第三章 圆锥曲线与方程（单元分层自测·基础通关卷）高二数学湘教版选择性必修第一册

2026-2027学年选择性必修第一册数学单元自测 第三章 圆锥曲线与方程·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．抛物线的准线纵截距为（    ） A． B． C． D．1 2．椭圆的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 3．已知，，动点满足，则点的轨迹是（     ） A．双曲线的一支 B．双曲线 C．椭圆 D．射线 4．直线与椭圆总有交点，则取值范围（   ） A．且 B． C． D． 5．椭圆的左焦点为，点，均在上，且关于坐标原点对称．若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．设，分别是双曲线的左、右焦点，P是该双曲线上的一点，且，则的面积等于（ ） A．12 B．10 C．6 D．15 7．已知椭圆，以为中点的弦所在直线方程为（   ） A． B． C． D． 8．直线过抛物线的焦点，交抛物线于，两点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．双曲线的渐近线方程有（   ） A． B． C． D． 10．已知抛物线与圆，设其交点为，，抛物线的焦点为，准线为，下列结论正确的是（    ） A． B．直线经过焦点 C．原点到直线的距离为1 D．抛物线与圆恰有4个公共点 11．关于方程，下列说法正确的有（    ） A．若，它表示焦点在轴上的双曲线 B．若，它表示焦点在轴上的双曲线 C．方程有可能表示等轴双曲线 D．若方程表示双曲线，则或 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知椭圆中心在原点，一个焦点为，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是_____． 13．已知双曲线的左、右顶点分别为，，右焦点为，且，则的离心率为__________． 14．若直线与曲线恰好有一个公共点，则实数的取值集合为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）（1）已知是椭圆上一动点，为坐标原点，求线段的中点的轨迹方程. （2）已知动点到定点的距离与到定直线的距离的比是，求点的轨迹方程. 16．（15分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，点为椭圆的右焦点． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知，，设直线与椭圆的另一个交点为，求三角形的面积． 17.（15分）已知圆过二次函数的图像与轴的两个交点，，同时圆过椭圆的上焦点. (1)求圆的方程； (2)已知点，过作直线与圆相交所得弦长为，求直线的方程. 18．（17分）已知椭圆：过点，右焦点为，圆：，直线：与圆、椭圆分别相切于点，． (1)求椭圆的方程； (2)求直线的方程； (3)求四边形的面积（为坐标原点）． 19.（17分）已知椭圆：的左、右焦点为，，点是椭圆的上顶点，经过的直线交椭圆于，两个不同的点． (1)求点到直线的距离； (2)若是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值； (3)若直线的斜率为，且，求实数的值． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年选择性必修第一册数学单元自测 第三章 圆锥曲线与方程·基础通关（参考答案） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 A B A A D C B D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9 10 11 AC BC ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12． 13．/ 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分） 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）设，， 由中点坐标公式得，所以.............3分 又点在椭圆上，所以，即.............6分 （2）由题意，设，则，............7分 所以，............9分 整理得，............12分 即点的轨迹方程为.............13分 16．（15分） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，，............1分 所以，，............3分 所以椭圆的标准方程为.............6分 （2）由，可得，............7分 所以直线：，............8分    由 ，解得（舍），或，............12分 所以.............13分 因为，，............14分 所以三角形的面积为.............15分 17．（15分） 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）设圆, 令得，此方程的解为，的横坐标............1分 在二次函数中，令得，............2分 此方程的解也为，的横坐标所以，    ............4分 椭圆的上焦点为在圆上，所以，所以    ............6分 所以圆的方程为，即............7分 （2）由（1）可知圆心，半径为；............8分 直线的斜率不存在时，直线，............9分 直线与圆的两个交点为，弦长为，直线符合题意；............10分 当直线的斜率存在时，设直线，即............11分 由于弦长为，所以圆心到直线的距离为1， 圆心到直线的距离，解得；............13分 所以直线的方程为；............14分 综上，直线的方程为或.............15分 18．（17分） 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意得，，解得，............3分 所以椭圆的方程为.............4分 （2）由（1）得，联立， 消去可得，①............5分 因为直线与椭圆相切，所以，............6分 整理得．②............7分 因为直线与圆相切，所以，整理得，③............9分 由②与③联立解得（舍去）或，............10分 所以直线的方程为．............11分 （3）设直线与轴的交点为，切点， 则点的坐标为．............12分 由（2）问中①式可知，，，............13分 则，............14分 且，............16分 所以．............17分 19．（17分） 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 (3)或 【详解】（1）由题可知，............1分 所以，............2分 所以直线的方程为，即，............3分 所以点到直线的距离为；............4分 （2）设，其中，，............5分 ，............6分 所以，............7分 因为，所以，............8分 所以当时，取得最小值；............9分 当时，取得最大值；............10分 （3）设直线的方程为， 联立，消去整理可得，............11分 则，解得，............12分 且，............13分 因为，所以， 因为， 即，............14分 整理可得， 即，............15分 即，即， 解得或，都符合，............16分 所以或.............17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年选择性必修第一册数学单元自测 第三章 圆锥曲线与方程·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．抛物线的准线纵截距为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】将给定抛物线方程转化为标准形式，结合抛物线标准方程的准线性质计算准线方程，最终得到纵截距. 【详解】首先将抛物线方程整理为标准形式： 变形得，所以，解得， 其准线方程为，代入得： ，该准线为平行于轴的直线，纵截距即为. 2．椭圆的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】椭圆的焦点在轴上，半焦距， 所以所求焦点坐标为. 3．已知，，动点满足，则点的轨迹是（     ） A．双曲线的一支 B．双曲线 C．椭圆 D．射线 【答案】A 【分析】根据圆锥曲线的定义判断即可. 【详解】由题意可知， 因为， 所以点的轨迹是双曲线的一支. 4．直线与椭圆总有交点，则取值范围（   ） A．且 B． C． D． 【答案】A 【分析】直线恒过定点，直线与椭圆恒有交点等价于定点在椭圆内部或椭圆上，将点代入椭圆不等式求出，再结合椭圆标准方程要求分母不相等，补充，得到取值范围． 【详解】直线恒过，要直线与椭圆总有交点， 所以定点在椭圆内部或椭圆上，即，解得， 又椭圆中，所以且． 5．椭圆的左焦点为，点，均在上，且关于坐标原点对称．若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用椭圆的对称性和椭圆定义求出的值，再结合椭圆参数关系计算离心率. 【详解】设椭圆的右焦点为，因为点关于原点对称，所以四边形为平行四边形， 因此，又因为椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为， 因此，结合已知，可得，解得， 又因为，由椭圆参数关系可得：，故离心率. 6．设，分别是双曲线的左、右焦点，P是该双曲线上的一点，且，则的面积等于（ ） A．12 B．10 C．6 D．15 【答案】C 【详解】结合双曲线定义可计算出、，再求出后可得，即可得解， 由双曲线定义可知， 又，则，则， 故，解得，则， 又，由，故， 则. 7．已知椭圆，以为中点的弦所在直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】采用点差法，设弦两端点坐标代入椭圆方程作差，利用中点坐标求出弦所在直线斜率，再用点斜式写出直线方程并化简． 【详解】设以为中点的弦为，，， ①，②， ①②得， 化简得， 因为，， 所以弦所在直线的斜率， 所以弦所在直线方程为，即． 8．直线过抛物线的焦点，交抛物线于，两点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解法一：设直线，与抛物线方程联立利用韦达定理运算求解即可；解法二：利用结论，，代入运算求解即可. 【详解】解法一：由题意可知：，且直线的斜率不为0， 设直线，，， 联立方程，消去x可得， 则，可得，， 则，， 可得， 所以的取值范围为； 解法二：设直线的倾斜角为，点在点上方， 则，， 则， 由题意知，，即， 所以的取值范围为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．双曲线的渐近线方程有（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】双曲线化为标准方程为：， 所以双曲线的渐近线方程为：. 10．已知抛物线与圆，设其交点为，，抛物线的焦点为，准线为，下列结论正确的是（    ） A． B．直线经过焦点 C．原点到直线的距离为1 D．抛物线与圆恰有4个公共点 【答案】BC 【详解】对于A，已知抛物线与圆相交于点，，联立方程可得， 代入可得，即，解得或（舍去）． 当时，代入，可得，则，或，． 因此，，故A错误； 对于B，抛物线的焦点为，由点，坐标，可知直线为． 因此，直线经过焦点，故B正确； 对于C，原点到直线的距离为1，故C正确； 对于D，由对于A的分析，可知两曲线仅有两个公共点，故D错误． 11．关于方程，下列说法正确的有（    ） A．若，它表示焦点在轴上的双曲线 B．若，它表示焦点在轴上的双曲线 C．方程有可能表示等轴双曲线 D．若方程表示双曲线，则或 【答案】ABD 【分析】根据题意，结合双曲线的标准方程及双曲线的性质，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，若，可得方程，表示焦点在轴上的双曲线，所以A正确； 对于B，若，可得方程，表示焦点在轴上的双曲线，所以B正确； 对于C，若方程表示焦点在轴上的等轴双曲线，则，无解； 若方程表示焦点在轴上的等轴双曲线，则，无解， 综上可得，不存在实数使得方程表示等轴双曲线，所以C错误； 对于D，若方程表示双曲线，则满足， 解得或，所以D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知椭圆中心在原点，一个焦点为，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是_____． 【答案】 【详解】依题意可得，椭圆焦点在轴上且．因为长轴长是短轴长的倍， 所以，则，所以， 解得，故，所以椭圆的标准方程为. 13．已知双曲线的左、右顶点分别为，，右焦点为，且，则的离心率为__________． 【答案】/ 【分析】设，由可得到的关系，从而求出的离心率. 【详解】设，由可得 , 所以，，即，. 14．若直线与曲线恰好有一个公共点，则实数的取值集合为________． 【答案】 【分析】首先联立直线与曲线方程，讨论二次项系数，根据方程根的个数，求参数的取值. 【详解】因为直线与曲线恰好有一个公共点，所以方程组只有一组实数解， 消去，得，即．① 当，即时，方程①是关于的一元一次方程，解得，这时，原方程组有唯一解 当，即时，方程是关于的一元二次方程． 令，解得（舍去）或．此时原方程组有唯一解 综上，实数的取值集合是． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）（1）已知是椭圆上一动点，为坐标原点，求线段的中点的轨迹方程. （2）已知动点到定点的距离与到定直线的距离的比是，求点的轨迹方程. 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）设，， 由中点坐标公式得，所以. 又点在椭圆上，所以，即. （2）由题意，设，则， 所以，整理得，即点的轨迹方程为. 16.（15分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，点为椭圆的右焦点． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知，，设直线与椭圆的另一个交点为，求三角形的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，， 所以，， 所以椭圆的标准方程为. （2）由，可得， 所以直线：，    由 ，解得（舍），或， 所以. 因为，， 所以三角形的面积为. 17．（15分）已知圆过二次函数的图像与轴的两个交点，，同时圆过椭圆的上焦点. (1)求圆的方程； (2)已知点，过作直线与圆相交所得弦长为，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）设圆, 令得，此方程的解为，的横坐标 在二次函数中，令得， 此方程的解也为，的横坐标所以，     椭圆的上焦点为在圆上，所以，所以     所以圆的方程为，即 （2）由（1）可知圆心，半径为； 直线的斜率不存在时，直线， 直线与圆的两个交点为，弦长为，直线符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线，即 由于弦长为，所以圆心到直线的距离为1， 圆心到直线的距离，解得； 所以直线的方程为； 综上，直线的方程为或. 18．（17分）已知椭圆：过点，右焦点为，圆：，直线：与圆、椭圆分别相切于点，． (1)求椭圆的方程； (2)求直线的方程； (3)求四边形的面积（为坐标原点）． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意得，，解得， 所以椭圆的方程为. （2）由（1）得，联立， 消去可得，① 因为直线与椭圆相切，所以， 整理得．② 因为直线与圆相切，所以，整理得，③ 由②与③联立解得（舍去）或， 所以直线的方程为． （3）设直线与轴的交点为，切点， 则点的坐标为． 由（2）问中①式可知，，， 则， 且， 所以． 19．（17分）已知椭圆：的左、右焦点为，，点是椭圆的上顶点，经过的直线交椭圆于，两个不同的点． (1)求点到直线的距离； (2)若是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值； (3)若直线的斜率为，且，求实数的值． 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 (3)或 【详解】（1）由题可知， 所以， 所以直线的方程为，即， 所以点到直线的距离为； （2）设，其中，， ， 所以， 因为，所以， 所以当时，取得最小值； 当时，取得最大值； （3）设直线的方程为， 联立，消去整理可得， 则，解得， 且， 因为，所以， 因为， 即， 整理可得， 即， 即，即， 解得或，都符合， 所以或.    学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年选择性必修第一册数学单元自测 第三章 圆锥曲线与方程·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．抛物线的准线纵截距为（    ） A． B． C． D．1 2．椭圆的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 3．已知，，动点满足，则点的轨迹是（     ） A．双曲线的一支 B．双曲线 C．椭圆 D．射线 4．直线与椭圆总有交点，则取值范围（   ） A．且 B． C． D． 5．椭圆的左焦点为，点，均在上，且关于坐标原点对称．若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．设，分别是双曲线的左、右焦点，P是该双曲线上的一点，且，则的面积等于（ ） A．12 B．10 C．6 D．15 7．已知椭圆，以为中点的弦所在直线方程为（   ） A． B． C． D． 8．直线过抛物线的焦点，交抛物线于，两点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．双曲线的渐近线方程有（   ） A． B． C． D． 10．已知抛物线与圆，设其交点为，，抛物线的焦点为，准线为，下列结论正确的是（    ） A． B．直线经过焦点 C．原点到直线的距离为1 D．抛物线与圆恰有4个公共点 11．关于方程，下列说法正确的有（    ） A．若，它表示焦点在轴上的双曲线 B．若，它表示焦点在轴上的双曲线 C．方程有可能表示等轴双曲线 D．若方程表示双曲线，则或 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知椭圆中心在原点，一个焦点为，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是_____． 13．已知双曲线的左、右顶点分别为，，右焦点为，且，则的离心率为__________． 14．若直线与曲线恰好有一个公共点，则实数的取值集合为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）（1）已知是椭圆上一动点，为坐标原点，求线段的中点的轨迹方程. （2）已知动点到定点的距离与到定直线的距离的比是，求点的轨迹方程. 16．（15分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，点为椭圆的右焦点． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知，，设直线与椭圆的另一个交点为，求三角形的面积． 17.（15分）已知圆过二次函数的图像与轴的两个交点，，同时圆过椭圆的上焦点. (1)求圆的方程； (2)已知点，过作直线与圆相交所得弦长为，求直线的方程. 18．（17分）已知椭圆：过点，右焦点为，圆：，直线：与圆、椭圆分别相切于点，． (1)求椭圆的方程； (2)求直线的方程； (3)求四边形的面积（为坐标原点）． 19.（17分）已知椭圆：的左、右焦点为，，点是椭圆的上顶点，经过的直线交椭圆于，两个不同的点． (1)求点到直线的距离； (2)若是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值； (3)若直线的斜率为，且，求实数的值． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $