29.1 圆的有关概念 导学案2026-2027学年人教版数学九年级上册

人教版数学九年级上册 · 第二十九章 圆 · 29.1 圆的有关概念（导学案） 第二十九章　圆 29.1　圆的有关概念 导学案 · 2026—2027学年 人教版数学 九年级上册 第二十九章 圆 · 第 1 节 · 3 课时 · 教材 P114—P119 姓名：____________ 班级：____________ 日期：____________ 小学里已经见过圆：车轮的边沿、井盖的轮廓、圆形花坛的边沿，都是圆。那时只知道它"圆滚滚"的。这一节要把圆当成一个几何图形来对待：先把它的名字一样一样认全，再看清一个点与它的位置关系，最后弄清怎样的几个点才能把一个圆定下来。 课本把这一节分成 3 个课时（课本 P114 到 P119）。第 1 课时从"线段 OP 绕它固定的一个端点 O 旋转一周"引出圆，给出圆心与半径，再补上一句更本质的话——圆是平面内到定点的距离等于定长的所有点的集合，并进一步认识弦、直径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧，以及点与圆的三种位置关系（课本 P114—P116）。第 2 课时研究"过几点能作一个圆"，由此得到三角形的外接圆、外心与内接三角形（课本 P117—P118）。第 3 课时学一种新的证明方法——反证法（课本 P119）。主线一句话：名字认全，位置看清，把圆定下来。 本材料里的图 1 至图 8，画的都只是"长什么样"：一个圆和它的圆心、半径；一条弦和一条直径；弧的三种叫法；两个半径相等的圆与两段能重合的弧；一个点站在圆内、圆上、圆外的三种情况；过三点作圆的痕迹；三角形的外接圆与外心；本节知识结构。它们只负责把图形摆在你眼前，结论与答案请自己动笔写。 学习目标 1. 能说出圆的两种说法（旋转的说法与集合的说法），会说清圆心、半径、弦、直径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧的含义，会用符号 ⊙O 表示圆。 2. 掌握点与圆的三种位置关系：点到圆心的距离 d 大于半径 r 时点在圆外，d 等于 r 时点在圆上，d 小于 r 时点在圆内；会根据 d 与 r 的大小判断点的位置，也会由位置关系比较 d 与 r。 3. 知道经过一个点、两个点都可以作无数个圆，经过不在同一条直线上的三个点能作而且只能作一个圆；会用两条垂直平分线定出圆心。 4. 能说出三角形的外接圆、外心、内接三角形的含义，会作出一个三角形的外接圆，并会用外心的性质解决问题。 5. 了解反证法的思考方式：先提出与结论相反的假设，再从假设推出矛盾，从而断定假设不正确，原来的结论成立。 学习重点与难点 项目 内容 学习重点 圆与圆的有关概念（圆心、半径、弦、直径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧）；点与圆的三种位置关系；经过不在同一条直线上的三个点确定一个圆；三角形的外接圆、外心与内接三角形 学习难点 第一，把"经过圆心的线段"当成直径，忘记直径的两个端点都必须在圆上；第二，以为长度相等的两条弧就是等弧，忽略它们还得在同圆或等圆中并且能够完全重合；第三，判断点与圆的位置关系时凭图上看起来的远近，不去比较 d 与 r 的大小；第四，把"过三点作圆"里的三点想成随意三点，漏掉"不在同一条直线上"这个前提；第五，用反证法只写一句"假设不成立"，不从假设出发推出与定义、基本事实或定理矛盾的结果 本节在课本第几页 本节是第二十九章的第 1 节，课本 P114 到 P119 一共 6 页，安排 3 课时。圆的概念在课本 P114；"圆是平面内到定点的距离等于定长的所有点的集合"这句话在课本 P115；点与圆的三种位置关系也在课本 P115；弦、直径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧在课本 P115—P116；课本 P116 的练习是操场上画半径 5 米的圆、树干直径 23 厘米、判断点 P 与 ⊙O 的位置关系、证明 A、B、C 三点在同一个圆上。 经过一个点、两个点、不在同一条直线上的三个点作圆在课本 P117，结论是"不在同一条直线上的三个点确定一个圆"；外接圆、外心、内接三角形也在课本 P117；课本 P118 的练习是用垂直平分线找圆形工件的圆心、求边长为 2 的等边三角形的外接圆半径；经过同一条直线上的三个点能不能作圆，是课本 P118 的思考；反证法在课本 P119；《习题29.1》在课本 P119—P120。 本材料正文里的图 1 至图 8 是另画的一套示意图，与课本上的插图不是一套：看课本时按课本上的图号找图，看本材料时按图 1 到图 8 找图。请自己翻课本核对题面与数据，本材料不重画课本的图，也不改动课本的题面与数据。 热身三问 1. 一个点和一个圆，除了"在圆上"，还能待在哪儿？先画一个圆，再在它身边点上三个位置不同的点，写下你的分类。 2. 随意取三个点，都能画出一个圆同时经过它们吗？先凭直觉判断，再用圆规动手试一试。 3. 要说明"一个三角形中不能有两个角都是直角"，正面不好下手时，你打算先说什么？先写下你的想法。 我写热身答案： 【预习提醒】第 1 问：还能待在圆内或圆外，一共三种位置。第 2 问：不一定。三个点在同一条直线上时就作不出圆——找不到一个点到这三个点的距离一样；只要三点不在同一条直线上，这样的圆就只有一个。第 3 问：先把结论反过来假设，比如说"假设一个三角形中有两个角都是直角"，再从这句话出发推出矛盾。 　一、先说它叫什么 · 圆、圆心与半径 第一栏 · 认名字 拿到一个图形，第一件事是把名字认全。请翻开课本 P114：在一个平面内，线段 OP 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 P 所形成的图形叫作圆；固定的端点 O 叫作圆心，线段 OP 叫作半径；以点 O 为圆心的圆记作 ⊙O，读作"圆 O"。一个圆和它的圆心、半径如图 1。 图 1 圆、圆心与半径：同一个圆上取三个点，连出三条半径 课本 P115 又把这句话说得更本质：圆心为 O、半径为 r 的圆，可以看成平面内所有到定点 O 的距离等于定长 r 的点的集合。两千多年前的《墨子》里有一句"圆，一中同长也"，说的正是这件事——一个中心，到中心的距离都一样长。 填一填：确定一个圆需要两个条件，一个是________，另一个是________；圆心决定圆的________，半径决定圆的________。 我写： 想一想：把线段 OP 绕点 O 旋转一周，点 O 动了吗？动的是哪一个点？如果反过来只让点 O 动、点 P 不动，还能形成圆吗？ 我写： 练一练：① 已知 ⊙O 的半径是 4 厘米，它的直径是多少？② 已知一个圆的直径是 7 厘米，它的半径是多少？③ 以点 O 为圆心可以画多少个圆？这些圆有什么不同？ 我写： 【小提醒】判断一个点在不在圆上，只看一件事：这个点到圆心的距离是不是等于半径。"图上看起来在圆上"不算数——差一点点用眼睛是看不出来的，要算。 　二、再说它由什么拼成 · 弦、直径、弧与等弧 第二栏 · 拆开看 圆画好以后，再看它身上都有什么。取圆上两个点，用线段把它们连起来，这条线段叫弦；如果这条弦恰好经过圆心，它就叫直径。圆上任意两点之间的部分叫弧。一条弦和一条直径如图 2。 图 2 弦与直径：一条过圆心的弦与一条不过圆心的弦 填一填：在图 2 中，经过圆心的那条弦是________，它也叫________；不过圆心的那条弦是________；⊙O 的圆心是________。 我写： 直径的两个端点都在圆上，长度等于半径的 2 倍。所以"经过圆心的线段"不一定是直径——如果它的端点落到圆里面去了，那条线段连弦都不是。请把这条差别抄一遍：________。 我写（把这条差别抄一遍）： 想一想：一条弦和一条直径，哪一个更长？先用眼睛在图 2 上比一比，再想一个不用量就能说清的理由。 我写： 【小提醒】直径是圆里最长的弦，理由要写两句话：连接圆心与弦的两个端点，它们都是半径，所以半径加半径等于直径；再对由两条半径和弦围成的三角形用"两边之和大于第三边"，弦就比直径短。（完整证明见板块八。） 弧也有名字。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫半圆；大于半圆的弧叫优弧，小于半圆的弧叫劣弧。同样是两个端点之间，长的那一段与短的那一段各有名字。弧的三种叫法如图 3。 图 3 弧的三种叫法：半圆、优弧、劣弧 填一填：图 3 中三个圆里被加深的那段弧，从左到右依次是________、________、________。 我写： 辨一辨：① 一个圆里，优弧与劣弧各有多少条？② 半圆算优弧还是劣弧？③ 长度相等的两条弧一定是等弧吗？先各自写下判断和理由。 我写： 两个圆能不能重合，看的是半径：半径相等的两个圆叫等圆。两条弧能不能重合，既要看它们所在圆的半径是不是相等，也要看它们弯曲的程度是不是一样：能够完全重合的两条弧叫等弧。所以"长度相等"不等于"等弧"，等弧只能出现在同圆或等圆中。两个等圆与两段能重合的弧如图 4。 图 4 等圆与等弧：半径相等的两个圆，各带一段能重合的弧 练一练：① 半径都是 3 厘米的两个圆，能不能重合？它们叫不叫等圆？② 半径分别是 3 厘米与 4 厘米的两个圆，能不能叫等圆？③ 在同圆中，两条弧的长度相等，它们是不是等弧？ 我写： 【小提醒】这一栏的三对名字可以这样分清：等圆比的是"两个圆"，看半径是否相等；等弧比的是"两条弧"，既看半径是否相等，也看能不能完全重合。一个圆只有一个圆心、半径的长也只有一条，所以谈等圆、等弧时，先问一句它们是不是在同一个圆里，或者分别在半径相等的两个圆里。 把两栏认过的名字收进一张表，认名字的时候照着看。 名称 含义 备注 圆心 线段 OP 绕它旋转的那个固定端点 O 圆心决定圆的位置 半径 连接圆心与圆上任意一点的线段，记作 OP 半径决定圆的大小 弦 连接圆上任意两点的线段 端点在圆上，线段在圆内 直径 经过圆心的弦 两个端点都在圆上，长等于半径的 2 倍 弧 圆上任意两点之间的部分 两端点之间有两段弧，各有一个名字 半圆 直径的两个端点把圆分成的每一条弧 正好是圆的一半，既不是优弧也不是劣弧 优弧 大于半圆的弧 两端点之间较长的那一段 劣弧 小于半圆的弧 两端点之间较短的那一段 等圆 能够重合的两个圆 半径相等的两个圆就是等圆 等弧 能够完全重合的两条弧 只出现在同圆或等圆中 【易错提醒】这一栏最容易混的三对词：弦与直径（直径是经过圆心的弦，但"经过圆心的线段"未必是直径，端点在圆内就什么都不是）；优弧与劣弧（按大于还是小于半圆分，不是按画得长不长分）；相等的弧与等弧（等弧要求能够完全重合，长度相等还不够）。 　三、点站在哪儿 · 点与圆的三种位置 第三栏 · 说位置 名字认全了，接着问第二个问题：随便给一个点，它站在圆的什么位置？把课本翻到 P115。设 ⊙O 的半径是 r，点 P 到圆心 O 的距离记作 d，也就是线段 OP 的长。d 与 r 的大小只可能有三对关系，点也就只有三种站法：点在圆外、点在圆上、点在圆内，如图 5。 图 5 点与圆的三种位置：点在圆内、点在圆上、点在圆外 三枚面板里圆心都是 O、点都是 P，三段线段 OP 的长却一段比一段长：第一枚里 OP 比半径短，第二枚里 OP 正好等于半径，第三枚里 OP 比半径长。所以判断位置其实只有一把尺子，就是线段 OP 的长。 填一填：设 ⊙O 的半径是 r，点 P 到圆心 O 的距离是 d。当 d 大于 r 时，点 P 在圆______；当 d 等于 r 时，点 P 在圆______；当 d 小于 r 时，点 P 在圆______。 我写： 点的位置 d 与 r 的关系 记它的抓手 点在圆外 d 大于 r 到圆心的距离比半径还长 点在圆上 d 等于 r 正好落在圆周这条曲线上 点在圆内 d 小于 r 到圆心的距离比半径还短 练一练一：已知 ⊙O 的半径是 5 厘米，点 A、B、C 到圆心 O 的距离分别是 4 厘米、5 厘米、6 厘米。分别说出这三个点与 ⊙O 的位置关系，并把每一句的比较过程写出来。 我写练一练一： 练一练二（课本 P116 练习第 3 题）：⊙O 的半径是 10，点 P 到圆心 O 的距离分别是 8、10、12 时，点 P 与 ⊙O 有怎样的位置关系？三次判断各写成一句完整的话。 我写练一练二： 【小提醒】判断位置只做一件事：先算出点到圆心的距离 d，再拿它与半径 r 比大小。"图上看着像在圆上"不作数——差一点点用眼睛是看不出来的，必须算。反过来也常用：题目说点在圆上，就等于告诉你 d 等于 r，这句话往往就是解题的入口。 想一想：一个圆上，到圆心的距离恰好等于 r 的点一共有多少个？把它们一个一个描出来，最后得到的是什么图形？ 我写： 　四、几点能锁定一个圆 · 两点不够、三点可以 第四栏 · 定圆 前两栏都是"先有圆，再看它"。现在把问题倒过来：不给圆，只给几个点，要画一个圆同时经过它们，办得到吗？把课本翻到 P117。过一个点显然容易，过两个点也不难，真正有讲究的是过三个点——三个点彼此的方位一变，结论就从"无数个"跳到"只有一个"。 探一探一：经过一个已知点 A 可以作多少个圆？这些圆的圆心都在哪儿？先在练习本上画出三个试一试。 我写探一探一： 探一探二：经过两个已知点 A、B 可以作多少个圆？这些圆的圆心有什么共同的规律？ 我写探一探二： 【小提醒】把两问合起来记一句：过一个点作圆，圆心可以是这个点以外的任意一点；过两个点作圆，圆心只能落在一条线段（两个已知点的连线）的垂直平分线上。圆心能跑的位置越多，能画的圆就越多；圆心被两个条件同时管住、只剩一个交点时，圆才唯一。 过一点、过两点能画的圆都有无数个，靠的是同一句话：圆心到圆上每一点的距离都等于半径。到了三个点，情况就分成两种。若三个点恰好在同一条直线上，要找一个点与这三个点一样远是不可能的，圆作不出来；若三个点不在同一条直线上，这样的圆心就只有一个。图 6 画的是后一种情形：先分别作出两条线段的垂直平分线，两条线的交点到三个点一样远。 如图 6，点 A、B、C 不在同一条直线上。连接 AB 并作它的垂直平分线，再连接 BC 并作它的垂直平分线，两条线交于一点，这个点就是所求圆的圆心。 图 6 过不在同一直线上的三点作一个圆：两条垂直平分线交于圆心 填一填：AB 的垂直平分线上的点到点 A 与到点 B 的距离______；BC 的垂直平分线上的点到点 B 与到点 C 的距离______。两条线的交点既在第一条线上、又在第二条线上，所以它到 A、B、C 的距离都相等，它就是所求圆的圆心。 我写： 练一练（课本 P118 练习第 1 题）：一块圆形工件的边缘已经磨损，上面只剩三处完好的痕迹。请用尺规把它原来的圆心找回来，保留垂直平分线的作图痕迹，并写出做法。 我写练一练： 【易错提醒】这一栏的结论要连前提一起记：不在同一条直线上的三个点确定一个圆。少了"不在同一条直线上"这半句，结论就不成立——三个点在一条直线上时，任何圆最多只能经过其中两个点。 想一想（图形见课本 P118 思考）：如果 A、B、C 三点在同一条直线上，还能作出一个同时经过这三个点的圆吗？先用反证法的说法写出假设的那一句话。 我写： 　五、圆反过来叫什么 · 外接圆、外心与内接三角形 第五栏 · 反过来叫 第四栏是"给点找圆"。这一栏把话再说一遍，只是换个说法：如果三个点恰好是一个三角形的三个顶点，那么过这三点的圆与这个三角形之间，彼此就都有了名字。把课本翻到 P117，三句话一起记：经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫作三角形的外接圆；外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫作这个三角形的外心；这个三角形叫作这个圆的内接三角形。 如图 7，三角形的三个顶点都落在同一个圆上，三条从外心连到顶点的线段一样长。 图 7 三角形的外接圆与外心：三条半径一样长 填一填：作一个三角形的外接圆时，只要作出两条边的________，它们的交点就是________，再以这个交点到任意一个顶点的距离为半径画圆即可。这个圆叫作三角形的________，这个三角形叫作这个圆的________。 我写： 探一探：分别画一个锐角三角形、一个直角三角形和一个钝角三角形，各作出它们的外接圆，看看外心分别落在三角形的什么位置。 我写探一探： 练一练（课本 P118 练习第 2 题）：求边长为 2 的等边三角形的外接圆半径。要求先作出两条边的垂直平分线定出外心，再写出计算过程。 我写练一练： 【小提醒】外心的三条线索别记混：它是三角形三条边的垂直平分线的交点，不是角平分线的交点；它到三个顶点的距离相等，这些距离正好都是外接圆的半径；它在什么位置随三角形的形状而变——锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心就是斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形外部。 　六、绕个弯去证 · 反证法 第六栏 · 绕个弯 前面几栏的结论，都是先动手画出来、再从画的过程里看出来的。可是有一类结论正面很难下手，比如"一个三角形中不能有两个角都是直角"。直接去说明不行，就换一条路：先把结论反过来当成是真的，看看会推出什么。这种绕个弯的证明方法叫反证法，把课本翻到 P119。 反证法的三步走：第一步，假设命题的结论不成立；第二步，从这个假设出发，经过推理，推出与已学的定义、基本事实、定理或题设相矛盾的结果；第三步，既然矛盾由假设引起，说明假设不正确，于是原来的结论成立。 课本 P118 的思考正好可以用它。要说明"经过同一条直线上的三个点不能作圆"，正面去找是徒劳的，因为那个点根本不存在。反过来说：假设这样的圆存在，那么圆心同时到三个点的距离都等于半径；可是这三个点在同一条直线上，圆心到它们的距离一样远时，两条垂直平分线会互相平行、根本不相交，与"存在一个圆心"矛盾。所以假设不成立，原来的结论成立。 试一试：用反证法说明"同一条直线上的三个点不能确定一个圆"，把三步都写全，第一步先写出假设的完整句子。 我写试一试： 【小提醒】反证法里"假设"的那一句话是整段的起点，写不好后面全乱。把结论里的判断词反过来就行：结论说"不能作圆"，假设就写"能作一个圆"；结论说"至少有两个人的生日相同"，假设就写"没有任何两个人的生日相同"。反过来的情况有两种时，两种都要一并写进假设。 练一练一（课本 P119 练习第 1 题）：说明"在任意 400 人中，至少有两个人的生日相同"。先写出假设，再说清推出的是与哪一条事实相矛盾。 我写练一练一： 练一练二（课本 P119 练习第 2 题）：说明"一个三角形中不能有两个角都是直角"。把"假设—推出矛盾—否定假设"三步逐句写下来。 我写练一练二： 【易错提醒】反证法最容易漏在第二步：只写一句"假设不成立"就收尾，等于什么都没证。矛盾必须落到实处——要么与本节的结论冲突，要么与"三角形的内角和等于 180°"这类已经学过的事实冲突，要么与题目的已知条件冲突。写的时候把冲突的那一句话原样点出来。 　七、进练习场 · 课本练习、《习题29.1》与课后作业 前面六栏把这些名字一样一样认完了，这一板块把课本上的练习与《习题29.1》集中过一遍。四组课本练习在前面各栏里都已经逐题做过——操场上画半径 5 米的圆、树干直径 23 厘米求半径平均每年增加多少、判断点 P 与 ⊙O 的位置关系、说明直角三角形的三个顶点在同一个圆上（都在课本 P116）；找回圆形工件的圆心、求边长为 2 的等边三角形的外接圆半径（都在课本 P118）；说明 400 人中至少有两个人的生日相同、说明一个三角形中不能有两个角都是直角（都在课本 P119）。这里不再重复列题面，回到对应栏对号即可。 课本练习 · 当堂过关 课本 P116 练习第 1 题：用一根长 5 米的绳子在操场上画一个半径是 5 米的圆，说明这样画出来的点为什么都在同一个圆上。 课本 P116 练习第 2 题：把树干的横截面看成圆形，一棵 20 年树龄的树的树干直径是 23 厘米，这棵树的半径平均每年增加多少厘米（结果精确到 0.001 厘米）？ 课本 P116 练习第 3 题：⊙O 的半径是 10，点 P 到圆心 O 的距离分别是 8、10、12 时，点 P 与 ⊙O 有怎样的位置关系？ 课本 P116 练习第 4 题：△ABC 中 ∠C 是 90°，说明 A、B、C 三点在同一个圆上，并说出圆心的位置。 课本 P118 练习第 1 题：一块圆形工件的边缘已经磨损，用垂直平分线工具把它的圆心找回来（图形见课本 P118 练习第 1 题）。 课本 P118 练习第 2 题：求边长为 2 的等边三角形的外接圆半径（图形见课本 P118 练习第 2 题）。 课本 P119 练习第 1 题：说明在任意 400 人中，至少有两个人的生日相同，写出假设的那一句话。 课本 P119 练习第 2 题：说明一个三角形中不能有两个角都是直角，把每一步的理由写清。 我写课本练习： 【当堂提醒】这八题里，前三题考"概念与位置"，中间三题考"把圆定下来"，最后两题考"正面不好证时怎么绕个弯"。哪一题卡住，就翻回对应的那一栏重看一遍，不必从头再来。 《习题29.1》怎么用（课本 P119—P120） 《习题29.1》按复习巩固、综合运用、拓广探索三层编排。下面把已经核对过的题面逐题列出，请照着题面完成；题面里出现图形的，图形都在课本上，本材料不重画，把课本摊开对照着看。拓广探索里题面尚未核对到的题，请直接看课本 P120 上对应位置的题目，本材料不作改动。 复习巩固 第 1 题：已知点 A、B 在 ⊙O 上，点 C、D 在 ⊙O′ 上，判断下列说法是否正确：（1）若 AB = CD，则 ⊙O 与 ⊙O′ 是等圆；（2）若 OA = O′C，则 ⊙O 与 ⊙O′ 是等圆；（3）若弧 AB 与弧 CD 的长度相等，则弧 AB 与弧 CD 是等弧；（4）若 OB = O′D，则弧 AB 与弧 CD 是等弧。 复习巩固 第 2 题：体育课上，李明和王芳的铅球成绩分别是 6.2 米和 5.1 米，他们投出的铅球分别落在图中哪个区域内（图形见课本 P119 第 2 题）？ 复习巩固 第 3 题：画出由所有到已知点 O 的距离大于或等于 2 厘米、并且小于或等于 3 厘米的点组成的图形。 复习巩固 第 4 题：求证：直径是圆中最长的弦。 综合运用 第 5 题：矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，点 E、F、G、H 分别是 OA、OB、OC、OD 的中点。求证：E、F、G、H 四个点在以点 O 为圆心的同一个圆上。 综合运用 第 6 题：一块圆形玻璃镜被打碎了，为了配一块同样大小的玻璃镜，需要求出原玻璃镜的半径。工人在碎片的边缘描出了三个点 A、B、C，给出了 △ABC。你能求出这块圆形玻璃镜的半径吗（图形见课本 P120 第 6 题）？ 我写《习题29.1》： 【小提醒】《习题29.1》的作图题都按"作两条边的垂直平分线、交点即圆心、圆心到顶点的距离即半径"这三句走，每一步都留下作图痕迹；说明题先写出假设的那一句，再从假设出发找矛盾。 如图 8，本节的知识结构摆在一张图里，做完题再看一遍，能顺手把三栏串起来。 图 8 本节知识结构：认名字、判位置、定一个圆 【本节小结】整节的知识顺序在图 8 里一目了然：先认名字（圆心、半径、弦、直径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧），再判位置（点在圆内、圆上、圆外，用 d 与 r 比大小），最后定一个圆（过不在同一条直线上的三点，两条垂直平分线交于圆心，得到外接圆与外心）。哪一格想不起来，就翻回对应的那一栏。 课后作业（近三年中考真题） 下面 6 题全部选自近三年（2023—2025）各地中考真题，考的正是本节的三件事：圆与三角形外接圆的辨认、外心以及用尺规把外接圆作出来、点与圆的位置关系与反证法的开头。逐题独立完成，把答案与理由写在同一处作答区里，做完再翻到参考答案核对；错的那一题，回到对应栏重看一遍。 1.（2025年江苏南京中考）下列图形中，一定有外接圆的是（　　）　　A. 三角形　　B. 四边形　　C. 五边形　　D. 六边形 2.（2024年贵州毕节中考）三角形的外心就是三角形外接圆的圆心，它是三角形（　　）　　A. 三边上的高线的交点　　B. 三边中线的交点　　C. 三边垂直平分线的交点　　D. 三个内角平分线的交点 3.（2024年内蒙古通辽中考）下面是"作一个直角三角形的外接圆"的尺规作图过程。已知：△ABC 中 ∠C 是 90°。求作：△ABC 的外接圆。作法：（1）分别以点 A 和点 B 为圆心，大于 AB 的一半的长为半径作弧，两弧相交于 P、Q 两点；（2）作直线 PQ，交 AB 于点 O；（3）以点 O 为圆心、OA 的长为半径作圆，即为所求作的圆。下列不属于该尺规作图依据的是（　　）　　A. 两点确定一条直线　　B. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半　　C. 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上　　D. 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 4.（2024年浙江中考）用反证法证明时，假设结论"点在圆外"不成立，那么点与圆的位置关系只能是（　　）　　A. 点在圆内　　B. 点在圆上　　C. 点在圆心上　　D. 点在圆上或圆内 5.（2025年云南中考）已知 ⊙O 的半径是 5 厘米，若点 P 在 ⊙O 上，则点 P 到圆心 O 的距离为______厘米。 6.（2024年江苏连云港中考）将一根木棒的一端固定在点 O，另一端绑一重物；把重物拉到点 A 后放开，让它摆动到点 B。这个重物移动路径的形状是（　　）　　A. 倾斜的直线　　B. 抛物线　　C. 圆弧　　D. 水平的直线 我写课后作业答案： 【中考风向】这 6 题看下来，中考对本节的考法有三种：一种是给出几个图形或几个说法，让你判断哪一个才有外接圆、外心到底是谁，考的是概念本身；一种是给一段尺规作图的作法，让你找出哪一步用到了哪一条依据，考的是"圆心为什么就是垂直平分线的交点"；还有一种是让你从"点在圆外不成立"这类反面出发，考的是三种位置关系之间的互相排除。第三种最容易掉进"只否定一种情况"的坑。 　八、参考答案 （一）前导 · 热身三问 热身第 1 问：一个点与一个圆的位置关系一共三种——在圆内、在圆上、在圆外，分类的依据是这个点到圆心的距离与半径的大小比较。热身第 2 问：不一定。三个点在同一条直线上时就作不出圆，因为找不到一个点到这三个点的距离都一样；只要三个点不在同一条直线上，这样的圆就只有一个。热身第 3 问：先把结论反过来假设，比如说"假设一个三角形中有两个角都是直角"，再从这句话出发推出矛盾。 （二）板块一 · 先说它叫什么 填一填：确定一个圆需要圆心与半径两个条件；圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。 想一想：把线段 OP 绕点 O 旋转一周，点 O 不动，动的是点 P。只让点 O 动、点 P 不动，端点 O 不断在换地方，半径的长短也一直在变，这样不能得出一个确定的圆。 练一练：① 直径是半径的 2 倍，4 × 2 = 8，所以直径是 8 厘米。② 半径是直径的一半，7 ÷ 2 = 3.5，所以半径是 3.5 厘米。③ 以点 O 为圆心可以画无数个圆，这些圆的圆心相同、半径不同，半径越长圆越大。 （三）板块二 · 再说它由什么拼成 填一填（图 2）：经过圆心的那条弦是 CD，它也叫直径；不过圆心的那条弦是 AB；⊙O 的圆心是点 O。 想一想：直径比弦长。理由写两句：连接圆心与弦的两个端点，这两条线段都是半径，所以半径加半径等于直径；在由两条半径和弦围成的三角形中，由"两边之和大于第三边"得弦比两条半径的和小，也就是弦比直径短。 填一填（图 3）：三个圆里被加深的那段弧，从左到右依次是半圆、优弧、劣弧。 辨一辨：① 一个圆里，每一条直径都把圆分成两条弧，每一条弧都是半圆，而每取定两个端点就有两条弧，所以优弧与劣弧各有无数条。② 半圆既不是优弧也不是劣弧，它是一个特殊的两端点的弧。③ 长度相等的两条弧不一定是等弧。等弧要求能够完全重合，这既要半径相等，也要弯曲的程度一样；长度相等但所在圆的半径不同时，两条弧弯得不一样，重不到一起。 练一练（图 4）：① 半径都是 3 厘米的两个圆能够重合，它们叫等圆。② 半径分别是 3 厘米与 4 厘米的两个圆不能重合，它们不是等圆。③ 在同圆中，两条弧的长度相等时，它们弯的程度也相同，能够完全重合，所以它们是等弧。 （四）板块三 · 点站在哪儿 填一填：d 大于 r 时，点 P 在圆外；d 等于 r 时，点 P 在圆上；d 小于 r 时，点 P 在圆内。 练一练一：半径 r = 5 厘米。4 小于 5，所以点 A 在圆内；5 等于 5，所以点 B 在圆上；6 大于 5，所以点 C 在圆外。 练一练二（课本 P116 练习第 3 题）：r = 10。8 小于 10，点 P 在圆内；10 等于 10，点 P 在圆上；12 大于 10，点 P 在圆外。 想一想：到圆心的距离恰好等于 r 的点有无数个。把它们一个一个描出来，得到的是以点 O 为圆心、r 为半径的一条封闭曲线，也就是圆本身——这正是"圆是平面内到定点的距离等于定长的所有点的集合"这句话的意思。 （五）板块四 · 几点能锁定一个圆 探一探一：经过一个已知点 A 可以作无数个圆，这些圆的圆心可以是平面上除点 A 以外的任意一点，圆心离点 A 越远，画出的圆越大。 探一探二：经过两个已知点 A、B 也可以作无数个圆，这些圆的圆心都在线段 AB 的垂直平分线上；圆心离 AB 越远，半径越大。 填一填（图 6）：AB 的垂直平分线上的点到点 A 与到点 B 的距离相等；BC 的垂直平分线上的点到点 B 与到点 C 的距离相等。两条线的交点同时满足这三件事，所以它到 A、B、C 的距离都相等，它就是所求圆的圆心。 练一练（课本 P118 练习第 1 题）：在工件边缘任取三点 A、B、C，分别作出线段 AB 与线段 BC 的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心；再以这个交点到任意一个痕迹点的距离为半径，就能把原来的圆描回来。 想一想（课本 P118 思考）：不能再作出这样的圆。假设这样的圆存在，那么它的圆心到 A、B、C 三点的距离都等于半径；可是 A、B、C 三点在同一条直线上，圆心的位置无论放在哪儿，都不可能同时与这三个点距离相等，与"存在一个圆心"矛盾。所以假设不成立，这样的圆作不出来。 （六）板块五 · 圆反过来叫什么 填一填：作一个三角形的外接圆时，只要作出两条边的垂直平分线，它们的交点就是外心，再以这个交点到任意一个顶点的距离为半径画圆即可。这个圆叫作三角形的外接圆，这个三角形叫作这个圆的内接三角形。 探一探：锐角三角形的外心在三角形内部；直角三角形的外心就是斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形外部。三条垂直平分线无论三角形是什么形状都交于一点，只是交点落的位置不同。 练一练（课本 P118 练习第 2 题）：等边三角形是特殊的锐角三角形，边长是 2 时，边上的高是 = ；外心把每条中线分成 1 : 2 两段，所以外接圆半径是高的 ，即 R = × ≈ 1.155。 （七）板块六 · 绕个弯去证 试一试：第一步，假设经过同一条直线上的三个点 A、B、C 能作一个圆，设它的圆心是 O；第二步，因为点 A、B 在这个圆上，所以 OA = OB，点 O 在 AB 的垂直平分线上，同理点 O 也在 BC 的垂直平分线上；可是 A、B、C 三点在同一条直线上，AB 与 BC 的垂直平分线互相平行、并不相交，找不出一个点同时在两条线上，与"存在圆心 O"矛盾；第三步，矛盾由假设引起，所以假设不正确，同一条直线上的三个点不能确定一个圆。 练一练一（课本 P119 练习第 1 题）：假设 400 人中没有任何两个人的生日相同，那么这 400 个生日各不相同、需要 400 个不同的日期；可是平年只有 365 天、闰年也只有 366 天，一年中的日期最多只有 366 个，分不出 400 个各不相同的生日，与"一年只有 365 天或 366 天"相矛盾。所以假设不成立，至少有两个人的生日相同。 练一练二（课本 P119 练习第 2 题）：假设一个三角形中有两个角都是直角，那么这两个角的和就是 180°；再加上第三个角，三个角的和一定大于 180°；而三角形的内角和等于 180°，两者矛盾。所以假设不成立，一个三角形中不能有两个角都是直角。 （八）板块七 · 课本练习、《习题29.1》与课后作业 练习 P116 第 1 题：绳子的长始终是 5 米，小木棒拉直绕一圈时，它画出的每一个点到钉子（也就是圆心）的距离都等于绳长 5 米，所以这些点都在以钉子为圆心、5 米为半径的圆上。第 2 题：树干横截面的半径是 23 ÷ 2 = 11.5 厘米，这就是 20 年里半径增加的量，所以平均每年增加 11.5 ÷ 20 = 0.575 厘米。第 3 题：8 小于 10，点 P 在圆内；10 等于 10，点 P 在圆上；12 大于 10，点 P 在圆外。第 4 题：取 AB 的中点为 O。因为 ∠C 是 90°，所以 AB 是直角三角形 ABC 的斜边，由"直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半"得 OC = OA = OB，所以 A、B、C 三点都在以点 O 为圆心、OA 为半径的圆上。 练习 P118 第 1 题：在工件边缘取三个点，作出其中两条连线的垂直平分线，交点就是圆心。第 2 题：先作出两条边的垂直平分线，交点就是外心，再以外心到顶点的距离为半径画圆；边长是 2 时，边上的高是 = ，外心把每条中线分成 1 : 2 两段，所以外接圆半径是高的 ，即 R = × ≈ 1.155。 练习 P119 第 1 题答案见第（七）栏练一练一；第 2 题答案见第（七）栏练一练二。 《习题29.1》复习巩固 第 1 题：（1）错。AB = CD 只说明两条弦的长度相等，不能说明 ⊙O 与 ⊙O′ 的半径相等；（2）对。OA 与 O′C 分别是两个圆的半径，半径相等所以两个圆是等圆；（3）错。弧的长度相等不能说明两条弧能够完全重合，等弧只出现在同圆或等圆中；（4）错。OB 与 O′D 相等只能说明半径相等，不能由此推出两条弧能够重合。 《习题29.1》复习巩固 第 2 题：李明投出的铅球落在图中 6 米到 7 米的区域内；王芳投出的铅球落在图中 5 米到 6 米的区域内。第 3 题：所求图形是以点 O 为圆心、2 厘米为内半径、3 厘米为外半径的圆环，包括圆环的两条边界。 《习题29.1》复习巩固 第 4 题：设 AB 是 ⊙O 的直径，CD 是 ⊙O 的任意一条弦，连接 OC、OD。因为 OA = OB = OC = OD，所以 OC + OD = OA + OB = AB；在 △OCD 中，由三角形的三边关系得 OC + OD > CD，所以 AB > CD，即直径是圆中最长的弦。 《习题29.1》综合运用 第 5 题：因为四边形 ABCD 是矩形，所以 OA = OB = OC = OD；又 E、F、G、H 分别是 OA、OB、OC、OD 的中点，所以 OE = OF = OG = OH。因此 E、F、G、H 四个点在以点 O 为圆心的同一个圆上。第 6 题：能。分别作出线段 AB 与线段 BC 的垂直平分线，两条线的交点就是原玻璃镜的圆心，圆心到点 A 的距离就是原玻璃镜的半径，再按这个半径配一块同样的玻璃镜即可。 课后作业 第 1 题（2025年江苏南京中考）：选 A。三角形的三条边的垂直平分线一定交于一点，这个点到三个顶点的距离相等，所以三角形一定有外接圆；一般的四边形、五边形、六边形不一定有这样的点。 课后作业 第 2 题（2024年贵州毕节中考）：选 C。外心是外接圆的圆心，它到三个顶点的距离相等；到一条线段两个端点距离相等的点在它的垂直平分线上，所以外心是三角形三边垂直平分线的交点。 课后作业 第 3 题（2024年内蒙古通辽中考）：选 D。第（1）步用到了"两点确定一条直线"；直线 PQ 到 A 与到 B 的距离相等，用到的是"与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上"；再由"直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半"得出 OA = OC = OB，从而点 O 是外心。D 说的是垂直平分线上的点到两端点距离相等，方向与本题的推理相反，不是本题的依据。 课后作业 第 4 题（2024年浙江中考）：选 D。点与圆的位置关系一共三种，结论"点在圆外"的反面是"点在圆上或在圆内"，两种情况都要一并否定，所以假设时点可能在圆上、也可能在圆内。 课后作业 第 5 题（2025年云南中考）：5。点在圆上，则该点到圆心的距离等于半径，所以点 P 到圆心 O 的距离是 5 厘米。 课后作业 第 6 题（2024年江苏连云港中考）：选 C。木棒的长始终不变，所以重物到点 O 的距离始终等于木棒的长；到定点距离等于定长的所有点组成一条封闭曲线，重物从 A 摆到 B 只走了这条曲线的一部分，所以移动路径是一段圆弧。 本节最该记住的一句话：看到圆，先问三句——它叫什么名字，这个点站在哪儿，怎样的几个点能把它定下来。 — 2026—2027学年 · 班级 ______ 姓名 ______ — 学科网（北京）股份有限公司 $