专题08 全等三角形模型之手拉手模型（几何模型讲义）数学新教材浙教版八年级上册

专题08 全等三角形模型之手拉手模型 手拉手模型是全等三角形综合性极强的经典几何模型，是中考几何解答题、压轴小题的高频考点，常结合等边三角形、等腰直角三角形、等腰三角形综合命题，重点考查学生的全等识别与边角迁移能力。该模型核心特征为共顶点、等线段、共夹角，形似双手相拉，构图规律极强。 其核心解题原理依托SAS全等判定定理，利用公共角叠加或减去等角得到夹角相等，快速证明两组三角形全等，进而实现线段相等、角度相等的转化。考题常衍生出角度定值、线段平行、线段垂直和周长定值等延伸结论，题型灵活多变。 中考命题多隐性构图，不会直接点明模型，常嵌套在复杂图形中考查。该模型综合性高、延展性强，是衔接基础全等证明与几何压轴探究题的核心题型，也是初中几何体系中必须掌握的核心解题模型。 模型来源 1 知识储备 2 例讲模型 2 模型1.全等模型--手拉手模型 2 易错点与方法总结 14 模型运用 15 A组（基础题） 15 B组（能力提升题） 21 C组（综合压轴题） 31 手拉手模型并非课本明文规定的几何定理，而是初中几何教研体系中，基于全等三角形SAS判定定理归纳提炼出的经典综合性解题模型，起源于共顶点等腰图形的规律探究。在基础几何题型中，两个拥有公共顶点、且顶角相等的等腰三角形，会形成结构相似、对称关联的几何图形，早期几何习题与考题中频繁出现此类构图，逐渐形成固定解题规律。 该模型最初源自等边三角形共顶点的全等探究，后续拓展至等腰直角三角形、任意等腰三角形题型。因图形中两组对应线段相连的形态如同双手牵拉，被形象命名为手拉手模型。其核心本质是利用公共顶角做等量加减，构造等角，结合等腰三角形等线段条件，满足SAS全等判定，实现边角关系转化。 随着中考几何命题愈发侧重综合探究，此类共顶点构图题型考查频次大幅提升，教研团队将零散的解题思路系统化、模板化，正式确立手拉手模型体系。该模型根植于课本基础几何性质，是对同类几何题型规律的高度总结，如今成为衔接基础全等题型与几何压轴探究题的核心经典模型。 1）等腰/等边三角形性质：两腰相等，顶角相等； 2）等式性质：等角同时加上/减去公共角，所得角度仍然相等； 3）SAS 全等判定定理（手拉手全等判定固定用 SAS，极少使用 AAS/ASA）； 4）三角形外角定理、倒角书写格式；倒角标配：手拉手全等 + 八字（8 字）模型； 5）两点之间线段最短（拓展最值使用）。 模型1.手拉手模型（全等） 【模型提炼与证明】 1）双等边三角形型 条件：△ABC和△DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。 证明： ∵△ABC和△DCE均为等边三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60° ∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即：∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMF，∴∠AFM=∠BCM=60°， 过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。 2）双等腰直角三角形型条件：△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点N。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BND。 证明： ∵△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=90° ∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMN，∴∠ANM=∠BCM=90°， 过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。 3）双等腰三角形型 条件：BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠BCM=∠AFM；④CF平分∠BFD。 证明： ∵∠BCA=∠ECD，∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD， 又∵BC=AC，CE=CD，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD，∠CBE=∠CAD， 又∵∠CMB=∠AMF，∴∠BCM=∠AFM，过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°， 又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。 4）双正方形形型 条件：四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，C为公共点；连接BG，ED交于点N。 结论：①△BCG≌△DCE；②BG=DE；③∠BCM=∠DNM=90°；④CN平分∠BNE。 证明： ∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，∴BC=AC，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90° ∴∠BCD+∠DCG=∠ECG+∠DCG，即∠BCG=∠DCE，∴△BCG≌△DCE（SAS）， ∴BG=DE，∠CBG=∠CDE，又∵∠CMB=∠DMN，∴∠BCM=∠DNM=90°， 过点C作CP⊥DE,CQ⊥BG,则∠CPD=∠CPB=90°，又∵∠CBG=∠CDE，BC=DC，∴△BCQ≌△DCP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。 【模型运用】 【典例1】（24-25八年级上·湖北·期中）如图，点C是线段上一点，、是等边三角形．与交于点E，与交于点F，与交于点D．下列结论：①；②；③是等边三角形；④平分．其中正确的有（   ）个 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，找出全等三角形是解题的关键．由可证，可得，故①正确；由可证，可得，可证是等边三角形，故③正确；由全等三角形的性质可得，可得，则可证不一定等于，即不一定垂直平分，故②错误；由全等三角形的性质可得，由面积公式可证，由可证，可得，故④正确． 【详解】解：∵、是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 故①正确； ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， 故③正确， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴不一定等于， ∴不一定等于， ∴不一定等于， 又∵， ∴不一定垂直平分， 故②错误； 如图，过点C作于G，于H， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分， 故④正确； 综上所述：正确的有①③④，一共3个； 故选：B． 【典例2】（24-25八年级上·河北秦皇岛·期末）已知：如图，和均为等边三角形，点、、在一条直线上，交于点，交于点，交于点．下列结论： ①，②， ③，④，⑤．正确的个数是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定及等边三角形的性质，三角形内角和定理的应用；由等边三角形的性质可得，，根据平角的定义得出，即可判断⑤，进而证明，即可判断①，得出，根据三角形内角和定理得出，即可判断④；进而证明，，即可判断②和③． 【详解】解：∵和均为等边三角形， ∴，， ∴，故⑤正确， 在 ∴故①正确； ∴，即 ∵,， ∴故④正确 在中， ∴故②正确； ∴， 在中， ∴故③正确； 综上所述，正确的有①②③④⑤，共5个， 故选：A． 【典例3】（25-26九年级上·内蒙古赤峰·阶段检测）如图，点C为线段上的一动点（不与A，B重合），在同侧分别以，为边作等边和等边，，相交于点F，交于点M，交于点N，连接．则下列结论： ①； ②； ③是等边三角形； ④． 其中正确的是 ________ ．（只填写序号） 【答案】①②③ 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质是解决问题的关键． ①根据等边三角形性质得 ，进而得 ，由此可依据“”判定， 然后根据全等三角形的性质即可对结论①进行判断；②根据全等三角形的性质得，即可得出， 由此可对结论②进行判断；③证明， 再证明是等边三角形， 由此可对结论③进行判断；④假设， 可证是等边三角形，再根据得出假设是错误的，由此即可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①和都是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 故结论①正确； ②， ， ， ， ， 故结论②正确； ③， ， ， ， 是等边三角形， 故结论③正确； ④假设， ， 是等边三角形， ， 又∵， 这与相矛盾， ∴假设是错误的， ， 故结论④不正确， 综上所述：正确的结论是①②③， 故答案为： ①②③． 【典例4】（25-26八年级下·浙江嘉兴·开学考试）如图，和都是等边三角形，连结，若，则的度数为_________． 【答案】/度 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质，三角形内角和定理的运用，根据等边三角形的性质可证，可得，由可得，根据三角形内角和定理可得，在中再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵都是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 故答案为： ． 【典例5】（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图1，，都是等边三角形，点A、B、C在同一直线上，和交于点P． (1)求证：； (2)求的度数； (3)如图2，M，N分别是，的中点，试判断的形状，并证明你的结论． 【答案】(1) 证明：、都是等边三角形， ，，， ，即， 在和中 ， ； (2) (3)等边三角形，理由为： ， ． ，、分别是、的中点， ， 在和中 ， ，， ． 是等边三角形． 【分析】本题考查了等边三角形的性质与全等三角形的判定及性质，解题的关键是通过角的等量代换证明三角形全等，进而推导边或角的关系． （1）利用等边三角形性质得边和角相等，通过角的和差推得，再用证，得结论； （2）由全等得，结合内角和求，再利用外角性质得； （3）由全等及中点得，用证，得且，判定为等边三角形． 【详解】（1） 略 （2）解：， ， ， ， ， ， ． （3）略 模型常见易错点 1）找错拉手三角形，对应边、对应角匹配错误 错误：随意挑选三角形，没有按照 “左腰配左腰，右腰配右腰” 配对。 正解：共顶点出发的两条边两两组合，严格按照旋转对应关系写全等。 2）角度运算出错，分不清是加公共角还是减公共角 内旋用加公共角，外旋用减公共角，看到图形先观察重叠区域，再处理角度。 3）只会证全等，不会用八字模型求拉手夹角 很多学生只能完成第一问全等证明，第二问角度定值无从下手，忽略八字倒角的搭配使用。 4）把拉手夹角当成补角，记错结论 等边手拉手夹角 60°，等腰直角夹角 90°，普通等腰夹角等于顶角 α，并非 180°−α。 5）大题直接套用模型结论，缺少角度推导过程 解答题不能直接写 “手拉手模型，所以全等”，必须写出角度加减的步骤，补齐 SAS 条件。 解题方法总结 手拉手模型是初中几何旋转构造的基石，承接静态全等证明，过渡到动态几何探究，是从静态图形走向动态旋转的分水岭。它常以等边、等腰直角三角形为载体，出现在中考几何压轴探究题，一般分三小问：证全等→求角度定值→线段最值。本模型搭配八字倒角、将军饮马最值，可以组合成综合大题，熟练掌握手拉手的构造与倒角逻辑，能够大幅提升几何压轴解题能力，完善全等几何模型体系。 万能口诀 共顶点，两等腰，顶角相等条件好；公共角上做加减，造出夹角刚刚好； SAS 全等写规范，拉手边长一样高；八字倒角算夹角，角度等于原顶角。 1．（24-25八年级上·福建厦门·期中）若和都是等边三角形，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理．由已知条件推导出，从而，再通过角之间的转化，利用三角形内角和定理能求出的度数． 【详解】解：和都是等边三角形，且， ，，， 又，， ， ， ， ， ， ， ． 故选：D． 2．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，和都是等边三角形，、相交于点O，交于点M，交于点N，连接，则下列结论不一定成立的（   ） A． B． C．是等边三角形 D． 【答案】C 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，先根据等边三角形的性质得到，判断A；然后根据全等三角形的性质判断D；再根据三角形的内角和定理判断B；然后根据的情况判断C即可解题． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴，故A正确，不符合题意； ∴，，故D正确，不符合题意； ∴， ∴，故B正确，不符合题意； ∵不一定是， ∴不一定是等边三角形，故C错误，符合题意； 故选：C． 3．（24-25八年级上·河北廊坊·阶段检测）如图，是等边三角形，D为边上一点，以为边作等边，连接．若，则的度数是______． 【答案】/100度 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，根据证明得，从而可得结论． 【详解】解：∵和均为等边三角形， ∴ ∴ ∴ 在和中， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（2026·吉林长春·二模）如图，点为线段上一点，、都是等边三角形，、交于点，、交于点，、交于点，连结，给出下面四个结论：；；；．上述结论中，一定正确的是______（填所有正确结论的序号）． 【答案】①②④ 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，关键是由等边三角形的性质推出，，判定是等边三角形．由判定，推出，由对顶角的性质得到，由三角形内角和定理得到，由判定，推出，而，得到是等边三角形，因此，得到，推出，在变化，不一定是． 【详解】解：、都是等边三角形， ，，， ， ， ， ， ， 故符合题意； ，，， ， 故符合题意； ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 故符合题意； 在上的位置在变化， 在变化，不一定是， 故不符合题意． 正确的是． 故答案为：． 5．（25-26八年级上·辽宁鞍山·阶段检测）如图，、均为等边三角形，连接交于点O，与交于点P，则的度数是______． 【答案】/120度 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，由等边三角形的性质可得，再证明得出，结合即可得出． 【详解】解：、均为等边三角形， ， ，即， 在和中， ， ， ， 故答案为：． 6．（25-26八年级上·四川自贡·期末）已知：如图，点在线段上，和都是等边三角形，且在同侧，连接交于点，连接交于点，交于点，连接． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1) 证明：，均为等边三角形， ，，， ， 即， 在与中， ， ； (2) 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质、三角形内角和定理等知识；本题综合性强，难度不大，证明三角形全等是解决问题的关键． （1）由等边三角形的性质可证得，可求得； （2）由（1）中得，结合，和三角形内角和定理即可得出． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知：. ， ，， ． 7．（24-25八年级上·湖南邵阳·期中）已知和都是等腰三角形，且，，．    (1)【初步感知】如图，当点、分别落在边、上时，那么 ______（填、或） (2)【发现证明】如图，将图中的绕点旋转，当点在外部，点在内部时，求证：； (3)【深入研究】如图，如果和都是等边三角形，且点、、在同一条直线上，则的度数为______；线段、之间的数量关系为__________________； 【答案】(1) (2) 证明：， ，即， 在和中， ， ， ； (3)； 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）结合图形和条件解答即可； （2）证明，根据全等三角形的性质证明结论； （3）根据等边三角形的性质得到，进而得到，证明，根据全等三角形的性质解答即可． 【详解】（1）解：，， ， ， 故答案为：； （2）略 （3）解：为等边三角形， ， ， 同（2）可得：， ，， ， 故答案为：；． 8．（25-26七年级下·山东威海·期中）如图，已知与都是等边三角形，点B、C、D在同一条直线上，与相交于点G，与相交于点F，与相交于点H，连接．给出下列结论：①；②；③；④是等边三角形．其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，利用等边三角形的性质得出条件，可证明：，可判断①正确；利用得出，利用8字形可得，可判断②正确；证明，得，可判断③正确；由和，根据“有一个角是的三角形是等边三角形可得是等边三角形，可判断④正确，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴，故①正确； ∵， ∴． ∵， ∴，故②正确； 在和中， ， ∴， ∴，；故③正确； ∵，， ∴是等边三角形；故④正确． 故选：D． 9．（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，，，，，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件证明，利用全等三角形的性质逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，故A正确，不符合题意； ∵， ∴，故D正确，不符合题意； ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴，故B正确，不符合题意； ∵是直角三角形，而不一定是直角三角形，无法证明，故C错误，符合题意． 10．（25-26七年级下·江西萍乡·期末）如图，在中，，，点D是线段的中点，将一块锐角为的直角三角板按如图（）放置，使直角三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连接、，与交于点F，则______． 【答案】 【分析】由已知条件可知，，，，进而推出，得到，再利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：，点D是线段的中点， ，， ， 是锐角为的直角三角板， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ． 11．（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，点为三角形右侧外一点，且，连接．若的面积为，则线段的长度为_______． 【答案】 【分析】作交直线于F，证，得出，利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：作交直线于F，连接， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴的面积为， 即， ∴ ∴（负值舍去）． 12．（25-26八年级上·海南·期中）在艺术工作室里，设计师用两个等腰三角形和创作几何艺术装置．其中，，，交于点．请你解决以下关于这个艺术装置的几何问题 (1)直角风格的装置 如图，当时，求证：，； (2)六十度风格的装置 如图，当时，求的度数； (3)猜想：任意顶角的装置 当时，的度数为________（直接用含的式子表示） 【答案】(1)证明：设、交于点， ， ，即． 在与中， ， ， ，． ， ． ， ， ， ； (2) (3) 【分析】（1）由，可得，证明，得到，，结合，即可得出结论； （2）由，可得，证明，得到，结合，即可解答； （3）根据（2）中的方法进行解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：设、交于点， ， ，即． 在与中， ， ． ，，， ； （3）解：， ，即． 在与中， ， ． ，，， ． 13．（2025·河北邯郸·三模）如图1，在中，，，D是上的一点，且，连接，． (1)试判断与的位置关系和数量关系，并说明理由； (2)如图2，若将绕点E旋转一定的角度后，仍然有，，试判断与的位置关系和数量关系是否发生变化； (3)如图3，若将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，且与交于点F，其他条件不变． ①请直接写出与的数量关系； ②你能求出与所成的较小的角的度数吗？如果能，请直接写出该角的度数；如果不能，请说明理由． 【答案】(1) 解：，． 理由：延长交于点F，如图 在和中， ． ，． ， ． ， ． ， ． (2)没有发生变化 (3)①，②能， 【分析】本题考查等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握手拉手模型，是解题的关键： （1）延长交于点F，证明，得到，，推出，即可得出结论； （2）证明，得到，，推出，即可得出结论； （3）同法，证明，得到，进而求出的度数即可． 【详解】（1）略 （2）由题意得， ． ． 在和中， ． ，． ， ． ， ． ， ． 与的位置关系和数量关系没有发生变化． （3）①，理由见②． ②能，与所成的较小的角的度数为． 和是等边三角形， ，，，． ． ． 在和中， ． ． ． 即与所成的较小的角的度数为． 14．（24-25九年级上·湖北恩施·期中）如图，和均是顶角为的等腰三角形，，分别是底边，将绕点A旋转，连接，． (1)请写出线段与的数量关系，并说明理由； (2)求直线与相交所夹锐角的度数． 【答案】(1) 解：， 理由：和均是顶角为的等腰三角形， ，，， ，， ， ， ； (2) 【分析】此题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先根据等腰三角形的性质得到，，，推出，然后证明出，进而得到； （2）分别延长和相交于点，首先得出，然后由得到，然后结合三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：分别延长和相交于点， ， ， 即， 由（1）可知， ， ， 又， ． 15．（25-26七年级下·四川成都·阶段检测）如图，已知点是上一点，、都是等边三角形。 (1)吗？为什么？ (2)说明； (3)若绕着点旋转一定的角度（如图2），则上述2个结论还成立吗？（此问只须写出判断结论，不要求说理） 【答案】(1) 解：，理由： 、都是等边三角形， ，，， ，即， ； (2) 解：、都是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ； (3)成立，不成立 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，证明三角形全等是解此题的关键． （1）由等边三角形的性质可得，，，从而得出，再由即可证明； （2）由等边三角形的性质可得，，从而得出，由全等三角形的性质可得，利用证明，即可得出结论； （3）由等边三角形的性质可得，，，从而得出，再由即可证明，由已知条件不能证明，故不成立． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：成立，不成立， 理由如下： 、都是等边三角形， ，，， ，即， ， 由已知条件不能证明，故不成立． 16．（25-26七年级上·山东东营·期中）如图，已知和都是等边三角形，且A、C、E三点共线．与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连结．以下五个结论：①；②；③；④是等边三角形；⑤．其中正确结论的有（   ）个．    A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】由等边三角形的性质，证，即可判断①结论； 根据全等三角形的性质，得到，结合对顶角相等可推出，然后根据三角形外角的性质，即可判断②结论； 证明，即可判断③结论； 根据全等三角形的性质，结合等边三角形的判定，即可判断④结论： 根据等边三角形的性质，得出，即可判断⑤结论． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，①结论正确； ∵， ∴， 又∵， ∴， ②结论正确； ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，③结论正确； ∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形，④结论正确； ∴， ∴， ∴，⑤结论正确； ∴正确结论的是①②③④⑤，共5个， 故选：A． 【点睛】本题考查了内错角相等两直线平行，全等的性质和综合（），全等的性质和（）综合（或者），等边三角形的判定和性质等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 17．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，和都是等边三角形，连接、相交于点M，连接、．①；②；③；④平分．其中正确的有（　　）个．    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】可证，从而可证()，进而可求，即可判断①③；过作交于，作交于，可证，即可判断④；当、、在一条直线上时，可判断②；即可求解． 【详解】解：和都是等边三角形， ，， ， ， 即：， 在和中 ， ()， ， ， ， ， 即：， ， 故①③都正确； 如图，过作交于，作交于，   ， ， 平分， 故④正确； 如图，当、、在一条直线上时，    此时满足已知条件，但与显然不平行，故③错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，掌握判定方法及性质是解题的关键． 18．（25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作： (1)观察猜想 如图1，在中，分别以为边向外作等腰直角和等腰直角，，连接，，则与的数量关系为___________，位置关系为___________； (2)类比探究 如图2，已知，以为边分别向外作等边和等边，交于点，求的大小． (3)解决问题 如图3，已知点在等边的外部，并且点与点位于线段的异侧，连接．若，，，则的长为___________． 【答案】(1)， (2) (3)5 【分析】（1）设交于点，结合等腰直角三角形的定义，利用“”证明，由全等三角形的性质可得，，再证明，即可证明； （2）结合等边三角形的性质，利用“”证明，由全等三角形的性质可得，再证明，然后由三角形内角和定理即可获得答案； （3）在上取点，使得，证明为等边三角形，利用“”证明，，即可获得答案． 【详解】（1）解：如下图，设交于点， ∵和均为等腰直角三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴，即， 故答案为：，； （2）∵和均为等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴； （3）如下图，在上取点，使得， ∵，，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了“手拉手模型”的应用，涉及的知识点包括全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的定义、三角形内角和定理等知识，正确理解题意，熟练运用相关知识是解题关键． 19．（25-26七年级上·山东泰安·期末）某学校的数学兴趣小组发现这样一个模型，两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，会形成一组全等的三角形，具有这个规律的图形称为“手拉手”图形． (1)［自主探究］如图1，在中，分别以，为边向外作等腰直角和等腰直角， ，连接，，求证：； (2)［拓展提升］如图2，如图，，，，连接、，射线交于点，求度数． 【答案】(1) 证明：分别以，为边向外作等腰直角和等腰直角， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； (2) 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的性质及判定、三角形内角和定理的应用，准确识图，正确使用相关定理是正确解答此题的关键． （1）根据等腰直角和等腰直角， ，只要证明，即可解决问题； （2）同法证明，根据全等三角形的性质得出，根据三角形的内角和定理即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：设与交于点， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又，， ． 20．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）探究等边三角形“手拉手”问题． (1)如图，已知，均为等边三角形，点在线段上，且不与点、点重合，连接，则与的位置关系是_____，请说明理由； (2)如图，已知、均为等边三角形，连接、，若，求证：（即、、在同一条直线上）； (3)如图，已知点在等边三角形外，点、点位于线段的异侧，连接、，若，则线段、、三者之间的数量关系是______，请说明理由． 【答案】(1) 平行，理由如下： ∵都是等边三角形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴ ， ∴， ∴； (2) 证明： ∵都是等边三角形， ∴， ∴， 即. ∵， ∴， ∴， ∴, ∴； (3) ，理由如下： 在线段上取一点H，使得，设交于点O， ∵都是等边三角形， ∴. ∵， ∴. ∵， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴. 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，平行线的判定， 对于（1），根据“边角边”证明，再根据全等三角形的性质得，然后根据平行线的判定定理得出结论； 对于（2），根据题意可知，再证明，可得，进而得出答案； 对于（3），在线段上取一点H，使得，再证明，可得，然后证明是等边三角形，根据等边三角形的性质得，结合图形可得答案. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 21．（24-25七年级下·陕西西安·阶段检测）问题提出 （1）如图，在和中，，，（），将绕点顺时针旋转，连接．当点落在边上且三点共线时，在这个“手拉手”模型中，和全等的三角形是_______，的度数为____________； （2）如图，已知等边三角形，，是其外一点，且，，求四边形的周长； 问题解决 （3）某市园林绿化部门在某小区门口的空地上新建一个家门口的“口袋公园”，设计形状大致为三角形，如图所示，段临街道有足够长度，是小道上某小区的入口（点不在点处），且米，设计人员准备将公园分成，两大部分，是内一标志点，此处将栽植一棵风景大树，设计，，内部种植三种不同类的草坪，平均每平方米约元，留出适当大小的区域作为休闲健身区，其内安装健身器材需元，请你预算满足上述条件的建设费用大致需多少元？（不考虑其他花费） 【答案】（）；；（）四边形的周长为；（）满足条件的建设费用元． 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定，全等三角形的应用，等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用，正确地添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． （）先求出，进而得，再依据“”判定和全等得，由此得，据此即可得出答案； （）延长到，使，连接，证明是等边三角形，得，，再根据是等边三角形得，，由此得，进而依据“”判定和全等得，则，由此即可得出四边形的周长； （）过点作交于点，连接，则和都是等腰直角三角形，进而得，，，，由此得，继而依据“”判定和全等得米，，则，再求出平方米，即可得出种植草坪的费用，据此可得满足条件的建设费用． 【详解】解：（）在中，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴和全等的三角形是，的度数为， 故答案为：；； （）延长到，使，连接，如图所示， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形，， ∴，， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即， ∴四边形的周长为； （）过点作交于点，连接，如图所示， ∵，， ∴和都是等腰直角三角形， ∴，，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴（米），， ∴，即， ∴（平方米）， ∴在内部种植三种不同类的草坪，平均每平方米约元， ∴在内部种植草坪的费用为：（元）， 又∵在区域内安装健身器材需元， ∴满条件的建设费用为（元）， 答：满足条件的建设费用元． 22．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形． (1)发现问题：如图1，和是顶角相等的等腰三角形，、分别是底边．求证：； (2)解决问题：如图2，若和均为等腰直角三角形，，点B、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接，请判断线段，，之间的数量关系并说明理由． (3)尝试探究：如图3，在（2）问的条件下，延长交于点P，与交于点N，连接，，，，求的长度． 【答案】(1) 证明：和是顶角相等的等腰三角形 ，，， 即 在和中， ， ， ； (2) ，理由： 由（1）知且， 是等腰直角三角形，且， ， ， ； (3) 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据等腰三角形的性质得出，，，再结合图形及全等三角形的判定和性质即可证明； （2）由（1）知且，结合图形及等腰直角三角形的性质求解即可； （3）作，垂直于的延长线于，根据全等三角形的判定得出，，，再由全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）作，垂直于的延长线于， ， ， ，同理， 在和中， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ∵， ∴， 在和中， ， ， ，，， 设， ， ， ， ， 解得， ． 23．（25-26七年级下·山东济南·期末）【阅读材料】 小明同学发现一个规律：两个共顶点且顶角相等的等腰三角形，底角顶点连起来，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，小明把具有这种规律的图形称为“手拉手模型”．    【材料理解】（1）如图1，与都是等腰三角形，，，且，则有　　　；线段和的数量关系是　　　． 【深入研究】（2）如图2，与都是等腰三角形，，，且，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由； 【深化模型】（3）如图3，，，求证： 【答案】（1），； （2）解：，，理由如下： ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． （3）证明如图，作，，连接，    ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴D、C、H三点共线， ∴， ∵， ∴，又，， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、等边三角形的判定与性质，理解题中“手拉手模型”，熟练掌握全等三角形的性质，利用类比方法证明是解答的关键． （1）先得到，再证明，然后利用全等三角形的对应边相等可得结论； （2）同理先得到，再证明，得到，，进而利用三角形的外角性质得到即可证得结论； （3）作，，连接，证明是等边三角形，得到，，进而得到D、C、H三点共线，则，然后证明得到即可证的结论． 【详解】解：（1）∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：；； （2）略 （3）略 24．（25-26八年级上·河南南阳·期中） (1)问题发现： 两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，我们把具有这种规律的图形称为“手拉手”图形， 如图1，和是顶角相等的等腰三角形，即，，且，分别连接，．求证：；（请在下面的证明过程中填写上理由或数学式） 证明： 在和中 ① ②（_________________） ③（________________________________________________） (2)类比探究：如图2，和都是等腰三角形，即，，且，B，C，D在同一条直线上．请判断线段与存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由． (3)问题解决：如图3，若和均为等腰直角三角形，且，，，点A，D，E在同一条直线上，为中边上的高，连接，若，，请直接写出的长，不说明理由． 【答案】(1)① ；② ；③ 全等三角形的对应边相等． (2)与的数量关系，位置关系是， 理由如下： ， ， 即， 在和中，， ， ，， 是等腰三角形且， ， ， ， ． (3)2.5． 【分析】（1）根据三角形全等的判定和性质填空即可． （2）根据（1）问中，“手拉手”全等的证明，可得，利用全等的性质可得，，又因为是等腰直角三角形，可得，从而可知，即． （3）由是等腰直角三角形，为中边上的高，可证得，根据（1）问中，“手拉手”全等的证明，可得，从而得，即可求出的长． 【详解】（1）解：①， ②， ③全等三角形的对应边相等． （2） 略 （3）解：由（1）的方法得，， ， 是等腰直角三角形， ， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形、等腰直角三角形的性质、三线合一等性质，熟练掌握三角形的有关性质是解题的关键． 25．（2026·辽宁大连·一模）【模型定义】 它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．他们得知这种模型称为“手拉手模型”如果把小等腰三角形的腰长看作是小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手． 【模型探究】 （1）如图，若和均为等边三角形，点、、在同一条直线上，连接，则的度数为 ；线段与之间的数量关系是 ． 【模型应用】 （2）如图，，，求证：； （3）如图，为等边内一点，且，以为边构造等边，这样就有两个等边三角形共顶点，然后连接，求的度数是 ． 【拓展提高】 （4）如图，在中，，，点为外一点，点为中点，，，求的度数．（用含有m的式子表示） （5）如图，两个等腰直角三角形和中，，，，连接，，两线交于点，请证明和的数量关系和位置关系． 【答案】（1），； （2）证明：如图中，延长到，使得． ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ． ． （3）； （4）； （5）且；理由如下： ， ． ． 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， 综上所述：且． 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）由和均为等边三角形，可证，可得，，由点、、在同一条直线上，可求即可； （2）延长到，使得，由，可证为等边三角形，可得，由，，可证为等边三角形，可证，可得即可； （3）由，由与都是等边三角形，可证，可得，，可证是直角三角形且即可； （4）将绕点逆时针旋转得到，连接、、、，延长到，使得，连接、．先证，再证，最后证，可得； （5）由两个等腰直角三角形和中，，，，可证，可得，再求即可； 【详解】解：（1）如图， 和均为等边三角形， ，，． ． 在和中， ， ． ．， 为等边三角形， ． 点，，在同一直线上， ． ． ． 故答案为：，． （2）略 （3）解：以为边构造等边，连接，如图3所示： 与都是等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 是直角三角形， ， ， ， 故答案为：； （4）解：如图中，将绕点逆时针旋转得到，连接、、、，延长到，使得，连接、． 由（1）可知， ，， ，，， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ，， ， ． （5）略 26．（25-26七年级下·江西抚州·阶段检测）【阅读材料】小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形， 如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，小明发现若，，，则≌． 【材料理解】（1）在图1中证明小明的发现． 【深入探究】（2）如图2，和是等边三角形，连接BD，EC交于点O，连接AO，求的度数？ 【延伸应用】（3）如图3，，，试探究与的数量关系． 【答案】 （1）证明：∵， ∴， 即 ， ∵，， ∴， （2）； （3） ． 【分析】（1）根据，可得 ，再由，，即可求证； （2）先证明，可得： ，从而，再根据三角形的内角和等于 ，即可求解； （3）延长DC至点P使PD=BD，连接BP，可得 是等边三角形，则可得 ，从而可证 ，继而 ，即可解答． 【详解】（1）略 （2）∵和是等边三角形， ∴，，， ∴ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴， ∴， ∵在 中， ， ∴， 即 ； （3） ，理由如下： 如图3，延长DC至点P使PD=BD，连接BP， ∵， ∴ 是等边三角形， ∴ ， ， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，根据题意找到准确的全等三角形，并会利用类比思想是解题的关键． 27．（25-26八年级上·湖北襄阳·阶段检测）襄阳市第二十中学八年级数学兴趣小组的同学发现这样一个模型：它是由两个共顶角顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在两个等腰三角形顶角的变化过程中，始终存在一对全等三角形．数学兴趣小组同学称此模型为“手拉手模型”．请你和数学兴趣小组的同学一起研究下面的问题． (1)如图1，在和中，，，，，，三点共线，连接，请猜想和的数量关系与位置关系并证明； (2)如图2，在和中，，，，连接，，延长交于点．求的度数； (3)如图3，在和中，，，，连接，交于点．连接，，延长交于点，完成图形并求的度数（用含的代数式表示）． 【答案】(1)且 (2) (3) 【分析】本题主要考查全等三角形的判定()和性质(对应边相等、对应角相等)，同时结合角的和差运算、对顶角相等以及三角形内角和定理，通过角的代换实现未知角与已知角的转化，是对几何图形中“边、角关系”综合运用能力． （）先通过角的和差关系推出，再利用证明，得到与的数量关系；接着通过角的代换，结合直角三角形的性质，推导出与的垂直位置关系； （）先由角的和差得到，借助证明，得出；再利用对顶角相等和三角形内角和定理，将转化为已知的，进而求出度数； （）先通过角的和差推出，用证明，得到对应角相等；进一步根据证明，推出平分，再结合对顶角相等和三角形内角和的等量代换，推导出与的数量关系． 【详解】（1）结论：，且， 证明∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，且， 设与交于点， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴； （2）∵， ∴， 即， 在和中 ， ∴， ∴， 设与交于点， 在和中，(对顶角相等)， ∴ （3）连接，交于点．连接，，延长交于点，作交于点，交于点， ∵， ∴，即， 在和中 ， ∴， ∴， 设与交于点， ∵， ∴， ∵， ∴ 在和中 ， ∴， ∴， 又∵， ∴平分， ∴， ∴， 又∵ ∴， ∴． 28．（24-25七年级下·四川·期中）【阅读材料】小明同学发现一个规律：两个共顶点且顶角相等的等腰三角形，底角顶点连起来，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，小明把具有这种规律的图形称为“手拉手模型”． 【材料理解】（1）如图1，与都是等腰三角形，，，且，证明：． 【深入研究】（2）与都是等腰三角形，，，且，证明：； 【深化模型】（3）如图3，，，，求的长． 【答案】 （1）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明： ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）9 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定等知识，综合性强，难度较大． （1）证明，进而证明，即可得到； （2）证明，进而证明，得到，根据得到，问题得证； （3）在上截取，连接，则．先证明，都是等腰三角形，得到，进而证明，即可求出． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）如图，在上截取，连接，则． ∵，，， ∴，都是等腰三角形， ∴， ∴， 即． 在和中， ∴， ∴． 29．（25-26八年级上·福建厦门·期中）【问题提出】（1）如图1，都是等边三角形，求证：； 【方法提炼】这两个共顶点的等边三角形，其在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，即．如果把小等边三角形的一边看作“小手”，大等边三角形的一边看作“大手”，这样就类似“大手拉着小手”，不妨称之为“手拉手”基本图形，当图形中只有一个等边三角形时，可尝试在它的一个顶点作另一个等边三角形，构造“手拉手”基本图形，从而解决问题． 【方法应用】 （2）等边三角形中，是边上一定点，若点在边上，以为一边作等边三角形，连接．求证，； （3）如图3，在中，，点是的中点，点是边上的一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接，则是否有最小值，如果有，求出它的最小值：如果没有，请说明理由． 【答案】 （1）证明：∵都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：过点E作，交于点G， ∵是等边三角形，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）有最小值，最小值为2； 【分析】（1）证明，即可证明； （2）过点E作，交于点G，先证明是等边三角形，再证明 ，得出，即可得出结论； （3）以为边，在下方构造等边三角形，连接，通过证明，得出，则，根据点Q在直线上，得出当时，取最小值，即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：有最小值，最小值为2； 以为边，在下方构造等边三角形，连接， ∵，点D为中点， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点Q在直线上， ∴当时，取最小值， 此时，． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关性质定理，正确画出辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 30．（25-26八年级上·江苏苏州·期末）【手拉手模型】由两个顶角相等且有公共顶角顶点的等腰三角形组成的图形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，这种模型称为“手拉手模型”． (1)如图1，在△和△中，，，，连接、，当点落在边上，且、、三点共线时，与△全等的三角形是 ，的度数为 ． (2)如图2，已知△和△为等腰直角三角形，其中，连接、，线段和交于点． ①证明：且； ②如图3，连接、，过点作，垂足为，垂线交于点，请你判断和的数量关系 ，并说明理由． 【答案】(1)△， (2) ①证明：△和△均为等腰直角三角形，， ，， ， ， 在△和△中， ， △△， ，， ， ； ②，理由如下： 过点作于点，过点作延长线于点， ，，， ， 在△中， ， ， ， 在△和△中， ， △△， 同理：△△， ，， ， 在△和△中， ， △△， ． 【分析】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）利用证明△△，得出，结合三角形外角的性质即可得出，即可求解； （2）①利用证明△△，得出，，然后利用直角三角形的性质即可得出； ②过点作于点，过点作延长线于点，根据垂直的定义得到，根据余角的性质得到，根据全等三角形的判定定理得到△△，同理：△△，求得，根据全等三角形的性质得到． 【详解】（1）解：如图1中， 在△和△中， ， △△， ， ， ， 故答案为：△，； （2）略． 31．（25-26八年级上·湖北黄冈·期中）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来， 则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形． (1)【发现问题】如图1，和是顶角相等的等腰三角形，分别是底边，求证：； (2)【解决问题】如图2，若和均为等腰直角三角形，，点B、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接，求证：． (3)【尝试探究】如图3，在（2）问的条件下，延长交于点P，与交于点N，连接，，，求的长度． 【答案】(1) 证明：∵和是顶角相等的等腰三角形， ∴， ∴，即， ∴， ∴； (2) 证明：∵和均为等腰直角三角形， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形，为中边上的高， ∴，即， ∵， ∴； (3) 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，理解顶角相等的等腰三角形，掌握全等三角形的判定和性质是关键． （1）根据题意证明，即可求证； （2）根据题意证明，有等腰直角三角形斜边中线等于斜边的一半，等量代换即可求解； （3）过点作于点，延长线于点，可证，得，结合题意得到，再，得，从而证明，得，设，则，，根据，，列式求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图所示，过点作于点，的延长线于点， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ∴， 在中，由是等腰直角三角形得，， ∵， ∴， ∴，且， ∴， ∴，则， ∵由（2），，且， ∴， ∴， ∴，，，即， ∴，， ∵， 设， ∴，则， ∴， ∵， ， ∴， 解得，， ∴． 32．（2026·甘肃张掖·模拟预测）在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”．兴趣小组进行了如下操作： (1)观察猜想：如图①，已知均为等边三角形，点D在边上，且不与点B、C重合，连接，易证，进而判断出与的位置关系是___________ (2)类比探究：如图②，已知均为等边三角形，连接，若，试说明点B，D，E在同一直线上； (3)解决问题：如图③，已知点E在等边的外部，并且与点B位于线段的异侧，连接．若，请求出的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3)5 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）利用证明，可求出，利用平行线的判定即可得出结论； （2）利用证明，可得出，进而得出，即可得证； （3）在线段上取一点，使得，设交于点，先利用外角的性质证明，再利用证明，得出，，则可证明是等边三角形，得出，即可求解． 【详解】（1）解：， 理由如下：、都是等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ， ， ； 故答案为：； （2）证明：、都是等边三角形， ，，， ，即， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 点，，在同一直线上； （3）解：如图③，在线段上取一点，使得，设交于点， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 是等边三角形， ， ，即， ，， ． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 全等三角形模型之手拉手模型 手拉手模型是全等三角形综合性极强的经典几何模型，是中考几何解答题、压轴小题的高频考点，常结合等边三角形、等腰直角三角形、等腰三角形综合命题，重点考查学生的全等识别与边角迁移能力。该模型核心特征为共顶点、等线段、共夹角，形似双手相拉，构图规律极强。 其核心解题原理依托SAS全等判定定理，利用公共角叠加或减去等角得到夹角相等，快速证明两组三角形全等，进而实现线段相等、角度相等的转化。考题常衍生出角度定值、线段平行、线段垂直和周长定值等延伸结论，题型灵活多变。 中考命题多隐性构图，不会直接点明模型，常嵌套在复杂图形中考查。该模型综合性高、延展性强，是衔接基础全等证明与几何压轴探究题的核心题型，也是初中几何体系中必须掌握的核心解题模型。 模型来源 1 知识储备 2 例讲模型 2 模型1.全等模型--手拉手模型 2 易错点与方法总结 14 模型运用 15 A组（基础题） 15 B组（能力提升题） 21 C组（综合压轴题） 31 手拉手模型并非课本明文规定的几何定理，而是初中几何教研体系中，基于全等三角形SAS判定定理归纳提炼出的经典综合性解题模型，起源于共顶点等腰图形的规律探究。在基础几何题型中，两个拥有公共顶点、且顶角相等的等腰三角形，会形成结构相似、对称关联的几何图形，早期几何习题与考题中频繁出现此类构图，逐渐形成固定解题规律。 该模型最初源自等边三角形共顶点的全等探究，后续拓展至等腰直角三角形、任意等腰三角形题型。因图形中两组对应线段相连的形态如同双手牵拉，被形象命名为手拉手模型。其核心本质是利用公共顶角做等量加减，构造等角，结合等腰三角形等线段条件，满足SAS全等判定，实现边角关系转化。 随着中考几何命题愈发侧重综合探究，此类共顶点构图题型考查频次大幅提升，教研团队将零散的解题思路系统化、模板化，正式确立手拉手模型体系。该模型根植于课本基础几何性质，是对同类几何题型规律的高度总结，如今成为衔接基础全等题型与几何压轴探究题的核心经典模型。 1）等腰/等边三角形性质：两腰相等，顶角相等； 2）等式性质：等角同时加上/减去公共角，所得角度仍然相等； 3）SAS 全等判定定理（手拉手全等判定固定用 SAS，极少使用 AAS/ASA）； 4）三角形外角定理、倒角书写格式；倒角标配：手拉手全等 + 八字（8 字）模型； 5）两点之间线段最短（拓展最值使用）。 模型1.手拉手模型（全等） 【模型提炼与证明】 1）双等边三角形型 条件：△ABC和△DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。 证明： ∵△ABC和△DCE均为等边三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60° ∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即：∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMF，∴∠AFM=∠BCM=60°， 过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。 2）双等腰直角三角形型条件：△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点N。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BND。 证明： ∵△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=90° ∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMN，∴∠ANM=∠BCM=90°， 过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。 3）双等腰三角形型 条件：BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠BCM=∠AFM；④CF平分∠BFD。 证明： ∵∠BCA=∠ECD，∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD， 又∵BC=AC，CE=CD，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD，∠CBE=∠CAD， 又∵∠CMB=∠AMF，∴∠BCM=∠AFM，过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°， 又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。 4）双正方形形型 条件：四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，C为公共点；连接BG，ED交于点N。 结论：①△BCG≌△DCE；②BG=DE；③∠BCM=∠DNM=90°；④CN平分∠BNE。 证明： ∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，∴BC=AC，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90° ∴∠BCD+∠DCG=∠ECG+∠DCG，即∠BCG=∠DCE，∴△BCG≌△DCE（SAS）， ∴BG=DE，∠CBG=∠CDE，又∵∠CMB=∠DMN，∴∠BCM=∠DNM=90°， 过点C作CP⊥DE,CQ⊥BG,则∠CPD=∠CPB=90°，又∵∠CBG=∠CDE，BC=DC，∴△BCQ≌△DCP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。 【模型运用】 【典例1】（24-25八年级上·湖北·期中）如图，点C是线段上一点，、是等边三角形．与交于点E，与交于点F，与交于点D．下列结论：①；②；③是等边三角形；④平分．其中正确的有（   ）个 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【典例2】（24-25八年级上·河北秦皇岛·期末）已知：如图，和均为等边三角形，点、、在一条直线上，交于点，交于点，交于点．下列结论： ①，②， ③，④，⑤．正确的个数是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【典例3】（25-26九年级上·内蒙古赤峰·阶段检测）如图，点C为线段上的一动点（不与A，B重合），在同侧分别以，为边作等边和等边，，相交于点F，交于点M，交于点N，连接．则下列结论： ①； ②； ③是等边三角形； ④． 其中正确的是 ________ ．（只填写序号） 【典例4】（25-26八年级下·浙江嘉兴·开学考试）如图，和都是等边三角形，连结，若，则的度数为_________． 【典例5】（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图1，，都是等边三角形，点A、B、C在同一直线上，和交于点P． (1)求证：； (2)求的度数； (3)如图2，M，N分别是，的中点，试判断的形状，并证明你的结论． 模型常见易错点 1）找错拉手三角形，对应边、对应角匹配错误 错误：随意挑选三角形，没有按照 “左腰配左腰，右腰配右腰” 配对。 正解：共顶点出发的两条边两两组合，严格按照旋转对应关系写全等。 2）角度运算出错，分不清是加公共角还是减公共角 内旋用加公共角，外旋用减公共角，看到图形先观察重叠区域，再处理角度。 3）只会证全等，不会用八字模型求拉手夹角 很多学生只能完成第一问全等证明，第二问角度定值无从下手，忽略八字倒角的搭配使用。 4）把拉手夹角当成补角，记错结论 等边手拉手夹角 60°，等腰直角夹角 90°，普通等腰夹角等于顶角 α，并非 180°−α。 5）大题直接套用模型结论，缺少角度推导过程 解答题不能直接写 “手拉手模型，所以全等”，必须写出角度加减的步骤，补齐 SAS 条件。 解题方法总结 手拉手模型是初中几何旋转构造的基石，承接静态全等证明，过渡到动态几何探究，是从静态图形走向动态旋转的分水岭。它常以等边、等腰直角三角形为载体，出现在中考几何压轴探究题，一般分三小问：证全等→求角度定值→线段最值。本模型搭配八字倒角、将军饮马最值，可以组合成综合大题，熟练掌握手拉手的构造与倒角逻辑，能够大幅提升几何压轴解题能力，完善全等几何模型体系。 万能口诀 共顶点，两等腰，顶角相等条件好；公共角上做加减，造出夹角刚刚好； SAS 全等写规范，拉手边长一样高；八字倒角算夹角，角度等于原顶角。 1．（24-25八年级上·福建厦门·期中）若和都是等边三角形，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，和都是等边三角形，、相交于点O，交于点M，交于点N，连接，则下列结论不一定成立的（   ） A． B． C．是等边三角形 D． 3．（24-25八年级上·河北廊坊·阶段检测）如图，是等边三角形，D为边上一点，以为边作等边，连接．若，则的度数是______． 4．（2026·吉林长春·二模）如图，点为线段上一点，、都是等边三角形，、交于点，、交于点，、交于点，连结，给出下面四个结论：；；；．上述结论中，一定正确的是______（填所有正确结论的序号）． 5．（25-26八年级上·辽宁鞍山·阶段检测）如图，、均为等边三角形，连接交于点O，与交于点P，则的度数是______． 6．（25-26八年级上·四川自贡·期末）已知：如图，点在线段上，和都是等边三角形，且在同侧，连接交于点，连接交于点，交于点，连接． (1)求证：； (2)求的度数． 7．（24-25八年级上·湖南邵阳·期中）已知和都是等腰三角形，且，，．    (1)【初步感知】如图，当点、分别落在边、上时，那么 ______（填、或） (2)【发现证明】如图，将图中的绕点旋转，当点在外部，点在内部时，求证：； (3)【深入研究】如图，如果和都是等边三角形，且点、、在同一条直线上，则的度数为______；线段、之间的数量关系为__________________； 8．（25-26七年级下·山东威海·期中）如图，已知与都是等边三角形，点B、C、D在同一条直线上，与相交于点G，与相交于点F，与相交于点H，连接．给出下列结论：①；②；③；④是等边三角形．其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，，，，，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 10．（25-26七年级下·江西萍乡·期末）如图，在中，，，点D是线段的中点，将一块锐角为的直角三角板按如图（）放置，使直角三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连接、，与交于点F，则______． 11．（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，点为三角形右侧外一点，且，连接．若的面积为，则线段的长度为_______． 12．（25-26八年级上·海南·期中）在艺术工作室里，设计师用两个等腰三角形和创作几何艺术装置．其中，，，交于点．请你解决以下关于这个艺术装置的几何问题 (1)直角风格的装置 如图，当时，求证：，； (2)六十度风格的装置 如图，当时，求的度数； (3)猜想：任意顶角的装置 当时，的度数为________（直接用含的式子表示） 13．（2025·河北邯郸·三模）如图1，在中，，，D是上的一点，且，连接，． (1)试判断与的位置关系和数量关系，并说明理由； (2)如图2，若将绕点E旋转一定的角度后，仍然有，，试判断与的位置关系和数量关系是否发生变化； (3)如图3，若将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，且与交于点F，其他条件不变． ①请直接写出与的数量关系； ②你能求出与所成的较小的角的度数吗？如果能，请直接写出该角的度数；如果不能，请说明理由． 14．（24-25九年级上·湖北恩施·期中）如图，和均是顶角为的等腰三角形，，分别是底边，将绕点A旋转，连接，． (1)请写出线段与的数量关系，并说明理由； (2)求直线与相交所夹锐角的度数． 15．（25-26七年级下·四川成都·阶段检测）如图，已知点是上一点，、都是等边三角形。 (1)吗？为什么？ (2)说明； (3)若绕着点旋转一定的角度（如图2），则上述2个结论还成立吗？（此问只须写出判断结论，不要求说理） 16．（25-26七年级上·山东东营·期中）如图，已知和都是等边三角形，且A、C、E三点共线．与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连结．以下五个结论：①；②；③；④是等边三角形；⑤．其中正确结论的有（   ）个．    A．5 B．4 C．3 D．2 17．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，和都是等边三角形，连接、相交于点M，连接、．①；②；③；④平分．其中正确的有（　　）个．    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 18．（25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作： (1)观察猜想 如图1，在中，分别以为边向外作等腰直角和等腰直角，，连接，，则与的数量关系为___________，位置关系为___________； (2)类比探究 如图2，已知，以为边分别向外作等边和等边，交于点，求的大小． (3)解决问题 如图3，已知点在等边的外部，并且点与点位于线段的异侧，连接．若，，，则的长为___________． 19．（25-26七年级上·山东泰安·期末）某学校的数学兴趣小组发现这样一个模型，两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，会形成一组全等的三角形，具有这个规律的图形称为“手拉手”图形． (1)［自主探究］如图1，在中，分别以，为边向外作等腰直角和等腰直角， ，连接，，求证：； (2)［拓展提升］如图2，如图，，，，连接、，射线交于点，求度数． 20．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）探究等边三角形“手拉手”问题． (1)如图，已知，均为等边三角形，点在线段上，且不与点、点重合，连接，则与的位置关系是_____，请说明理由； (2)如图，已知、均为等边三角形，连接、，若，求证：（即、、在同一条直线上）； (3)如图，已知点在等边三角形外，点、点位于线段的异侧，连接、，若，则线段、、三者之间的数量关系是______，请说明理由． 21．（24-25七年级下·陕西西安·阶段检测）问题提出 （1）如图，在和中，，，（），将绕点顺时针旋转，连接．当点落在边上且三点共线时，在这个“手拉手”模型中，和全等的三角形是_______，的度数为____________； （2）如图，已知等边三角形，，是其外一点，且，，求四边形的周长； 问题解决 （3）某市园林绿化部门在某小区门口的空地上新建一个家门口的“口袋公园”，设计形状大致为三角形，如图所示，段临街道有足够长度，是小道上某小区的入口（点不在点处），且米，设计人员准备将公园分成，两大部分，是内一标志点，此处将栽植一棵风景大树，设计，，内部种植三种不同类的草坪，平均每平方米约元，留出适当大小的区域作为休闲健身区，其内安装健身器材需元，请你预算满足上述条件的建设费用大致需多少元？（不考虑其他花费） 22．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形． (1)发现问题：如图1，和是顶角相等的等腰三角形，、分别是底边．求证：； (2)解决问题：如图2，若和均为等腰直角三角形，，点B、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接，请判断线段，，之间的数量关系并说明理由． (3)尝试探究：如图3，在（2）问的条件下，延长交于点P，与交于点N，连接，，，，求的长度． 23．（25-26七年级下·山东济南·期末）【阅读材料】 小明同学发现一个规律：两个共顶点且顶角相等的等腰三角形，底角顶点连起来，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，小明把具有这种规律的图形称为“手拉手模型”．    【材料理解】（1）如图1，与都是等腰三角形，，，且，则有　　　；线段和的数量关系是　　　． 【深入研究】（2）如图2，与都是等腰三角形，，，且，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由； 【深化模型】（3）如图3，，，求证： 24．（25-26八年级上·河南南阳·期中） (1)问题发现： 两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，我们把具有这种规律的图形称为“手拉手”图形， 如图1，和是顶角相等的等腰三角形，即，，且，分别连接，．求证：；（请在下面的证明过程中填写上理由或数学式） 证明： 在和中 ① ②（_________________） ③（________________________________________________） (2)类比探究：如图2，和都是等腰三角形，即，，且，B，C，D在同一条直线上．请判断线段与存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由． (3)问题解决：如图3，若和均为等腰直角三角形，且，，，点A，D，E在同一条直线上，为中边上的高，连接，若，，请直接写出的长，不说明理由． 25．（2026·辽宁大连·一模）【模型定义】 它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．他们得知这种模型称为“手拉手模型”如果把小等腰三角形的腰长看作是小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手． 【模型探究】 （1）如图，若和均为等边三角形，点、、在同一条直线上，连接，则的度数为 ；线段与之间的数量关系是 ． 【模型应用】 （2）如图，，，求证：； （3）如图，为等边内一点，且，以为边构造等边，这样就有两个等边三角形共顶点，然后连接，求的度数是 ． 【拓展提高】 （4）如图，在中，，，点为外一点，点为中点，，，求的度数．（用含有m的式子表示） （5）如图，两个等腰直角三角形和中，，，，连接，，两线交于点，请证明和的数量关系和位置关系． 26．（25-26七年级下·江西抚州·阶段检测）【阅读材料】小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形， 如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，小明发现若，，，则≌． 【材料理解】（1）在图1中证明小明的发现． 【深入探究】（2）如图2，和是等边三角形，连接BD，EC交于点O，连接AO，求的度数？ 【延伸应用】（3）如图3，，，试探究与的数量关系． 27．（25-26八年级上·湖北襄阳·阶段检测）襄阳市第二十中学八年级数学兴趣小组的同学发现这样一个模型：它是由两个共顶角顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在两个等腰三角形顶角的变化过程中，始终存在一对全等三角形．数学兴趣小组同学称此模型为“手拉手模型”．请你和数学兴趣小组的同学一起研究下面的问题． (1)如图1，在和中，，，，，，三点共线，连接，请猜想和的数量关系与位置关系并证明； (2)如图2，在和中，，，，连接，，延长交于点．求的度数； (3)如图3，在和中，，，，连接，交于点．连接，，延长交于点，完成图形并求的度数（用含的代数式表示）． 28．（24-25七年级下·四川·期中）【阅读材料】小明同学发现一个规律：两个共顶点且顶角相等的等腰三角形，底角顶点连起来，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，小明把具有这种规律的图形称为“手拉手模型”． 【材料理解】（1）如图1，与都是等腰三角形，，，且，证明：． 【深入研究】（2）与都是等腰三角形，，，且，证明：； 【深化模型】（3）如图3，，，，求的长． 29．（25-26八年级上·福建厦门·期中）【问题提出】（1）如图1，都是等边三角形，求证：； 【方法提炼】这两个共顶点的等边三角形，其在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，即．如果把小等边三角形的一边看作“小手”，大等边三角形的一边看作“大手”，这样就类似“大手拉着小手”，不妨称之为“手拉手”基本图形，当图形中只有一个等边三角形时，可尝试在它的一个顶点作另一个等边三角形，构造“手拉手”基本图形，从而解决问题． 【方法应用】 （2）等边三角形中，是边上一定点，若点在边上，以为一边作等边三角形，连接．求证，； （3）如图3，在中，，点是的中点，点是边上的一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接，则是否有最小值，如果有，求出它的最小值：如果没有，请说明理由． 30．（25-26八年级上·江苏苏州·期末）【手拉手模型】由两个顶角相等且有公共顶角顶点的等腰三角形组成的图形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，这种模型称为“手拉手模型”． (1)如图1，在△和△中，，，，连接、，当点落在边上，且、、三点共线时，与△全等的三角形是 ，的度数为 ． (2)如图2，已知△和△为等腰直角三角形，其中，连接、，线段和交于点． ①证明：且； ②如图3，连接、，过点作，垂足为，垂线交于点，请你判断和的数量关系 ，并说明理由． 31．（25-26八年级上·湖北黄冈·期中）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来， 则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形． (1)【发现问题】如图1，和是顶角相等的等腰三角形，分别是底边，求证：； (2)【解决问题】如图2，若和均为等腰直角三角形，，点B、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接，求证：． (3)【尝试探究】如图3，在（2）问的条件下，延长交于点P，与交于点N，连接，，，求的长度． 32．（2026·甘肃张掖·模拟预测）在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”．兴趣小组进行了如下操作： (1)观察猜想：如图①，已知均为等边三角形，点D在边上，且不与点B、C重合，连接，易证，进而判断出与的位置关系是___________ (2)类比探究：如图②，已知均为等边三角形，连接，若，试说明点B，D，E在同一直线上； (3)解决问题：如图③，已知点E在等边的外部，并且与点B位于线段的异侧，连接．若，请求出的长． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $