第三章 圆锥曲线与方程（单元分层自测·能力提升卷）高二数学湘教版选择性必修第一册

2026-2027学年选择性必修第一册数学单元自测 第三章 圆锥曲线与方程·能力提升（参考答案） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 C B A C B D D A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9 10 11 ABD ACD ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．或 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设双曲线标准方程为：，............1分 ，，............5分 ∴双曲线标准方程为．............6分 （2）由双曲线的渐近线方程为，设双曲线的方程为，............7分 代入点的坐标，有，可得．............12分 即双曲线的方程为，化为标准方程为．............13分 16．（15分） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可得，解得，，............4分 故双曲线的方程为；............5分 （2）联立，则，............6分 设, 则，，............11分 故弦长为，............14分 解得.............15分 17．（15分） 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）的准线方程为：，故;............1分 易知直线l的斜率存在，设直线l: , 联立，，由直线l与C相切，可得，............5分 解得，故直线l的方程为或.............6分 （2）设，易知直线l的斜率存在，设直线l: , 联立，，则，；............9分 因为，所以，即有；............10分 代入上式可得，解得，即；............12分 ............14分 .............15分 18．（17分） 【答案】(1) (2) (3)，定点 【详解】（1）抛物线的焦点坐标为，............1分 因为直线经过该抛物线的焦点，............2分 所以，即，故抛物线的方程为............4分 （2）已知直线与抛物线交于两点，设， 联立，消去得，............5分 则，，............6分 已知直线在轴上方，则，............7分 当线段在直线上方时，记直线分别与交于点， 由三角形面积公式，有，，............8分 所以，............9分 解得（负值舍去）.............10分 （3）已知为线段中点，则，............11分 由（2）知，............12分 则，， 以为圆心且过点的圆为，............14分 整理得，............15分 令，解得，............16分 即当时，以为圆心且过点的圆过定点.............17分 19．（17分） 【答案】(1) (2) (3)略 【详解】（1）由椭圆，得到，即............2分 所以............3分 所以.............4分 （2）由题可得焦点， 设，则，............5分 由，即............6分 化简得到，............7分 联立椭圆方程，消元得到，............8分 因为，所以，代入，由解得，............9分 所以............10分 （3）假设存在定点，使得的值为定值.............11分 当直线AB的斜率为0时，，............12分 当直线AB的斜率不存在时，，............13分 由，得到，且，............14分 接下来判断当点T的坐标为，直线AB的斜率存在且不为0时，的值是否为定值， 设直线AB的方程为， 联立方程，得到，............15分 则，， .............16分 所以当点T的坐标为时，为定值.............17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年选择性必修第一册数学单元自测 第三章 圆锥曲线与方程·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．抛物线的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 2．双曲线的渐近线方程是（ ） A． B． C． D． 3．若椭圆过抛物线的焦点， 且与双曲线有相同的焦点，则该椭圆的方程是（   ） A． B． C． D． 4．已知抛物线和的焦点之间的距离为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．已知直线与双曲线相交于A，B两点，且A，B两点的横坐标之积为-9，，为此双曲线的左、右焦点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 6．若直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．已知点为双曲线的右支上一点，，分别为双曲线的左右焦点，点为的内切圆圆心，若恒有成立，则双曲线的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．过抛物线的焦点作直线与相交于两点，点在轴上，，为线段的中点，为坐标原点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知椭圆：的两个焦点分别为，，点为上的动点，以下正确的是（     ） A．椭圆离心率为 B．的周长为6 C．的最小值为 D．面积的最大值为 10．双曲线，直线过右焦点交双曲线于两点，则（   ） A．直线斜率为时，只有一个交点 B．若两点均在右支，则 C．若分居于左右两支，则 D．当直线垂直轴，弦长为 11．抛物线：（）的焦点为，直线：过点且与抛物线交于，两点，点在第一象限，则（    ） A．抛物线的焦点到准线的距离为4 B．若点的坐标为，则周长的最小值为9 C．当时， D．以线段为直径的圆交轴于、两点，设线段的中点为，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．抛物线经过点，其标准方程为_______. 13．已知双曲线的一个焦点为，则双曲线的渐近线方程为______. 14．已知点是椭圆在第一象限上的动点，过点引圆的两条切线、，切点分别是、，直线与轴、轴分别交于点、，则面积的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）求符合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在轴上，焦距为4，虚轴长为2； (2)过点，渐近线方程为． 16．（15分）已知双曲线（，）的离心率为，实轴长为2． (1)求双曲线C的方程； (2)若直线被双曲线C截得的弦长为，求实数m的值． 17.（15分）设抛物线C：的焦点为F，C的准线与x轴交于点M，直线l过点M. (1)若直线l与C相切，求直线l的方程； (2)若直线l与C交于A，B两点，且，求. 18．（17分）已知抛物线，为坐标原点，直线经过该抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点，为线段中点，动直线在轴上方. (1)求抛物线的方程； (2)当线段在直线上方时，直线等分的面积，求的值； (3)点在直线上的射影为点，是否存在使得以为圆心且过点的圆过定点，若存在，求出的值及定点坐标；若不存在，请说明理由. 19.（17分）已知椭圆的左、右焦点分别为，. (1)求椭圆的离心率； (2)设点为第一象限内椭圆上的点，若，求点的坐标； (3)过右焦点的直线与椭圆交于，两点，在轴上是否存在定点，使得的值为定值？若存在，求出定点的坐标及该定值；若不存在，请说明理由. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年选择性必修第一册数学单元自测 第三章 圆锥曲线与方程·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．抛物线的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】抛物线化为, 当,则,从而,所以焦点的坐标是; 当,则,从而,所以焦点的坐标是. 所以抛物线的焦点坐标是. 2．双曲线的渐近线方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】双曲线，化为标准式：， 焦点在轴上，，即， 焦点在轴上的双曲线渐近线方程为， 代入得：. 3．若椭圆过抛物线的焦点， 且与双曲线有相同的焦点，则该椭圆的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出抛物线及双曲线的焦点，再由给定条件求出椭圆方程. 【详解】抛物线的焦点为，双曲线的焦点为， 依题意，椭圆过点，其焦点为， 则，所以所求椭圆方程为. 4．已知抛物线和的焦点之间的距离为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】抛物线和的焦点分别为、， 由题意得，，即， 由基本不等式，可得， 所以，即的最大值为（当且仅当时取等号）. 故的最大值为. 5．已知直线与双曲线相交于A，B两点，且A，B两点的横坐标之积为-9，，为此双曲线的左、右焦点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线和双曲线关于原点中心对称得出点坐标. 【详解】由双曲线定义，，所以， 又直线和双曲线都关于原点中心对称，所以交点也关于原点对称， 不妨设，且，又，所以， 代入双曲线方程，得出， 所以的面积为. 6．若直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，直线过，根据双曲线渐近线的斜率可得到取值范围. 【详解】双曲线的标准形式为，渐近线为， 当直线与双曲线的渐近线平行时，即，此时直线与双曲线的左支或右支只有一个交点，如图所示， 要使直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则直线必须在两渐近线之间， 此时的取值范围为，故D正确. 7．已知点为双曲线的右支上一点，，分别为双曲线的左右焦点，点为的内切圆圆心，若恒有成立，则双曲线的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用内切圆半径 表示三个三角形面积，约去公共因子，将面积不等式转化为焦半径差与焦距的关系，由双曲线定义得 ，结合离心率定义及 求范围. 【详解】设的内切圆半径为，根据三角形面积公式可得 ，，. 代入题设不等式，约去公共项后可得 . 根据双曲线的定义，右支上的点恒满足， 而双曲线焦距，代入上式得， 即离心率. 双曲线的离心率本身满足，因此最终离心率的取值范围是. 8．过抛物线的焦点作直线与相交于两点，点在轴上，，为线段的中点，为坐标原点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】联立直线与抛物线，由韦达定理求出中点的坐标，结合求出点的坐标，通过的单调性即可求得的取值范围． 【详解】由抛物线可知, 设直线，，，，中点， 联立得，故，， 进而， ， 因此，， 又由得，即， 即，代入化简得， 解得，因此， 故， 令，则， 代入得，该函数在上单调递增， 故当，即时，取最小值，对应， 当时，，对应， 因此的取值范围是． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知椭圆：的两个焦点分别为，，点为上的动点，以下正确的是（     ） A．椭圆离心率为 B．的周长为6 C．的最小值为 D．面积的最大值为 【答案】ABD 【分析】由椭圆方程求出，即得离心率，判断A；根据椭圆的定义即可求出的周长，判断B；由椭圆上一点到焦点的距离最小值为，判断C；结合图形可知，当的边上的高最大时其面积最大，计算即可判断D. 【详解】由题可知，，则，则离心率，故A正确； 由椭圆的定义可知，， 所以的周长为，故B正确； 由图知，椭圆上一点到焦点的距离最小值为，即，故C错误； 由，则当点在上顶点或下顶点时， 即取得最大值时，面积的最大值为，故D正确. 10．双曲线，直线过右焦点交双曲线于两点，则（   ） A．直线斜率为时，只有一个交点 B．若两点均在右支，则 C．若分居于左右两支，则 D．当直线垂直轴，弦长为 【答案】ACD 【分析】先由双曲线方程得到基本量与渐近线，设出过焦点的直线并联立方程；结合二次方程系数、韦达定理根的符号、特殊位置逐一验证各选项. 【详解】由双曲线，得，，即，， 所以渐近线方程为. 又右焦点，设过的直线为（存在）， 联立，消去，得， 整理得.① 对于，渐近线斜率为，若直线斜率，则直线与其中一条渐近线平行，此时直线和双曲线只有1个交点，正确； 对于，若两点均在右支，则方程有两个不相等的正根，即， 由韦达定理得，. 因中分子恒成立，故需要分母，解得，错误； 对于，分跨两支，则方程的两根一正一负，即，解得，正确； 对于，直线垂直于轴，即，代入双曲线，得，交点为，， 弦长为，正确. 11．抛物线：（）的焦点为，直线：过点且与抛物线交于，两点，点在第一象限，则（    ） A．抛物线的焦点到准线的距离为4 B．若点的坐标为，则周长的最小值为9 C．当时， D．以线段为直径的圆交轴于、两点，设线段的中点为，则的最小值为 【答案】ABD 【分析】根据抛物线性质判断A选项；利用抛物线定义将进行转化，再利用三角不等式求周长的最小值判断B选项；利用抛物线定义将进行转化后判断C选项；将直线方程与抛物线方程联立消元得到韦达定理，表示和点坐标，得到到轴的距离，进一步表示，再利用函数性质求最值即可判断D选项. 【详解】对于A，由直线：与轴的交点为，得焦点，准线方程为， 因此抛物线的焦点到准线的距离，A正确； 对于B，由点，，过点作准线的垂线，垂足为， 则周长为， 当且仅当，，共线时取等号，B正确； 对于C，设直线与抛物线的准线交于点，过点作准线的垂线，垂足为， 设，则，，由，即， 得，则，因此直线的倾斜角为，斜率为，故，C错误； 对于D，由，得，， 所以，则， ，到轴的距离为， ，当且仅当时取得等号，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．抛物线经过点，其标准方程为_______. 【答案】或 【分析】根据抛物线过的点坐标，分类讨论利用待定系数法求解即可. 【详解】因为点在第三象限， 所以设所求抛物线的标准方程为或． 若抛物线的标准方程为， 则由，解得； 若抛物线的标准方程为， 则由，解得. 故所求抛物线的标准方程为或. 13．已知双曲线的一个焦点为，则双曲线的渐近线方程为______. 【答案】 【分析】由已知可直接写出，进而利用双曲线参数关系，求出，再通过双曲线的渐近线方程公式即可解决本题. 【详解】焦点在轴上的双曲线的标准方程为，焦点坐标为，其中， 双曲线的一个焦点为可知， 则， 所以双曲线的渐近线方程为，即. 14．已知点是椭圆在第一象限上的动点，过点引圆的两条切线、，切点分别是、，直线与轴、轴分别交于点、，则面积的最小值为______． 【答案】 【分析】根据切点弦直线方程的求解过程求解，即可求得直线的方程，从而可得，再根据三角形面积公式和基本不等式求解即可. 【详解】设，， 则圆在处的切线方程分别为， 又切线过点，所以， 所以弦的方程为． 则直线与两坐标轴轴、轴的交点分别为． 因为是椭圆在第一象限上的动点，则，且， 故， 当且仅当，即时等号成立， 所以． 所以面积的最小值为． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）求符合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在轴上，焦距为4，虚轴长为2； (2)过点，渐近线方程为． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设双曲线标准方程为：， ，， ∴双曲线标准方程为． （2）由双曲线的渐近线方程为，设双曲线的方程为， 代入点的坐标，有，可得． 即双曲线的方程为，化为标准方程为． 16.（15分）已知双曲线（，）的离心率为，实轴长为2． (1)求双曲线C的方程； (2)若直线被双曲线C截得的弦长为，求实数m的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可得，解得，， 故双曲线的方程为； （2）联立，则， 设, 则，， 故弦长为， 解得. 17．（15分）设抛物线C：的焦点为F，C的准线与x轴交于点M，直线l过点M. (1)若直线l与C相切，求直线l的方程； (2)若直线l与C交于A，B两点，且，求. 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）的准线方程为：，故; 易知直线l的斜率存在，设直线l: , 联立，，由直线l与C相切，可得， 解得，故直线l的方程为或. （2）设，易知直线l的斜率存在，设直线l: , 联立，，则，； 因为，所以，即有； 代入上式可得，解得，即； . 18．（17分）已知抛物线，为坐标原点，直线经过该抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点，为线段中点，动直线在轴上方. (1)求抛物线的方程； (2)当线段在直线上方时，直线等分的面积，求的值； (3)点在直线上的射影为点，是否存在使得以为圆心且过点的圆过定点，若存在，求出的值及定点坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)，定点 【详解】（1）抛物线的焦点坐标为， 因为直线经过该抛物线的焦点， 所以，即，故抛物线的方程为. （2）已知直线与抛物线交于两点，设， 联立，消去得， 则，， 已知直线在轴上方，则， 当线段在直线上方时，记直线分别与交于点， 由三角形面积公式，有，， 所以， 解得（负值舍去）. （3）已知为线段中点，则， 由（2）知， 则，， 以为圆心且过点的圆为， 整理得， 令，解得， 即当时，以为圆心且过点的圆过定点. 19．（17分）已知椭圆的左、右焦点分别为，. (1)求椭圆的离心率； (2)设点为第一象限内椭圆上的点，若，求点的坐标； (3)过右焦点的直线与椭圆交于，两点，在轴上是否存在定点，使得的值为定值？若存在，求出定点的坐标及该定值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)略 【详解】（1）由椭圆，得到，即 所以 所以. （2）由题可得焦点， 设，则， 由，即 化简得到， 联立椭圆方程，消元得到， 因为，所以，代入，由解得， 所以 （3）假设存在定点，使得的值为定值. 当直线AB的斜率为0时，， 当直线AB的斜率不存在时，， 由，得到，且， 接下来判断当点T的坐标为，直线AB的斜率存在且不为0时，的值是否为定值， 设直线AB的方程为， 联立方程，得到， 则，， . 所以当点T的坐标为时，为定值. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年选择性必修第一册数学单元自测 第三章 圆锥曲线与方程·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．抛物线的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 2．双曲线的渐近线方程是（ ） A． B． C． D． 3．若椭圆过抛物线的焦点， 且与双曲线有相同的焦点，则该椭圆的方程是（   ） A． B． C． D． 4．已知抛物线和的焦点之间的距离为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．已知直线与双曲线相交于A，B两点，且A，B两点的横坐标之积为-9，，为此双曲线的左、右焦点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 6．若直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．已知点为双曲线的右支上一点，，分别为双曲线的左右焦点，点为的内切圆圆心，若恒有成立，则双曲线的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．过抛物线的焦点作直线与相交于两点，点在轴上，，为线段的中点，为坐标原点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知椭圆：的两个焦点分别为，，点为上的动点，以下正确的是（     ） A．椭圆离心率为 B．的周长为6 C．的最小值为 D．面积的最大值为 10．双曲线，直线过右焦点交双曲线于两点，则（   ） A．直线斜率为时，只有一个交点 B．若两点均在右支，则 C．若分居于左右两支，则 D．当直线垂直轴，弦长为 11．抛物线：（）的焦点为，直线：过点且与抛物线交于，两点，点在第一象限，则（    ） A．抛物线的焦点到准线的距离为4 B．若点的坐标为，则周长的最小值为9 C．当时， D．以线段为直径的圆交轴于、两点，设线段的中点为，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．抛物线经过点，其标准方程为_______. 13．已知双曲线的一个焦点为，则双曲线的渐近线方程为______. 14．已知点是椭圆在第一象限上的动点，过点引圆的两条切线、，切点分别是、，直线与轴、轴分别交于点、，则面积的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）求符合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在轴上，焦距为4，虚轴长为2； (2)过点，渐近线方程为． 16．（15分）已知双曲线（，）的离心率为，实轴长为2． (1)求双曲线C的方程； (2)若直线被双曲线C截得的弦长为，求实数m的值． 17.（15分）设抛物线C：的焦点为F，C的准线与x轴交于点M，直线l过点M. (1)若直线l与C相切，求直线l的方程； (2)若直线l与C交于A，B两点，且，求. 18．（17分）已知抛物线，为坐标原点，直线经过该抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点，为线段中点，动直线在轴上方. (1)求抛物线的方程； (2)当线段在直线上方时，直线等分的面积，求的值； (3)点在直线上的射影为点，是否存在使得以为圆心且过点的圆过定点，若存在，求出的值及定点坐标；若不存在，请说明理由. 19.（17分）已知椭圆的左、右焦点分别为，. (1)求椭圆的离心率； (2)设点为第一象限内椭圆上的点，若，求点的坐标； (3)过右焦点的直线与椭圆交于，两点，在轴上是否存在定点，使得的值为定值？若存在，求出定点的坐标及该定值；若不存在，请说明理由. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $