2026-2027学年北师大版九年级数学上册 第一次月考学情自测模拟测试考前冲刺训练卷

北师大版2026—2027学年九年级数学上册第一次月考学情自测模拟测试考前冲刺训练卷 （测试范围：第1、2章，考试时间:120分钟 试卷满分:120分) 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分） 1．一元二次方程的根的情况是(   ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．有一个实数根 2．若m，n是一元二次方程的两个根，则的值是（   ） A． B． C． D．6 3．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长为（     ） A．14 B．12 C．12或14 D．以上都不对 4．某工厂四月份生产零件25万个，第二季度共生产零件91万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 5．如图，正方形中，点E是对角线上的一点，且，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（　　） A．对边平行且相等 B．对角线互相垂直 C．每条对角线平分一组对角 D．四边相等 7．已知一元二次方程的一个根为，则另一根为（　　） A．1 B．3.5 C．2 D． 8．下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不一定是菱形的是（    ） A．B．C．D． 9．如图，在中，用直尺和圆规作的平分线若则的长是（  ） A． B． C． D． 10．如图，，是正方形的边上两个动点，满足．连接交于点，连接交于点．若正方形的边长为，则线段长度的最小值是（     ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题3分，满分18分） 11．若关于x的方程有实数根，则k的取值范围是___________． 12．如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，、是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是________． 13．已知：如图所示，是正方形边延长线一点，若，交于，则__度．    14．若关于的方程是一元二次方程，则__________． 15．在中，，，，动点，分别从点，同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，点 Q移动到点C后停止，点P也随之停止移动，若使的面积为，则点P运动的时间是____． 16．如图，在菱形中，对角线与相交于点，且，，于点，则________ 三、解答题:（17、18、19、20、21题每题8分，22、23每题10分，24题12分，共计72分，解答题要有必要的文字说明） 17．解方程： (1)； (2)． 18．在中，，D是的中点，过点A作，且，连接． (1)证明：四边形是菱形； (2)若，求菱形的面积． 19．某农场要建一个饲养场（矩形ABCD）两面靠现有墙（AD位置的墙最大可用长度为27米，AB位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长45米．设饲养场（矩形ABCD）的一边AB长为x米． （1）饲养场另一边BC=____米（用含x的代数式表示）． （2）若饲养场的面积为180平方米，求x的值． 20．一纸侨批，半生守望，作为一部以世界记忆遗产“侨批”文化为底色的方言电影，《给阿嬷的情书》自国内上映以来，凭借细腻的情感刻画与真挚的故事内核，唤起了广泛而深刻的社会共鸣．截至月初，《给阿嬷的情书》票房已超亿元． (1)已知月日至月日这三天的日票房增长率相同，第一天日票房为万，第三天日票房为万，那么这三天日票房的平均增长率是多少？ (2)随着电影的热映，取景地广东揭阳也吸引了众多游客前来“打卡”，片中信差落水的石板桥成了火爆的打卡地之一，游客可以沉浸式体验“扛标旗、骑单车、写桥批”等同款打卡活动，据统计，当扛标旗单价定为元时，每天约有名游客参与，当扛标旗单价每上涨一元时，参与的游客数量减少人，经涨价后发现每天营收增加了元，则扛标旗单价上涨了多少元？ 21．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，过点C作CE∥OD，过点D作DE∥AC，CE与DE相交于点E． （1）求证：四边形OCED是矩形． （2）若AB＝4，∠ABC＝60°，求矩形OCED的面积．    22．阅读下列材料：如图(1)，在四边形ABCD中，若AB=AD，BC=CD，则把这样的四边形称之为筝形． (1)写出筝形的两个性质(定义除外)． ① ；② ． (2)如图(2)，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且AE=AF，∠AEC=∠AFC．求证：四边形AECF是筝形． (3)如图(3)，在筝形ABCD中，AB=AD=26，BC=DC=25，AC=17，求筝形ABCD的面积． 23．材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程的两根有如下的关系（韦达定理）：； 材料2：如果实数m、n满足，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，然后将m、n看作是此方程的两个不相等实数根． 请根据上述材料解决下面问题： (1)①已知一元二次方程的两根分别为，则______，______． ②已知实数a，b满足：，则______． (2)已知实数m、n、t满足：，且，求的取值范围． (3)设实数a，b分别满足，且，求的值． 24．我校数学拓展学习小组倡导“刷题不如回头看”，立足旧题归纳总结、反思精进，优化解法、多题归一，做到举一反三、推陈出新． 【问题提出】M是正方形边上的一个动点（不与A，B重合），，且交正方形外角的平分线于点N，探究与的数量关系． 【问题猜想】 (1) ；（填“>”，“<”或者“=”） 【问题探究】 (2)如图1，当M是上的中点时，探究与的数量关系，并说明理由； (3)如图2，当M为延长线上的任意一点时，探究与的数量关系，并说明理由． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C B D B A B C B C 11． 【详解】解：依题意得：时，即，方程为：，是一元一次方程，有实根， 时，一元二次方程有实数根，， 解得． 综上所述：， 故答案是：． 12．2 【详解】解：连接、，如图： 根据题意得每个正方形的面积为， ∵，， ∴， ∵四边形是正方形，为正方形的中心， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 同理得，， ∴． 故答案为：2． 13．112.5 【详解】解：， ， 四边形是正方形，为正方形的对角线， ，， ， ， ， 故答案为：． 14．0 【详解】解：根据题意可得，， 解得， 故答案为：0． 15． 【详解】解：设动点，运动秒时，能使的面积为， 则的长为，的长为． 可列方程为， 解得，（舍去）， 动点，运动3秒时，能使的面积为． 故答案为：3． 16．4.8 【详解】解：四边形是菱形， ， ， ， ， ， 故答案为：． 17．【详解】（1）∵， 或 （2） 则或 18．(1)证明：∵，D是的中点，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形． （2）解：∵平行四边形是菱形， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∴． 19．【详解】（1）由题意得：（48-3x）米． 故答案是：（48-3x）； （2）由题意得：x（48-3x）=180 解得x1=6，x2=10 20．【详解】（1）解：设这三天票房的平均增长率为 解得：， （舍去） 答：这三天票房的平均增长率为． （2）解：设单价上涨了元， 解得：， 答：扛标旗单价上涨了2元或5元． 21．（1）证明：∵CE∥OD，DE∥AC， ∴四边形OCED是平行四边形． 又∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，即∠COD＝90°， ∴四边形OCED是矩形． （2）解：∵在菱形ABCD中，AB＝4， ∴AB＝BC＝CD＝4． 又∵∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC＝4， ∴OC＝AC＝2， ∴ ∴矩形OCED的面积是2×2＝4． 22．【详解】（1）在△ABC和△ADC中， ， ∴△ABC≌△ADC ∴∠BAC＝∠DAC，∠ABC＝∠ADC， 故答案为：∠BAC＝∠DAC；∠ABC＝∠ADC （2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B＝∠D． ∵∠AEC＝∠AFC，∠AEC＋∠AEB＝∠AFC＋∠AFD＝180°， ∴∠AEB＝∠AFD． ∵AE＝AF， ∴△AEB≌△AFD（AAS）． ∴AB＝AD，BE＝DF． ∴平行四边形ABCD是菱形． ∴BC＝DC， ∴EC＝FC， ∴四边形AECF是筝形． （3）如图 ∵AB＝AD，BC＝DC，AC＝AC， ∴△ABC≌△ADC． ∴S△ABC＝S△ADC． 过点B作BH⊥AC，垂足为H． 在Rt△ABH中，BH2＝AB2−AH2＝262−AH2． 在Rt△CBH中，BH2＝CB2−CH2＝252−（17−AH）2． ∴262−AH2＝252−（17−AH）2， ∴AH＝10． ∴BH＝=24． ∴S△ABC＝×17×24＝204． ∴筝形ABCD的面积=2S△ABC＝408． 23．【详解】（1）解：①∵一元二次方程的两根分别为， ∴根据韦达定理，可得 ，． 故答案为：， ②∵， ∴a，b是一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴，， ∴． 故答案为： （2）解：∵实数m、n、t满足：， ∴m，n是关于x的一元二次方程，即的两个不相等的实数根， ∴，即， ，， ∵， ∴，即， ∴， ∵， 且， ∴； （3）解：∵实数a，b分别满足，且， ∴， ∴方程可变形为， ∴a，是方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴． 24．【详解】（1）解：如图，在边上取一点F，使得，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 即， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是正方形的外角的平分线， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． (2)解：， 理由：如图，作的中点P，连接， ∴ ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵P，M分别是，的中点， ∴， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ 在和中， ， ∴， ∴． (3)解： ， 理由：如图，延长使， ∵四边形是正方形 ∴，，， ∴，， ∵是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴． 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $