专题07 全等三角形模型之一线三等角（K字）模型（几何模型讲义）数学新教材浙教版八年级上册

专题07 全等三角形模型之一线三等角（K字）模型 一线三等角又称K字模型，是初中全等三角形最经典、考查频率最高的几何模型之一，广泛应用于中考选择填空、几何解答及压轴题型，核心考查角度推导与全等判定的综合运用。该模型核心特征为同一直线上存在三个相等角，常见以直角、锐角、钝角三种形式呈现，其中直角K字模型考查最多。 其解题原理依托平角定义与三角形内角和定理，通过等量代换快速证出两组等角，结合题干边长条件，利用AAS、ASA判定三角形全等，完成边角转化。考题常结合正方形、矩形、等腰三角形、平面直角坐标系背景综合命题，多考查线段相等、线段长度计算、角度求解问题。 中考多隐性考查模型，图形样式多变，无固定标识，要求学生精准识别共线等角特征。该模型是衔接基础全等证明与几何压轴的关键工具，侧重考查学生模型辨识与几何转化的核心解题能力。 模型来源 1 知识储备 1 例讲模型 2 模型1.一线三等角（K型图）模型（同侧型） 2 模型2.一线三等角（K型图）模型（异侧型） 9 易错点与方法总结 16 模型运用 17 A组（基础题） 17 B组（能力提升题） 25 C组（综合压轴题） 35 一线三等角（K字）模型并非教材独立定理，是初中几何教学中归纳总结的经典解题模型，源于三角形内角和平角性质与全等判定定理的综合应用。该模型最早诞生于大量共线等角几何题型的解题研究中，教师发现：在同一直线上出现三个相等夹角时，必然可以通过角度互余或互补等量代换，快速推导两组角对应相等，进而证明三角形全等。 早期这类图形多出现于直角几何题型，轮廓形似字母K，因此被俗称K字模型。随着几何题库更新与中考命题规律固化，锐角、钝角型一线三等角图形不断出现，逐步完善为完整模型体系。它依托ASA、AAS全等判定基础，规避繁琐角度推导，统一解题思路。 该模型是对基础几何图形规律的高度总结，起源于基础定理、成型于真题归纳，是连接课本知识与综合压轴题的重要几何辅助模型。 1）平角定义：平角=180°；直角互余性质：同角的余角相等；三角形内角和180°； 2）全等判定：AAS、SAS（K字99%用AAS）； 3）线段和差代换、几何标准书写格式。 常结合：直角三角形、矩形、正方形、等腰直角三角形、平面直角坐标系、动点折叠、线段和差证明。 命题特征：不画全图、不标等角，需要学生自行发现“共线三角相等”结构，自主倒角证全等。 模型1.一线三等角（K型图）模型（同侧型） 【模型提炼与证明】 一线三等角模型是指三个相等的角的顶点在同一条直线上，这个模型在七八年级阶段往往用来证明三条线段的和差或线段的求值及角度的证明等，是一类比较典型的全等模型；模型主要分为同侧型和异侧型两类。 锐角一线三等角 直角一线三等角（“K型图”） 钝角一线三等角 条件：，AE=DE；结论：ΔABE≅ΔECD，AB+CD=BC. 证明：∵∠AEC=∠B+∠BAE，∠B=∠AED，∴∠AEC=∠AED+∠BAE， ∵∠AEC=∠AED+∠CED，∴∠BAE=∠CED。 在△ABE和△ECD中，∠B=∠C，∠BAE=∠CED，AE=ED；∴， ∴，，∵BC=BE+EC，∴AB+CD=BC。 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级下·广东深圳·期末）同学们为了测量教学楼的高度，进行了如下操作：如图，在教学楼前竖直放置一根高为3米的标杆，测得标杆底部点与教学楼底部点之间的距离为18米．在教学楼与标杆之间的地面上选取一点，测得点到教学楼底部点的距离为3米，从点观察标杆顶与楼顶时，，且点在同一水平线上．根据以上数据计算出教学楼的高度是（     ）米． A．15 B．13 C．12 D．18 【答案】A 【分析】根据题意可得 ，利用同角的余角相等证明 ，从而证得 ，利用全等三角形性质即可得出 ． 【详解】解：由题意可知 ，， ． ， ． 又 ， ． 又∵ ． ． ，， ∴， ∴ ． 即教学楼的高度是 15 米． 【典例2】（25-26七年级下·上海虹口·期末）如图，已知在中，，，，，那么的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先证明，再利用对应角相等及角度之间的等量代换求解即可． 【详解】解：在和中， ， ， ， ，， ， ． 【典例3】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，，，垂足分别为，，，，，点为边上一动点，当________时，形成的与全等． 【答案】2 【分析】根据题意首先要找出与对应的边，结合已知条件可知与相等时，由可判定，据此即可求出的值． 【详解】解：∵，，，， ∴，， ∴只有、时，与全等， ∵，， ∴，此时， 在与中， ， ∴， ∴当时，形成的与全等． 【典例4】（25-26八年级上·河南许昌·期末）如图，一个正方体箱子卡在了两面墙之间，已知砌墙所用的每块砖块的厚度（每块砖厚度相等）为，则两面墙之间的距离的长为______． 【答案】45 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定．只需要利用证明得到，即可得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：45． 【典例5】（25-26七年级下·陕西渭南·期末）【基础回顾】 (1)如图，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，．试说明：； 【拓展应用】 (2)如图，某农户家有一块三角形灌溉农田，农户在田块外侧修建两处等腰直角三角形蓄水池（即与），满足，，，是经过点且垂直于的总输水主管道；点在上，从两个蓄水池顶端、分别铺设垂直主管道的分流支管、（即于点，于点），连通两蓄水池的总管道与输水主管道交于阀门．设阀门两侧蓄水池配套净水区、的面积分别为、，请猜想与的大小关系，并说明理由．（管道的宽度忽略不计） 【答案】(1)证明：∵直线l，直线l， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． 在和中， ， ． (2) 解：，大小关系是：理由如下： 如图， ∵，， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵，，， 同理可证明：， ∴． ∴． ∵，， ∴． 【分析】（1）利用证明即可； （2）先证明得到．同理可证明：得到．则，即可得到，，． 【详解】（1）略 （2）略 模型2.一线三等角（K型图）模型（异侧型） 【模型提炼与证明】 一线三等角模型是指三个相等的角的顶点在同一条直线上，这个模型在七八年级阶段往往用来证明三条线段的和差或线段的求值及角度的证明等，是一类比较典型的全等模型；模型主要分为同侧型和异侧型两类。 锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角 条件：，AE=DE；结论：，AB-CD=BC。 证明：∵，∴∠ECD=∠ABE， ∵，∠AED=∠AEB+∠CED，， ∴∠AEB+∠A=∠AEB+∠CED，∴∠A=∠CED， 在△ABE和△ECD中，∠A=∠CED，∠ECD=∠ABE，AE=ED；∴， ∴，，∵BC=EC-BE，∴AB-CD=BC。 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级下·浙江宁波·期末）如图，钟摆的摆长固定，悬挂点为，钟摆静止时在最低点处，与钟面底部的水平台垂直．钟摆到达位置处，距离水平台的高度为；然后到达位置处，测得、两点到的水平距离、分别为和，且、则钟摆到达处时距离水平台的高度为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过证明得出对应边，，利用高度关系求解即可． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ，， 设点距离水平台的高度为， 点距离水平台的高度为， ， 点距离水平台的高度为． 【典例2】（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，是的中线，，过点作的垂线交延长线于点，若，则的长是（    ） A．3 B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，过点A作，交的延长线于点H，证明，得到，则；再证明，得到，则可证明． 【详解】解：如图所示，过点A作，交的延长线于点H， ∵，， ∴； ∵是的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； ∵，即， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【典例3】（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，为的中线，过点作，交的延长线于点，过点作交于点，若，则的长为________． 【答案】 【分析】利用判定，从而得出对应边相等． 【详解】解：是的中线， ， ，， ， 在和中， ， ， ． 【典例4】（24-25七年级下·江苏淮安·期末）如图，在中，，，过A点作；，，，连接，则的面积为_____． 【答案】3 【分析】过点E作交延长线于点F，证明，得到，然后利用三角形面积公式求解． 【详解】解：过点E作交延长线于点F， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴的面积为． 【典例5】（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）探究解题 (1)如图，在中，，，点为直线上方一点，连接，，且，过点作于点． ①试说明：； ②若，，求的长． 【问题解决】 (2)如图，某学校打造等腰直角三角形景观花坛，，，花坛内部设观景平台，满足，笔直小路延伸交花坛底边于点，从花坛顶点C修建休闲小道垂直于小路交的延长线于点，已知平分，线段长80米，求花坛内区域的面积．（观景平台的大小，小路，小道的宽度均忽略不计） 【答案】(1)①证明：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴． ② (2)花坛内区域的面积为． 【分析】（1）①根据，，，得，再由同角的余角相等得出，即可证得； ②由，得，，即可求得的长． （2）由平分，得，再证得，得，然后，证得，得，最后，由面积公式即可求得区域的面积． 【详解】（1）①略 ②解：∵， ∴，， ∴． （2）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积， 答：花坛内区域的面积为． 模型常见易错点 1）不会倒角，只会看图不会推角 很多学生能看出K字，但写不出∠A=∠CBE，缺少“余角相等”关键步骤，大题直接扣分。 2）全等顶点对应混乱 K字两个三角形是旋转对应，顶点顺序必须一一对应，顺序写错直接全等错误。 3）斜三等角乱用互余 非直角一线三等角不能用余角，必须用平角180°倒角，学生思维极易固化。 4）只会证全等，不会线段代换 考试重点是用全等求边长、证和差，只证全等不转化线段，拿不到满分。 5）混淆全等K字与相似K字 八年级全等阶段只谈全等、不谈比例，禁止套用相似思路。 解题方法总结 1）K字模型99%使用 AAS 全等判定； 2）核心倒角依据：同角的余角相等（大题得分关键句） 3）结构本质：直线上三直角 ⇒ 自动产生一组等角 4）两大用途：① 角度证明 ② 线段求值与和差 ③ 坐标系求坐标 5）正方形、等腰直角三角形、矩形最爱嵌套K字构造；内侧、外侧K字，倒角逻辑完全一致。 “一线三等角”的应用四种情况： ①图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题； ②图形中存在“一线二等角”，再构造“一个等角”利用模型解题； ③图形中只有直线上一个角，再构造“两个等角”利用模型解题； ④.图形中只有斜45度角，斜直角或斜Rt∆，可构造“一线三等（直）角” 模型解题。 体会：感觉最后一种情况出现比较多，尤其是全国各地的中考压轴题中，经常会有一个特殊角，通常需要常构造“一线三等角”来解题. 构造一线三等角的步骤：找角、定线、构全等。 1．（25-26七年级下·广东揭阳·阶段检测）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，，爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先证明，根据全等三角形的性质可得，再求出的长，然后根据求解即可得． 【详解】解：由题意可知，， ，与底面垂直，B处距地面高， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 即爸爸在处接住小丽时，小丽距离地面的高度是． 2．（2026·重庆·模拟预测）如图，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】证出，根据证明，得出，，从而可求出． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴． 3．（25-26七年级下·山东济南·期中）如图，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．若，，则的面积为____． 【答案】 【分析】过点D作于P，过点E作交的延长线于Q，证明，，得到，，，，证明，得到，根据得到，进而得到，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：如图，过点D作于P，过点E作交的延长线于Q， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 同理可证 ∴，，，， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．（25-26七年级下·广东茂名·期末）如图，在中，，，点D为直线上方一点，且，， (1)求证： (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：，，， ， ，， ， 在和中， ， ； (2) 【分析】（1）由题意易得，则有，然后根据全等三角形的判定定理可进行求证； （2）由（1）可知，，然后问题可求解． 【详解】（1）略 （2）解：， ，， ． 5．（25-26七年级下·广东佛山·期中）如图所示，乐乐在公园荡秋千，开始时乐乐坐在秋千的起始位置，且起始位置与地面垂直，秋千的转轴O到地面的距离；乐乐在荡秋千的过程中，当她摆动到最高点C时，过点C作于点E，此时点C到的距离；当乐乐从C处摆到B处时，则有，过点B作于点D． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； (2)的长为 【分析】（1）利用余角的性质即可证明； （2）易得，则有，由即可求解． 【详解】（1）证明：略； （2）解：由题意知，秋千的绳长不变，即， 由（1）知， ∵， ∴， ∴， ∴， 答：的长为． 6．（25-26七年级下·黑龙江绥化·期中）在中，，直线经过点，且于．于． (1)当直线绕点旋转到图1的位置时，求证：； (2)当直线绕点旋转到图2的位置时，求证：； (3)当直线绕点旋转到图3的位置时，试问具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，证明见解析 【分析】（1）证明，可得，即可求证； （2）证明，可得，即可求证； （3）证明，可得，即可解答． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：，证明如下： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 7．（2026·贵州遵义·一模）如图，小星用高度都相等的10个相同长方体小木块垒了两面与地面垂直的木墙与，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，且等腰直角三角板斜边的两个端点分别与点A，B重合，等腰直角三角板的直角顶点C与点D，E均在水平地面上，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内．已知，，则每个长方体小木块的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】证明，得到，进而求出的长为10个长方体小木块的高度，即可. 【详解】解：由题意，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴10个长方体小木块的高度为， ∴每个长方体小木块的高度为. 8．（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，为测量信号塔（垂直于地面）的高度，小明首先在信号塔前的地面上选一点，使，并测得，然后把竖直的竿子在的延长线上移动，使时竿子停止移动，此时测得，则信号塔的高度为________．    【答案】 【分析】先利用三角形内角和定理求出的度数，发现，结合已知直角和边长相等，利用证明 ，从而得出，最后利用线段的和差关系求解. 【详解】解：∵， 在中，， 即， ∵，， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 9．（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，且，，则的面积是___________． 【答案】50 【分析】通过添加辅助线，构造全等三角形，证明，得出，即可求解． 【详解】解：如图，过点D作于点E， ∵中，，，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 10．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）如图，在中，，过点作，且，连接，若，则的长为___________． 【答案】8 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质等知识．作交延长线于点，证明得到，根据得到，即可求出． 【详解】解：如图，作交延长线于点． ∵，，， ∴， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴（负值已舍）． 故答案为：． 11．（25-26七年级下·山西晋中·期末）如图，在四边形中，，，，过点作于点，连接，若，，，则________． 【答案】 【分析】根据垂直可得，从而可得，，进而可得，然后利用证明，从而可得，，进而可得，根据，即可求解． 【详解】解∶， ， ， ， ， ， ， ， ； ∴ ． 12．（26-27八年级上·吉林四平·阶段检测）等腰直角三角形既是特殊的直角三角形，又是特殊的等腰三角形；基于其边角特征判定全等三角形的过程中提炼了常见的一个全等结构（如图①），一些复杂的问题可以转化成这样的全等结构进行解决． 【理解探究】 (1)如图①，在中，，．点正好落在直线上，直线与直线的交点不在边上，分别作于点，于点，猜想线段、、之间的数量关系，并证明； 【转化应用】 (2)如图②，与均为等腰直角三角形，，且、、在同一直线上，连接．已知，，则________； (3)在中，，，，．直线经过的直角顶点交斜边于点，，，动点在直线上，动点在所在直线上．若以点、、为顶点的三角形与全等（如图③），直接写出所有满足条件的的长． 【答案】(1)． 证明：，， ， ， ， ， ． 在和中， ， ， ，， ． (2) (3)所有满足条件的的长为或或． 【分析】（1）由垂直定义得到，由同角的余角相等得到，即可证明，得出，，因此； （2）根据，求出，则．过点作交延长线于点，同（1）思路证明，得到，根据求解即可； （3）根据得到，，根据的面积求出，根据同角的余角相等得到，若以点、、为顶点的三角形与全等，分点、均在点上方，和点、均在点下方分别讨论，根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：与均为等腰直角三角形，， ，， ，， ， ． 如图，过点作交延长线于点，则， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． （3）解：，， ，， ，， ， 即， ． ， ， ， ， ． 若以点、、为顶点的三角形与全等，分以下情况讨论： ①若点、均在点上方， , 或， 若，如图， 则, . 若，如图， 则, . ②若点、均在点下方， ， 或, 若，如图， 则， . 若，如图， 则， ． 综上所述，所有满足条件的的长为或或． 13．（25-26七年级下·重庆·期末）小丽在公园荡秋千，秋千竖直静止时吊绳为，小丽从秋千的起始位置A处，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住小丽后用力一推，爸爸在C处接住小丽．若妈妈与爸爸到的水平距离，分别为和，且，则点C到地面的距离是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证出，根据全等三角形的性质可得，，求出的长，再结合B点距地面的高度求出点E距地面的高度，由此即可解答． 【详解】解：由题意得：，，， ， ， ∴， ∵， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵，与地面垂直， ∴与地面平行， ∵B处距地面， ∴D处距地面， ∴点E距地面， 同理可得：与地面平行， ∴点C到地面的高度等于点E到地面的高度， ∴点C到地面的距离是． 14．（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）如图，在中，是边上的高，．连接，交的延长线于点E，连接．则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】先证即可判断①，利用及三角形内角和定理与对顶角即可判断②，点F作于点M，过点G作交的延长线于点N，证明，得出，同理得到，从而得出，证明，从而得到，即可判断③④，即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴，故①正确， ∵， ∴， 如图，记交于点，的交点为， ∵， ∴， ∴，故②正确， 过点F作于点M，过点G作交的延长线于点N， ， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 同理， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故③正确，④正确． 15．（2025八年级上·江苏·专题练习）如图，中，，，为线段上一动点（不与点，重合），连接，作，交线段于，以下四个结论：①；②当为中点时，；③当为等腰三角形时，；④当时，．其中正确的结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和与外角性质，分类讨论，熟练掌握是解题的关键． 根据已知得到，根据三角形的外角性质即可得到，判断①；根据等腰三角形的性质得到，根据直角三角形性质即可得到，判断②；根据三角形外角的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到或，判断③；证明，可得，得到，判断④． 【详解】解：①∵， ∴ ， ∵， ∴， ∵， ∴ ， 故①正确； ②∵D为中点，， ∴ ， ∴ ， ∵ ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故②正确； ③∵， ∴， ∴ ， ∵为等腰三角形， ∴当时， ∴ ， ∵ ， ∴； 当时， ∴， ∴ ， ∴或 故③错误； ④∵， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故④正确， 综上所述正确的有①②④，共3个． 故选：C． 16．（25-26七年级下·重庆·期末）如图，中，，，点在的延长线上，连接．以为边作，使，连接交于点，若，则的长度为______． 【答案】3.6 【分析】过点作，交的延长线于，先通过一线三垂直证明，得到，再证明，分别表示出与，利用面积等式列方程求出，最后计算． 【详解】解：过点作，交的延长线于． ， ，即． ， ， ． 在和中： ， ， ． 设，则， ∴， ， 又， ， ∴， ∴， 代入面积条件： ， 解得， ． 17．（25-26七年级下·四川·期中）如图，直角三角形中，，点为边上一点，且，连接交延长线于，且为线段的中点，若，，则面积为______． 【答案】 【分析】过点作的延长线于点，可证，得，，再证，得，，即得，设，则，进而利用列出方程求出的值即可求解． 【详解】解：如图，过点作的延长线于点，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵为线段的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴，， ∴． 18．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，在中，已知，，点D为延长线上一点，过点A作且．连接交延长线于M．若（为常数），则________（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，解答关键是构造一线三垂直模型得到全等三角形． 由题意，设，则，过点作，交的延长线于点，证明得到，再证明，得到，再利用三角形面积公式表示化简即可． 【详解】解：由，设，则， 过点作，交的延长线于点， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ， 故答案为：． 19．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）数学课上，老师让同学们准备等腰三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系．已知：在中，． 【初步探究】 (1)如图1，若，点，，在直线上，，则与有怎样的数量关系？请直接写出结论； (2)【变式训练】 如图2，若，点，，在直线上，，试判断线段、和的数量关系，并说明理由． (3)【拓展应用】 如图3，若，，，是中点，点在线段上以的速度由点到点运动，同时点在线段上由点到点运动，它们运动的时间为，当点的运动速度为多少时，能使与以，，三点为顶点所构成的三角形全等．（直接写出结果） 【答案】(1) (2)，理由：∵点、、在直线上， ∴， 由三角形内角和定理知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (3)或 【分析】（1）利用平角的定义和三角形内角和定理得，再利用证明，得； （2）同（1）可证明，得，可得答案； （3）过点A作于F，可证明，得到；再分和两种情况，利用全等三角形的性质讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）略 （3）解：如图所示，过点A作于F， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵E是中点， ∴； 当时，则， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∴， ∴； 综上所述，点Q的运动速度为或． 20．（25-26七年级下·辽宁铁岭·期末）如图，是的边上的高，且，以为直角边，在上方作，使，，过点E作，交的延长线于点F，连接交于点H． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵是的边上的高，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； (2)证明：由（1）可得， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）先证明出，再利用“”即可证明； （2）由（1）可得，则，结合题意得出，再证明，即可得证； （3）由（1）可得，则，，由（2）可得，结合题意得出，由，得出，求出，即可得出结果． 【详解】（1）略； （2）略； （3）解：由（1）可得， ∴，， 由（2）可得， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 21．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）根据图形解决以下问题 (1)如图1，在等腰直角中，，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，求证：； (2)在等腰直角中，，，点D是直线上一动点，分别过点作直线的垂线，垂足分别为点； ①如图2，点D在线段上，与是否全等？请说明理由； ②如图3，点D在线段延长线上，若，，请直接写出线段的长． 【答案】(1)证明：∵，， ∴， 又， ∴， 在和中，， ∴． (2)①； 理由：∵，， ∴， 又， ∴， 在和中，， ∴． ②4 【分析】（1）利用同角的余角相等证得，证明即可； （2）①利用同角的余角相等证得，根据证明；②利用同角的余角相等证得，根据证明，再利用等量代换即可． 【详解】（1）解：略 （2）解：①略 ②∵，， ∴， 又， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴． 22．（25-26七年级下·甘肃酒泉·期末）在中，，，直线经过点，过点，分别作的垂线，垂足分别为，． (1)特例体验 如图（1），若直线，，则线段的长为 ． (2)探究应用 如图（2），若直线从图（1）状态开始绕点顺时针旋转时，试说明：； (3)如图（3），若直线从图（1）状态开始绕点顺时针旋转时与线段相交，探究线段，和的数量关系并说明理由； (4)若，（均为正数），当时，请你直接写出以点，，，为顶点的四边形的面积． 【答案】(1)2 (2)①在中，． ， ， ． 在和中， ， ②由可知，， ． (3)． 理由如下： 在中，． ， ， ． 在和中， ， ，， (4) 【分析】（1）先证和是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得出，再证明，得到，即可求出的长； （2）①先证，由即可得出，②根据全等三角形的性质进而解答即可； （3）先证，由即可得出，进而解答即可； （4）根据（2）和（3）中的图形列式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得： 在中，，， ， ， ，， ，， ，， 在和中， ， ∴， ， ； （2）略 （3）略 （4）由（2）可得，当时，四边形的面积， 由（3）可得，当时， 四边形的面积． 综上，以点B、D、C、E为顶点的四边形的面积． 23．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）解答以下问题 (1)如图，已知和，，，点，，在同一直线上，且点在点和之间．若，由，得．又，可以推理得到 ，进而得到 ， ； (2)如图，，，，连接，，过点作直线于点，与直线交于点．判断点是否是的中点，并说明理由． 【答案】(1)，，； (2)点是的中点，理由如下： 证明：如图2：作于，于， 由（1）可得：△△，△△， ，， ， ，， △△， ，即点是的中点． 【详解】（1）证明：已知和，，， 点，，在同一直线上， ， 由，得． 又， ， ，； （2）略 24．（25-26七年级下·山东济南·期末）根据题目条件，解答下列各题： (1)观察理解：如图①，中，，，直线过点，点，在直线同侧，，，垂足分别为，，试说明：． (2)理解应用：如图②，，且，，且，利用（1）中的结论，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积____________； (3)类比探究：如图③，中，，，过点作于点，，连接，求的面积． 【答案】(1)证明：，，垂足分别为D，E， ， ， 在中，，， ， ， 在和中， ， ； (2)50 (3)32 【分析】（1）先证明，，进而可依据“”判定； （2）同（1）证明，，得出，，，，再根据三角形的面积公式分别求出，，，，再求出，进而可求出梯形的面积为80，由此即可得出图中实线所围成的图形的面积S； （3）过点作于点H，先证明，进而依据“”判定得，再根据三角形的面积公式即可得出的面积． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）同理可得，， ，，，， ，， ，， ， ，，， ， ， 图中实线所围成的图形的面积 ； （3）解：过点作于点H，如图所示： ， 中，，， ， ， 于点A，， ， ， 在和中， ， ， ， 的面积为： 25．（25-26七年级下·吉林长春·期末）探究下列问题： (1)小林同学在探究三角形全等时，发现了下面这种基本图形，如图①，已知：在中，，，直线经过点，，，垂足分别为点，．能直接得到线段，，三者之间的数量关系： ． (2)当直线绕点旋转到图②的位置时，求证：； (3)老师赞赏了小林同学的探索精神，并鼓励他运用这个方法来解决问题：如图③，以的边向外作正方形和正方形是边上的高，延长交于点，当时， ． 【答案】(1) (2)证明：， ， ， ，， ， 在和中， ， ． ， ∴． (3) 【分析】（1）先证明，，再证明，再利用全等三角形的性质可得结论； （2）先证明，，再证明，再利用全等三角形的性质可得结论； （3）过作于，过作的延长线于．结合由（1）和（2）的结论可知，证明，设未知数从而可得结论． 【详解】（1）证明：， ， ， ，， ， 在和中， ， ． ， ， ． （2）略 （3）解：如图， 过作于，过作的延长线于， ， 由（1）和（2）的结论可知，，， 在和中， ， ， ， 设，则，， ， ． 26．（25-26七年级下·江西·期末）问题情境：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．请根据小明的方法思考并解答： (1)①由已知和作图能得到，依据是________． A．    B． C．    D． ②由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是________． 解后反思： 题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线，构造全等三角形、平行线、平移线段，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． (2)如图，已知与，，，，、分别为中边上的中线与高，且，，求的面积． (3)拓展延伸： 如图，在第（2）的条件下，若延长交于点，请猜想线段和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①；② (2) (3)，理由如下： 如图：过点作于点，过点作于点．则 ， ∴， ∵， ∴， ∴， ，， ∴， ， 同理： 在和中 ，， 【分析】（1）①根据中线的定义可得，再利用可证明；②根据全等三角形的性质以及三角形的三边关系即可解答； （2）如图：延长至，使得，易证可得、、，再证明可得，再根据三角形间的面积关系得到，最后根据三角形面积公式求得即可； （3）如图：过点作于点，过点作于点．先证明可得，同理可得，即；最后再证明并运用全等三角形的性质即可解答． 【详解】（1）解：①是中线， ， 在和中， ， ，即选项A符合题意； ②，，， ， ， ，即， ， ， ． （2）解：如图：延长至，使得， 是中线， ， 又， ． ，，， ， ． ， ． ， ． ， ， . （3）解：，理由见答案. 27．（25-26七年级下·陕西西安·期末）综合探究与应用 (1)如图1，在中，，，若于E，于D，则与的数量关系是________． (2)如图2，在中，，，D点为边上一动点，连接，作且，连接交于F点，若，．求证：点D为中点． (3)为打造“智慧校园+美学空间”，某校计划在校园一处生态种植区中布设智能感应灯带系统．经测量，中，，米，．系统采用“双光源联动结构”，如图3，以定点A为控制中心，投射点D可在射线上调节；同时在A处与垂直方向安装用于对称补光的补偿灯E，使，（点E在点D的右边）．灯带线路与主控制线所在直线交于点F，该点将作为线路转接与分线的物理点位．施工员测得当前D点到B点的距离米，请直接写出此时的长度． 【答案】(1) (2)证明：如图，作于， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点D为中点； (3)或米 【分析】（1）由同角的余角相等可得，再证明，即可得解； （2）作于，则，证明，得出，，求出，再证明，得出，由此计算即可得证； （3）分两种情况：当点在线段上时，作于点；当点在射线上时，作于点；分别结合全等三角形的性质计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）略； （3）解：如图，当点在线段上时，作于点， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵米，米， ∴米， ∴米， ∴米， 在和中， ， ∴， ∴米， ∴米； 如图，当点在射线上时，作于点， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵米，米， ∴米， ∴米， ∴米， 在和中， ， ∴， ∴米， ∴米； 综上所述，的长度为或米． 28．（25-26七年级下·上海崇明·期末）数学探究课上，老师给同学们展示了几道有趣的几何问题，大家围绕图形中的面积关系、线段关系展开了思考和讨论，请你也来尝试解决下面的问题． 【探究初步】 探究1新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． (1)如图1，在中，，，D为边上的一点，若与为偏等积三角形，则 ； (2)如图2，在中，，，D为边上的一点，且满足与为偏等积三角形，过点B作，交的延长线于点E，如果线段的长度为正整数，那么 ． 探究2如图3，，，过点B作于点C，过点D作于点E．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型． (3)探究图3中线段之间的数量关系，可得 ． 【迁移应用】 (4)如图4，已知与是有公共顶点且不全等的两个等腰三角形，其中，，，，过D作，垂足为点M，的延长线与交于点N，请写出图中所有的偏等积三角形，并选择其中一对进行证明． 【答案】(1)1； (2)4； (3)； (4)解：与为偏等积三角形，与为偏等积三角形，证明如下： 如图所示，过E作于点P，过C作交延长线于点Q． ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 同理可证明， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． ∴， 又∵与不全等， ∴ ∴与不全等， ∴与是偏等积三角形； 如图所示，过E作于点G，过B作交延长线于点F． ∴， ∵，， ∴． 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， 又∵，， ∴与不全等， ∴与是偏等积三角形． 【分析】（1）根据定义可得，则可证明，即； （2）根据定义可得，则；证明得到；根据三角形三边的关系求出的取值范围，结合线段的长度为正整数，求出的长即可求出的长； （3）证明，得到，即可证明； （4）过E作于点P，过C作交延长线于点Q．证明，，推出，再证明，得到，则可推出，可证明，则可证明与不全等，故与是偏等积三角形；过E作于点G，过B作交延长线于点F．证明，得到．则可证明，可证明与不全等，则可证明与是偏等积三角形． 【详解】（1）解：如图1所示， ∵与为偏等积三角形， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴，即； （2）解：∵与为偏等积三角形， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴ ∴； 在中，， ∴，即， ∴， ∵线段的长度为正整数， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （4）略 19 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 全等三角形模型之一线三等角（K字）模型 一线三等角又称K字模型，是初中全等三角形最经典、考查频率最高的几何模型之一，广泛应用于中考选择填空、几何解答及压轴题型，核心考查角度推导与全等判定的综合运用。该模型核心特征为同一直线上存在三个相等角，常见以直角、锐角、钝角三种形式呈现，其中直角K字模型考查最多。 其解题原理依托平角定义与三角形内角和定理，通过等量代换快速证出两组等角，结合题干边长条件，利用AAS、ASA判定三角形全等，完成边角转化。考题常结合正方形、矩形、等腰三角形、平面直角坐标系背景综合命题，多考查线段相等、线段长度计算、角度求解问题。 中考多隐性考查模型，图形样式多变，无固定标识，要求学生精准识别共线等角特征。该模型是衔接基础全等证明与几何压轴的关键工具，侧重考查学生模型辨识与几何转化的核心解题能力。 模型来源 1 知识储备 1 例讲模型 2 模型1.一线三等角（K型图）模型（同侧型） 2 模型2.一线三等角（K型图）模型（异侧型） 9 易错点与方法总结 16 模型运用 17 A组（基础题） 17 B组（能力提升题） 25 C组（综合压轴题） 35 一线三等角（K字）模型并非教材独立定理，是初中几何教学中归纳总结的经典解题模型，源于三角形内角和平角性质与全等判定定理的综合应用。该模型最早诞生于大量共线等角几何题型的解题研究中，教师发现：在同一直线上出现三个相等夹角时，必然可以通过角度互余或互补等量代换，快速推导两组角对应相等，进而证明三角形全等。 早期这类图形多出现于直角几何题型，轮廓形似字母K，因此被俗称K字模型。随着几何题库更新与中考命题规律固化，锐角、钝角型一线三等角图形不断出现，逐步完善为完整模型体系。它依托ASA、AAS全等判定基础，规避繁琐角度推导，统一解题思路。 该模型是对基础几何图形规律的高度总结，起源于基础定理、成型于真题归纳，是连接课本知识与综合压轴题的重要几何辅助模型。 1）平角定义：平角=180°；直角互余性质：同角的余角相等；三角形内角和180°； 2）全等判定：AAS、SAS（K字99%用AAS）； 3）线段和差代换、几何标准书写格式。 常结合：直角三角形、矩形、正方形、等腰直角三角形、平面直角坐标系、动点折叠、线段和差证明。 命题特征：不画全图、不标等角，需要学生自行发现“共线三角相等”结构，自主倒角证全等。 模型1.一线三等角（K型图）模型（同侧型） 【模型提炼与证明】 一线三等角模型是指三个相等的角的顶点在同一条直线上，这个模型在七八年级阶段往往用来证明三条线段的和差或线段的求值及角度的证明等，是一类比较典型的全等模型；模型主要分为同侧型和异侧型两类。 锐角一线三等角 直角一线三等角（“K型图”） 钝角一线三等角 条件：，AE=DE；结论：ΔABE≅ΔECD，AB+CD=BC. 证明：∵∠AEC=∠B+∠BAE，∠B=∠AED，∴∠AEC=∠AED+∠BAE， ∵∠AEC=∠AED+∠CED，∴∠BAE=∠CED。 在△ABE和△ECD中，∠B=∠C，∠BAE=∠CED，AE=ED；∴， ∴，，∵BC=BE+EC，∴AB+CD=BC。 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级下·广东深圳·期末）同学们为了测量教学楼的高度，进行了如下操作：如图，在教学楼前竖直放置一根高为3米的标杆，测得标杆底部点与教学楼底部点之间的距离为18米．在教学楼与标杆之间的地面上选取一点，测得点到教学楼底部点的距离为3米，从点观察标杆顶与楼顶时，，且点在同一水平线上．根据以上数据计算出教学楼的高度是（     ）米． A．15 B．13 C．12 D．18 【典例2】（25-26七年级下·上海虹口·期末）如图，已知在中，，，，，那么的度数是（     ） A． B． C． D． 【典例3】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，，，垂足分别为，，，，，点为边上一动点，当________时，形成的与全等． 【典例4】（25-26八年级上·河南许昌·期末）如图，一个正方体箱子卡在了两面墙之间，已知砌墙所用的每块砖块的厚度（每块砖厚度相等）为，则两面墙之间的距离的长为______． 【典例5】（25-26七年级下·陕西渭南·期末）【基础回顾】 (1)如图，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，．试说明：； 【拓展应用】 (2)如图，某农户家有一块三角形灌溉农田，农户在田块外侧修建两处等腰直角三角形蓄水池（即与），满足，，，是经过点且垂直于的总输水主管道；点在上，从两个蓄水池顶端、分别铺设垂直主管道的分流支管、（即于点，于点），连通两蓄水池的总管道与输水主管道交于阀门．设阀门两侧蓄水池配套净水区、的面积分别为、，请猜想与的大小关系，并说明理由．（管道的宽度忽略不计） 模型2.一线三等角（K型图）模型（异侧型） 【模型提炼与证明】 一线三等角模型是指三个相等的角的顶点在同一条直线上，这个模型在七八年级阶段往往用来证明三条线段的和差或线段的求值及角度的证明等，是一类比较典型的全等模型；模型主要分为同侧型和异侧型两类。 锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角 条件：，AE=DE；结论：，AB-CD=BC。 证明：∵，∴∠ECD=∠ABE， ∵，∠AED=∠AEB+∠CED，， ∴∠AEB+∠A=∠AEB+∠CED，∴∠A=∠CED， 在△ABE和△ECD中，∠A=∠CED，∠ECD=∠ABE，AE=ED；∴， ∴，，∵BC=EC-BE，∴AB-CD=BC。 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级下·浙江宁波·期末）如图，钟摆的摆长固定，悬挂点为，钟摆静止时在最低点处，与钟面底部的水平台垂直．钟摆到达位置处，距离水平台的高度为；然后到达位置处，测得、两点到的水平距离、分别为和，且、则钟摆到达处时距离水平台的高度为（） A． B． C． D． 【典例2】（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，是的中线，，过点作的垂线交延长线于点，若，则的长是（    ） A．3 B． C． D．2 【典例3】（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，为的中线，过点作，交的延长线于点，过点作交于点，若，则的长为________． 【典例4】（24-25七年级下·江苏淮安·期末）如图，在中，，，过A点作；，，，连接，则的面积为_____． 【典例5】（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）探究解题 (1)如图，在中，，，点为直线上方一点，连接，，且，过点作于点． ①试说明：； ②若，，求的长． 【问题解决】 (2)如图，某学校打造等腰直角三角形景观花坛，，，花坛内部设观景平台，满足，笔直小路延伸交花坛底边于点，从花坛顶点C修建休闲小道垂直于小路交的延长线于点，已知平分，线段长80米，求花坛内区域的面积．（观景平台的大小，小路，小道的宽度均忽略不计） 模型常见易错点 1）不会倒角，只会看图不会推角 很多学生能看出K字，但写不出∠A=∠CBE，缺少“余角相等”关键步骤，大题直接扣分。 2）全等顶点对应混乱 K字两个三角形是旋转对应，顶点顺序必须一一对应，顺序写错直接全等错误。 3）斜三等角乱用互余 非直角一线三等角不能用余角，必须用平角180°倒角，学生思维极易固化。 4）只会证全等，不会线段代换 考试重点是用全等求边长、证和差，只证全等不转化线段，拿不到满分。 5）混淆全等K字与相似K字 八年级全等阶段只谈全等、不谈比例，禁止套用相似思路。 解题方法总结 1）K字模型99%使用 AAS 全等判定； 2）核心倒角依据：同角的余角相等（大题得分关键句） 3）结构本质：直线上三直角 ⇒ 自动产生一组等角 4）两大用途：① 角度证明 ② 线段求值与和差 ③ 坐标系求坐标 5）正方形、等腰直角三角形、矩形最爱嵌套K字构造；内侧、外侧K字，倒角逻辑完全一致。 “一线三等角”的应用四种情况： ①图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题； ②图形中存在“一线二等角”，再构造“一个等角”利用模型解题； ③图形中只有直线上一个角，再构造“两个等角”利用模型解题； ④.图形中只有斜45度角，斜直角或斜Rt∆，可构造“一线三等（直）角” 模型解题。 体会：感觉最后一种情况出现比较多，尤其是全国各地的中考压轴题中，经常会有一个特殊角，通常需要常构造“一线三等角”来解题. 构造一线三等角的步骤：找角、定线、构全等。 1．（25-26七年级下·广东揭阳·阶段检测）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，，爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·重庆·模拟预测）如图，，则等于（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·山东济南·期中）如图，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．若，，则的面积为____． 4．（25-26七年级下·广东茂名·期末）如图，在中，，，点D为直线上方一点，且，， (1)求证： (2)若，，求的长． 5．（25-26七年级下·广东佛山·期中）如图所示，乐乐在公园荡秋千，开始时乐乐坐在秋千的起始位置，且起始位置与地面垂直，秋千的转轴O到地面的距离；乐乐在荡秋千的过程中，当她摆动到最高点C时，过点C作于点E，此时点C到的距离；当乐乐从C处摆到B处时，则有，过点B作于点D． (1)求证：； (2)求的长． 6．（25-26七年级下·黑龙江绥化·期中）在中，，直线经过点，且于．于． (1)当直线绕点旋转到图1的位置时，求证：； (2)当直线绕点旋转到图2的位置时，求证：； (3)当直线绕点旋转到图3的位置时，试问具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 7．（2026·贵州遵义·一模）如图，小星用高度都相等的10个相同长方体小木块垒了两面与地面垂直的木墙与，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，且等腰直角三角板斜边的两个端点分别与点A，B重合，等腰直角三角板的直角顶点C与点D，E均在水平地面上，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内．已知，，则每个长方体小木块的高度为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，为测量信号塔（垂直于地面）的高度，小明首先在信号塔前的地面上选一点，使，并测得，然后把竖直的竿子在的延长线上移动，使时竿子停止移动，此时测得，则信号塔的高度为________．    9．（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，且，，则的面积是___________． 10．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）如图，在中，，过点作，且，连接，若，则的长为___________． 11．（25-26七年级下·山西晋中·期末）如图，在四边形中，，，，过点作于点，连接，若，，，则________． 12．（26-27八年级上·吉林四平·阶段检测）等腰直角三角形既是特殊的直角三角形，又是特殊的等腰三角形；基于其边角特征判定全等三角形的过程中提炼了常见的一个全等结构（如图①），一些复杂的问题可以转化成这样的全等结构进行解决． 【理解探究】 (1)如图①，在中，，．点正好落在直线上，直线与直线的交点不在边上，分别作于点，于点，猜想线段、、之间的数量关系，并证明； 【转化应用】 (2)如图②，与均为等腰直角三角形，，且、、在同一直线上，连接．已知，，则________； (3)在中，，，，．直线经过的直角顶点交斜边于点，，，动点在直线上，动点在所在直线上．若以点、、为顶点的三角形与全等（如图③），直接写出所有满足条件的的长． 13．（25-26七年级下·重庆·期末）小丽在公园荡秋千，秋千竖直静止时吊绳为，小丽从秋千的起始位置A处，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住小丽后用力一推，爸爸在C处接住小丽．若妈妈与爸爸到的水平距离，分别为和，且，则点C到地面的距离是（     ）． A． B． C． D． 14．（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）如图，在中，是边上的高，．连接，交的延长线于点E，连接．则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 15．（2025八年级上·江苏·专题练习）如图，中，，，为线段上一动点（不与点，重合），连接，作，交线段于，以下四个结论：①；②当为中点时，；③当为等腰三角形时，；④当时，．其中正确的结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 16．（25-26七年级下·重庆·期末）如图，中，，，点在的延长线上，连接．以为边作，使，连接交于点，若，则的长度为______． 17．（25-26七年级下·四川·期中）如图，直角三角形中，，点为边上一点，且，连接交延长线于，且为线段的中点，若，，则面积为______． 18．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，在中，已知，，点D为延长线上一点，过点A作且．连接交延长线于M．若（为常数），则________（用含的代数式表示）． 19．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）数学课上，老师让同学们准备等腰三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系．已知：在中，． 【初步探究】 (1)如图1，若，点，，在直线上，，则与有怎样的数量关系？请直接写出结论； (2)【变式训练】 如图2，若，点，，在直线上，，试判断线段、和的数量关系，并说明理由． (3)【拓展应用】 如图3，若，，，是中点，点在线段上以的速度由点到点运动，同时点在线段上由点到点运动，它们运动的时间为，当点的运动速度为多少时，能使与以，，三点为顶点所构成的三角形全等．（直接写出结果） 20．（25-26七年级下·辽宁铁岭·期末）如图，是的边上的高，且，以为直角边，在上方作，使，，过点E作，交的延长线于点F，连接交于点H． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，求的长． 21．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）根据图形解决以下问题 (1)如图1，在等腰直角中，，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，求证：； (2)在等腰直角中，，，点D是直线上一动点，分别过点作直线的垂线，垂足分别为点； ①如图2，点D在线段上，与是否全等？请说明理由； ②如图3，点D在线段延长线上，若，，请直接写出线段的长． 22．（25-26七年级下·甘肃酒泉·期末）在中，，，直线经过点，过点，分别作的垂线，垂足分别为，． (1)特例体验 如图（1），若直线，，则线段的长为 ． (2)探究应用 如图（2），若直线从图（1）状态开始绕点顺时针旋转时，试说明：； (3)如图（3），若直线从图（1）状态开始绕点顺时针旋转时与线段相交，探究线段，和的数量关系并说明理由； (4)若，（均为正数），当时，请你直接写出以点，，，为顶点的四边形的面积． 23．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）解答以下问题 (1)如图，已知和，，，点，，在同一直线上，且点在点和之间．若，由，得．又，可以推理得到 ，进而得到 ， ； (2)如图，，，，连接，，过点作直线于点，与直线交于点．判断点是否是的中点，并说明理由． 24．（25-26七年级下·山东济南·期末）根据题目条件，解答下列各题： (1)观察理解：如图①，中，，，直线过点，点，在直线同侧，，，垂足分别为，，试说明：． (2)理解应用：如图②，，且，，且，利用（1）中的结论，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积____________； (3)类比探究：如图③，中，，，过点作于点，，连接，求的面积． 25．（25-26七年级下·吉林长春·期末）探究下列问题： (1)小林同学在探究三角形全等时，发现了下面这种基本图形，如图①，已知：在中，，，直线经过点，，，垂足分别为点，．能直接得到线段，，三者之间的数量关系： ． (2)当直线绕点旋转到图②的位置时，求证：； (3)老师赞赏了小林同学的探索精神，并鼓励他运用这个方法来解决问题：如图③，以的边向外作正方形和正方形是边上的高，延长交于点，当时， ． 26．（25-26七年级下·江西·期末）问题情境：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．请根据小明的方法思考并解答： (1)①由已知和作图能得到，依据是________． A．    B． C．    D． ②由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是________． 解后反思： 题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线，构造全等三角形、平行线、平移线段，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． (2)如图，已知与，，，，、分别为中边上的中线与高，且，，求的面积． (3)拓展延伸： 如图，在第（2）的条件下，若延长交于点，请猜想线段和的数量关系，并说明理由． 27．（25-26七年级下·陕西西安·期末）综合探究与应用 (1)如图1，在中，，，若于E，于D，则与的数量关系是________． (2)如图2，在中，，，D点为边上一动点，连接，作且，连接交于F点，若，．求证：点D为中点． (3)为打造“智慧校园+美学空间”，某校计划在校园一处生态种植区中布设智能感应灯带系统．经测量，中，，米，．系统采用“双光源联动结构”，如图3，以定点A为控制中心，投射点D可在射线上调节；同时在A处与垂直方向安装用于对称补光的补偿灯E，使，（点E在点D的右边）．灯带线路与主控制线所在直线交于点F，该点将作为线路转接与分线的物理点位．施工员测得当前D点到B点的距离米，请直接写出此时的长度． 28．（25-26七年级下·上海崇明·期末）数学探究课上，老师给同学们展示了几道有趣的几何问题，大家围绕图形中的面积关系、线段关系展开了思考和讨论，请你也来尝试解决下面的问题． 【探究初步】 探究1新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． (1)如图1，在中，，，D为边上的一点，若与为偏等积三角形，则 ； (2)如图2，在中，，，D为边上的一点，且满足与为偏等积三角形，过点B作，交的延长线于点E，如果线段的长度为正整数，那么 ． 探究2如图3，，，过点B作于点C，过点D作于点E．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型． (3)探究图3中线段之间的数量关系，可得 ． 【迁移应用】 (4)如图4，已知与是有公共顶点且不全等的两个等腰三角形，其中，，，，过D作，垂足为点M，的延长线与交于点N，请写出图中所有的偏等积三角形，并选择其中一对进行证明． 19 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $