第十五章 轴对称 单元测试 2026-2027学年人教版八年级数学上册

2026—2027学年第一学期八年级数学第十五章轴对称章检测（人教版） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D D C B C D D B D 1．B 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，故此选项符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 2．D 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，找出对称轴、图形两部分折叠后互相重合是解答本题的关键，“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形”，根据轴对称图形的定义分析即可得到结果． 【详解】选项A，B，C中的图形中，找不到这样一条直线，使图形沿着这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以这三个图形都不是轴对称图形，不符合题意；选项D中的图形，能找到这样一条直线，使图形沿着这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以这个图形是轴对称图形，符合题意； 故选：D． 3．D 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，B，C选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 故选：D． 4．C 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定定理，定理的定义，根据等腰三角形的性质，全等三角形的判定定理，定理的定义，逐一判断各个选项即可． 【详解】解：A．每个定理都有逆命题，但不一定有逆定理，故不正确，是假命题； B．三个角对应相等的两个三角形不一定全等，故不正确，是假命题； C．等腰三角形的底角必为锐角，正确，是真命题； D．等腰三角形的顶角不一定是锐角，故不正确，是假命题； 故选C． 5．B 【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标，熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解题的关键．根据点和关于轴对称，可得，，求出和的值，进一步计算即可． 【详解】解：点和关于轴对称， ，， 解得，， ， 故选：B 6．C 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质．连接，根据线段垂直平分线的性质得到，则，进一步得到是等边三角形，即可得到答案． 【详解】解：连接， 根据图中尺规作图的痕迹，可知， ， ， ， 是等边三角形， ， 故选：C． 7．D 【分析】本题考查尺规作图中垂线的作图原理及几何性质的应用，关键在于理解每一步作图的几何意义．通过确定垂直平分线，保证对称性，明确点与直线的对称关系满足的距离和位置条件，进而确定三角形的全等． 【详解】解：步骤（2）以点为圆心，长为半径作弧，交于点和点， ， 点是步骤（3）中以点和点为圆心．相同半径画弧的交点， ， 因点的位置由两弧交点决定，无法保证的长度等于， 故结论①错误； 步骤（3）中，以点和点为圆心．相同半径画弧， 交点必在的垂直平分线上，即是的垂直平分线， 点与点一定关于直线对称， 故结论②正确； 是垂线， ， 点的位置由作图步骤决定， 未必满足点与点到直线距离相等， 故结论③错误； （步骤2），（步骤3），为公共边， ， 故结论④正确． 故选：D． 8．D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形判定与性质，平行线的判定与性质等知识点的运用．①由于和是等边三角形，可知，从而证出，可推知；②证明，得到再根据推出为等边三角形，又由，根据内错角相等，两直线平行，可知②正确；③由得，加之，，得到，所以；故③正确；④利用等边三角形的性质，，再根据平行线的性质得到，于是，可知④正确． 【详解】解：①∵和是等边三角形， ∴， ， 在和中， ， ， ； 故①正确； ②， ， 和是等边三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ； 故②正确； ③（已证）， ， （已证）， ， ， 在与中， ， ， ； 故③正确； ④， ， ∵是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ． 故④正确； 故选：D． 9．B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质得，即可得的周长，据此即可求解，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点， ∴， ∴的周长， 故选：． 10．D 【分析】本题考查轴对称最短问题，等边三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 连接交于点，连接，此时的值最小，设，则，然后根据三角形面积求出，再求解即可． 【详解】解：如图，连接交于点，连接．此时的值最小， ∵是等边三角形，E、F分别为边的中点， ∴，， 设，则，， ， ， ∴，， 是的垂直平分线， ， ． 故选：D． 2、 填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11． 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，三角形内角和定理，根据三角形内角和定理求出，再根据轴对称的性质可得即可得到答案． 【详解】解： ， ∴ 和关于成轴对称， ， 故答案为：． 12． 【分析】本题考查的是轴对称的性质，熟知如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称是解题的关键．先根据轴对称的性质得出，，再由的周长是，即可得出结论． 【详解】解：交于点，交于点，交于点，交于点， ，， 的周长是， ， ． 故答案为：． 13． 【分析】本题主要考查点在平面直角系中的对称，求不等式的解集，掌握平面直角坐标系的特点，轴对称的性质是解题的关键． 根据点关于轴对称的点，横坐标变为相反数，纵坐标不变，再根据不等式的性质求解即可． 【详解】解：∵点关于轴的对称点在第二象限， ∴点， ∴且， 解得，， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查全等三角形的性质，平行线的性质及等腰三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的对应角相等．由全等三角形的性质得到，，，推出，进而求出，由三角形内角和定理和平行线的性质即可解答． 【详解】解：， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ． 故答案为：． 15． 【分析】先利用等腰三角形内角求出角度，再结合平行线、角平分线以及三角形内角和推出是等腰三角形，代入边长计算即可． 【详解】解：∵，， ， ， ， ，， ， 平分， ， ， ∵，， ，， ， ． 三、解答题（本题共8小题，共75分） 16．6 【分析】先利用等腰三角形的三线合一性质可得是的垂直平分线，从而可得从而可得图中阴影部分的面积的面积，进行计算即可解答． 【详解】解：， ， ， ， 垂直平分， ，， ， ， 即图中阴影部分的面积为6． 17．等腰的三边的长为12，12，8 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及解二元一次方程组，利用等腰三角形的性质，设出未知数、列方程组即可求解； 【详解】解：设等腰的腰长为，底边长为， 根据题意得， 解得， ∴等腰的三边的长为12，12，8． 18．2. 【分析】根据含角的直角三角形的三边特征，即可解答． 【详解】，， ，， 是高， ， ， ． 【点睛】本题考查了含角的直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形中角所对的直角边是斜边的一半，是解题的关键． 19．立柱的长是． 【分析】本题考查了含的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质．利用直角三角形所对的直角边等于斜边的一半，可得长，再证明是等边三角形，可求得． 【详解】解：，，， ， 又， ， 在中，， 又， 是等边三角形， ， 答：立柱的长是．． 20．(1)32海里 (2)有触礁的危险， 理由如下： 过C作交的延长线于点D， （海里）， （海里）， ， ∴若这条船继续由西向东航行会有触礁的危险． 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，方向角． （1）根据已知条件得到，求得，根据等腰三角形的性质即可得到结论； （2）过作交的延长线于点，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：根据题意得，（海里）， ， ， （海里）， 答：B处到灯塔C的距离为32海里； （2）略 21． 解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 在中，． 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形外角的定义和性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的一半等知识．首先利用三角形内角和定理可得，由等腰三角形“等边对等角”的性质可得，再证明为等边三角形，易知为直角三角形，然后由“直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半”即可获得答案． 【详解】略 22．(1) 证明：在和中， ∵，，， ∴； (2) 证明：∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质以及等腰三角形的判定． （1）考查三角形全等的判定，关键是识别全等的三边条件； （2）等腰三角形的判定(等角对等边)，关键是利用全等三角形的性质得到 【详解】（1）略 （2）略 23．(1)，； (2)证明：由（1）可知，， ， ， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ，即， ， ， ， ， 平分； (3) 【分析】（1）根据等边三角形的性质和全等三角形的性质即可得到结论； （2）由（1）可知，，求得，推出是等边三角形，根据等边三角形的性质得到， ，根据全等三角形的性质得到，根据角平分线的定义即可得到结论； （3）连接，设，得出，，进而得出，根据，即可求解． 【详解】（1）（1）解：如图①，是等边三角形， ，， 在和中 ， ，， ， 故答案为：，； （2）略． （3）解：如图所示，连接， 设， 在等边中，， 又， ， ， ， 又，则， 同理可得，，又， ， ， ， ， ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年第一学期八年级数学第十五章轴对称章检测 （人教版） 满分120分 考试用时120分钟 说明： 1． 请在答题卡上写上学校、班级、姓名并填涂考生号，不得在其它地方作任何标记． 2． 本卷选择题1--10，每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡选择题答题区内对应题目的答案标号涂黑；非选择题的答案（含作辅助线）必须用规定的笔，写在答题卡指定的答题区内，写在本卷或其他地方无效． 第一部分 选择题 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1．2025年2月7日，哈尔滨举办第九届亚洲冬季运动会．下面关于冬季运动会的标志中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．下列交通标志图形中是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．数学中有许多精美的曲线，以下是“三叶玫瑰线”“笛卡尔叶形线”“星形线”和“阿基米德螺线”，其中不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 4．下列命题为真命题的是（   ） A．每个定理都有逆定理 B．三个角对应相等的两个三角形全等 C．等腰三角形的底角必为锐角 D．等腰三角形的顶角一定是锐角 5．已知点和关于轴对称，则值为（   ） A．0 B． C．1 D．无法确定 6．如图，在中，，，，观察图中尺规作图的痕迹，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．下面是“经过直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图方法． （1）任意取一点、使点和点在的两旁， （2）设点为圆心，长为半径作弧，交于点和点． （3）分别以点和点为圆心．大于的同样长为半径作弧．两弧相交于点． （4）作直线．则直线就是所求作的垂线． 根据以上尺规作图过程（如图），给出下面四个结论：①点到四点的距离一定都相等；②点与点一定关于直线对称；③点与点一定关于直线对称；④连接．，一定有． 上述结论中，正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 8．如图，C为线段上一动点（不与点A，E重合），在同侧分别作正三角形和正三角形，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接．以下五个结论：①；②；③；④；其中恒成立的结论有（    ）个    A．1 B．2 C．3 D．4 9．如图，在中，的垂直平分线交于点，，，则的周长为（   ） A． B． C． D． 10．如图，在等边中，，分别为和的中点，点为上一动点，若，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C． D． 2、 填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11．如图，和关于所在直线成轴对称，，则的度数为____________°. 12．如图，内一点，，分别是关于、的对称点，交于点，交于点．若的周长是，则的长为______ ． 13．若点关于轴的对称点在第二象限，则的取值范围是 ________． 14．如图，已知，，，则______． 15．如图，在中，平分交于点，过点作，交的延长线于点，且，．若，，则的长为_________． 三、解答题（本题共8小题，共75分） 16．（9分）如图，在中，，，垂足为点，点、在上，连接、、、．若，求图中阴影部分的面积． 17．（9分）已知等腰的周长是32，且腰长比底边长的2倍少4，求等腰的三条边的长． 18．（9分）如图，中，，是高，，，求的长． 19．（9分）如图，它是屋架设计图的一部分，点是斜梁的中点，立柱、垂直于横梁，，．求和的值． 20．（9分）如图，灯塔C在海岛A的北偏东方向，某天上午8点，一条船从海岛A出发，以16海里/时的速度由西向东方向航行，10时整到达B处，此时，测得灯塔C在B处的北偏东方向． (1)求B处到灯塔C的距离； (2)已知在以灯塔C为中心，周围18海里的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请你说明理由． 21．（9分）如图，在中，，D为边上一点，交于点F，且，连接，．请判断与的数量关系，并说明理由． 22．（9分）如图，已知，D．求证： (1)； (2)是等腰三角形． 23．（12分）如图①，在等边中，为边上一点，为上一点，且，连接与相交于点． (1)与的数量关系为__________，与构成的锐角夹角的度数是__________； (2)【探究发现】 在（1）的基础上，延长至点，使，连接，，如图②所示，求证：平分． (3)【拓展延伸】 如图③，在等边中，为边上一点，为上一点，且，，求． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $