第3章 综合拔高练（Word同步练习）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（湘教版）

**基本信息** 本单元卷聚焦高中数学解析几何，整合2022-2024年高考真题及模拟题，覆盖椭圆、双曲线、抛物线核心知识点，适配单元复习，助力能力提升与高考衔接。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择填空|20题|椭圆离心率（2023新课标Ⅰ题）、双曲线渐近线（2023全国甲理题）、抛物线焦点（2023北京题）|真题导向，注重概念辨析与几何直观| |解答题|10题|直线与椭圆定点证明（2023全国乙理题）、双曲线轨迹探究（2025江苏常州期中题）|综合应用，体现数学思维与逻辑推理|

综合拔高练 高考真题练 考点1　椭圆的标准方程与几何性质 1.(2023新课标Ⅰ,5)设椭圆C1:+y2=1(a>1),C2:+y2=1的离心率分别为e1,e2.若e2=e1,则a=(　　) A.　　　　　B.　　　　　C.　　　　　D. 2.(2023全国甲理,12)设O为坐标原点,F1,F2为椭圆C:+=1的两个焦点,点P在C上,cos∠F1PF2=,则|OP|=(　　) A.　　　　　B.　　　　　C.　　　　　D. 3.(2022全国甲文,11)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,A1,A2分别为C的左、右顶点,B为C的上顶点.若·=-1,则C的方程为(　　) A.+=1　　　　　B.+=1　　　　　 C.+=1　　　 　　D.+y2=1 4.(2024新课标Ⅱ,5)已知曲线C:x2+y2=16(y>0),从C上任意一点P向x轴作垂线段PP',P'为垂足,则线段PP'的中点M的轨迹方程为(　　) A.+=1(y>0)　　　　　B.+=1(y>0) C.+=1(y>0)　　　　　D.+=1(y>0) 考点2　直线与椭圆的位置关系 5.(2023新课标Ⅱ,5)已知椭圆C:+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,直线y=x+m与C交于A,B两点,若△F1AB面积是△F2AB面积的2倍,则m=(　　) A.　　　　　B.　　　　　C.-　　　　　D.- 6.(2023全国乙理,20)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,点A(-2,0)在C上. (1)求C的方程; (2)过点(-2,3)的直线交C于P,Q两点,直线AP,AQ与y轴的交点分别为M,N,证明:线段MN的中点为定点. 7.(2024全国甲理,20)设椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为F,点M在C上,且MF⊥x轴. (1)求C的方程; (2)过点P(4,0)的直线交C于A,B两点,N为线段FP的中点,直线NB交直线MF于点Q,证明:AQ⊥y轴. 考点3　双曲线的标准方程与几何性质 8.(2024全国甲理,5)已知双曲线的两个焦点分别为(0,4),(0,-4),点(-6,4)在该双曲线上,则该双曲线的离心率为(　　) A.4　　　　　B.3　　　　　C.2　　　　　D. 9.(2023全国甲理,8)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,C的一条渐近线与圆(x-2)2+(y-3)2=1交于A,B两点,则|AB|=　(　　) A.　　　　　B.　　　　　C.　　　　　D. 10.(2023天津,9)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1和F2.过F2向一条渐近线作垂线,垂足为P.已知|PF2|=2,直线PF1的斜率为,则双曲线的方程为(　　) A.-=1　　　　　B.-=1 C.-=1　　　　　D.-=1 11.(2023北京,12)已知双曲线C的焦点为(-2,0)和(2,0),离心率为,则C的方程为　　　　.  12.(2023新课标Ⅰ,16)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2.点A在C上,点B在y轴上,⊥,=-,则C的离心率为　　　　.  考点4　直线与双曲线的位置关系 13.(2023全国乙理,11)设A,B为双曲线x2-=1上两点,下列四个点中,可以为线段AB中点的是(　　) A.(1,1)　　　　　B.(-1,2)　　　　　C.(1,3)　　　　　D.(-1,-4) 14.(2023新课标Ⅱ,21)已知双曲线C的中心为坐标原点,左焦点为(-2,0),离心率为. (1)求C的方程; (2)记C的左、右顶点分别为A1,A2,过点(-4,0)的直线与C的左支交于M,N两点,M在第二象限,直线MA1与NA2交于点P,证明:点P在定直线上. 15.(2022全国新高考Ⅱ,21)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点为F(2,0),渐近线方程为y=±x. (1)求C的方程; (2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点,点P(x1,y1),Q(x2,y2)在C上,且x1>x2>0,y1>0.过P且斜率为-的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件,证明另外一个成立. ①M在AB上;②PQ∥AB;③|MA|=|MB|. 注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分. 考点5　抛物线的标准方程与几何性质 16.(2023北京,6)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,点M在C上.若M到直线x=-3的距离为5,则|MF|=(　　) A.7　　　　　B.6　　　　　 C.5　　　　　D.4 17.(多选题)(2023新课标Ⅱ,10)设O为坐标原点,直线y=-(x-1)过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,且与C交于M,N两点,l为C的准线,则(　　) A.p=2　　　　　 B.|MN|= C.以MN为直径的圆与l相切　　　　　 D.△OMN为等腰三角形 18.(多选题)(2024新课标Ⅱ,10)抛物线C:y2=4x的准线为l,P为C上动点.过P作☉A:x2+(y-4)2=1的一条切线,Q为切点.过P作l的垂线,垂足为B.则(　　) A.l与☉A相切 B.当P,A,B三点共线时,|PQ|= C.当|PB|=2时,PA⊥AB D.满足|PA|=|PB|的点P有且仅有2个 19.(2023全国乙理,13)已知点A(1,)在抛物线C:y2=2px上,则A到C的准线的距离为　　　　.  20.(2023天津,12)已知过原点O的直线l与圆(x+2)2+y2=3相切,且l与抛物线y2=2px(p>0)交于O,A两点.若|OA|=8,则p=　　　　.  考点6　直线与抛物线的位置关系 21.(2023全国甲理,20)已知直线x-2y+1=0与抛物线C:y2=2px(p>0)交于A,B两点,|AB|=4. (1)求p; (2)设F为C的焦点,M,N为C上两点,且·=0,求△MFN面积的最小值. 22.(2023新课标Ⅰ,22)在直角坐标系xOy中,点P到x轴的距离等于点P到点的距离,记动点P的轨迹为W. (1)求W的方程; (2)已知矩形ABCD有三个顶点在W上,证明:矩形ABCD的周长大于3. 高考模拟练 应用实践 1.(多选题)(2024广东东莞一中期中)画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现:与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆,我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆C:+y2=1,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,M为椭圆C的蒙日圆上一动点,直线MA,MB分别与椭圆相切于点A,B,O为坐标原点,下列说法正确的是(　　) A.椭圆C的蒙日圆方程为x2+y2=4 B.记点A到直线l:x+y-4=0的距离为d,则d-|AF2|的最小值为0 C.一矩形的四条边均与椭圆C相切,则此矩形的面积的最大值为4 D.△AOB的面积的最大值为 2.(多选题)(2024江西宜春期中)已知双曲线-=1(b>a>0)的左、右焦点分别为F1,F2,具有公共焦点的椭圆与其在第一象限内的交点为P,双曲线和椭圆的离心率分别为e1,e2,△PF1F2的内切圆的圆心为I,过F2作直线PI的垂线,垂足为D,则(　　) A.I到y轴的距离为a B.点D的轨迹是双曲线 C.若-≥,则1<e1≤3 D.若|OP|=|OF1|,则+=2 3.(多选题)(2023中学生标准学术能力诊断)已知P(x1,y1),Q(x2,y2)是椭圆+=1上两个不同的点,且满足x1x2+9y1y2=-2,则下列说法正确的是(　　) A.|2x1+3y1-3|+|2x2+3y2-3|的最大值为6+2 B.|2x1+3y1-3|+|2x2+3y2-3|的最小值为3- C.|x1-3y1+5|+|x2-3y2+5|的最大值为2+ D.|x1-3y1+5|+|x2-3y2+5|的最小值为10-2 4.(多选题)(2025江苏常州高级中学期中)已知圆F1:(x+2)2+y2=4,圆F2:(x-2)2+y2=36,动圆P与圆F1外切于点M,与圆F2内切于点N,圆心P的轨迹记为曲线C,则(　　) A.C的方程为+=1 B.∠MPN的最小值为 C.·+·≤2 D.曲线C在点P处的切线与线段MN垂直 5.(2025湖北武汉华中师范大学第一附属中学期中)设F1,F2分别为双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,点A是C右支上一点,若△AF1F2的内切圆的圆心为M,半径为a,且∃λ∈R,使得+2=λ(O为坐标原点),则C的离心率为　　　　.  6.(2025山西太原期中)椭圆规是画椭圆的一种工具,如图1所示,在十字形滑槽上各有一个活动滑标M,N,有一根旋杆将两个滑标连成一体,D为旋杆上的一点且在M,N两点之间(|ND|≠|DM|).当滑标M在滑槽EF内作往复运动时,滑标N在滑槽GH内随之运动,放置于D处的笔尖便可画出椭圆,即动点D的轨迹C为椭圆.设EF与GH交于点O,以EF所在的直线为x轴,GH所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系,如图2所示,记|ND|=s,|DM|=t(s>0,t>0). (1)若|MN|=4,|ND|=3|DM|,求椭圆C的方程; (2)证明:动点D的轨迹C为椭圆; (3)若s>t,过O作两条互相垂直的射线分别交椭圆C于点P,Q,证明:点O到直线PQ的距离为定值. 　 7.(2023四川南充阆中中学月考)已知抛物线P:y2=2px(p>0)上的点到其焦点的距离为1. (1)求p和a的值; (2)若直线l:y=x+m交抛物线P于A,B两点,线段AB的垂直平分线交抛物线P于C,D两点,求证:A,B,C,D四点共圆. 8.(2025江苏扬州期中)已知F1(-2,0),F2(2,0),点P满足||PF1|-|PF2||=2,记点P的轨迹为E. (1)求轨迹E的方程; (2)直线l经过点A(5,0),倾斜角为45°,与轨迹E交于C,D两点(C在线段AD上),若=λ,λ∈R,求λ的值; (3)已知点T(-1,0),过点F2作直线m与轨迹E交于M,N两点,记直线TM,TN的斜率分别为k1,k2(k1≠k2),则k1k2是不是定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由. 答案与分层梯度式解析 综合拔高练 高考真题练 1.A　由题意得e2=,又因为e2=e1,所以e1==(a>1),所以a=. 2.B　由椭圆方程知a=3,b=,则c==. 设|PF1|=m,|PF2|=n,则m+n=2a,即m+n=6,所以2mn=36-(m2+n2)①. 在△F1PF2中,=cos∠F1PF2,即=②.将①代入②得m2+n2=21. OP为边F1F2上的中线,故|OP|2=(+)2= (+2·+)= ==,所以|OP|=. 3.B　由题意知A1(-a,0),A2(a,0),B(0,b), 所以=(-a,-b),=(a,-b), 所以·=-a2+b2=-1①, 因为椭圆C的离心率为,所以==,即1-=②,联立①②可得a2=9,b2=8,故椭圆C的方程为+=1. 4.A　设线段PP'的中点为M(x,y). 结合中点坐标公式,易知P(x,2y). ∵点P在曲线C上,∴x2+(2y)2=16(y>0), ∴x2+4y2=16(y>0),即+=1(y>0). 5.C　由已知得F1(-,0),F2(,0), ∵=2,∴点F1到直线AB的距离为点F2到直线AB的距离的2倍,即=2·,解得m=-或m=-3,经检验,当m=-3时,直线AB与椭圆C没有交点,故m=-. 6.解析　(1)设椭圆C的半焦距为c(c>0),由题意知=,b=2,又a2=b2+c2,所以a=3,c=. 故C的方程为+=1. (2)证明:易知直线PQ的斜率存在且小于0,又直线PQ过点(-2,3),所以设直线PQ的方程为y=kx+2k+3,k<0. 联立消去y,整理得(4k2+9)x2+8k(2k+3)x+16k(k+3)=0,k<0, 则Δ=[8k(2k+3)]2-4×(4k2+9)×16k(k+3)=-27×64k>0. 设P(x1,y1),Q(x2,y2), 则x1+x2=-,x1x2=. 因为P(x1,y1),A(-2,0), 所以直线AP的方程为=, 令x=0,得M,同理,N, 所以线段MN的中点坐标为, +=+ =2k++=2k+ =2k+ =2k+ =2k+=3, 所以线段MN的中点坐标为(0,3),所以线段MN的中点为定点. 7.解析　(1)依题意可得解得 故C的方程为+=1. (2)证明:当直线AB的斜率为0时,符合题意; 当直线AB的斜率不为0时,依题意设其方程为x=my+4, 由消去x并整理得(3m2+4)y2+24my+36=0, 由Δ=144(m2-4)>0,得m2>4,设A(x1,y1),B(x2,y2), 所以y1+y2=,y1y2=, 则y1+y2=-y1y2,所以y1=, 因为N为FP的中点,P(4,0),且易知F(1,0), 所以N, 设Q(1,yQ),因为直线BN交MF于点Q, 所以由kNQ=kNB得==, 所以yQ==y1,易知点A的横坐标一定不为1, 所以AQ⊥y轴. 综上,AQ⊥y轴. 8.C　设双曲线的实轴长为2a,焦距为2c,F1(0,4),F2(0,-4),P(-6,4),则c=4,|PF1|=6,|PF2|==10, 由双曲线的定义知2a=|PF2|-|PF1|=10-6=4, 所以a=2,所以双曲线的离心率e===2. 9.D　∵e==,∴=4,∴=2. 由图形(图略)知与圆相交的渐近线的方程为y=x,即y=2x,即2x-y=0. 由已知得圆心坐标为(2,3),半径r=1,∴圆心到直线2x-y=0的距离d==, ∴|AB|=2=2=. 10.D　如图,易知|PF2|=b=2,|OP|=a,|OF2|=c. 设P(xP,yP), 过点P的渐近线方程为y=x,直线PF2的方程为y=-(x-c), 联立可得 故P,又F1(-c,0), 所以=====, 即4a=(a2+2),即a2-2a+2=0, 解得a=,又b=2,所以双曲线的方程为-=1. 11.答案　-=1 解析　由题意设双曲线C的标准方程为-=1(a>0,b>0),由题知c=2,=,则a=,又c2=a2+b2, ∴b2=2,则C的方程为-=1. 12.答案　 解析　如图,因为=-,所以A,B,F2共线,且F2在A,B之间,设|AF2|=2x,则|BF2|=3x,|BF1|=3x,|AB|=5x, 又因为⊥,所以|AF1|==4x, 由双曲线的定义得2a=|AF1|-|AF2|=4x-2x,则a=x, ∠BF2F1+∠AF2F1=π,|F1F2|=2c,结合余弦定理的推论得cos∠BF2F1+cos∠AF2F1=+=0,解得c=a, 所以离心率e==. 13.D　设A(x1,y1),B(x2,y2),x1≠x2,y1≠y2,则AB的中点坐标为, 设原点与线段AB的中点的连线的斜率为k, 则kAB=,k=, ∵A,B在双曲线上,∴ 两式作差,整理得kABk=9. 对于A,可得k=1,则kAB=9,∴lAB:y=9x-8,与x2-=1联立,消去y,得72x2-144x+73=0,Δ=-288<0,A错误; 对于B,可得k=-2,则kAB=-,∴lAB:y=-x-,与x2-=1联立,消去y,得45x2+90x+61=0,Δ=-2 880<0,B错误; 对于C,可得k=3,则kAB=3,∴lAB:y=3x,与双曲线的渐近线重合,故lAB与双曲线无交点,C错误. 对于D,可得k=4,则kAB=,∴lAB:y=x-,与x2-=1联立,消去y,得63x2+126x-193=0,显然Δ>0,D正确. 14.解析　(1)设双曲线C的方程为-=1(a>0,b>0),半焦距为c, 由题意知c=2,e==,则a=2, 所以b2=c2-a2=(2)2-22=16, 所以双曲线C的方程为-=1. (2)证明:设M(x1,y1),N(x2,y2),x1<-2,x2<-2,y1>0>y2,P(x,y), 由题意设过点(-4,0)的直线的方程为x=ty-4, 由消去x并整理得(4t2-1)y2-32ty+48=0, 易知4t2-1≠0,Δ=64×(4t2+3)>0, 则y1+y2=,y1y2=,故y1+y2=y1y2. 易知A1(-2,0),A2(2,0), 则直线MA1:=,直线NA2:=, 联立得y1=y2, 即x==-2=-2=-2=-1, 即点P在定直线x=-1上. 15.解析　(1)由题意可得=,=2,故a=1,b=,所以C的方程为x2-=1. (2)易知直线PQ的斜率存在且不为0. 设直线PQ的方程为y=kx+t(k≠0),将y=kx+t代入C的方程得(3-k2)x2-2ktx-t2-3=0, 则x1+x2=,x1x2=-,又因为x1>x2>0, 所以3-k2<0,所以x1-x2==. 由题意得 由此方程组得y1-y2=2xM-(x1+x2), 而y1-y2=(kx1+t)-(kx2+t)=k(x1-x2), 故2xM=k(x1-x2)+(x1+x2), 解得xM=. 由上述方程组还可得2yM-(y1+y2)=(x1-x2), 而y1+y2=(kx1+t)+(kx2+t)=k(x1+x2)+2t, 故2yM=k(x1+x2)+(x1-x2)+2t, 解得yM==xM. 因此点M的轨迹为直线y=x. 若选择①②作为条件:由PQ∥AB得直线AB的方程为y=k(x-2), 不妨令点A在直线y=x上, 则解得xA=,yA=. 同理可得xB=,yB=-. 此时xA+xB=,yA+yB=. 而点M的坐标满足 解得xM==,yM==, 故M为AB的中点,则|MA|=|MB|. 若选择①③作为条件:显然直线AB的斜率存在且不为0,设直线AB的方程为y=m(x-2)(m≠0),不妨令点A在直线y=x上, 则解得xA=,yA=. 同理可得xB=,yB=-. 此时xM==,yM==. 又点M在直线y=x上,所以=·, 解得k=m,因此PQ∥AB. 若选择②③作为条件:由PQ∥AB得直线AB的方程为y=k(x-2), 不妨令点A在直线y=x上, 则解得xA=,yA=. 同理可得xB=,yB=-. 设AB的中点为C,则xC==,yC==.由于|MA|=|MB|,故点M在线段AB的垂直平分线上,即点M在直线y-yC=-(x-xC)上. 将该直线方程与y=x联立,解得xM==xC, yM==yC,即点M恰为AB中点,故点M在直线AB上. 16.D　由抛物线C:y2=8x知F(2,0),准线方程为x=-2, 由M到直线x=-3的距离为5,知M到直线x=-2的距离为4.由抛物线的定义可知|MF|=4. 17.AC　∵直线y=-(x-1)过焦点, ∴=1,∴p=2,故A正确. 由A选项知抛物线方程为y2=4x. 由消去y,得3x2-10x+3=0, 设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=1, ∴|MN|=|x1-x2|=,故B错误. 由对称性,不妨设M在x轴上方,如图,取线段MN的中点D,过M,N,D分别作l的垂线,垂足分别为M',N',D',则|DD'|=(|MM'|+|NN'|)=|MN|, ∴以MN为直径的圆和l相切,故C正确. 由B,C选项中分析可知M,N(3,-2), |MN|=,∴|OM|=,|ON|=, 显然|OM|≠|ON|≠|MN|,∴△OMN不是等腰三角形,故D错误. 18.ABD　由题意知l的方程为x=-1,A(0,4),☉A的半径r=1,显然圆心A到l的距离d=1=r,故l与☉A相切,故A正确. 当P,A,B三点共线时,易知P(4,4),∴|PA|=4,易得|AQ|=1,则|PQ|===,故B正确. ∵|PB|=2,∴P点的横坐标为1, ∴P(1,±2). 当P的坐标为(1,2)时,B(-1,2), 又A(0,4),∴=(-1,2),=(-1,-2),∴·=1-4=-3≠0, 当P的坐标为(1,-2)时,B(-1,-2), 又A(0,4),∴=(-1,6),=(-1,-6),∴·=1-36=-35≠0. 综上,·≠0,∴PA与AB不垂直,故C错误. 由题意知抛物线的焦点为F(1,0),由抛物线定义知|PB|=|PF|, 若|PA|=|PB|,则|PA|=|PF|,∴P点在线段AF的中垂线上,易得该中垂线的方程为y=x+, 联立消去y得4x2-196x+225=0, Δ=(-196)2-4×4×225>0,∴该方程有两个根,设为x1,x2,则x1+x2=>0,x1x2=>0,∴该方程有两个正根,∴满足|PA|=|PB|的点P有且仅有2个,故D正确. 19.答案　 解析　因为点A(1,)在抛物线C:y2=2px上, 所以5=2p,即p=, 所以抛物线C:y2=5x的准线方程为x=-,故A到C的准线的距离为1-=. 20.答案　6 解析　圆(x+2)2+y2=3的圆心为点(-2,0),记为点C,半径r=,设切点为M,易知切线OM的斜率存在,设其方程为y=kx,则圆心C到直线y=kx的距离d==,解得k=±. 联立可得A. 由|OA|==8,p>0,得p=6. 21.解析　(1)联立消去x得y2-4py+2p=0. 由题知Δ=16p2-8p>0,且p>0,∴p>, 设A(xA,yA),B(xB,yB),则yA+yB=4p,yAyB=2p, ∴|AB|=|yA-yB|==4, ∴p=2或p=-(舍去). (2)由(1)知C:y2=4x,F(1,0),易知直线MN的斜率不为0,设直线MN的方程为x=my+n,M(x1,y1),N(x2,y2), 联立消去x得y2-4my-4n=0. 则Δ=16m2+16n>0,∴m2+n>0①, 由根与系数的关系得y1+y2=4m,y1y2=-4n, ∴x1+x2=4m2+2n,x1x2=n2, =(x1-1,y1),=(x2-1,y2), ∴·=(x1-1)(x2-1)+y1y2=0,即x1x2-(x1+x2)+1+y1y2=0,即4m2=n2-6n+1②, 由①②得+n>0,解得n≠1, 又n2-6n+1=4m2≥0, ∴n≤3-2或n≥3+2. S△MFN=|MF||NF|=(x1+1)(x2+1) =(x1x2+x1+x2+1)=(2n2-4n+2)=(n-1)2. 又∵n≤3-2或n≥3+2, ∴当n=3-2时,(S△MFN)min=(2-2)2=12-8. 22.解析　(1)设点P(x,y),由题意得|y|=,化简得y=x2+,故W的方程为y=x2+. (2)证明:不妨令A,B,D三点在W上,如图, 设A. 易知直线AB的斜率存在且不为0,设为k,则直线AD的斜率为-. 联立直线AB:y-=k(x-t)与抛物线W的方程,消去y,整理得x2-kx+kt-t2=0, 则xA·xB=kt-t2,又xA=t,所以xB=k-t. 故|AB|=|k-2t|. 同理,|AD|=. 所以矩形ABCD的周长L=2|k-2t|+·. (i)当k2≥1时,k4≥1,所以k2≥, 所以≥, 所以|k-2t|≥|k-2t|. 所以L≥2①. 又因为|k-2t|+≥, 所以L≥2·. 令k2=m,则L≥2,m≥1. 设f(x)=,则f '(x)=, 则f(x)在[1,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,故f(x)min=f(2)=,所以L≥2,即L≥3,而①中“=”当且仅当k2=1时取得,故L>3. (ii)当0<k2<1时,同理,L>2·|k-2t|+,所以L>2·,即L>2. 令k2=n,则L>2,0<n<1. 设g(x)=,则g'(x)=,则g(x)在上单调递减,在上单调递增, 故g(x)min=g=,所以L>3. 综上,矩形ABCD的周长大于3. 高考模拟练 1.ABD　由题意可知a=,b=1,c==. 对于A,当直线MA,MB中一条直线的斜率为0,另一条直线的斜率不存在时,可得M(±,±1), 当直线MA,MB的斜率均存在时,设M(xM,yM),过点M的椭圆C的切线方程为y=k(x-xM)+yM, 联立消去y,得(1+3k2)x2-6k(kxM-yM)x+3(kxM-yM)2-3=0, 由Δ=36k2(kxM-yM)2-12(1+3k2)[-1]=0,得(-3)k2-2xMyMk+-1=0,则kMA·kMB=,又因为MA⊥MB,所以kMA·kMB=-1,即=-1,整理得+=4,所以M点的轨迹方程为x2+y2=4, 又(±,±1)也满足x2+y2=4,所以椭圆C的蒙日圆方程为x2+y2=4,故A正确. 对于B,因为A为椭圆C上的点,所以|AF1|+|AF2|=2,即|AF2|=2-|AF1|,可得d-|AF2|=d-(2-|AF1|)=d+|AF1|-2,易知d+|AF1|的最小值为点F1到直线l的距离,且F1(-,0),故==2,所以=2-2=0,故B正确. 对于C,因为矩形的四条边均与C相切,所以该矩形为椭圆C的蒙日圆的内接矩形,设该矩形的长为m,宽为n,由上述分析知椭圆C的蒙日圆的半径r=2,则m2+n2=16,可得mn≤=8,当且仅当m=n=2时,等号成立,所以此矩形的面积的最大值为8,故C错误. 对于D,设A(x1,y1),则+=1,即3=3-,可知A(x1,y1)在直线+y1y=1上,联立消去y得(3+)x2-6x1x+9-9=0,即x2-2x1x+=0,解得x=x1(二重根),即直线+y1y=1与椭圆C相切,所以椭圆C在点A处的切线方程为+y1y=1,同理设B(x2,y2),可知椭圆C在点B处的切线方程为+y2y=1,设M(x0,y0),则可知A,B两点的坐标均满足方程+y0y=1,即切点弦AB所在直线的方程为+y0y=1, 当y0=0时,M(±2,0),此时切点弦AB所在直线的方程为x=±,可得|AB|=2×=1,S△AOB=××1=; 当y0≠0时,由消去y得(3+)x2-6x0x+9-9=0,由A中分析可知+=4,可得(12-2)x2-6x0x+9-27=0, 则x1+x2=,x1x2=,故|AB|=·=·,又原点O到直线AB的距离d==, 所以S△AOB=|AB|·d=,令t=,则t∈,=6-,可得S△AOB=≤,当且仅当t=时,等号成立.综上所述,△AOB的面积的最大值为,故D正确. 2.ACD　设圆I与△PF1F2的三边PF1,PF2,F1F2的切点分别为A,B,C,则|F1C|=|F1A|=|PF1|-|AP|=|PF1|-|BP|=|PF1|-(|PF2|-|BF2|)=|PF1|-|PF2|+|BF2|=2a+|CF2|,即|F1C|-|F2C|=2a①,易知|F1C|+|F2C|=2c②,联立①②可解得|F1C|=a+c,故|OC|=a,因为CI⊥F1F2,所以C,I的横坐标相等,故I到y轴的距离为a,故A正确; 延长F2D,交PF1于点E,由内切圆及垂线的性质可知,△PED≌△PF2D,所以|DE|=|DF2|,|PF2|=|PE|, 连接OD,由中位线定理可知|OD|=|F1E|=(|PF1|-|PE|)=(|PF1|-|PF2|)=a,故点D的轨迹是以O为圆心,a为半径的圆,故B错误; 若-≥,则|PF1|-|PF2|≥|F1F2|,即2a≥c,可得1<e1≤3,故C正确; 设椭圆的长半轴长为a1,由|OP|=|OF1|=|OF2|可知,△PF1F2为直角三角形,且∠F1PF2=90°,由双曲线的定义可知|PF1|-|PF2|=2a③,由椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=2a1④,在Rt△F1PF2中,由勾股定理可得|PF1|2+|PF2|2=4c2⑤,③④⑤式联立可得a2+=2c2,即+=2,故D正确. 3.AD　由P(x1,y1),Q(x2,y2)是椭圆+=1上两个不同的点,可得+=1,+=1, 设x1=m1,x2=m2,3y1=n1,3y2=n2,C(m1,n1),D(m2,n2),O为坐标原点, 则=(m1,n1),=(m2,n2),+=4,+=4, ∴C,D两点均在圆m2+n2=4上, 又x1x2+9y1y2=-2,即m1m2+n1n2=-2, 所以cos∠COD===-,故∠COD=120°, ∴|CD|=2,根据点到直线的距离公式,知|2x1+3y1-3|+|2x2+3y2-3|=×,它表示C,D两点到直线2x+y-3=0的距离(分别设为d1,d2)之和的倍.设CD的中点为E,E到直线2x+y-3=0的距离为d3,则d1+d2=2d3≤2=2+,d1+d2=2d3≥2=-2+,故|2x1+3y1-3|+|2x2+3y2-3|的最大值为×=6+2,最小值为×=6-2,故A正确,B错误. 同理,可将|x1-3y1+5|+|x2-3y2+5|转化为C,D两点到直线x-y+5=0的距离之和的倍,其最大值为×=10+2,最小值为×=10-2,故C错误,D正确. 4.BCD　圆F1:(x+2)2+y2=4的圆心为F1(-2,0),半径r1=2,圆F2:(x-2)2+y2=36的圆心为F2(2,0),半径r2=6, 对于A,设动圆P的半径为r,由题意得|PF1|=r+2,|PF2|=6-r,则|PF1|+|PF2|=8>|F1F2|,且P,M,N不重合,故点P的轨迹为以F1,F2为焦点的椭圆(去掉P,M,N重合的点), 则曲线C的方程为+=1(x≠-4),故A错误; 对于B,由题图可知∠MPN与∠F1PF2互补,设|PF1|=m,|PF2|=n, 在△F1PF2中,m+n=2a=8,|F1F2|=4,则cos∠F1PF2====-1, 又mn≤=16,当且仅当m=n时取等号,所以cos∠F1PF2=-1≥-1=,当且仅当m=n=4时取等号, 又∠F1PF2∈(0,π),所以∠F1PF2≤,所以∠MPN的最小值为,故B正确; 对于C,·+·=-r(r+2)+r(6-r)=2r(2-r)≤2×=2,当且仅当r=1时等号成立,故C正确; 对于D,设点P(x0,y0),M(x1,y1),N(x2,y2), 易知过点P(x0,y0)的椭圆的切线方程为+=1,其斜率为-, 又=,=,所以=-,=·,则(x2-x0,y2-y0)=-(2-x2,-y2),(x1-x0,y1-y0)=(-2-x1,-y1), 所以 解得 所以kMN= ==, 易知r=|PF1|-2=-2 =-2=-2 =-2, 因为-4<x0≤4,所以x0+4>0, 所以r=x0+4-2=x0+2, 所以kMN==, 所以-×=-1,即曲线C在点P处的切线与线段MN垂直,故D正确. 方法技巧　过椭圆+=1(a>b>0)上一点P(x0,y0)的切线方程为+=1(a>b>0). 5.答案　2 解析　不妨设A在第一象限内,则点M也在第一象限内, 设A(x1,y1),M(xM,a),F2(c,0), 因为+2=λ,所以(xM-x1,a-y1)+2(xM,a)=λ(c,0),故3a=y1, 则=|F1F2|·y1=×2c·3a=3ac, 又=(|AF1|+|AF2|+|F1F2|)·a=a(|AF1|+|AF2|+2c),所以a(|AF1|+|AF2|+2c)=3ac, 解得|AF1|+|AF2|=4c, 由双曲线的定义得|AF1|-|AF2|=2a, 故|AF1|=a+2c,|AF2|=2c-a, 易知|AF2|== ==, 又x1>a,所以-a>0,故|AF2|=-a, 所以2c-a=-a,即x1=2a,故A(2a,3a), 将A(2a,3a)代入-=1,得4-=1, 解得=3,所以C的离心率为=2. 6.解析　(1)由题意可设椭圆C的方程为+=1(a>b>0),则a=|ND|=|MN|=3,b=|DM|=|MN|=1, ∴椭圆C的方程为+y2=1. (2)证明:证法一:设D(x,y),M(m,0),N(0,n), 由题意得==,==, ∴=|m|,=|n|, ∴+ =|m|2+|n|2=(s+t)2, 整理得+=1, 所以当s>t时,动点D的轨迹C是以|ND|为长半轴长、|DM|为短半轴长的椭圆; 当s<t时,动点D的轨迹C是以|DM|为长半轴长、|ND|为短半轴长的椭圆. 证法二:设D(x,y),∠OMN=θ,由题意得=cos θ,=sin θ, 则+=cos2θ+sin2θ=1,即+=1, 当s>t时,动点D的轨迹C是以|ND|为长半轴长、|DM|为短半轴长的椭圆; 当s<t时,动点D的轨迹C是以|DM|为长半轴长、|ND|为短半轴长的椭圆. (3)证明:由题意可得椭圆C的方程为+=1(a>b>0), 当直线PQ的斜率不存在时,设其方程为x=x0(-a<x0<a),则|x0|=, ∴点O到直线PQ的距离为; 当直线PQ的斜率存在时,设其方程为y=kx+q,P(x1,y1),Q(x2,y2), 由得(a2k2+b2)x2+2a2kqx+a2(q2-b2)=0, ∴x1+x2=-,x1x2=, ∵OP⊥OQ,∴·=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+kq(x1+x2)+q2=0, ∴a2b2(1+k2)=q2(a2+b2),即q2=, ∴点O到直线PQ的距离d==, 综上所述,点O到直线PQ的距离为定值,且定值为. 7.解析　(1)∵抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=-,点到其焦点的距离为1, ∴+=1,∴p=, ∴抛物线P的方程为y2=x. ∵点在抛物线P上,∴a2=,∴a=±. (2)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2), 联立消去x并整理,得y2-y+m=0, 则y1+y2=1,y1y2=m,且Δ=1-4m>0,即m<, 则|AB|=·|y1-y2|=· =. 设线段AB的中点为M,则点M的纵坐标为=,点M的横坐标为-m, ∴M. ∵直线CD为线段AB的垂直平分线, ∴直线CD的方程为y=-x+1-m. 设C(x3,y3),D(x4,y4), 联立消去x并整理,得y2+y+m-1=0, 则y3+y4=-1,y3y4=m-1, 故|CD|=·|y3-y4|=·=. 设线段CD的中点为N,则N. ∵=(10-8m)=, |AN|2=|AM|2+|MN|2=+2=, ∴|AN|=|CD|, ∴点A在以CD为直径的圆上, 同理,点B也在以CD为直径的圆上, 故A,B,C,D四点共圆. 8.解析　(1)因为||PF1|-|PF2||=2<|F1F2|=4,所以点P的轨迹为以F1(-2,0),F2(2,0)为焦点的双曲线, 设此双曲线方程为-=1(a>0,b>0), 易知即a=1,c=2,又b2=c2-a2=3, 所以轨迹E的方程为x2-=1. (2)因为直线l经过点A(5,0),倾斜角为45°,所以直线l的方程为y=x-5, 联立解得或 故点C(2,-3),点D(-7,-12), 则=(-3,-3),=(-12,-12), 由=λ得(-3,-3)=λ(-12,-12),解得λ=. (3)k1k2是定值. 解法一:由题意得直线m不可能与x轴重合, 设直线m:x=ny+2,M(x1,y1),N(x2,y2), 联立得(3n2-1)y2+12ny+9=0, 易知3n2-1≠0,Δ=144n2-36(3n2-1)=36n2+36>0, 则y1+y2=,y1y2=, 所以k1k2=·= == ===-1, 故k1k2是定值,且该定值为-1. 解法二:当直线m的斜率不存在时,直线方程为x=2, 可得M(2,3),N(2,-3),此时k1k2=-1, 当直线m的斜率存在时,设直线方程为y=k(x-2), 联立得(3-k2)x2+4k2x-4k2-3=0, 易知3-k2≠0,Δ=16k4+4(3-k2)(4k2+3)=36(k2+1)>0, 则x1+x2=,x1x2=, 所以k1k2=·= = ===-1. 综上所述,k1k2为定值,且该定值为-1. 7 学科网（北京）股份有限公司 $