第十五章 轴对称单元测试卷 2026-2027学年人教版数学八年级上册

**基本信息** 聚焦轴对称单元核心知识，通过折叠、最短路径、尺规作图等情境化问题，考查几何直观、空间观念与推理能力，适配初中数学轴对称单元复习。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|12|轴对称图形识别（第2题）、折叠性质（第1题）、最短路径（第4题）|梯度设计，基础与能力题结合| |填空题|4|逆命题（第13题）、垂直平分线（第14题）、等边三角形性质（第15题）|概念辨析与计算并重| |解答题|9|作图（第17题）、折叠求周长（第18题）、推理证明（第19题）、实际应用（第25题造桥选址）|综合考查空间观念与应用意识，贴合核心素养|

第十五章 轴对称单元测试 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 1、 单选题 1．把沿长方形对角线折叠得到，与交于点，延长、交于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．下列图形中是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，若与关于直线对称，交于点O，则下列说法中不一定正确的是（      ） A． B． C． D． 4．如图，直线是一条河，，是两个新农村，欲在上某处修建一个水泵站向，两地供水，现有如下四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最短的方案是（    ）． A． B． C． D． 5．如图动点从出发，沿如图所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点第2014次碰到长方形的边时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．如图，平面镜放置在水平地面上，墙面于点，一束光线照射到镜面上，反射光线为，点在上，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 7．如图，将长方形沿翻折，再沿翻折使最终落在边上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，的垂直平分线交于点D，垂足为点E，若已知，则的周长为（     ） A．8 B．11 C．13 D．15 9．如图，三座商场的位置如图所示，现要规划一个公交车站到三座商场的距离相等，该公交车站应建在（   ） A．三角形三条边的垂直平分线的交点 B．三角形三条中线的交点 C．三角形三条高所在直线的交点 D．三角形三个内角的角平分线的交点 10．在中，为直角，用无刻度的直尺和圆规在边上确定一点P，使点P到点A和点C的距离相等．下列符合要求的作图痕迹是（   ） A． B． C． D． 11．如图，在中，，，D为延长线上一点，点E在边上且，连结、．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 12．如图，在等腰中，，则的值为（     ） A． B． C． D． 2、 填空题 13．命题“如果，那么”的逆命题是______命题（填“真”或“假”） 14．如图，在中，，，是的垂直平分线，，则的长度为______． 15．是等边三角形，是中线，延长到点，使．则的度数为______． 16．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时30海里的速度向正北方向航行，3小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的距离为_________海里． 3、 解答题 17．直线的两旁分别有点、， (1)在图1直线上求作一点，使最大． (2)在图2直线上求作一点，使最小． 18．如图的三角形纸片中，，，，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，求的周长． 19．如图，射线在内，点为射线上一点，过点作，，且． (1)求证：是的平分线； (2)连接，求证：． 20．如图，中，，，请解决以下问题： (1)作出边的垂直平分线，分别交边、于点、，交的延长线于点；（尺规作图，不写画法，保留作图痕迹） (2)连接，求证：为等边三角形； (3)若，求的长． 21．如图，点是的边的中点，且恰好在的平分线上，，，垂足分别为，． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的长． 22．如图，中，，为的中点，绕点旋转，分别与边交于两点． (1)求证：； (2)求证：； (3)若的长为，求四边形的面积． 23．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)以x轴为对称轴，画出的轴对称图形，并写出的坐标； (2)连接，，求四边形的面积． 24．如图，在中，，，，交于点． (1)求的值； (2)若，求的长． 25．如图，和两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥，桥造在何处可使从到的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直） (1)作图，并保留作图痕迹，不需要写作法； (2)最短，说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十五章 轴对称单元测试 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 1、 单选题 1．把沿长方形对角线折叠得到，与交于点，延长、交于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质、平行线的性质以及长方形的性质．根据平行线的性质求出的度数，再根据折叠的性质求出的度数，最后利用余角的定义求解即可． 【详解】解：四边形是长方形， ∴，，即， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质可知：， ∴， ∵点在上， ∴． 2．下列图形中是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据轴对称图形的定义判断即可． 【详解】解：选项A：不是轴对称图形； 选项B：不是轴对称图形； 选项C：是轴对称图形； 选项D：不是轴对称图形． 3．如图，若与关于直线对称，交于点O，则下列说法中不一定正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据轴对称的性质对各选项分析判断后利用排除法求解． 本题考查轴对称的性质与运用，解决本题的关键是熟练掌握对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等． 【详解】解：∵与关于直线对称，交于点O， ∴，，，故A、B、D选项正确， 不一定成立，故C选项错误， 所以，不一定正确的是C． 故选：C． 4．如图，直线是一条河，，是两个新农村，欲在上某处修建一个水泵站向，两地供水，现有如下四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最短的方案是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称与最短路径问题，作点M关于直线l的对称点，连接交直线l与点P，连接，此时点P的位置即为所求，据此可得答案． 【详解】解：作点M关于直线l的对称点，连接交直线l与点P，连接， 由轴对称的性质可得， 则， 由两点之间线段最短可知，当三点共线时，有最小值，即此时有最小值， 故选：D． 5．如图动点从出发，沿如图所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点第2014次碰到长方形的边时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反弹时反射角等于入射角作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2014除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可． 【详解】解：如图，经过6次反弹后点回到出发点， ∵， ∴当点P第2014次碰到矩形的边时为第336个循环组第4次碰到矩形的边， ∴点P的坐标为． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了点坐标的规律探索，作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键． 6．如图，平面镜放置在水平地面上，墙面于点，一束光线照射到镜面上，反射光线为，点在上，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得，进而根据直角三角形的两个锐角互余即可求解． 【详解】解：依题意，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了直角三角形中两个锐角互余，入射角等于反射角，熟练掌握以上知识是解题的关键． 7．如图，将长方形沿翻折，再沿翻折使最终落在边上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，由折叠的性质可知，根据平行线的性质和三角形外角的性质可得，根据平行线的性质可知，根据，可知． 【详解】解：如下图所示， 由折叠可知， 四边形是长方形， ， ， 设， 则， ， ， ， ， 由折叠可知， 又， ， 解得：， ， ，， ， ， ， ． 8．如图，在中，，的垂直平分线交于点D，垂足为点E，若已知，则的周长为（     ） A．8 B．11 C．13 D．15 【答案】A 【分析】根据中垂线的性质，得到，即可求解． 【详解】解：∵是的中垂线， ∴， ∵， ∴的周长为． 9．如图，三座商场的位置如图所示，现要规划一个公交车站到三座商场的距离相等，该公交车站应建在（   ） A．三角形三条边的垂直平分线的交点 B．三角形三条中线的交点 C．三角形三条高所在直线的交点 D．三角形三个内角的角平分线的交点 【答案】A 【分析】本题考查了垂直平分线的判定，根据规划一个公交车站到三座商场的距离相等，以及到线段的端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，则该公交车站应建在三角形三条边的垂直平分线的交点，即可作答． 【详解】解：∵要规划一个公交车站到三座商场的距离相等， ∴该公交车站应建在三角形三条边的垂直平分线的交点（到线段的端点距离相等的点在线段的垂直平分线上）， 故选：A 10．在中，为直角，用无刻度的直尺和圆规在边上确定一点P，使点P到点A和点C的距离相等．下列符合要求的作图痕迹是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质与作线段垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，作的垂直平分线，然后利用基本作图对各选项进行判断，即可解题． 【详解】解：∵在中，为直角，在边上确定一点P，使点P到点A和点C的距离相等， ∴只需要做线段的垂直平分线即可， A、作图痕迹是线段的垂直平分线，符合题意； B、作图痕迹不是线段的垂直平分线，不符合题意； C、作图痕迹不是线段的垂直平分线，不符合题意； D、作图痕迹不是线段的垂直平分线，不符合题意； 故选：A． 11．如图，在中，，，D为延长线上一点，点E在边上且，连结、．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据等腰直角三角形的性质得出，再利用SAS证明，得出，最后利用三角形外角的性质求出即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， 则． 12．如图，在等腰中，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先证明为等边三角形，得出，，再证明，得出，求出，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 2、 填空题 13．命题“如果，那么”的逆命题是______命题（填“真”或“假”） 【答案】真 【分析】本题考查了逆命题的定义的理解及运用，解题的关键是分清原命题的题设和结论，原命题条件与结论互换就是逆命题． 【详解】解：逆命题：如果，那么， 是真命题， 故答案为：真 ． 14．如图，在中，，，是的垂直平分线，，则的长度为______． 【答案】 【分析】连接，根据垂直平分线的性质得到，进而得到，求出，利用直角三角形的性质可得，由，即可求解． 【详解】解：连接， 是的垂直平分线， ， ∵， ， ∵在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 15．是等边三角形，是中线，延长到点，使．则的度数为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质及等腰三角形的性质． 由为等边三角形，可求出，由是等腰三角形求出，即可求出的度数． 【详解】解：为等边三角形，为中线， ， ， ， ， ． 故答案为：． 16．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时30海里的速度向正北方向航行，3小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的距离为_________海里． 【答案】90 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，准确分析是解题的关键． 根据已知条件求得，，即可得到，即可得解． 【详解】由题可得：海里， 点在灯塔P的南偏东方向处，点位于灯塔P的北偏东处， ，， 是等腰三角形， 海里； 故答案是． 3、 解答题 17．直线的两旁分别有点、， (1)在图1直线上求作一点，使最大． (2)在图2直线上求作一点，使最小． 【答案】(1)图见详解 (2)图见详解 【分析】本题主要考查轴对称的性质及三角形三边不等关系，熟练掌握轴对称的性质及三角形三边不等关系是解题的关键； （1）作点关于直线的对称点，由轴对称的性质可知，所以当点三点共线时，有最大值，然后问题可求解； （2）连接，此时最小，进而问题可求解． 【详解】（1）解：所作点如图所示： （2）解：所作点如图所示： 18．如图的三角形纸片中，，，，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，求的周长． 【答案】7 【分析】由题意可得：，，即可求，则可求的周长． 本题考查折叠问题，熟练掌握折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键． 【详解】解：由折叠得， ∴，， ∴， ∴的周长 ． 19．如图，射线在内，点为射线上一点，过点作，，且． (1)求证：是的平分线； (2)连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由、得；结合已知、公共边，用定理证明，由全等三角形对应角相等，得，从而证出结论． （2）由（1）中得，又已知，根据线段垂直平分线的判定定理，得直线是的垂直平分线，因此． 【详解】（1）证明：，， ． 在和中， ． ， 平分． （2）由（1）知， ． 又， 点、都在的垂直平分线上． ． 20．如图，中，，，请解决以下问题： (1)作出边的垂直平分线，分别交边、于点、，交的延长线于点；（尺规作图，不写画法，保留作图痕迹） (2)连接，求证：为等边三角形； (3)若，求的长． 【答案】(1)如图，直线即为所求： (2)证明：由作图可知，垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∴为等边三角形 (3) 【分析】（1）分别以点和点为圆心，以大于的长度为半径在线段两侧画弧，两组弧分别相交于两点，过这两个交点作直线，该直线就是边的垂直平分线，它与边交于点，与边交于点，与的延长线交于点； （2）由垂直平分得，结合直角三角形两锐角互余求出，依据有一个角为的等腰三角形是等边三角形即可证明； （3）连接，由垂直平分线性质得，推出平分，利用角平分线性质得，再推导得，在中由角性质得，最后由即可算出． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：连接， ∵，， ∴， ∵垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴，即平分， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴． 21．如图，点是的边的中点，且恰好在的平分线上，，，垂足分别为，． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：平分，，， ， 是的中点， ， ，， ， 在和中 ， ， ， 是等腰三角形． (2)9 【分析】（1）先利用角平分线性质得到垂线段，结合中点推出，证明两个直角三角形全等，得到，再依据等角对等边证出，从而证明是等腰三角形． （2）在中根据30°直角三角形性质求出长度并算出，结合第一问等腰结论判定为等边三角形，得到总长，最后用线段和差算出的长度． 【详解】（1）略 （2）解：， ， 在中，，， ， ， 由（1）得，又， 是等边三角形， ， 为中点， ，即， ， ． 22．如图，中，，为的中点，绕点旋转，分别与边交于两点． (1)求证：； (2)求证：； (3)若的长为，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由证明即可解决问题． （2）由全等三角形的性质得到，得，即可推出结论． （3）得出即可解决问题． 【详解】（1）证明：中，，点为中点， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 在与中， ， ； （2）证明：， ， ． （3）解：， ， 由（1）知，， 四边形的面积. 23．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)以x轴为对称轴，画出的轴对称图形，并写出的坐标； (2)连接，，求四边形的面积． 【答案】(1) 如图所示即为所求： 点的坐标为 (2)3 【分析】本题考查了平面直角坐标系中关于x轴的轴对称变换及在平面直角坐标系中求四边形面积． （1）利用轴对称的性质在平面直角坐标系图中作出关于x轴的轴对称图形即可，再根据图形得出点的坐标； （2）根据题意先连接，，将四边形分成和，分别求其面积再相加即可． 【详解】（1）解：由图可知，此时点的坐标为． （2）解：如图，连接，， ∴四边形由和组成， ∴， 即， ∴四边形的面积为3． 24．如图，在中，，，，交于点． (1)求的值； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题关键． （1）先根据等腰三角形的性质可得，根据三角形的内角和定理可得，再根据垂直可得，然后根据角的和差求解即可得； （2）先根据含30度角的直角三角形的性质可得，再根据等腰三角形的判定可得，然后根据线段的和差求解即可得． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵在中，，，， ∴， 由（1）已得：， ∴， ∴． 25．如图，和两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥，桥造在何处可使从到的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直） (1)作图，并保留作图痕迹，不需要写作法； (2)最短，说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了最短路径问题、平移的性质、三角形三边关系，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）平移点到，使得等于河宽，连接交河岸于点，作桥，连接，此时最短； （2）另任意作桥，连接，，，由平移的性质可得，，，故转化为，而转化为，再结合在中，，即可得解． 【详解】（1）解：如图所示：平移点到，使得等于河宽，连接交河岸于点，作桥，连接即可， ； （2）解：如图，另任意作桥，连接，，， ， 由平移的性质可得：，，， 故转化为， 而转化为， 在中，， ∴， 故最短． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $