第15章 《轴对称》 单元质量检测试卷 2026-2027学年人教版八年级数学上册

人教版八年级上册数学《轴对称》单元质量检测试卷 姓名：___________班级：___________得分：___________ 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．下列图形中是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．点关于轴对称的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 3．如图，在等腰中，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 4．如图1，在中，，．按照如下尺规作图的步骤进行操作（如图2所示）： ①以点为圆心，以为半径画弧，与相交于点； ②分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点； ③连接，与相交于点． 则下列结论一定正确的是（    ） A．垂直平分 B． C．平分 D． 5．将一张正方形纸片按如图所示的方式折叠，、为折痕，点、折叠后的对应点分别为、，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．在平面直角坐标系中，若点关于轴对称的点是，则值为（    ） A． B． C． D． 7．已知，与关于直线对称，交于点，则下列结论中不一定成立的是（     ） A． B． C． D． 8．新情境如图所示的人字梯撑开后的主视图是一个等腰三角形，且，取底边的中点为，连接．已测得，则（    ） A． B． C． D． 9．如图，和关于直线l对称，G是直线l上一点，连接，，，，下列说法错误的是（   ） A． B．线段，，被直线l垂直平分 C． D． 10．如图，在中，是的垂直平分线，且，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 11．如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为13，则的周长是（   ） A．16 B．19 C．23 D．29 12．如图，等边三角形的边长为2，O是的平分线与边上的高的交点，，将绕点O旋转，分别交线段于D，E两点，连接，给出下列四个结论：①；②；③；④．其中结论正确的序号是（    ） A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①④ 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13．如图，的垂直平分线分别交，于点D，E，，，则点B到点E的距离是______． 14．如图是一个轴对称图形，将其放置在平面直角坐标系中，如果图中点的坐标为，其关于轴对称的点的坐标为，则的值为________． 15．如图，在中，，点D是上的一点，，的垂直平分线分别交，于点E，F，则______．    16．如图，有一长方形纸片，E为上一点，将纸片沿折叠，点B落在长方形外的点F 处．若 ，，则____． 三、解答题（本大题共9小题，共98分） 17．（10分）尺规作图：如图，电信部门要在两条高速公路m、n形成的内部修建一个电视信号发射塔，按照要求，发射塔到两个城镇A，B的距离相等，到两边的距离也相等，发射塔应修建在什么位置？在图上用点P标出它的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 18．（10分）如图，把沿直线翻折，得到，，，求的度数． 19．（10分）已知：如图，，．求证：． 20．（10分）如图，在中，，，线段的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，求的度数． 21．（10分）如图，在△中，，是边，上的点，与交于点，已知，． (1)证明：； (2)若，，求证：． 22．（12分）（1）将一张长方形纸片按如图1所示的方式折叠，、为折痕，求的度数； （2）将一张长方形纸片按如图2所示的方式折叠，、为折痕，若，求的度数； （3）将一张长方形纸片按如图3所示的方式折叠，、为折痕，若，请直接写出的度数（用含的式子表示） 23．（12分）项目式学习活动主题：估算纸的长与宽 【知识储备】 (1)如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个大正方形，则大正方形的边长为____； 【项目素材】 如图2，按照国际标准，A系列纸为长方形，其中纸的面积为．将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，变成纸⋯⋯． 【任务探究】 (2)将一张纸按如图3所示进行两次折叠（折痕分别是和），观察发现点E恰好和点D重合，则纸的长与宽之比为____； (3)根据上述结论，估算纸的长和宽分别是多少毫米（结果取整数）（参考数据：，，，，，，，） (4)在纸中能裁剪出面积为的圆吗？若能，请你设计裁剪方案；若不能，请说明理由（取3）． 24．（12分）学习了角平分线和尺规作图后，小红进行了拓展性研究：从任意一个角的顶点出发，在其两边上分别截取等长的线段（自顶点起算），过这两点分别作各自所在边的垂线，那么两垂线的交点与角的顶点连线是角平分线吗？现在你作为她的同伴，请根据她的想法与思路，完成以下作图和填空： 第一步：构造角平分线． 小红在的边上任取一点，并过点作了的垂线（如图）．请你利用尺规作图，在边上截取，过点F作OB的垂线与小红所作的垂线交于点P，作射线，即为的平分线（不写作法，保留作图痕迹）． 第二步：利用三角形全等证明她的猜想． 证明：，， ． 在和中， ， ． ③ ． 平分 结论：同学们再进一步研究发现，从任意一个角的顶点出发，在其两边上分别截取等长的线段（自顶点起算）④ ． 25．（12分）如图，等边的边长为，现有两点M，N分别从点A，点B同时出发，沿三角形的边顺时针运动，已知点M的速度为，点N的速度为．当点N第一次到达B点时，M，N同时停止运动．    (1)点M、N运动几秒后，M，N两点重合？ (2)点M、N运动几秒后，为等边三角形？ (3)当点M，N在边上运动时，能否得到以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时M，N运动的时间． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《轴对称》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B B B B C B B D C 题号 11 12 答案 B C 1．B 【分析】根据轴对称图形的定义（如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形）逐项判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，故A不符合题意； B．是轴对称图形，故B符合题意； C．不是轴对称图形，故C不符合题意； D．不是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形的判断方法，掌握轴对称图形的概念是解题的关键. 2．B 【详解】解：∵关于轴对称的点，横坐标不变，纵坐标变为原来的相反数， ∴点关于轴对称的点的坐标为． 3．B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，由作图可得，即得，即可得，又由得，进而根据角的和差即可求解，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：由作图可得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 4．B 【分析】本题考查了尺规作图—作线段的垂直平分线，线段垂直平分线的性质等知识；由作图及线段垂直平分线的性质知，B选项正确，其它选项错误． 【详解】解：由作图知，是线段的垂直平分线，则有，即选项B正确，其它选项错误． 故选：B． 5．B 【分析】本题考查了折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解此题的关键．由折叠的性质可得，结合得出，计算即可得解． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∵， 即， ∴， ∴． 故选：B． 6．C 【分析】本题考查关于轴对称的点的坐标特征，掌握关于轴对称点的坐标变换规律是解题关键． 关于轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此求出和的值，再计算． 【详解】解：∵点关于轴对称的点是， ∴与互为相反数，与相同， ∴, ， ∴． 故选：． 7．B 【分析】由轴对称的性质得出对应线段相等、对应点的连线被对称轴垂直平分，不能得出非对应线段的关系． 【详解】解：∵与关于直线对称， ∴，垂直平分， ∴，， 无法得到， 故选项不一定成立． 8．B 【分析】根据等腰三角形等边对等角求出顶角度数，结合三线合一性质计算即可求解． 【详解】解：，， ， ， ，为的中点， 平分， ． 9．D 【分析】本题考查轴对称图形的性质，垂直平分线的性质，根据轴对称图形和垂直平分线的性质，逐项判断解答即可． 【详解】解：∵和关于直线l对称， ∴，线段，，被直线l垂直平分，，故A和B正确，不符合题意； ∴，， ∴，故C正确，不符合题意； 不等判断D选项正确，故符合题意； 故选：D． 10．C 【分析】设的度数为，根据垂直平分线性质得，则，根据三角形外角性质得，再根据得，然后根据得，最后由三角形内角和定理得，由此解出即可得出答案． 【详解】解：设的度数为， 是的垂直平分线， ， ． ． ， ． 又， ． 在中，由三角形内角和定理得：， ，解得， 的度数为． 故选C． 11．B 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题关键．由垂直平分线的性质可知，，，再根据的周长，得到，即可得解． 【详解】解：是的垂直平分线，， ，， 的周长为13， ， 的周长， 故选：B． 12．C 【分析】本题考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质．连接、，利用等边三角形的性质得，，、分别平分和，再证明，于是可证明，所以，，，则可对①④进行判断；利用得到四边形的面积，则可对②进行判断；根据现有条件无法证明③的结论． 【详解】解：连接、，如图，   为等边三角形， ，， ∵O是的平分线与边上的高的交点， ∴O是的平分线与的平分线的交点， ∴、分别平分和， ∴， ， ∴， ∴， ， 又∵， ∴， ，，故①正确； ，故④正确； ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； 根据现有条件无法证明，故③错误； 故选：C． 13．6 【分析】本题考查线段的垂直平分线的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线．连接．根据垂直平分线的性质可得，求出即可解决问题． 【详解】解：如图，连接， ∵垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：6 ． 14．1 【分析】本题考查坐标与图形变化-对称，解题的关键是掌握轴对称变换的性质． 利用关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变求出m，n，可得结论． 【详解】解：∵点A的坐标为，其关于y轴对称的点B的坐标为， ∴， ∴． 故答案为：1． 15．/100度 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等，也考查了等腰三角形的性质．先根据线段的垂直平分线的性质得到，则根据等腰三角形的性质得到，然后利用平角的定义得，利用三角形内角和定理得到，所以． 【详解】解：∵，的垂直平分线分别交，于点E，F， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：． 16．/63度 【分析】本题主要考查了轴对称的性质以及平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等．根据平行线的性质，即可得到，进而得到，再根据平行线的性质得到． 【详解】解：∵，长方形中， ∴， 根据题意可知：，， ∴， ∴， 根据折叠可知：， ∴， ∵长方形中，， ∴． 故答案为：63． 17．见解析 【分析】作出线段的垂直平分线和的平分线的交点即为点，根据角平分线的判定可得，点在的平分线上，根据线段垂直平分线的性质可得点在线段的垂直平分线上，故线段的垂直平分线和的平分线的交点即为点． 【详解】解：如图，点P即为所求 18． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，翻折的性质，三角形内角和，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据翻折的性质可得，再根据全等三角形的性质，得出对应角相等，进而根据三角形内角和可得的度数． 【详解】解：∵沿直线翻折，得到，，， ∴， ∴，， ∴． 19． 证明：， ， 在和中 ， ， ． 【分析】本题考查三角形全等的判定、全等三角形的性质及等腰三角形的判定等．根据题意选用正确的判定三角形全等的方法是解题的关键．由等角对等边得到，利用“”判定，再由全等三角形对应角相等即可得出结论． 【详解】略 20． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质（等边对等角）和线段垂直平分线的性质（垂直平分线上的点到线段两端距离相等），还涉及到三角形内角和定理等知识点，解题的关键是利用垂直平分线的性质得到，再结合等腰三角形底角的计算求出角度． 利用等腰的性质求的度数；由垂直平分线性质得，进而得；通过与 的差计算． 【详解】解：∵在中，，， ∴． ∵垂直平分线段， ∴． ∴． ∴． 21．(1) 证明：在△和△中， ， △△， ， ， ； (2) 证明：在△中，，， ， ， ， ， ． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质和等腰三角形的性质是解题的关键． （1）证明△△，得，即可得出结论； （2）由等腰三角形的性质得，再求出，然后由三角形内角和定理得，即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 22．（1）；（2）；（3）． 【分析】此题考查折叠的性质：折叠前后的对应角相等，以及角度的和差计算． （1）由折叠的性质知，，即可得到； （2）由计算出，据此即可求出答案； （3）同（2）求得，进一步计算即可得出答案． 【详解】解：（1）由折叠的性质知，， ∴，， ∴； （2）由折叠的性质知，， ∴，， ∵， ∴， ∴； （3）由折叠的性质知，， ∴，， ∵， ∴，则， ∴． 23．(1) (2) (3)纸的宽约为，长约为． (4)在纸中不能裁剪出面积为的圆；理由见解析. 【分析】（1）由等面积法可知一个大正方形面积为2，从而得到大正方形的边长为即可解答； （2）由折叠的性质可知，由（1）可知在正方形中，由此即可解答； （3）设纸的宽为，则长为，根据面积建立方程，计算即可解答． （4）先求解半径，再进一步判断即可. 【详解】（1）解： 两个边长为1的小正方形 ，拼成一个大正方形面积为2， 大正方形的边长为. （2）解：由折叠的性质可知，由（1）可知在正方形中， ，即纸的长宽之比为； （3）解：由（2）可知：纸的长与宽之比是， 设纸的宽为，则长为， 纸的面积为， ， ， ， ； 故纸的宽约为，长约为． （4）解：设圆的半径为， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴直径为， ∵，， ∴在纸中不能裁剪出面积为的圆. 24． 第一步：作图如下： 第二步：①；②；③；④过这两点分别作各自所在边的垂线，那么两垂线的交点与角的顶点连线是角平分线 【分析】本题考查了作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识． 第一步：根据题意作出图形即可； 第二步：利用证明，得出，即可解答． 【详解】解：第一步：略 第二步：证明：， ． 在和中， ， ． ， 平分． 结论：同学们再进一步研究发现，从任意一个角的顶点出发，在其两边上分别截取等长的线段（自顶点起算）④过这两点分别作各自所在边的垂线，那么两垂线的交点与角的顶点连线是角平分线 25．(1)秒 (2)秒 (3)秒 【分析】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质． （1）由点运动路程点运动路程间的路程，列出方程求解，即可得出结论； （2）由等边三角形的性质可得，可列方程求解，即可得出结论； （3）由全等三角形的性质可得，可列方程求解，即可得出结论． 用方程的思想解决问题是解本题的关键． 【详解】（1）解：设运动秒，、两点重合， 根据题意得：， ， 答：点，运动15秒后，、两点重合； （2）解：在等边中， ， 如图1，设点、运动秒后，为等边三角形，   ， 由运动知，，， ， 解得：， 点、运动5秒后，是等边三角形； （3）解：存在，理由如下： 如图2，设、运动秒后，得到以为底边的等腰三角形，   ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， 由运动知，，， ， ， 故点，在边上运动时，能得到以为底边的等腰三角形，此时，运动的时间为20秒． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $