专题02 三角形中的倒角模型之平分平行（射影）构等腰、角平分线第二定理模型（几何模型讲义）数学新教材浙教版八年级上册

该初中数学讲义通过整合“平分平行构等腰”“角平分线第二定理”等模型，与飞镖、八字、双角平分线共同构建三角形倒角知识体系，用框架图呈现模型条件、结论及证明过程，结合几何原本历史背景与知识储备，清晰梳理重难点内在联系。 讲义亮点是分层练习设计与方法指导，A组基础题巩固模型应用，B组提升题综合倒角与比例计算，C组压轴题结合射影等复杂情境，如“已知角平分线和平行线求线段长度”典例培养推理意识与几何直观。易错点总结与“角分遇平行，等角换等边”口诀帮助学生突破难点，支持分层教学与自主复习，助力教师精准提升学生几何能力。

专题02.三角形中的倒角模型-平分平行（射影）构等腰、角平分线第二定理模型 平分平行构等腰是初中几何 “由角推边” 的经典构造手段，和飞镖、八字、双角平分线共同构成三角形倒角体系，用来解决无全等条件下的边角转化问题。角平分线第二定理，是从角度倒角过渡到线段比例计算的桥梁，衔接三角形基础与相似几何。 角平分线搭配平行线可推导等腰三角形，用于线段等量转化，常出基础求值题。角平分线第二定理即角分线分对边成比例，依靠相似证明，多用于线段计算。两类模型常综合命题，难点在于识图转化，易混淆比例对应关系，是几何中档常考考点。 模型来源 1 知识储备 1 例讲模型 2 模型1.平分平行（射影）构等腰模型 2 模型2.角平分线第二定理（内角平分线定理与外角平分线定理）模型 7 易错点与方法总结 11 模型运用 12 A组（基础题） 12 B组（能力提升题） 17 C组（综合压轴题） 22 角平分线相关理论最早记载于欧几里得《几何原本》，书中给出角平分线尺规作图与基础性质，为两类模型奠定理论根基。角平分线第二定理由古希腊数学家阿波罗尼奥斯系统推导证明，最初用于平面线段比例研究，是经典几何比例定理。 平分平行构等腰无专属古代定理，是后世教学总结的衍生模型。古人研究平行线与等角关系时，已发现等角对等边规律，但未将角平分线、平行线、等腰三角形三者结合归纳。 近代初中几何教学中，大量考题同时出现角平分线与平行线组合图形，教师归纳出固定解题规律，形成该倒角模型。两类模型均依托古老几何公理，结合中考题型整合简化，去掉复杂推导，提炼直观解题结论，方便学生快速识图解题，成为初中几何标准化拓展模型。 这一模型并非由单一学者独创，而是几何学基本原理（尤其是角平分线和平行线性质）在解决经典问题（如斯坦纳-雷米欧司定理）中自然衍生的方法结晶。其现代形式的明确化与命名，是‌19世纪定理证明方法与20世纪后教学经验提炼‌共同作用的结果。 1）平行线性质：两直线平行，内错角相等； 2）角平分线定义与角平分线的性质（第一定理），等角代换； 3）等腰三角形判定：等角对等边； 4）三角形面积公式；比例式变形与计算。 模型1.平分平行（射影）构等腰模型 【模型提炼与证明】 1）角平分线加平行线必出等腰三角形．    图1 图2 图3 条件：如图1，OO’平分∠MON，过OO’的一点P作PQ//ON. 结论：△OPQ是等腰三角形。 证明：∵PQ//ON，∴∠1=∠3，∵OO’平分∠MON，∴∠2=∠1， ∴∠2=∠3，∴OQ=PQ，∴△OPQ是等腰三角形。 条件：如图2，△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，DE ∥ BC。结论：△BDE是等腰三角形。 证明：∵DE ∥ BC，∴∠BDE=∠DBC，∵BD是∠ABC的角平分线，∴∠DBE=∠DBC， ∴∠DBE=∠BDE，∴BE=DE，∴△BDE是等腰三角形。 条件：如图3，在中，平分，平分，过点O作的平行线与，分别相交于点M，N．结论：△BOM、△CON都是等腰三角形。 证明：由题意得：MN ∥ BC，∴∠BOM=∠OBC，∵BO是∠ABC的角平分线，∴∠OBM=∠OBC， ∴∠BOM=∠MBO，∴BM=OM，∴△BOM是等腰三角形。同理可得：△CON也是等腰三角形。 2）角平分线加射影模型必出等腰三角形． → 图4 条件：如图4，BE平分∠CBA，∠ACB＝∠CDA＝90°. 结论：三角形CEF是等腰三角形。 证明：∵BE平分∠CBA，∴∠CBE=∠ABE，∵∠ACB＝90°，∴∠CBE+∠CEB=90°， ∵∠CDA＝90° ，∴∠ABE+∠BFD=90°，∵∠BFD=∠CFE，∴∠ABE+∠CFE=90°， ∴∠CEB=∠CFE，∴CF=CE，∴三角形CEF是等腰三角形。 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级下·上海杨浦·期末）如图，等边中，的平分线与的平分线交于点，过点作，分别交边、于点D、E．如果，那么的周长________． 【典例2】（25-26八年级下·河南郑州·阶段检测）如图，的平分线与的外角的平分线相交于点F，过点F作交于点D，交于点E，若，，则的长为_______． 【典例3】（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，的平分线与外角的平分线交于点，过点作的平行线交于点，交于点，，，则的值为（      ） A．2 B．9 C．6 D． 【典例4】（25-26七年级下·江西吉安·期末）如图①，中，，的平分线交于点，过点作交于． (1)图①中有几个等腰三角形？猜想：与之间有怎样的关系． (2)如图②，若，其他条件不变，在第（）问中与间的关系还存在吗？ (3)如图③，若中的平分线与平分线交于，过点作，交于，交于，这时与关系又如何？请直接写出结果． 【典例5】（25-26八年级上·广西南宁·期中）在中. (1)如图1，，是边上的高，平分，，相交于点，请直接写出线段与的数量关系； (2)如图2，，是边上的高，的外角的平分线交的延长线于点，其反向延长线与的延长线交于点，则（1）中的结论还成立吗？请说明理由；   (3)如图3，上存在一点，使得，的平分线交于点．的外角的平分线所在直线与的延长线交于点．请求出与的数量关系． 模型2.角平分线第二定理（内（外）角平分线定理）模型 【模型提炼与证明】 1）内角平分线定理 条件：如图，在△ABC中，若BD是∠ABC的平分线。 结论： 证明：作，作DHAB垂足分别为F，H. ∵BD是∠ABC的平分线，∴DF=DH，则= = （2）作BECA垂足为E，则 = = ∴= 2）外角平分线定理 图2 图3 条件：如图2，在△ABC中，∠BAC的外角平分线交BC的延长线于点D。 结论：． 证明：如图2，过C作．交BA的延长线于E， ∵，∴，∠2＝∠4，∠1＝∠3，∵∠1＝∠2，∴∠4＝∠3，∴AE＝AC，∴． 3）奔驰模型（面积） 条件：如图3，的三边、、的长分别是a，b，c，其三条角平分线交于点O，将分为三个三角形。结论：=c：a：b。 证明：过点作于点，作于点，作于点．   由题意知：，，是的三条角平分线，，于，， 的三边、、长分别为a，b，c， ． 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，的三边的长分别为40，50，60，其三条角平分线交于点，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2025·内蒙古锡林郭勒·模拟预测）如图，是中的角平分线，于点E，的面积，，，则的长是（    ） A．3 B．4 C．6 D．5 【典例3】（25-26八年级下·甘肃白银·期末）如图，在中，和的平分线交于点，，，的面积为，则的面积为______． 【典例4】（25-26八年级上·河南南阳·期末）阅读材料： 如图，中，，为底边上任意一点，点到两腰的距离分别为，，腰上的高为，连接，则，即：，（定值）． (1)类比与推理 如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：已知等边内任意一点到各边的距离分别为，，，等边的高为，试证明（定值）． (2)理解与应用 中，，，，，内部是否存在一点O，点O到各边的距离相等？若存在，求出这个距离r的值；若不存在，请说明理由． 【典例5】（25-26七年级下·河南周口·期末）如图，在中，是边上的高，是的角平分线，，． (1)尺规作图：作的平分线，交于点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在满足（1）的条件下，与平行吗？为什么？ 模型常见易错点 1）分不清平行线产生的同位角/内错角，代换角度出错； 只机械记模型，不会写平行线带来的等角，等量代换逻辑断裂。 正解：先写平行→角相等，再写角分→角相等，再等量传递。 2）随便套用角平分线第二定理，忽略使用条件 定理使用前提：线段是内角平分线，且端点落在对边上，外角平分线不能直接套用该比例式。 3）把比例式写反，比例颠倒 记忆口诀：分点两侧的线段之比=相邻两边之比，BD对应AB，DC对应AC。 4）解答题直接写定理结论，没有推导过程 初中课内未学角平分线第二定理，大题不能直接默写公式，需要用面积法/作平行线简单推导再使用。 5）外角平分线 + 平行的结构，套用内角等腰结论 内外构图角度位置不同，需要重新倒角，不能照搬内角模型结论。 解题方法总结 （1）平分平行构等腰（角分线 + 平行线模型） 一条角平分线 + 一条平行线，利用平行线内错角相等，进行等量代换，可推导出三角形两底角相等，进而得到等腰三角形，实现 “角相等→边相等” 的转化，属于纯倒角构造模型。 （2）角平分线第二定理（内角平分线分线段成比例定理） 三角形内角平分线交对边于一点，分对边所得的两条线段，与三角形的两条邻边对应成比例。 本定理可以用面积法推导，是线段比例计算的重要工具，解答题可先推导再使用。 万能口诀：角分遇平行，内错来搭桥；等角换等边，等腰马上出；角分比例式，邻边比底边，设k解方程。 1．（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，在中，的平分线与外角的平分线交于点O，过点O作交于点E，交于点F．若，，则的长是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．（24-25七年级下·江西萍乡·期末）如图，在中，的平分线与的平分线相交于点O，过点O作，分别交、于点M、N，若，，则的周长是（   ） A．60 B．66 C．72 D．78 3．（24-25八年级上·河北沧州·期末）如图，在四边形中，，的平分线与的平分线交于点，且点恰好在边上．若四边形的面积为40，，则的长为（    ） A．9 B．10 C．12 D．26 4．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，在中，，和的平分线分别交于点，，若，，的周长为19，则的长为（   ） A．2 B．3 C．6 D．9 5．（25-26八年级上·山西太原·阶段检测）如图，在中，，的平分线交于点D，若，则的面积是（    ） A．30 B．15 C．20 D．2 6．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，的平分线与的平分线相交于点F，过F作交于D，交于E，若，则的长为_______． 7．（25-26八年级下·山东青岛·期中）【问题情境】 如图①，的内角，的平分线交于点D． 【建立模型】 如图①，的内角，的平分线，交于点． 【建立模型】 （1）如图②，过点作的平行线分别交，于点，．请你写出与，的数量关系并证明． （2）如图③，在图①的基础上，过点作直线，延长和，分别交于点，，若，，请你直接写出的长度（不需要证明）． 【类比探究】 如图④，的内角的平分线，与它的外角的平分线交于点，过点作的平行线分别交，于点，．请你写出与，的数量关系并证明． 8．（24-25八年级上·全国·单元测试）在中，是的平分线，是的高． (1)如图①，若，则_________． (2)如图①，，试说明与的数量关系． (3)拓展：如图②，四边形中，是的平分线，是的平分线，猜想：与的数量关系，并说明理由． 9．（24-25八年级上·广西贺州·期末）如图，已知点A，C分别是的边和延长线上的点，作的平分线，若． (1)求证：是等腰三角形； (2)作的平分线交于点H，若，求的度数． 10．（25-26八年级上·全国·单元测试）已知如图中，，、的平分线相交于点，过点作交、于、． (1)图中有几个等腰三角形？请说明与、间有怎样的关系． (2)若，其他条件不变，如图2，图中还有等腰三角形吗？如果有，请分别指出它们．另第①问中与、间的关系还存在吗？ (3)若中，的平分线与三角形外角的平分线交于，过点作交于，交于．如图3，这时图中还有哪几个等腰三角形？与、间的关系如何？为什么？ 11．（25-26七年级下·河南南阳·阶段检测）如图，等腰中，，是外角的平分线，的平分线交于点，交于点，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（   ） A．①③ B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 12．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，是的角平分线，过点作交于点，交的平分线于点，若，，则的长为（） A． B． C． D． 13．（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，在中，，和的平分线分别交于点、，若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 14．（2026七年级下·上海·专题练习）如图，在中，已知，的平分线交于点E，，点D在上，那么图中等腰三角形的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 15．（25-26八年级上·四川绵阳·期中）如图，在中，，，是边上的高，是的平分线，则的度数为（　　） A． B． C． D． 16．（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，的平分线与中的相邻外角的平分线相交于点，过作，交于，交于，若，，求的长为____________． 17．（25-26八年级上·山西临汾·阶段检测）如图，∠ABC的平分线BF，与△ABC的外角∠ACG的平分线相交于点F，过点F作DFBC交AB于点D，交AC于点E，若BD＝8cm，DE＝2.5cm，则CE的长为______． 18．（25-26八年级下·山东青岛·期中）如图，在中，的平分线与的垂直平分线交于点，连接，，若，，则的度数为___ 19．（2025·山西吕梁·一模）阅读与思考 阅读下列材料，并完成相应任务． 三角形内角平分线性质定理：三角形一个内角平分线内分对边，所得的两条线段与这个角的两边对应成比例．即：知图1，在中，若是的平分线，则． 三角形外角平分线的性质定理：三角形一个外角平分线外分对边，所得的两条线段与其内角的两边成比例．即：如图2，在中，若是的外角的平分线，则． 上述定理的证明方法有多种，我们均采用“面积法”来进行证明． 三角形内角平分线性质定理的证明 证明：如图3，过点作，垂足分别为． 平分， ， ． ， ． 三角形外角平分线性质定理的证明 证明：如图4，过点作，垂足分别为． 平分， ， …… 任务： (1)如图5，在中，是的平分线．若，则_______． (2)请将“三角形外角平分线的性质定理”的证明过程补充完整． (3)如图6，在中，若是的平分线，是的外角的平分线，是线段的中点，且，请直接写出线段的长． 20．（25-26八年级上·安徽六安·期末）已知，如图：中，的平分线相交于点，过点作交于． (1)直接写出图中所有的等腰三角形．指出与间有怎样的数量关系？ (2)在（1）的条件下，若，，求的周长； (3)如图2，若中，的平分线与三角形外角的平分线交于点，过点作交于，交于，请问（1）中与间的关系还是否存在，若存在，说明理由：若不存在，写出三者新的数量关系，并说明理由． 21．（25-26八年级下·辽宁丹东·期中）如图，在中，BC的垂直平分线EF交的平分线BD于点E，连接CE，如果，，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 22．（25-26七年级上·山东淄博·阶段检测）如图，在中，和的平分线交于点E，过点E作交于M，交于N，若，则线段的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 23．（25-26八年级上·江西宜春·期末）课本再现： 思考如图12.3-3，任意作一个角，作出的平分线．在上任取一点P，过点P画出，的垂线，分别记垂足为D、E，测量、并作比较，你得到什么结论？在上再取几个点试一试． 通过以上测量，你发现了角的平分线的什么性质？ 【实验猜想】针对以上问题，同学们进行了小组实验探究，并猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 【推理证明】为了证明该定理，小明同学根据书上的图形（如图12.3-3）写出了“已知”和“求证”，请你利用全等的知识完成证明过程． （1）已知：点P是的平分线上一点，过点P作于点D，于点E．求证：． 【知识应用】（2）如图2，的平分线与的外角的平分线相交于点O，过点O作于点D，于点E，连接． ①证明：平分； ②若，则________． 24．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图①，中，，、的平分线交于点，过点作交于． (1)图中有___________个等腰三角形；与、之间数量关系是___________； (2)如图②，若，其他条件不变，图中有___________个等腰三角形；与、间数量关系是___________； (3)如图③，若中的平分线与三角形外角平分线交于，过点作交于，交于．与、关系又如何？说明你的理由． 25．（24-25八年级上·福建龙岩·阶段检测）【发现】如图1，，E为的中点，平分，过点E作，垂足为F，连接． （1）求证：是的平分线； 【拓展】如图2，和的平分线和相交于点E，过点E的直线与分别相交于点B，C（点B，C在的同侧）． （2）判断E是否为线段的中点，并说明理由； （3）若四边形的面积为16，的面积为2，则的面积是 　 　． 4 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02.三角形中的倒角模型-平分平行（射影）构等腰、角平分线第二定理模型 平分平行构等腰是初中几何 “由角推边” 的经典构造手段，和飞镖、八字、双角平分线共同构成三角形倒角体系，用来解决无全等条件下的边角转化问题。角平分线第二定理，是从角度倒角过渡到线段比例计算的桥梁，衔接三角形基础与相似几何。 角平分线搭配平行线可推导等腰三角形，用于线段等量转化，常出基础求值题。角平分线第二定理即角分线分对边成比例，依靠相似证明，多用于线段计算。两类模型常综合命题，难点在于识图转化，易混淆比例对应关系，是几何中档常考考点。 模型来源 1 知识储备 1 例讲模型 2 模型1.平分平行（射影）构等腰模型 2 模型2.角平分线第二定理（内角平分线定理与外角平分线定理）模型 7 易错点与方法总结 11 模型运用 12 A组（基础题） 12 B组（能力提升题） 17 C组（综合压轴题） 22 角平分线相关理论最早记载于欧几里得《几何原本》，书中给出角平分线尺规作图与基础性质，为两类模型奠定理论根基。角平分线第二定理由古希腊数学家阿波罗尼奥斯系统推导证明，最初用于平面线段比例研究，是经典几何比例定理。 平分平行构等腰无专属古代定理，是后世教学总结的衍生模型。古人研究平行线与等角关系时，已发现等角对等边规律，但未将角平分线、平行线、等腰三角形三者结合归纳。 近代初中几何教学中，大量考题同时出现角平分线与平行线组合图形，教师归纳出固定解题规律，形成该倒角模型。两类模型均依托古老几何公理，结合中考题型整合简化，去掉复杂推导，提炼直观解题结论，方便学生快速识图解题，成为初中几何标准化拓展模型。 这一模型并非由单一学者独创，而是几何学基本原理（尤其是角平分线和平行线性质）在解决经典问题（如斯坦纳-雷米欧司定理）中自然衍生的方法结晶。其现代形式的明确化与命名，是‌19世纪定理证明方法与20世纪后教学经验提炼‌共同作用的结果。 1）平行线性质：两直线平行，内错角相等； 2）角平分线定义与角平分线的性质（第一定理），等角代换； 3）等腰三角形判定：等角对等边； 4）三角形面积公式；比例式变形与计算。 模型1.平分平行（射影）构等腰模型 【模型提炼与证明】 1）角平分线加平行线必出等腰三角形．    图1 图2 图3 条件：如图1，OO’平分∠MON，过OO’的一点P作PQ//ON. 结论：△OPQ是等腰三角形。 证明：∵PQ//ON，∴∠1=∠3，∵OO’平分∠MON，∴∠2=∠1， ∴∠2=∠3，∴OQ=PQ，∴△OPQ是等腰三角形。 条件：如图2，△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，DE ∥ BC。结论：△BDE是等腰三角形。 证明：∵DE ∥ BC，∴∠BDE=∠DBC，∵BD是∠ABC的角平分线，∴∠DBE=∠DBC， ∴∠DBE=∠BDE，∴BE=DE，∴△BDE是等腰三角形。 条件：如图3，在中，平分，平分，过点O作的平行线与，分别相交于点M，N．结论：△BOM、△CON都是等腰三角形。 证明：由题意得：MN ∥ BC，∴∠BOM=∠OBC，∵BO是∠ABC的角平分线，∴∠OBM=∠OBC， ∴∠BOM=∠MBO，∴BM=OM，∴△BOM是等腰三角形。同理可得：△CON也是等腰三角形。 2）角平分线加射影模型必出等腰三角形． → 图4 条件：如图4，BE平分∠CBA，∠ACB＝∠CDA＝90°. 结论：三角形CEF是等腰三角形。 证明：∵BE平分∠CBA，∴∠CBE=∠ABE，∵∠ACB＝90°，∴∠CBE+∠CEB=90°， ∵∠CDA＝90° ，∴∠ABE+∠BFD=90°，∵∠BFD=∠CFE，∴∠ABE+∠CFE=90°， ∴∠CEB=∠CFE，∴CF=CE，∴三角形CEF是等腰三角形。 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级下·上海杨浦·期末）如图，等边中，的平分线与的平分线交于点，过点作，分别交边、于点D、E．如果，那么的周长________． 【答案】12 【分析】根据角平分线的定义可得，，根据平行线的性质可得，，进而根据等角对等边证得，，最后将的周长转化为进行计算． 【详解】解：是等边三角形， ， 平分，平分， ，， ， ，， ，， ，， 的周长 ． 【典例2】（25-26八年级下·河南郑州·阶段检测）如图，的平分线与的外角的平分线相交于点F，过点F作交于点D，交于点E，若，，则的长为_______． 【答案】2 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及平行线的性质． 根据已知条件，、分别平分、，且，可得，，根据等角对等边得出，，根据即可求得． 【详解】解：∵、分别平分、， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：2． 【典例3】（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，的平分线与外角的平分线交于点，过点作的平行线交于点，交于点，，，则的值为（      ） A．2 B．9 C．6 D． 【答案】A 【分析】本题考查角平分线定义，等腰三角形的判定，由角平分线定义得到，由平行线的性质推出，得到，因此，同理：，即可求出．关键是由以上知识点推出，． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴． 故选：A． 【典例4】（25-26七年级下·江西吉安·期末）如图①，中，，的平分线交于点，过点作交于． (1)图①中有几个等腰三角形？猜想：与之间有怎样的关系． (2)如图②，若，其他条件不变，在第（）问中与间的关系还存在吗？ (3)如图③，若中的平分线与平分线交于，过点作，交于，交于，这时与关系又如何？请直接写出结果． 【答案】(1)个， (2)还存在 (3) 【分析】（）根据利用角平分线的定义和平行线的性质即可得出结论； （）利用（）的方法解答即可； （）利用（）的方法解答即可； 本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵ ∴，， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴等腰三角形有：，，，，，共个； 的关系是，理由如下： ∵，， ∴； （2）解：当时，（）的关系还存在，理由如下： ∵平分，平分， ∴，， ∵ ， ∴，， ∴，， ∴，， ∴； （3）解：，理由如下： ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 【典例5】（25-26八年级上·广西南宁·期中）在中. (1)如图1，，是边上的高，平分，，相交于点，请直接写出线段与的数量关系； (2)如图2，，是边上的高，的外角的平分线交的延长线于点，其反向延长线与的延长线交于点，则（1）中的结论还成立吗？请说明理由；   (3)如图3，上存在一点，使得，的平分线交于点．的外角的平分线所在直线与的延长线交于点．请求出与的数量关系． 【答案】(1) (2)成立，理由见解析 (3) 【分析】（1）利用角平分线的定义和直角三角形两个锐角之间的关系证明得到，再利用等角对等边即可求证； （2）利用角平分线的定义和直角三角形两个锐角之间的关系证明得到，再利用等角对等边即可求证； （3）先证明，再证明，即可求证． 【详解】（1）解：； 理由：∵平分， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴ ， ∴， ∴． （2）成立； 理由：∵平分， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴ ， ∴， ∴． （3）∵是的平分线， ∴， ∵是的平分线所在直线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【点睛】本题考查了直角三角形两个锐角互余，角平分线的定义、等角对等边，三角形外角的性质等知识，解题关键是牢记相关概念，能正确进行角之间的转化． 模型2.角平分线第二定理（内（外）角平分线定理）模型 【模型提炼与证明】 1）内角平分线定理 条件：如图，在△ABC中，若BD是∠ABC的平分线。 结论： 证明：作，作DHAB垂足分别为F，H. ∵BD是∠ABC的平分线，∴DF=DH，则= = （2）作BECA垂足为E，则 = = ∴= 2）外角平分线定理 图2 图3 条件：如图2，在△ABC中，∠BAC的外角平分线交BC的延长线于点D。 结论：． 证明：如图2，过C作．交BA的延长线于E， ∵，∴，∠2＝∠4，∠1＝∠3，∵∠1＝∠2，∴∠4＝∠3，∴AE＝AC，∴． 3）奔驰模型（面积） 条件：如图3，的三边、、的长分别是a，b，c，其三条角平分线交于点O，将分为三个三角形。结论：=c：a：b。 证明：过点作于点，作于点，作于点．   由题意知：，，是的三条角平分线，，于，， 的三边、、长分别为a，b，c， ． 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，的三边的长分别为40，50，60，其三条角平分线交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别过点作于，于，于，由角平分线的性质可得，即可得，据此即可求解． 【详解】解：如图，分别过点作于，于，于， ∵为的角平分线， ∴，， ∴， ∴． 【典例2】（2025·内蒙古锡林郭勒·模拟预测）如图，是中的角平分线，于点E，的面积，，，则的长是（    ） A．3 B．4 C．6 D．5 【答案】A 【分析】过点作于点，如图所示，由角平分线的性质得到，由等面积法得，再结合三角形面积公式列方程求解即可得到答案． 【详解】解：过点作于点，如图所示： 是中的角平分线，于点，于点， ， 的面积，， ，即， ， 解得． 【典例3】（25-26八年级下·甘肃白银·期末）如图，在中，和的平分线交于点，，，的面积为，则的面积为______． 【答案】 【分析】过点作于点，于点，于点，由角平分线的性质推出，由三角形的面积求出，得到，即可求出的面积． 【详解】解：如图，过点作于点，于点，于点， ∵平分，，， ， ∵平分，，， ， ， ∵， ， ， ， ， ∴ ． 【典例4】（25-26八年级上·河南南阳·期末）阅读材料： 如图，中，，为底边上任意一点，点到两腰的距离分别为，，腰上的高为，连接，则，即：，（定值）． (1)类比与推理 如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：已知等边内任意一点到各边的距离分别为，，，等边的高为，试证明（定值）． (2)理解与应用 中，，，，，内部是否存在一点O，点O到各边的距离相等？若存在，求出这个距离r的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)存在，2 【分析】（1）连接，，，仿照面积的割补法，得出，而这几个三角形的底相等，故可得出高的关系． （2）作与的角平分线相交于O，根据角平分线的性质可得点O到各边的距离相等，连接，根据，则，代入三边长即可求解． 【详解】（1） 解：连接，，， ， ， ，(定值)． （2）解：存在， 作与的角平分线相交于O，过点O作于D，作于E，作于F， ∵平分，，， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴， ∴内部是否存在一点O，点O到各边的距离相等． 连接，设 ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题考查三角形的面积，角平分线的性质，解题关键是利用面积分割法，求线段之间的关系． 【典例5】（25-26七年级下·河南周口·期末）如图，在中，是边上的高，是的角平分线，，． (1)尺规作图：作的平分线，交于点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在满足（1）的条件下，与平行吗？为什么？ 【答案】(1) (2)解：与平行，理由如下： 是边上的高， ， 又∵， ， ，     ， 平分， ， 在中，， 平分， ， ． ． 【分析】（1）以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交射线、于两点；分别以这两个交点为圆心，大于两点间距离一半的长度为半径画弧，两弧交于一点；过点和这个交点作射线，交于点，则即为所求的角平分线； （2）由、，得，结合，算得．由平分得；由三角形内角和得，平分得．由，内错角相等，故． 【详解】（1）略 （2）略 模型常见易错点 1）分不清平行线产生的同位角/内错角，代换角度出错； 只机械记模型，不会写平行线带来的等角，等量代换逻辑断裂。 正解：先写平行→角相等，再写角分→角相等，再等量传递。 2）随便套用角平分线第二定理，忽略使用条件 定理使用前提：线段是内角平分线，且端点落在对边上，外角平分线不能直接套用该比例式。 3）把比例式写反，比例颠倒 记忆口诀：分点两侧的线段之比=相邻两边之比，BD对应AB，DC对应AC。 4）解答题直接写定理结论，没有推导过程 初中课内未学角平分线第二定理，大题不能直接默写公式，需要用面积法/作平行线简单推导再使用。 5）外角平分线 + 平行的结构，套用内角等腰结论 内外构图角度位置不同，需要重新倒角，不能照搬内角模型结论。 解题方法总结 （1）平分平行构等腰（角分线 + 平行线模型） 一条角平分线 + 一条平行线，利用平行线内错角相等，进行等量代换，可推导出三角形两底角相等，进而得到等腰三角形，实现 “角相等→边相等” 的转化，属于纯倒角构造模型。 （2）角平分线第二定理（内角平分线分线段成比例定理） 三角形内角平分线交对边于一点，分对边所得的两条线段，与三角形的两条邻边对应成比例。 本定理可以用面积法推导，是线段比例计算的重要工具，解答题可先推导再使用。 万能口诀：角分遇平行，内错来搭桥；等角换等边，等腰马上出；角分比例式，邻边比底边，设k解方程。 1．（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，在中，的平分线与外角的平分线交于点O，过点O作交于点E，交于点F．若，，则的长是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的判定，此模型属于常考题，利用平行线的性质和角平分线，证明和为等腰三角形，即可解答． 【详解】为的平分线， ， ， ， ， 同理可得， ， ． 2．（24-25七年级下·江西萍乡·期末）如图，在中，的平分线与的平分线相交于点O，过点O作，分别交、于点M、N，若，，则的周长是（   ） A．60 B．66 C．72 D．78 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握等角对等边的性质是解题关键．根据角平分线的定义和平行线的性质，得到，，进而得出，，即可求解． 【详解】解：的平分线与的平分线相交于点O， ，， ， ，， ，， ，， ，， 的周长， 故选：A． 3．（24-25八年级上·河北沧州·期末）如图，在四边形中，，的平分线与的平分线交于点，且点恰好在边上．若四边形的面积为40，，则的长为（    ） A．9 B．10 C．12 D．26 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线性质，过点E作于点F，根据角平分线的性质得出，，证明，得出，同理得出，根据，，求出结果即可． 【详解】解：过点E作于点F，如图所示： ∵， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， 同理得：， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故选：B． 4．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，在中，，和的平分线分别交于点，，若，，的周长为19，则的长为（   ） A．2 B．3 C．6 D．9 【答案】B 【分析】该题考查了等腰三角形的判定，根据角平分线的定义得出，根据，得出，等量代换得到，则，根据，，结合的周长，即可求解． 【详解】解：∵和的平分线分别交于点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵的周长， ∴， ∴， 故选：B． 5．（25-26八年级上·山西太原·阶段检测）如图，在中，，的平分线交于点D，若，则的面积是（    ） A．30 B．15 C．20 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形面积公式，勾股定理，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 作于点，根据勾股定理得出，根据角平分线的性质得到，即可得到答案． 【详解】解：如图，作于点， ∵，， ∴， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， 故选： B． 6．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，的平分线与的平分线相交于点F，过F作交于D，交于E，若，则的长为_______． 【答案】10 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的性质，掌握角平分线的定义和平行线的性质得证是关键． 根据角平分线的定义得到，再由平行线的性质得到，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：∵的平分线与的平分线相交于点F， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：10． 7．（25-26八年级下·山东青岛·期中）【问题情境】 如图①，的内角，的平分线交于点D． 【建立模型】 如图①，的内角，的平分线，交于点． 【建立模型】 （1）如图②，过点作的平行线分别交，于点，．请你写出与，的数量关系并证明． （2）如图③，在图①的基础上，过点作直线，延长和，分别交于点，，若，，请你直接写出的长度（不需要证明）． 【类比探究】 如图④，的内角的平分线，与它的外角的平分线交于点，过点作的平行线分别交，于点，．请你写出与，的数量关系并证明． 【答案】（1），理由如下： 如图②， 和的平分线相交于点， ，， ， ，， ，， ，， ， 即； （2）； （3），理由如下： 如图④， 的平分线与的平分线交于点， ，， ， ，， ，， ，， ， ． 【分析】（1）先由角平分线定义得，，再由平行线的性质得，，则，，证出，，进而得出结论； （2）同（1）证出，，进而得出结论； （3）同（1）证出，，进而得出结论． 【详解】解：（1）略 （2）；理由如下： 如图③， 和的平分线相交于点， ，， ， ，， ，， ，， ，， ； （3）略 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的判定、角平分线定义、平行线的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握平行线的性质和角平分线定义，证明三角形为等腰三角形是解题的关键，属于中考常考题型． 8．（24-25八年级上·全国·单元测试）在中，是的平分线，是的高． (1)如图①，若，则_________． (2)如图①，，试说明与的数量关系． (3)拓展：如图②，四边形中，是的平分线，是的平分线，猜想：与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】对于（1），先求出，再根据角平分线定义得，然后根据直角三角形的两个锐角互余求出，最后根据得出答案； 对于（2），根据三角形内角和定理得，再根据角平分线定义得，然后根据直角三角形的性质得，最后根据，可得答案； 对于（3），根据角平分线定义，得，再根据，根据四边形内角和定理，得，代入整理即可． 【详解】（1）∵， ∴． ∵是的平分线， ∴． ∵是的高， ∴． ∵， ∴． ∴. 故答案为：； （2）∵， ∴． ∵是的平分线， ∴． ∵是的高， ∴． ∴， ∴，即； （3）．理由如下： ∵是的平分线，是的平分线， ∴， ∴． 又∵四边形中，， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线定义，四边形内角和，直角三角形的性质，弄清各角之间的数量关系是解题的关键． 9．（24-25八年级上·广西贺州·期末）如图，已知点A，C分别是的边和延长线上的点，作的平分线，若． (1)求证：是等腰三角形； (2)作的平分线交于点H，若，求的度数． 【答案】(1) 解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； (2)． 【分析】本题主要考查角平分线的定义，平行线的性质，掌握以上知识，结合图形分析是关键． （1）根据角平分线的定义，平行线的性质得到，由等角对等边得到，结合等腰三角形的定义即可求解； （2）根据等腰三角形的定义，平角的性质得到，由角平分线的定义得到，根据平行线的性质即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 10．（25-26八年级上·全国·单元测试）已知如图中，，、的平分线相交于点，过点作交、于、． (1)图中有几个等腰三角形？请说明与、间有怎样的关系． (2)若，其他条件不变，如图2，图中还有等腰三角形吗？如果有，请分别指出它们．另第①问中与、间的关系还存在吗？ (3)若中，的平分线与三角形外角的平分线交于，过点作交于，交于．如图3，这时图中还有哪几个等腰三角形？与、间的关系如何？为什么？ 【答案】(1) 解：有5个等腰三角形，与、间有怎样的关系是：，理由如下： ， ，，， 又、的平分线交于点， ，， ，， ，， ， 又， ， ， ， 有5个等腰三角形，分别是， ； (2)有2个等腰三角形分别是：等腰和等腰； (3) 解：有，还是有2个等腰三角形，，，，理由如下： ， ，是延长线上的一点）， 又，分别是与的角平分线， ，， ， ， 同理， ， 又， ． 【分析】此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质和平行线性质的理解和掌握， （1）根据，、的平分线交于点，可得，，，，再加上题目中给出的，共5个等腰三角形；根据等腰三角形的性质，即可得出与、间有怎样的关系． （2）根据 和、的平分线交于点，还可以证明出和是等腰三角形；利用几个等腰三角形的性质即可得出与，的关系． （3）和，分别是与的角平分线，还可以证明出和是等腰三角形． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知：有2个等腰三角形分别是：等腰和等腰； 第一问中的与，的关系是：． （3）略 11．（25-26七年级下·河南南阳·阶段检测）如图，等腰中，，是外角的平分线，的平分线交于点，交于点，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（   ） A．①③ B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】由角平分线与外角的性质证明，可得，可判断②③符合题意，进一步可判断①符合题意，由题干现有条件无法得到可判断④不符合题意． 【详解】解：∵是外角的平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴，故②③符合题意； ∴， ∵平分， ∴， ∴，故①符合题意； 题干现有条件无法得到，故④不符合题意． 12．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，是的角平分线，过点作交于点，交的平分线于点，若，，则的长为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用“角平分线+平行线”构造出等腰三角形，从而将线段和转化为和的长． 【详解】解：是的角平分线， ， ， ， ， ， 平分， ， ，即， ， ， ， ． 13．（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，在中，，和的平分线分别交于点、，若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线，平行线的性质，等角对等边等知识，由角平分线定义可得，又，则，可得，所以，同理得， 然后通过线段和差即可求解，熟练掌握角平分线，平行线的性质，等角对等边是解题的关键． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴ ， 故选：． 14．（2026七年级下·上海·专题练习）如图，在中，已知，的平分线交于点E，，点D在上，那么图中等腰三角形的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据，可得是等腰三角形，，再由，可得，即是等腰三角形，最后根据平分，，可得是等腰三角形． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∴图中有3个等腰三角形． 15．（25-26八年级上·四川绵阳·期中）如图，在中，，，是边上的高，是的平分线，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线、三角形的高，三角形外角性质，先求出，由是的平分线，则，从而求出，由是边上的高，则，然后通过直角三角形性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， 故选：． 16．（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，的平分线与中的相邻外角的平分线相交于点，过作，交于，交于，若，，求的长为____________． 【答案】5 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、等角对等边，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据角平分线的定义得到，，根据平行线的性质得到，，再利用等角对等边得到，，最后利用线段的和差即可求解． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴． 故答案为：5． 17．（25-26八年级上·山西临汾·阶段检测）如图，∠ABC的平分线BF，与△ABC的外角∠ACG的平分线相交于点F，过点F作DFBC交AB于点D，交AC于点E，若BD＝8cm，DE＝2.5cm，则CE的长为______． 【答案】5.5cm 【分析】根据已知条件，BF、CF分别平分∠ABC、∠ACB的外角，且DE∥BC，可得∠DBF=∠DFB，∠ECF=∠EFC，根据等角对等边得出DF=BD，CE=EF，根据BD-CE=DE即可求得． 【详解】解：∵BF、CF分别平分∠ABC、∠ACB的外角， ∴∠DBF=∠CBF，∠FCE=∠FCG， ∵DEBC， ∴∠DFB=∠CBF，∠EFC=∠FCG， ∴∠DBF=∠DFB，∠FCE=∠EFC， ∴BD=FD，EF=CE， ∴EF=DF-DE=BD-DE=8-2.5=5.5， ∴EC=5.5cm 故答案为5.5cm 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及平行线的性质，利用边角关系并结合等量代换来推导证明是本题的特点． 18．（25-26八年级下·山东青岛·期中）如图，在中，的平分线与的垂直平分线交于点，连接，，若，，则的度数为___ 【答案】/70度 【分析】根据垂直平分线得到，从而得到，结合角平分线及得到，，结合得到，再根据三角形内角和定理求解即可得到答案． 【详解】解：∵的平分线与的垂直平分线交于点P，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 19．（2025·山西吕梁·一模）阅读与思考 阅读下列材料，并完成相应任务． 三角形内角平分线性质定理：三角形一个内角平分线内分对边，所得的两条线段与这个角的两边对应成比例．即：知图1，在中，若是的平分线，则． 三角形外角平分线的性质定理：三角形一个外角平分线外分对边，所得的两条线段与其内角的两边成比例．即：如图2，在中，若是的外角的平分线，则． 上述定理的证明方法有多种，我们均采用“面积法”来进行证明． 三角形内角平分线性质定理的证明 证明：如图3，过点作，垂足分别为． 平分， ， ． ， ． 三角形外角平分线性质定理的证明 证明：如图4，过点作，垂足分别为． 平分， ， …… 任务： (1)如图5，在中，是的平分线．若，则_______． (2)请将“三角形外角平分线的性质定理”的证明过程补充完整． (3)如图6，在中，若是的平分线，是的外角的平分线，是线段的中点，且，请直接写出线段的长． 【答案】(1) (2)补全证明： ． ， ； (3) 【分析】（1）由阅读材料中的三角形内角平分线性质定理得到，结合勾股定理求出，设，，由列方程求解即可得到答案； （2）类比三角形内角平分线性质定理的证明，采用“面积法”即可得到答案； （3）由三角形内角平分线性质定理、三角形外角平分线性质定理及已知线段长得到，进而求出、，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示： 由三角形内角平分线性质定理可得，， ， ， 在中，，，则由勾股定理可得， 设，， 则，解得， ， 故答案为：； （2）略 （3）解：如图所示： 在中，由三角形内角平分线性质定理可得，； 在中，由三角形外角平分线性质定理可得，； ， ， ， ， 设， 则由可得，， 解得， ， ， 若是的平分线，是的外角的平分线， ， 是线段的中点， ． 【点睛】本题考查阅读理解，涉及三角形内角平分线性质定理、三角形外角平分线性质定理、三角形面积公式、一元一次方程、勾股定理、角平分线性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半等知识，读懂题意，理解三角形内角平分线性质定理、三角形外角平分线性质定理是解决问题的关键． 20．（25-26八年级上·安徽六安·期末）已知，如图：中，的平分线相交于点，过点作交于． (1)直接写出图中所有的等腰三角形．指出与间有怎样的数量关系？ (2)在（1）的条件下，若，，求的周长； (3)如图2，若中，的平分线与三角形外角的平分线交于点，过点作交于，交于，请问（1）中与间的关系还是否存在，若存在，说明理由：若不存在，写出三者新的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)、是等腰三角形，； (2)周长为； (3) ，理由： ∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 【分析】本题主要考查了角平分线的意义，平行线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握各个知识点是解题的关键． （1）利用角平分线和平行线的即可得出结论； （2）利用（1）的结论即可得出结论； （3）利用角平分线和平行线推出，，再推出与间的关系即可． 【详解】（1）解：∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴、是等腰三角形， ∴； （2）∵由（1）知，， 又∵，， ∴； （3）略 21．（25-26八年级下·辽宁丹东·期中）如图，在中，BC的垂直平分线EF交的平分线BD于点E，连接CE，如果，，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角平分线的性质可得，再根据线段垂直平分线的性质可得，可得出，然后根据三角形内角和定理计算出的度数． 【详解】解：平分， ， 的垂直平分线交的平分线于， ， ， 设， ，， 在中， ， 解得：， ． 22．（25-26七年级上·山东淄博·阶段检测）如图，在中，和的平分线交于点E，过点E作交于M，交于N，若，则线段的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的定义、等腰三角形的判定、平行线的性质，由角平分线的定义和平行线的性质得，，再由等角对等边得，，进而得，即可求解． 【详解】解：∵、的平分线相交于点E， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 即． ∵， ∴， 故选：D． 23．（25-26八年级上·江西宜春·期末）课本再现： 思考如图12.3-3，任意作一个角，作出的平分线．在上任取一点P，过点P画出，的垂线，分别记垂足为D、E，测量、并作比较，你得到什么结论？在上再取几个点试一试． 通过以上测量，你发现了角的平分线的什么性质？ 【实验猜想】针对以上问题，同学们进行了小组实验探究，并猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 【推理证明】为了证明该定理，小明同学根据书上的图形（如图12.3-3）写出了“已知”和“求证”，请你利用全等的知识完成证明过程． （1）已知：点P是的平分线上一点，过点P作于点D，于点E．求证：． 【知识应用】（2）如图2，的平分线与的外角的平分线相交于点O，过点O作于点D，于点E，连接． ①证明：平分； ②若，则________． 【答案】 （1）证明：平分， ， ，， ， 在和中， ， ， ； （2）①证明：过点O作于点F， 是的平分线，，， ， 是的平分线，，， ， ， ，， 平分， ② 【分析】（1）根据条件证明，从而． （2）①过点O作于点F， 由（1）的结论易证，根据“到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上”得到平分； ②根据三角形的内角和，再利用角平分线的定义和“三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和”，推导出，从而求解． 【详解】（1）略 （2）①略 ②平分，平分， ，， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、角平分线的性质和判定以及三角形的内角和定理、三角形外角的性质等，熟练掌握相关知识是解题的关键． 24．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图①，中，，、的平分线交于点，过点作交于． (1)图中有___________个等腰三角形；与、之间数量关系是___________； (2)如图②，若，其他条件不变，图中有___________个等腰三角形；与、间数量关系是___________； (3)如图③，若中的平分线与三角形外角平分线交于，过点作交于，交于．与、关系又如何？说明你的理由． 【答案】(1)5， (2)2， (3)，理由见解析 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，中垂线的性质，角平分线的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）连接，作，证明是的平分线，三线合一得到垂直平分，得到，平行线的性质结合角平分线的定义，推出，进而确定等腰三角形的个数，以及与、之间数量关系； （2）平行线的性质结合角平分线的定义，推出，进而确定等腰三角形的个数，以及与、之间数量关系； （3）平行线的性质结合角平分线的定义，推出，根据线段的和关系即可得出结论． 【详解】（1）解：连接，作， ∵， ∴为等腰三角形， ∵、的平分线交于点， ∴，， ∴， ∴是的平分线， ∴垂直平分， ∴， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴均为等腰三角形，； 综上：共有5个等腰三角形，； （2）解：∵、的平分线交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴均为等腰三角形，； 故共有2个等腰三角形，； （3）解：，理由如下： ∵的平分线与三角形外角平分线交于， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 25．（24-25八年级上·福建龙岩·阶段检测）【发现】如图1，，E为的中点，平分，过点E作，垂足为F，连接． （1）求证：是的平分线； 【拓展】如图2，和的平分线和相交于点E，过点E的直线与分别相交于点B，C（点B，C在的同侧）． （2）判断E是否为线段的中点，并说明理由； （3）若四边形的面积为16，的面积为2，则的面积是 　 　． 【答案】（1）见解析；（2）为线段的中点，理由见解析；（3）6 【分析】本题主要考查角平分线性质定理与判定定理、线段垂直平分线的性质及全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解决此题的关键． （1）由题意得和，根据角平分线的判定定理即可判定； （2）过点作的垂线，交的延长线于点，交于点，有．作于点，由角平分线的性质可得，证得，即可求证； （3）因为和，有，根据，得到即可． 【详解】（1）证明：， ． 又，平分， ． 为的中点， ， ． ， ． 又， 是的平分线； （2）解：为线段的中点； 理由：过点作的垂线，交的延长线于点，交于点，如图， ， ． 作于点，由角平分线的性质可得． 在与中， ， ， ， 为线段的中点； （3）解：在和中， ， ， 则， 同理可证，则， ． 又， ， ， ． 4 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $