第五章 三角函数（单元分层自测·能力提升卷）高一数学湘教版必修第一册

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年必修第一册数学单元自测 第五章三角函数·能力提升（参考答案) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的， 6 C A B B C D D A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 0 10 11 ACD ABD ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 4 12.5或5 13.4 14.6 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 【答案】)6 3V5 (2) 4π 【详解】(1)由题意可得∠A0B=150°=150×元=5远 0x1800,则D-x2+040= 6 2 解得0A=1'所以B-x1=江 6 6 (2)如图，过点O作OE⊥MN,垂足为E,因为∠AOB=150°，∠CON=∠DOM=15°，则 ∠M0W=120°=2n 3 1/7 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M B _1×2mx32=3m 由(1)知扇形OMN的半径为3，所以S形0w-2×? 在R△OMB中，sm60°=c-ME-5 OM=3=2,c0s60°=2=0E1 OM 32 所以ME=3V3 ,OE=3,所以MN=33则S△oMw三2×3V3×=V3 24 9W3 故Sowm=4_3V3 S扇形OMN 3π4π 16.(15分) 【答案】(1) f(x)=co 2. 补全列表如下： 2x-I 0 7-2 2 -6 5π 2π 11π 0 π 12 12 f(x) 1 0 -1 0 画出f(x)在[0，π]上的图象如图： 1 2 5元 11t/ 12 0 2 一1 a+2kx+2kke☑ 【详解】(1)(1)略： 217 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (②)f付的图象上所有点横坐标扩大为原米的2倍（级坐标不变）得y=c:-)的图象， 再向左平移号个单位长度，得8)=0s个x+ ππ .π 6的图象. > 3 63 解得 +2kr<x<+2kπ，keZ, 2 6 即>的解集对受+2后+2e. 17.(15分) 【器10=22x-君[倍+合+]e刀 (2②cos(:+x)=-1+4w15 18 【保解1少由图知有2子-沿-子利7各，所以0-2 又图年过点（受2，所以2m2×径+9-2，故2x径+w=x+2a,keZ利到0=+2点ke2 12 12 6 又网<5，所以p=- 名故睡数问的解行式为小-22君名) 由2≤2x-≤2kkeZ,得到 6 Sπ+thu5x5+hm,keZ, 12 所以f(x)的单调递增区间为12 [径+a意e五 「11π2π :又因为x6,3 所以x-名[2引 6 则y=2cost 由y=2c081的图象知，4+42=-2元，4+5，=0，且20s4=2c0s5=2cos%=3, 3π 得到cos4=子，又由图知4-2π，2 所以sim4=5 3 3/7 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y=2cost/ -2πt1 067 又4=出名6=6石4=5石得到5-5=2x 所以os(:+)=c0s(:+x+2m)=c0s2x=2c0s2x-1, 18 18.(17分) 【答案】（山）f(x)=2c 2r+到 2π 0 6ms-13 或m≥3 T=元→T=元=2红→0=2 【详解】(1)4=4 3 f0=4sp-=15A=2,f6=2os2x+写 ②y=f+0)-0>0叭=2a24+0j+1=0, 即o[2x++引-在内的 解的个数为3个， x26++[20+号2a+20+ 0>0,20+π、元 3>3,又9取最小值， 417 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 29+号受5s2+20+号贤 33 2π 解得9m=3 (3)g(x)=a(1-sin'x)-2sinx+4--asin'x-2sinx+5d 4 设1=sinx∈1]，g(x)=h0=-a2-21+a a, 4 “a>0'六抛物线开口向下，对称轴为1=-】<0， a 结合=次函数性频知，86=0=h0=-4-2+及0=-1→a=4 本问题等价于g(x)的值域是函数y=m(x)+2值域的子集。 由g树间4-2+5e可得g因的值减为[-引 -2x+子[晋8晋-L以 -m+2≤-1 「当。时，mx+2em+2,2m+22m+2≥21Pm≥3 4 2m+2≤-1 m<0n7+22+2.m+2m+22ms13 当时， 4· 4 综上，m≤-号或m3 19.(17分) 【答案10(+经小ke列 、7π 29π 【详解】山)~f()≤f)≤(6)--=f()的最小正周期是元 5/7 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7π 所以m的取值范围是 9,π 使得h(x)=g(s)成立， 则{y=h(x}{y=g(x}, 当5t,g[]mrss. 当时，-君[o2x-副[s[aa+ a>0 由 y=h(x)y=g(x) 故实数，的取值范目为Q引 7/7 2026-2027学年必修第一册数学单元自测 第五章 三角函数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知某时钟现在的时间为10:10，若校准时发现该时钟比标准时间快了5分钟，则至少需手动旋转分针（   ） A．15度 B．5度 C．弧度 D．弧度 2．已知函数，设甲：，乙：是偶函数，则（    ） A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 3．已知函数．若，，则的最小值是（     ） A． B． C． D． 4．已知函数的部分图象如图所示，则当取得最小值时，的取值集合为（   ） A． B． C． D． 5．已知函数的最小正周期为，且在内有两个零点，则实数的最小值是（    ） A． B． C． D． 6．已知函数，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 7．已知函数为函数的零点，直线为函数图像的对称轴，且在区间上是单调函数，则的最大值为（    ） A．9 B．7 C．5 D．3 8．将函数图象所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象．若对于任意，总存在唯一的．使得，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．设函数，则下列结论正确的是（     ） A．的值域为 B．的图象关于直线对称 C．的最小正周期为 D．是的一个零点 10．已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（    ） A． B．的图象关于点对称 C．将的图象向右平移个单位长度后所得函数图象与的图象重合 D．若的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于轴对称，则的最小值为 11．已知函数的其中一个单调递增区间为，则下列正确的是（    ） A． B．点是函数的一个对称中心 C．不等式的解集为 D．令，则方程在上有个解，且 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．若某扇形的面积为，半径为，弧长满足，则该扇形圆心角的弧度数是___________ 13．已知函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为，若不等式在上恒成立，则实数的最小值是_________． 14．已知函数满足：①定义域为；②对任意，有；③当时，，若函数，则函数在上零点个数是______个． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）如图，扇形中有一个小扇形，已知，，． (1)求的长； (2)若，求和扇形的面积之比． 16．（15分）已知函数． (1)填写下表，并用“五点法”画出在上的图象； x 0 1 0 (2)将的图象上所有点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到的图象，求的解集． 17.（15分）函数的部分图像如图所示， (1)求函数的解析式和单调递增区间； (2)将函数的图像上的各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图像，若时，的图像与直线恰有三个公共点，记三个公共点的横坐标分别为且，求的值. 18．（17分）已知函数的图象关于直线对称，点在的图象上，，，且的最小值是． (1)求的解析式． (2)函数在内的零点个数为3，求的最小值． (3)已知函数的最小值为；若对于任意的，存在，使得，求实数的取值范围． 19.（17分）已知函数， (1)若对于任意都有，且，求的对称中心； (2)已知，函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，若函数在（）上恰好有6个零点，求的取值范围； (3)已知两函数（），在第（2）问条件下，若对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年必修第一册数学单元自测 第五章 三角函数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知某时钟现在的时间为10:10，若校准时发现该时钟比标准时间快了5分钟，则至少需手动旋转分针（   ） A．15度 B．5度 C．弧度 D．弧度 【答案】C 【分析】由题意可得校准时要回拨5分钟，确定分针转的方向和大小后即可得答案. 【详解】因为时钟比标准时间快了5分钟， 所以校准时要回拨5分钟，也就是分针要逆时针转， 而弧度. 2．已知函数，设甲：，乙：是偶函数，则（    ） A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】A 【分析】利用三角函数奇偶性与充分、必要条件判断即可. 【详解】当甲成立时： ， 所以是偶函数，所以甲可以推出乙，充分性成立； 当乙成立时：是偶函数， 所以，可取，不只是，所以乙推不出甲，必要性不成立， 所以甲是乙的充分不必要条件. 3．已知函数．若，，则的最小值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可知，是函数最小值、是函数最大值，所求最小值为该正弦型函数的半周期. 【详解】已知，周期， 由题意，，可知为函数最小值，为函数最大值， 正弦型函数相邻的最大值点与最小值点的水平距离最小值为半周期，即，故的最小值为，故B正确. 4．已知函数的部分图象如图所示，则当取得最小值时，的取值集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图像特征求解参数的值，即可根据正弦函数的性质求解. 【详解】由图象可知，最小正周期， ，， ∵函数的图象经过点，． ，即． ，， ∴函数的解析式为， ．由题意得，， 取得最小值时，的取值集合为． 5．已知函数的最小正周期为，且在内有两个零点，则实数的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦型函数的周期公式可得出，即可得出，令，则，问题转化为直线与函数在上的图象有两个交点，数形结合可得出实数的取值范围，即可得解. 【详解】因为函数的最小正周期为，则， 所以， 由可得， 当时，则，令，则， 由题意可知直线与函数在上的图象有两个交点，如下图所示： 由图可知，当时，直线与函数在上的图象有两个交点. 故实数的最小值为. 6．已知函数，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】确定函数的单调性和奇偶性，进而可求解. 【详解】由解得， 即的定义域为， 又， 故为奇函数， 当时，均单调递增， 故在时，单调递增， 则，等价于， 则，解得， 故不等式的解集为. 7．已知函数为函数的零点，直线为函数图像的对称轴，且在区间上是单调函数，则的最大值为（    ） A．9 B．7 C．5 D．3 【答案】D 【分析】由零点与对称轴的位置关系推出为正奇数， 再根据单调区间长度得，逐一排除使区间内出现对称轴的情况即可求解. 【详解】由题意得， 两式相减得， 整理得，所以为正奇数， ，解得，所以， 已知为对称轴，且余弦函数对称轴之间的距离为， 所以对称轴，若在区间上是单调函数， 则不存在整数使位于区间， 当时，取，得位于区间内，故舍去， 当时，取，得位于区间内，故舍去， 当时， 区间内没有对称轴，满足单调性，故. 8．将函数图象所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象．若对于任意，总存在唯一的．使得，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由三角函数图象变换得到，对于的任意取值，在上有唯一解，关键是转化得到在上有唯一解，画出图形，由数形结合即可顺利得解． 【详解】由题意得， 当时，有，此时， 令，则， 因为时，所以， 因为对于的任意取值，在上有唯一解， 即在上有唯一解，如图所示： 因为，所以， 由图可知，，所以． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．设函数，则下列结论正确的是（     ） A．的值域为 B．的图象关于直线对称 C．的最小正周期为 D．是的一个零点 【答案】ACD 【详解】因为对,，故的值域为，即A正确； ，故不是的对称轴，故B错误； 的最小正周期为，故C正确； 因，故D正确. 10．已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（    ） A． B．的图象关于点对称 C．将的图象向右平移个单位长度后所得函数图象与的图象重合 D．若的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于轴对称，则的最小值为 【答案】ABD 【详解】对于A，因为函数的图象与函数的图象关于直线对称， 所以对于都有， 即恒成立， 所以，因为，所以，A正确； 对于B，，所以的图象关于点对称，B正确； 对于C，由A选项可知， 将其图象向右平移个单位长度后所得函数为， 与的图象不重合，C错误； 对于D，将的图象向左平移个单位长度后所得函数为， 因为关于轴对称，所以， 解得，因为， 所以当时，的最小值为. 11．已知函数的其中一个单调递增区间为，则下列正确的是（    ） A． B．点是函数的一个对称中心 C．不等式的解集为 D．令，则方程在上有个解，且 【答案】ABD 【分析】根据单调递增区间求出最小正周期，再利用周期公式求出，判断选项A；利用正切函数对称中心的性质判断选项B；利用正切函数的单调性判断选项C；根据的性质和图像，结合已知条件，判断选项D． 【详解】选项A：函数其中一个单调递增区间为， 该函数的最小正周期，依题意，，则，故A正确； 选项B：由题知，则，所以， 因正切函数的对称中心满足，解得， 当时，，即是对称中心，故B正确； 选项C：，即，， 解得，故C错误； 选项D：因函数和的图象均关于对称， 如图，两函数图象共个交点且两两关于对称，   ． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．若某扇形的面积为，半径为，弧长满足，则该扇形圆心角的弧度数是___________ 【答案】5或 【分析】由扇形的面积公式构造关于，的方程组，解出方程，由圆心角即可算出圆心角大小的弧度数． 【详解】据题意得，解得或. 所以该扇形圆心角的弧度数是或. 13．已知函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为，若不等式在上恒成立，则实数的最小值是_________． 【答案】 【分析】根据题意得出，然后令，得到的最小值即可求解. 【详解】已知函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为，所以，解得， 因此， 因为，所以，所以， 令，因为不等式在上恒成立， 所以在上恒成立， 所以，又， 所以当时，有，所以，即． 14．已知函数满足：①定义域为；②对任意，有；③当时，，若函数，则函数在上零点个数是______个． 【答案】6 【分析】先将问题化为和图象交点个数问题，再利用的周期性与解析式作出的图象，同时也作出的图象，从而数形结合即可得解. 【详解】因为函数在上零点的个数等于函数和图象交点的个数， 又的定义域为，又，所以是周期为的周期函数， 当时，， 作出函数在内的图象，再由的周期性作出在上的图象，同时作出的图象，如下 因为，∴， 所以函数，在上有三个交点，在上无交点， 又，则， 则函数是偶函数，图象关于轴对称， 所以结合图形知函数，的图象的交点的个数为6. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）如图，扇形中有一个小扇形，已知，，． (1)求的长； (2)若，求和扇形的面积之比． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可得，则， 解得，所以． （2）如图，过点作，垂足为，因为，，则， 由（1）知扇形的半径为3，所以． 在中，，， 所以，所以，则， 故． 16.（15分）已知函数． (1)填写下表，并用“五点法”画出在上的图象； x 0 1 0 (2)将的图象上所有点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到的图象，求的解集． 【答案】(1) ，补全列表如下： 0 x 0 1 0 0 画出在上的图象如图： (2) 【详解】（1）（1）略； （2）的图象上所有点横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变）得的图象， 再向左平移个单位长度，得的图象． 令，则， 解得， 即的解集为． 17．（15分）函数的部分图像如图所示， (1)求函数的解析式和单调递增区间； (2)将函数的图像上的各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图像，若时，的图像与直线恰有三个公共点，记三个公共点的横坐标分别为且，求的值. 【答案】(1)，. (2) 【详解】（1）由图易知，，得到，所以， 又图象过点，所以，故，得到， 又，所以，故函数的解析式为， 由，得到， 所以的单调递增区间为. （2）由题知，又因为，所以， 令，则， 由的图象知，，且， 得到，又由图知，所以 又，得到， 所以， 又因，所以. 18．（17分）已知函数的图象关于直线对称，点在的图象上，，，且的最小值是． (1)求的解析式． (2)函数在内的零点个数为3，求的最小值． (3)已知函数的最小值为；若对于任意的，存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1） ，， ， （2），， 即在内的 解的个数为3个， ， ，，又取最小值， ，且， 解得. （3）． 设，， ，∴抛物线开口向下，对称轴为， 结合二次函数性质知， 本问题等价于的值域是函数值域的子集． 由可得的值域为 设，，， 当时，，． 当时，，． 综上，或. 19．（17分）已知函数， (1)若对于任意都有，且，求的对称中心； (2)已知，函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，若函数在（）上恰好有6个零点，求的取值范围； (3)已知两函数（），在第（2）问条件下，若对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）的最小正周期是， 故，又，解得， 所以， 由的对称中心为； （2）∵函数图象向右平移个单位，得到函数的图象， ， 又是的一个零点，，即， 或， 解得或， 由可得， 令，则 令，则在有6个解， 因为， 将的解从小到大分别记作，其中， 由的周期为得 ， ， 要使在有6个解则，，解得， 所以m的取值范围是. （3）由（2）知，对任意，存在，使得成立， 则， 当时，， 当时，， 由可得，解得， 故实数的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年必修第一册数学单元自测 第五章 三角函数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知某时钟现在的时间为10:10，若校准时发现该时钟比标准时间快了5分钟，则至少需手动旋转分针（   ） A．15度 B．5度 C．弧度 D．弧度 2．已知函数，设甲：，乙：是偶函数，则（    ） A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 3．已知函数．若，，则的最小值是（     ） A． B． C． D． 4．已知函数的部分图象如图所示，则当取得最小值时，的取值集合为（   ） A． B． C． D． 5．已知函数的最小正周期为，且在内有两个零点，则实数的最小值是（    ） A． B． C． D． 6．已知函数，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 7．已知函数为函数的零点，直线为函数图像的对称轴，且在区间上是单调函数，则的最大值为（    ） A．9 B．7 C．5 D．3 8．将函数图象所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象．若对于任意，总存在唯一的．使得，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．设函数，则下列结论正确的是（     ） A．的值域为 B．的图象关于直线对称 C．的最小正周期为 D．是的一个零点 10．已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（    ） A． B．的图象关于点对称 C．将的图象向右平移个单位长度后所得函数图象与的图象重合 D．若的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于轴对称，则的最小值为 11．已知函数的其中一个单调递增区间为，则下列正确的是（    ） A． B．点是函数的一个对称中心 C．不等式的解集为 D．令，则方程在上有个解，且 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．若某扇形的面积为，半径为，弧长满足，则该扇形圆心角的弧度数是___________ 13．已知函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为，若不等式在上恒成立，则实数的最小值是_________． 14．已知函数满足：①定义域为；②对任意，有；③当时，，若函数，则函数在上零点个数是______个． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）如图，扇形中有一个小扇形，已知，，． (1)求的长； (2)若，求和扇形的面积之比． 16．（15分）已知函数． (1)填写下表，并用“五点法”画出在上的图象； x 0 1 0 (2)将的图象上所有点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到的图象，求的解集． 17.（15分）函数的部分图像如图所示， (1)求函数的解析式和单调递增区间； (2)将函数的图像上的各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图像，若时，的图像与直线恰有三个公共点，记三个公共点的横坐标分别为且，求的值. 18．（17分）已知函数的图象关于直线对称，点在的图象上，，，且的最小值是． (1)求的解析式． (2)函数在内的零点个数为3，求的最小值． (3)已知函数的最小值为；若对于任意的，存在，使得，求实数的取值范围． 19.（17分）已知函数， (1)若对于任意都有，且，求的对称中心； (2)已知，函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，若函数在（）上恰好有6个零点，求的取值范围； (3)已知两函数（），在第（2）问条件下，若对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $