第3章 圆锥曲线与方程 本章复习提升（Word同步练习）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（湘教版）

**基本信息** 聚焦圆锥曲线单元，通过易混易错专项突破与数学思想方法系统训练，适配高中数学单元复习，助力学生深化概念理解与解题能力提升。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择/填空|12题|轨迹方程（题1）、圆锥曲线定义（题3）、焦点位置（题5）、判别式应用（题7）|结合2024广东深圳、2025北京十一学校等期中真题，强化易错点辨析，培养数学思维的严谨性| |解答题|5题|直线与椭圆综合（题8）、面积最值（题9）、四边形面积（题3(2)）|融入数形结合（题1）、分类讨论（题6）等思想，通过分层梯度解析，提升数学语言表达与模型构建能力|

本章复习提升 易混易错练 易错点1　求轨迹方程时忽略题中的限制条件致错 1.(2024广东深圳翠园中学期中)已知F1,F2分别为椭圆E:+y2=1的左、右焦点,P是椭圆E上一动点,G是三角形PF1F2的重心,则点G的轨迹方程为(　　) A.x2+9y2=1　　　　　 B.x2+9y2=1(y≠0) C.+=1　　 　　　 D.+=1(y≠0) 2.设椭圆E的方程为+y2=1,斜率为1的动直线l交椭圆E于A,B两点,以线段AB的中点C为圆心,|AB|为直径作圆,则圆心C的轨迹方程为　　　　.  易错点2　对圆锥曲线的定义理解不清致错 3.若动圆与圆x2+y2=1和圆x2+y2-8x+12=0都外切,则动圆圆心的轨迹为(　　) A.双曲线的一支　　　　　B.圆 C.抛物线　　　 　　D.双曲线 4.(2025北京十一学校月考)下列说法正确的个数是(　　) ①动点P(x,y)满足+=4,则P的轨迹是椭圆; ②动点P(x,y)满足+=5,则P的轨迹是双曲线; ③动点P(x,y)满足到y轴的距离比到F(1,0)的距离小1,则P的轨迹是抛物线; ④动点P(x,y)满足(x-2)=0,则P的轨迹是圆和一条直线. A.0　　　　　B.1　　　　　C.2　　　　　D.3 易错点3　忽视椭圆、双曲线、抛物线的焦点位置致错 5.若椭圆+=1的焦距为2,则实数m的值为　　(　　) A.1　　　　　B.4　　　　　C.1或7　　　　　D.4或6 6.已知双曲线的两条渐近线的夹角为60°,则双曲线的离心率为　　　　.  易错点4　忽视判别式对参数的限制致错 7.如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4只有一个交点,则符合条件的直线有(　　) A.1条　　　　　B.2条　　　　　 C.3条　　　　　D.4条 8.已知点F为椭圆E:+=1(a>b>0)的左焦点,且两焦点与短轴的一个端点构成等边三角形,直线+=1与椭圆E有且仅有一个交点M. (1)求椭圆E的方程; (2)设直线+=1与y轴交于点P,过点P的直线l与椭圆E交于两个不同的点A,B,若λ|PM|2=|PA|·|PB|,求实数λ的取值范围. 易错点5　忽视直线斜率不存在的情况致错 9.如图,O是坐标原点,椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率e=,点M与点P在椭圆C上,延长PF1交椭圆C于另一点Q,R是PF2的中点. (1)求椭圆C的方程; (2)记△QF1O与△PF1R的面积之和为S,求S的最大值. 思想方法练 一、数形结合思想在圆锥曲线中的应用 1.已知F1,F2分别是椭圆+=1的左、右焦点,P是椭圆上任意一点,过F1作∠F1PF2的外角的平分线的垂线,交外角的平分线于点Q,则Q与短轴端点间的距离的最小值为(　　) A.1　　　　　B.2　　　　　C.4　　　　　D.5 二、函数与方程思想在圆锥曲线中的应用 2.(2025甘肃金昌期中)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,焦距|F1F2|=2,过点T(3,0)的直线与椭圆交于P,Q两点,若=2,且PF1⊥PF2,则椭圆C的方程为(　　) A.+=1　 　B.+=1 C.+=1　　D.+y2=1 3.已知椭圆的两个焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0),且直线y=x-与椭圆相切. (1)求椭圆的方程; (2)过F1作两条互相垂直的直线l1,l2,与椭圆分别交于点P,Q及M,N,求四边形PMQN的面积的最大值与最小值. 三、转化与化归思想在圆锥曲线中的应用 4.(2025广西示范性高中期中)图1为一种卫星接收天线,其曲面与轴截面的交线为拋物线的一部分,已知该卫星接收天线的口径|AB|=4,深度|MO|=1,信号处理中心位于焦点F,以顶点O为坐标原点,建立如图2所示的平面直角坐标系xOy,若P是该抛物线上一点,点Q是圆(x-3)2+(y-2)2=1上一点,则|PF|+|PQ|的最小值为(　　) 　 A.4　　　　　B.3　　　　　C.　　　　　D.5 5.(2025甘肃定西月考)已知椭圆C:9x2+y2=m2(m>0),直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M. (1)证明:直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值; (2)若l过点,延长线段OM与C交于点P,四边形OAPB可以是平行四边形吗?若可以,求此时l的斜率;若不可以,请说明理由. 四、分类讨论思想在圆锥曲线中的应用 6.(多选题)(2025江苏徐州期中)已知曲线C:2x|x|+y|y|=2,点F1(-,0),F2(,0),则下列结论正确的是　　(　　) A.曲线C关于点(0,0)对称 B.曲线C上存在点P,使|PF1|-|PF2|=2 C.直线y=-x与曲线C无公共点 D.点Q为曲线C在第二象限内的点,过点Q向直线y=x与y=-x作垂线,垂足分别为A,B,则|QA|·|QB|= 7.(2025湖南岳阳期中)若曲线|y|=x+2与曲线C:+=1恰有两个不同的交点,则实数λ的取值范围是(　　) A.(1,+∞) B.(-∞,1] C.(-∞,-1]∪(1,+∞) D.[-1,0)∪(1,+∞) 8.(2024四川南充期中)已知椭圆C:+y2=1(a>0)的右焦点为F(1,0),直线l过点F且与椭圆C交于A,B两点,O为坐标原点. (1)求椭圆C的长轴长和离心率; (2)求△AOB的面积的最大值; (3)若△AOB为直角三角形,求直线l的方程. 答案与分层梯度式解析 本章复习提升 易混易错练 1.B　∵F1,F2分别为椭圆E:+y2=1的左、右焦点, ∴F1(-2,0),F2(2,0).设G(x0,y0),P(m,n), 则∴ ∵点P为椭圆E上的动点,∴+n2=1,∴+9=1.又P与F1,F2不共线(P与F1,F2共线时,△PF1F2不存在), ∴n≠0,∴y0≠0. ∴△PF1F2的重心G的轨迹方程为x2+9y2=1(y≠0). 2.答案　y=-x 解析　设动直线l的方程为y=x+t,联立消去y,得3x2+4tx+2t2-2=0, 则Δ=16t2-12(2t2-2)=24-8t2>0,即-<t<. 设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系得x1+x2=-,x1x2=,则C, 由椭圆的对称性知C的轨迹经过原点, ∴圆心C的轨迹方程为y=-x. 易错警示　在用代数法解决直线与圆锥曲线的位置关系问题时,注意判别式的取值范围.本题若忽略-<t<,则会得到圆心C的轨迹为直线的错误结论,事实上它的轨迹是不含端点的线段. 3.A　设动圆的圆心为M,半径为r,圆x2+y2=1与圆x2+y2-8x+12=0的圆心分别为O1和圆O2,易得圆O1和圆O2的半径分别为1和2,由题意得|MO1|=r+1,|MO2|=r+2.∴|MO2|-|MO1|=1,又|O1O2|=4>1,∴动点M的轨迹是双曲线的一支. 易错警示　双曲线的定义中含有“绝对值”,当得出动点到两定点距离之差为常数时,考虑其轨迹只是双曲线的一支,解题时防止忽视定义的形式导致答案错误. 4.A　①,+=4表示点(x,y)与点(0,2),(0,-2)的距离和为4, 而(0,2),(0,-2)两点间的距离为4,所以P点的轨迹是以点(0,2),(0,-2)为端点的线段,①错误. ②,+=5表示点(x,y)与点(0,2),(0,-2)的距离和为5, 而(0,2),(0,-2)两点的距离为4,5>4,所以P点的轨迹是椭圆,②错误. ③,动点P(x,y)满足到y轴的距离比到F(1,0)的距离小1, 当点P(x,y)在y轴右侧时,动点P(x,y)满足到直线x=-1的距离和到F(1,0)的距离相等,则P的轨迹是抛物线; 当点P(x,y)在y轴左侧或在y轴上时,P的轨迹是射线y=0(x≤0),③不正确. ④,动点P(x,y)满足(x-2)=0, 则或x2+y2=5, 表示的是直线x-2=0在x2+y2=5圆外和圆上的部分; x2+y2=5表示一个圆,所以P的轨迹是圆和两条射线,④错误. 综上,正确的有0个. 5.D　由题意可得c=1. 当椭圆的焦点在x轴上时,9-(m+4)=1,解得m=4; 当椭圆的焦点在y轴上时,(m+4)-9=1,解得m=6. 易错警示　研究含参数的圆锥曲线方程时,要注意判断焦点的位置,如果不能确定焦点的位置,要分情况讨论. 6.答案　2或 解析　由题意知,双曲线的渐近线存在两种情况. 当双曲线的焦点在x轴上时,其中一条渐近线的倾斜角为60°(如图1所示)或其中一条渐近线的倾斜角为30°(如图2所示),均符合题意, 所以双曲线的一条渐近线的斜率k=或k=, 即=或=. 又b2=c2-a2,所以=3或=, 所以e2=4或e2=,所以e=2或e=. 同理,当双曲线的焦点在y轴上时,=或=, 所以=或=,又e=,所以e=或e=2. 综上可得,双曲线的离心率为2或. 7.D　由得(1-k2)x2+2kx-5=0①. 当1-k2=0,即k=±1时,①式为一元一次方程,该方程组只有一解; 当1-k2≠0,即k≠±1时,①式为一元二次方程,令Δ=4k2+20(1-k2)=0,解得k=±,该方程组有两个相同的解.因此符合条件的直线有4条. 易错警示　解决直线与双曲线的位置关系问题时,要注意讨论联立直线与双曲线的方程消元后得到的方程是不是一元二次方程,即二次项系数是不是0. 8.解析　(1)由题意得a=2c,b=c,则椭圆E的方程可化为+=1,由得x2-2x+4-3c2=0. ∵直线与椭圆E有且仅有一个交点M, ∴Δ=4-4(4-3c2)=0,∴c2=1,∴a2=4,b2=3, ∴椭圆E的方程为+=1. (2)由(1)得M,又P(0,2),∴|PM|2=. 当直线l与x轴垂直时,|PA|·|PB|=(2+)×(2-)=1,由λ|PM|2=|PA|·|PB|,得λ=; 当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2),由得(3+4k2)·x2+16kx+4=0,则x1x2=,且Δ=48(4k2-1)>0,解得k2>, ∴|PA|·|PB|=(1+k2)|x1x2|=(1+k2)·=1+=λ, ∴λ=,又k2>,∴<λ<1. 综上所述,λ的取值范围是. 9.解析　(1)由题意得∴ ∴椭圆C的方程为+=1. (2)连接OR,PO, ∵O,R分别为F1F2,PF2的中点, ∴OR∥PF1, ∴△PF1R与△PF1O同底等高, ∴=, ∴S=+=S△PQO. ①当直线PQ的斜率不存在时,其方程为x=-1,此时S△PQO=×1×=. ②当直线PQ的斜率存在时,设其方程为y=k(x+1),设P(x1,y1),Q(x2,y2),显然直线PQ不与x轴重合,即k≠0. 由得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0, 则x1+x2=-,x1x2=, ∴|PQ|=|x1-x2|=·=, 又点O到直线PQ的距离d=, ∴S=|PQ|·d=6, 令a=3+4k2,则a∈(3,+∞), 则S=6=. ∵a∈(3,+∞),∴∈, ∴--+1∈(0,1),∴S∈. 综上所述,S∈,则S的最大值为. 易错警示　在解决直线与圆锥曲线的位置关系时,常要设出直线的方程,需对直线斜率存不存在进行讨论,解题时要防止因遗漏情况导致错误. 思想方法练 1.A　如图所示,设F1Q的延长线交F2P的延长线于点M,则|PM|=|PF1|, 由题意直接画出图形,将几何关系在图形中呈现出来,体现了数形结合的思想. ∴|MF2|=|PM|+|PF2|=|PF1|+|PF2|=2a=10. 连接OQ,易知OQ是△F1F2M的中位线,∴|OQ|=5, ∴点Q的轨迹是以O为圆心,5为半径的圆, ∴当点Q在y轴上时,点Q与短轴端点间的距离最小,为5-4=1. 思想方法　在解决直线与圆锥曲线问题时要注意数形结合,把代数式的精确刻画与几何图形的直观描述有机结合,避免繁杂的计算和推理,实现快速、准确解题. 2.A　如图,|TP|=2|TQ|,|TF1|=2|F1F2|=2|TF2|,则=2,∴PF1∥QF2,延长QF2交椭圆C于另一点M,连接F1M,由PF1⊥PF2及椭圆的对称性得∠F1MF2=90°. 设|QF2|=m,则|PF1|=|MF2|=2m,根据椭圆的定义,知|QF1|=2a-m,|MF1|=2a-2m,在Rt△F1MQ中,(2a-2m)2+(3m)2=(2a-m)2,解得m=或m=0(舍去). 在Rt△F1MF2中,(2a-2m)2+(2m)2=4c2,∴5a2=9c2=45, 利用三角形知识和椭圆的定义得到a,c之间的关系式,体现了方程的思想. 则a=3,b=2,故椭圆C的方程为+=1. 3.解析　(1)设椭圆方程为+=1(a>b>0). 联立整理得(a2+b2)x2-2a2x+3a2-a2b2=0, 因为直线y=x-与该椭圆相切,所以Δ=(-2a2)2-4(a2+b2)(3a2-a2b2)=0,得a2+b2=3. 利用条件列出有关a,b的关系式(方程),再解方程(组),进而得到椭圆的方程. 又焦点为F1(-1,0),F2(1,0),所以a2-b2=1,所以a2=2,b2=1, 所以椭圆的方程为+y2=1. (2)若直线PQ的斜率不存在(或为0),则S四边形PMQN===2. 若直线PQ的斜率存在且不为0,设为k(k≠0),则直线MN的斜率为-, 所以直线PQ的方程为y=kx+k,设P(x1,y1),Q(x2,y2), 由得(2k2+1)x2+4k2x+2k2-2=0, 所以x1+x2=,x1x2=, 所以|PQ|=|x1-x2| = =2×, 同理可得,|MN|=2×. 所以S四边形PMQN= =4×=4× =4×=4× . 选择参数k为自变量,建立与k的函数关系式,利用函数知识求S四边形PMQN的最大(小)值. 因为y=4k2++10≥2+10=18(当且仅当k2=1时取等号),所以∈, 所以4× ∈. 综上所述,四边形PMQN的面积的最小值为,最大值为2. 思想方法　在解析几何中,建立坐标系,利用代数方法构造方程或函数,通过方程或函数的知识解决问题是一种最基本的方法.在与圆锥曲线有关的问题中,常将求圆锥曲线中面积、长度的最值或者范围问题转化为求二次函数、三角函数的最值问题,然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求范围或者最值. 4.A　由题意设抛物线的方程为y2=2px(p>0), 因为|AB|=4,|MO|=1,所以点B(1,-2)在抛物线上, 将B的坐标代入抛物线方程,可得8=2p,故p=4, 所以抛物线的方程为y2=8x, 所以抛物线的焦点F的坐标为(2,0),准线方程为x=-2, 圆(x-3)2+(y-2)2=1的圆心为H(3,2),半径R=1,可知圆在抛物线右侧,如图,过点P作PP'与准线垂直,垂足为P',过点H作HN与准线垂直,垂足为N,则|PF|=|PP'|,所以|PF|+|PQ|=|PP'|+|PQ|≥|P'Q|≥|NH|-R=3+2-1=4, 根据抛物线定义进行点点距与点线距的转化,体现了转化与化归思想. 当且仅当P,H,P'三点共线时,|PF|+|PQ|取最小值,为4. 5.解析　(1)证明:设直线l:y=kx+b(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM), 将y=kx+b代入9x2+y2=m2(m>0),得(k2+9)x2+2kbx+b2-m2=0, 则Δ=4k2b2-4(k2+9)(b2-m2)>0, x1+x2=-,xM==-,yM=kxM+b=, ∴kOM==-,即kOM·k=-9, ∴直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值. (2)四边形OAPB可以是平行四边形. ∵直线l:y=kx+b(k≠0,b≠0)过点, ∴b=m-m, 由(1)知,Δ=4k2b2-4(k2+9)(b2-m2)>0, ∴k2m2>9b2-9m2,∴k2m2>9-9m2, 又m≠0,∴k2>k2-6k,即6k>0,则k>0, ∴l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k>0,且k≠3. 由(1)知直线OM的方程为y=-x, 由得x2=, 则点P的横坐标xP=±. ∵b=,∴l的方程为y=kx+, 将y=-x代入y=kx+, 得kx+=-x,可得点M的横坐标xM=. 当线段AB与线段OP互相平分,即xP=2xM时,四边形OAPB为平行四边形, 将平行四边形问题转化为中点坐标问题,将几何条件代数化,体现了转化与化归思想. 此时±=2×,解得k=4-或k=4+,均符合题意, ∴当l的斜率为4-或4+时,四边形OAPB为平行四边形. 思想方法　转化与化归思想在解析几何中常见的运用:将一般的点或图形转化为特殊点或特殊图形,将代数形式转化为几何图形,利用圆锥曲线的定义及几何性质对相关的量进行适当转化,将平面几何条件转化为解析条件. 6.BCD　当x≥0,y≥0时,曲线C:x2+=1, 表示焦点在y轴上的椭圆在第一象限内的部分, 当x≥0,y<0时,曲线C:x2-=1, 表示焦点在x轴上的双曲线在第四象限内的部分, 该双曲线的一条渐近线方程为y=-x,焦点为F1(-,0),F2(,0), 当x<0,y≥0时,曲线C:-x2=1, 表示焦点在y轴上的双曲线在第二象限内的部分,该双曲线的一条渐近线方程为y=-x, 当x<0,y<0时,曲线C:-2x2-y2=2,不表示任何图形, 对于A,因为-2x|-x|-2y|-y|=-2x|x|-2y|y|=-2, 所以点(-x,-y)不在曲线C上,所以曲线C不关于点(0,0)对称,故A错误; 对于B,当点P在第四象限内时,|PF1|-|PF2|=2,故B正确; 对于C,由上述分析可知直线y=-x与曲线C无公共点,故C正确; 对于D,设Q(m,n),则-2m2+n2=2, 则|QA|·|QB|=·==,故D正确. 7.C　|y|=x+2表示两条端点为A(-2,0)且斜率分别为1和-1的射线. 易知曲线|y|=x+2与曲线C必有两个交点(0,2),(0,-2). 当曲线C:+=1为椭圆,即λ>0时,只需点A(-2,0)在椭圆内,即+<1,解得λ>1;当曲线C:+=1为双曲线,即λ<0时,渐近线方程:y=±x,要使曲线|y|=x+2与曲线C:+=1恰有两个不同的交点,只需≤1,解得λ≤-1. 曲线C中含参数,根据参数的取值范围讨论曲线的类型,体现了分类讨论思想. 所以实数λ的取值范围是(-∞,-1]∪(1,+∞). 8.解析　(1)由题意得,a2-1=1,所以a=. 所以椭圆C的长轴长2a=2,离心率e==. (2)设直线l的方程为x=my+1, 联立消去x并整理,得(m2+2)y2+2my-1=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则Δ=(2m)2-4·(m2+2)·(-1)=8m2+8>0,y1+y2=-,y1y2=-, 所以|y1-y2|==. 故△AOB的面积S=·|OF|·|y1-y2|=·, 令=t,则t∈[1,+∞),S△AOB==≤,当且仅当t=1,即m=0时,等号成立,此时l:x=1. 所以△AOB的面积的最大值为. (3)在Rt△AOB中,需对直角顶点进行讨论. ①若∠OAB=90°,则OA⊥FA, 又=(x1,y1),=(x1-1,y1), 所以x1(x1-1)+=0. 因为+=1,所以-x1(x1-1)=1,即-2x1+2=0,无解,即∠OAB≠90°. 同理,∠OBA≠90°. ②若∠AOB=90°,则·=0,即x1x2+y1y2=0,得(my1+1)(my2+1)+y1y2=0,即(m2+1)y1y2+m(y1+y2)+1=0, 故--+1=0,解得m2=,所以m=±. 故l:x=±y+1,即y=±(x-1). 综上所述,直线l的方程为y=±(x-1). 思想方法　在解析几何中,分类讨论思想主要应用在以下几个方面:一是由于数学概念、法则、公式、定理、性质有使用的范围或者有一定的限制条件,所以在涉及这些方面时要注意分类讨论,如双曲线的定义中的绝对值会涉及点在双曲线左支上或在右支上的讨论,圆锥曲线焦点位置的不同也需讨论;二是当几何位置发生变化时需分类讨论,如本题中P点位置的不同;三是参数的限制引起的分类讨论,如设直线方程时需要对斜率的存在与否进行讨论等. 7 学科网（北京）股份有限公司 $