29.2.1垂直于弦的直径（导学案）2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学导学案聚焦“垂直于弦的直径”，核心知识点为垂径定理及其推论。课堂导入通过复习圆的弧、弦等概念，结合折叠圆形纸片的探究活动，引导学生发现圆的轴对称性，搭建从旧知到新知的学习支架。 此资料特色在于注重动手操作与逻辑推理结合，通过赵州桥等实际问题和中考真题演练，培养学生数学眼光和应用意识，分层作业设计满足不同学生需求，助力提升推理能力和问题解决能力。

人教版数学九年级上册 第二十九章 圆 29.2.1垂直于弦的直径（导学案） 一、学习目标 1.理解圆的轴对称性，会运用垂径定理解决有关的证明、计算和作图问题。 2.感受转化、数形结合、方程等数学思想和方法，发展推理能力和抽象能力。 学习重点： 理解垂径定理及其推论。 学习难点： 运用垂径定理及其推论解决问题。 二、学习过程 （一）复习引入 圆的相关概念 1.圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧. 2.圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫作半圆. 大于半圆的弧叫作优弧，小于半圆的弧叫作劣弧. 3.连接圆上任意两点的线段叫作弦，经过圆心的弦叫作直径，直径长是半径长的2倍. 研究圆的有关性质，就是研究这些几何对象之间的位置关系和数量关系. （二）合作探究 探究 剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，你发现了什么?重复做几次，由此你能得到圆具有怎样的对称性?能证明你的结论吗? 通过探究可以发现，圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴. 追问 你能证明圆是轴对称图形吗？ 如图，设AB是⊙O的任意一条直径， 如果M为⊙O上点A，B以外的任意一点， M′是点M关于直线AB的对称点， 那么直线AB是线段MM′的垂直平分线. 因为圆心O在AB上，所以OM′=OM， 因此点M′在⊙O上. 如果点M与点A或点B重合，那么结论显然也成立. 圆的轴对称性 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴. 如果⊙O的直径AB垂直于弦MM'，垂足为N，那么M和M'是关于直径AB的对称点. 把圆沿着直径AB对折时，点M与点M'重合，MN与M'N重合，，分别与，重合. 因此，MN=M'N，=，=. 因此，直径AB平分弦MM'，并且平分，. 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 已知：A、B、C、D是⊙O上的点. 符号语言 ∵AB是直径，AB⊥CD于点E， ∴CE=DE，=，=. 应用 下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？ 探究 如果把垂径定理的结论(③④⑤)与题设(①②)部分交换，命题是真命题吗？ 小组合作 1.选择一种组合方式（两个作为条件，三个作为结论）. 2.判断命题的真假，若是真命题，请证明. 举例 已知：⊙O的弦AB，CD交于点E.AB是直径，CE=DE. 求证：AB⊥CD，=，= . 证明：连接OC，OD，则OC=OD. ∵CE=DE， ∴OE⊥CD，即AB⊥CD， 由垂径定理得：=，=. 垂径定理的推论 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 追问 “不是直径”可以省略不写吗？ 答：不能省略不写，反例如下： （三）典例分析x2−x−56=0 例1 赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400余年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，跨度(弧所对的弦的长)为37 m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23 m，求赵州桥主桥拱的半径长(结果保留小数点后一位). 解：如图，表示主桥拱，设所在圆的圆心为O，半径长为R m. 经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与相交于点C，连接OA. 根据垂径定理，D是AB的中点，C是的中点，CD就是拱高. 由题设可知AB=37，CD=7.23， 所以AD=AB=×37=18.5， 则OD=OC−CD=R−7.23. 在Rt△OAD中，由勾股定理，得 OA²=AD²+OD²， 即R²=18.5²+(R−7.23)².解得R≈27.3. 因此，赵州桥主桥拱的半径长约为27.3 m. 中考演练1（2026四川南充） 如图，AB为⊙O直径，弦CD⊥AB于E，OB=CD=2，则OE长为（   B  ） A．1 B． C．2 D． 中考演练1图 中考演练2图 中考演练2（2026江苏苏州） 苏州园林中的月洞门（如图①），形如满月，通过“框景”手法将自然月华与人文意境交融，核心寓意是“圆满”、“圆融”与“天人合一”．某月洞门示意图如图②所示，其内廓由，线段CD，DE，EA四部分构成，AE，CD分别垂直于地面l．经测量，该月洞门的最高点B到地面的距离为21分米，AE=CD=3分米，DE=12分米，则所在圆的半径为 10 分米． 中考演练（2026四川广安）水平放置的圆柱形排水管道的截面是半径为0.5 m的圆，其中水面宽为0.8 m，则水面高为 0.2或0.8 m． （四）巩固练习 1. 如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦AB交小圆于C，D两点. 求证AC=BD. 证明：过点O作OE⊥CD于点E. 由垂径定理得：AE=BE，CE=DE. ∴AE−CE=BE−DE，即AC=BD. 2. 如图，在⊙O中，AB，AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D，E.求证:四边形ADOE是正方形. 证明：∵AB，AC互相垂直，OD⊥AB，OE⊥AC， ∴∠CAB=∠ODA=∠OEA=90°， ∴四边形ADOE是矩形. 由垂径定理得：AD=AB，AE=AC， 又∵AB=AC，∴AD=AE， ∴四边形ADOE是正方形. 3. 如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分.如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，且CD=4 m，EM=6 m.求⊙O的半径长. 解：连接OC. ∵EM经过圆心O，点M是弦CD的中点， ∴OM⊥CD，CM=2 m. 设OC=OE=r，则OM=EM−OE=6−r. 在Rt△OMC中，由勾股定理得： 22+(6−r)2=r2，解得r=. ∴⊙O的半径长为. （五）当堂检测 1.下列说法： ①三点确定一个圆； ②平分一条弦的直径垂直于这条弦； ③长度相等的弧是等弧； ④三角形只有一个外接圆． 其中真命题有（  D   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2.如图，⊙O的直径AB平分弦CD（不是直径）．若∠A=40°，则∠C的大小是（  B   ）   A．40°   B．50°   C．90°   D．60° 3.如图，⊙O的半径是5，AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，垂足为P，若CD=8，则△ACD的面积是（   C  ） A．16 B．24 C．32 D．48 4.在数学综合与实践课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A，B ，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交于点C，测出AB=16 cm，CD=4 cm，则圆形工件的半径为（  C   ） A．14 cm B．12 cm C．10 cm D．8 cm 第2题图 第3题图 第4题图 第5题图 5.在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为10 cm，油面宽AB为16 cm，如果再注入一些油后，油面宽变为12 cm，则油面AB上升了 2 cm． （六）课堂小结 （七）布置作业 A组题：习题29.2：第1，6，7，8题. B组题：习题29.2：第12题. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $人教版数学九年级上册 第二十九章 圆 29.2.1垂直于弦的直径（导学案） 一、学习目标 1.理解圆的轴对称性，会运用垂径定理解决有关的证明、计算和作图问题。 2.感受转化、数形结合、方程等数学思想和方法，发展推理能力和抽象能力。 学习重点： 理解垂径定理及其推论。 学习难点： 运用垂径定理及其推论解决问题。 二、学习过程 （一）复习引入 圆的相关概念 1. 叫作圆弧，简称弧. 2.圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫作半圆. 叫作优弧， 叫作劣弧. 3. 叫作弦， 的弦叫作直径，直径长是半径长的2倍. 研究圆的有关性质，就是研究这些几何对象之间的位置关系和数量关系. （二）合作探究 探究 剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，你发现了什么?重复做几次，由此你能得到圆具有怎样的对称性?能证明你的结论吗? 通过探究可以发现，圆是 图形， 是圆的对称轴. 追问 你能证明圆是轴对称图形吗？ 圆的轴对称性 圆是轴对称图形， 是圆的对称轴. 如果⊙O的直径AB垂直于弦MM'，垂足为N，那么M和M'是关于直径AB的对称点. 把圆沿着直径AB对折时，点M与点M'重合，MN与M'N重合，，分别与，重合. 因此，MN= ，= ，= . 因此，直径AB平分 ，并且平分 . 垂径定理 . 已知：A、B、C、D是⊙O上的点. 符号语言 ∵AB是直径，AB⊥CD于点E， ∴ . 应用 下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？ 探究 如果把垂径定理的结论(③④⑤)与题设(①②)部分交换，命题是真命题吗？ 小组合作 1.选择一种组合方式（两个作为条件，三个作为结论）. 2.判断命题的真假，若是真命题，请证明. 举例 已知：⊙O的弦AB，CD交于点E.AB是直径，CE=DE. 求证：AB⊥CD，=，= . 垂径定理的推论 . 追问 “不是直径”可以省略不写吗？ （三）典例分析x2−x−56=0 例1 赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400余年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，跨度(弧所对的弦的长)为37 m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23 m，求赵州桥主桥拱的半径长(结果保留小数点后一位). 中考演练1（2026四川南充） 如图，AB为⊙O直径，弦CD⊥AB于E，OB=CD=2，则OE长为（   B  ） A．1 B． C．2 D． 中考演练1图 中考演练2图 中考演练2（2026江苏苏州） 苏州园林中的月洞门（如图①），形如满月，通过“框景”手法将自然月华与人文意境交融，核心寓意是“圆满”、“圆融”与“天人合一”．某月洞门示意图如图②所示，其内廓由，线段CD，DE，EA四部分构成，AE，CD分别垂直于地面l．经测量，该月洞门的最高点B到地面的距离为21分米，AE=CD=3分米，DE=12分米，则所在圆的半径为 10 分米． 中考演练（2026四川广安）水平放置的圆柱形排水管道的截面是半径为0.5 m的圆，其中水面宽为0.8 m，则水面高为 0.2或0.8 m． 学习笔记 （四）巩固练习 1. 如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦AB交小圆于C，D两点. 求证AC=BD. 2. 如图，在⊙O中，AB，AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D，E.求证:四边形ADOE是正方形. 3. 如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分.如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，且CD=4 m，EM=6 m.求⊙O的半径长. （五）当堂检测 1.下列说法： ①三点确定一个圆； ②平分一条弦的直径垂直于这条弦； ③长度相等的弧是等弧； ④三角形只有一个外接圆． 其中真命题有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2.如图，⊙O的直径AB平分弦CD（不是直径）．若∠A=40°，则∠C的大小是（    ）   A．40°   B．50°   C．90°   D．60° 3.如图，⊙O的半径是5，AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，垂足为P，若CD=8，则△ACD的面积是（      ） A．16 B．24 C．32 D．48 4.在数学综合与实践课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A，B ，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交于点C，测出AB=16 cm，CD=4 cm，则圆形工件的半径为（     ） A．14 cm B．12 cm C．10 cm D．8 cm 第2题图 第3题图 第4题图 第5题图 5.在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为10 cm，油面宽AB为16 cm，如果再注入一些油后，油面宽变为12 cm，则油面AB上升了 cm． （六）课堂小结 （七）布置作业 A组题：习题29.2：第1，6，7，8题. B组题：习题29.2：第12题. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $