB=1.6m。若“矩”的边EF=a=30cm,边AF=b=60cm,则树高CD为 。 13.如图，D为AB上靠近点B的三等分点，DE∥BC交AC于点E，点F为BC上一点，连结AF交DE于点G,H为AF的中点,则 14.“三八”妇女节，小敏准备送礼物给妈妈，如图，他用正方形纸板按图中虚线裁剪，制作一个正方体礼品盒。已知正方形纸板边长为10dm，则这个礼品盒的棱长为 dm。 15.如图,C为半圆的中点,AB是直径,D是半圆上一点,AC,BD交于点E,若AD=1,BD=7,则CE的长为 。 16.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,点D在边AB上,过点D作DG∥AC交BC于点G,分别过点D,G作DE∥BC,FG∥AB,DE与FG交于点O。当图中阴影部分面积等于梯形ADOF的面积时，阴影部分与△ABC之间的面积之比是 。 解答题 (共72分) 17.(6分)如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A(-3,-1),B(-2,-3),C(-1,-2)。 (1)以O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°得到△A₁B₁C₁,并写出点A₁的坐标。 (2)以O为位似中心，在第一象限内作出△ABC的位似 且△ABC与△A₂B₂C₂的位似比为1:2。 18.(6分)如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC,AB上,AG⊥BC于点G,AF⊥DE于点F,∠EAF=∠GAC。 (1)求证:△ADE∽△ABC。 (2)若AF=3,AG=5,求△ADE与△ABC的周长之比。 19.(8分)如图1，某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，他们依次在光具座上垂直放置发光物箭头、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度。如图2，主光轴l垂直于凸透镜MN，且经过凸透镜光心O，将长度为8cm的发光物箭头AB进行移动，使物距OC为32cm，光线AO，BO传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像A'B'，此时测得像距OD为12.8cm。 (1)求像A'B'的长度。 (2)已知光线AP平行于主光轴l，经过凸透镜MN折射后经过焦点F，求凸透镜焦距OF的长。 20.(8分)如图,已知矩形ABCD和矩形AEFG共用顶点A,点E在线段BD上,连结EG,DG,且 (1)求证:∠ABE=∠ADG。 (2)若 求EG的长。 21.(10分)如图,在矩形ABCD中,点E,F分别为AD,BC的中点,线段EF交AC于点O,延长CD至点G,连结GE并延长交AC于点Q,连结GF交AC于点P,连结QF。 (1)求证:FE平分∠QFP。 (2)若CD=mDG,求 的值。(结果用含m的代数式表示) 22.(10分)如图,在正方形ABCD中,E是AB上一点,连结DE。过点A作AF⊥DE,垂足为F,⊙O经过点C,D,F,与AD相交于点G。 (1)求证:△AFG∽△DFC。 (2)若正方形ABCD的边长为4,AE=1,求⊙O的半径。 23.(12分)如图1,已知直线l₁∥l₂,线段AB在直线l₁上,BC⊥l₁并交l₂于点C,且AB=BC。P是线段BC上异于两端点的一点，过点P的直线分别交l₂，l₁于点D，E(点A，E位于点B的两侧),满足BP=BE,连结AP,CE。 (1)求证:△ABP≌△CBE。 (2)连结AD,BD,BD与AP相交于点F,如图2。 ①当 时,求证:AP⊥BD。 ②当 时,设△PAD的面积为S₁,△PCE的面积为S₂,求 的值。 24.(12分)AD是△ABC的中线，将BC边所在直线绕点D顺时针旋转α角，交边AB于点M，交射线AC于点N,设AM=xAB,AN=yAC(x,y≠0)。 (1)如图1,当△ABC为等边三角形且α=30°时,求证:△AMN∽△DMA。 (2)如图2,求证: (3)如图3，当点G是AD上任意一点时(点G不与点A重合)，过点G的直线交边AB于点M',交射线AC于点N'。设AG=nAD,AM'=x'AB,AN'=y'AC(x',y'≠0),猜想： 是否成立?并说明理由。 1. D 2. B 3. B 4. B 5. C 【解析】 ∵DE∥AC,∴△BDE∽△BAC。 设 则 故选C。 6. B 【解析】如图,连结AB交直线OC于点E。由轴对称得AB⊥OC,AE=BE。∵CD⊥OA, ∵∠AOE=∠COD,∠OEA=∠ODC=90°,∴△OAE∽△OCD。 ∴AE=15(mm)。 ∴AB=2AE=30(mm)。故选B。 7. C 8. C 9. C 10. A 【解析】当CH与PB的交点D落在⊙O上时,∵HP是直径,∴∠HDP=90°。∴BP⊥HC。 ∴∠HDP=∠BDH=90°。又∵∠PHD+∠BHD=90°,∠BHD+∠HBD=90°,∴∠PHD=∠HBD。∴△PHD∽△HBD。 BD。同理可证 ∴HD=CD。∴BD垂直平分CH。∴BH=BC=3。在Rt△ACB中,AB ∴ AH=5-3=2。∵ ∠A=∠A,∠AHP=∠ACB=90°,∴△AHP∽△ACB。 即 故选A。 11.54 12.5.6m 【解析】30cm=0.3m,60cm=0.6m。由题意得,EF∥CH,∴△AFE∽△AHC。 ∴CH=4m。∴CD=CH+DH=4+1.6=5.6(m)。 13.【解析】∵D为AB上靠近点B的三等分点，∴AD:AB=2:3。∵DE∥BC,∴AG:AF=AD:AB=2:3。 ∵H为AF的中点,∴AH= 【解析】如图 ，在正方形ABCD中,AD=10dm,设EF=x dm。由裁剪可得，△AEF和△DEG为等腰直角三角形,∴△AEF∽△DEG。 即 解得AE=2dm。 ∴正方体礼品盒的棱长为2\sqrt{2}dm。 17.(1)如图,△A₁B₁C₁即为所求,A₁(-1,3)。 (2)如图,△A₂B₂C₂即为所求。 18.(1)∵AG⊥BC,AF⊥DE,∴∠AFE=∠AGC=90°。∵∠EAF=∠GAC,∴∠AED=∠ACB。 ∵∠DAE=∠BAC,∴△ADE∽△ABC。 (2)由(1)可得△ADE∽△ABC,又∵AG⊥BC于点G,AF⊥DE于点F,∴△ADE与△ABC的周长之比为 19.(1)由题意得,AB∥MN∥A'B',OC⊥AB,OD⊥ ∴A'B'=3.2(cm)。∴像A'B'的长度为3.2cm。 (2)过点A'作A'E∥OD交MN于点E,如图。 ∴四边形A'EOD为平行四边形。 。同理可得，四边形ACOP为平行四边形,∴AP=OC=32cm。 ∵MN∥ ∴OF ∴凸透镜焦距OF的长为 20.(1)∵四边形ABCD和四边形AEFG均为矩形,∴∠BAD= ∠EAG=90°, 即∠BAE+∠DAE=∠DAG+∠DAE=90°。∴∠BAE=∠DAG。 又 ∴∠ABE=∠ADG。 (2)∵四边形ABCD为矩形,∴AD∥BC,∠ABC=∠ABE+∠CBD=90°。∴∠ADB=∠CBD。 ∵∠ABE=∠ADG,∴∠ADG+∠ADB=∠ABE+∠CBD=90°,即∠EDG=90°。 在 Rt△ABD 中, ∴BD= ∴BE ∵△ABE∽△ADG, 在 Rt △ DEG 中 , 21.(1)如图,延长QF,GC,交于点I。∵点E,F分别为AD,BC的中点, BF=CF= BC。∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,AD=BC。∴∠OAE=∠OCF,AE=DE=CF。 ∴四边形EFCD是平行四边形。∴EF∥CD。∴∠QFE=∠I,∠EFG=∠FGI,△QOF∽ ∵∠AOE=∠COF,∴△AOE≌△COF。∴OE=OF。∴CI=CG。∵FC⊥GI,∴FI=FG。 ∴∠I=∠FGI。 ∴∠QFE=∠EFG,即FE平分∠QFP。 (2)∵四边形EFCD是平行四边形， ∴△OPF∽△CPG。 过点 O 作OH⊥QF 于 点 H, OJ⊥PF 于 点 J。∵∠QFE=∠EFG,∴ OH=OJ。 (OH·QF)=PF:QF。 22.(1)在正方形ABCD中,∠ADC=90°,∴∠CDF+∠ADF=90°。∵AF⊥DE,∴∠AFD=90°。 ∴∠DAF+∠ADF=90°。∴∠DAF=∠CDF。 ∵四边形GFCD是⊙O的内接四边形,∴∠FCD+∠DGF=180°。∵∠FGA+∠DGF=180°,∴∠FGA=∠FCD。∴△AFG∽△DFC。 (2)连结CG。∵∠EAD=∠AFD=90°,∠EDA=∠ADF,∴△EDA∽△ADF。 即 ∵△AFG∽△DFC, 在正方形ABCD中,∵DA=DC,∴AG=EA=1,DG=DA-AG=4-1=3。 =5。∵∠CDG=90°,∴CG是⊙O的直径。∴⊙O的半径为 23.(1)∵BC⊥直线l₁,∴∠ABP=∠CBE。在△ABP和△CBE中, ∴△ABP≌△CBE。 (2)①如图,延长AP交CE于点 H。∵△ABP≌△CBE, ∴∠APB=∠CEB。 ∵∠PAB+∠APB=90°, ∴∠PAB+∠CEB=90°。∴AH⊥CE。 即P为BC的中点。∵直线 ∴△CPD∽△BPE。 ∴DP=EP。∴四边形BDCE是平行四边形。 ∴CE∥BD。∵AH⊥CE,∴AP⊥BD。 ∴BC=n·BP。 ∴CP=(n-1)·BP。∵CD∥BE,易得△CPD∽△BPE, 设 则S△PCE满足 即 即 (n+1)(n-1)·S, 24.(1)如图1,在△AMD中,∵AD是△ABC的中线,△ABC为等边三角形,∴AD⊥BC,∠MAD=30°。又∵α=∠BDM=30°,∴∠MDA=60°。∴∠AMD=90°。在△AMN中,∠AMN=90°,∠MAN=60°,∴∠AMN=∠DMA=90°,∠MAN=∠MDA。 ∴△AMN∽△DMA。 (2)如图2,过点C作CF∥AB交MN于点F,则△CFN∽ 易证△CFD≌△BMD, ∴BM=CF。 即 (3)猜想: 成立。理由如下：①如图3，过点D作MN∥M'N'交AB于点M,交AC的延长线于点N,则 即x=x/n,y= 由(2)知 ②如图4,过点D作M₁N₁∥M'N'交AB的延长线于点M₁，交AC于点N₁，则同理可得 学科网（北京）股份有限公司 $