高中数学单元测试——第5章三角函数（较易版02）

**基本信息** 高中数学三角函数单元复习卷（较易版），覆盖三角函数定义、图像性质及应用，通过基础题巩固知识，综合题（如摩天轮高度模型、新定义“远离”问题）培养数学思维与应用意识，适配单元复习检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|终边象限、定义域、三角函数定义等|基础巩固，聚焦概念辨析| |多选题|3/18|三角形内角关系、函数性质|能力提升，考查综合判断| |填空题|3/15|三角恒等变换、参数求解|简洁灵活，检测细节掌握| |解答题|5/77|五点法作图、图像变换、摩天轮模型、新定义问题|创新应用，融合模型意识与推理能力|

高中数学单元测试 —— 第5章 三角函数（较易版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）的终边在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（本题5分）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 3．（本题5分）若角的终边过点，则（    ） A．0 B．1 C．2 D． 4．（本题5分）设，若，则（    ） A． B． C． D． 5．（本题5分）下列函数中，在既是奇函数且最小正周期为的是（    ） A． B． C． D． 6．（本题5分）函数的部分图象可能是（   ） A． B． C． D． 7．（本题5分）已知函数，其中．若在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（本题5分）已知函数，若，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）若角是的三个内角,则下列等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 10．（本题6分）（多选）已知函数，下列说法正确的是（   ） A．函数的最小正周期为 B．函数的定义域为 C．函数图象的对称中心为， D．函数的单调递增区间为， 11．（本题6分）函数的部分图象如图，下列说法正确的有（   ） A． B．函数的图象关于对称 C．函数在上的值域为 D．要得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位 三、填空题 12．（本题5分）若，则______. 13．（本题5分）已知函数的图象经过点，请写出一个符合要求的的值，则_____. 14．（本题5分）若存在实数a，对任意的，都有恒成立，则实数m的最大值为_________. 四、解答题 15．（本题13分）用“五点法”作出下列函数的简图. (1)； (2). 16．（本题15分）已知函数． （1）写出函数的单调增区间和对称中心； （2）求的x的取值集合； （3）求函数在上的值域． 17．（本题15分）已知函数，将图象上每一点的横坐标缩短为原来的，再将所得图象向上平移1个单位长度得到函数的图象． (1)求图象的对称中心； (2)若函数在上没有最小值，求实数m的取值范围． 18．（本题17分）“星空摩天轮”是某游乐园的标志性观光设施，游客乘坐座舱沿圆形轮盘圆心O匀速转动，可俯瞰城市全景.该设施的轮盘最高点距离地面100m，轮盘直径为90m，开启后按逆时针方向匀速转动，游客在距离地面最近的位置进入座舱，转一周需要20min.以轮盘圆心为原点，与地面平行的直线为轴，上下方向的直线为轴建立平面直角坐标系： (1)游客甲坐上座舱后，转动时距离地面的高度为（单位：m)，求转动过程中关于的函数解析式； (2)若游客甲在最低点进入座舱时，游客乙恰好位于x轴负半轴与轮盘的交点A处 （i）转动过程中，两人首次距离地面高度相等的时间是多少？ （ii）当座舱距离地面高度不低于m时，可清晰地看到城市的“灯光秀”这段时间称为“观秀时段”，求游客甲在转动一周过程中，位于“观秀时段”的时长. 19．（本题17分）若实数x，y，m满足，则称x比y远离m． (1)若0比sinx远离，求x的取值范围； (2)已知函数f（x）的定义域为，任取，f（x）为sinx与cosx中远离0的值． ①求出f（x）的解析式； ②写出f（x）的周期，对称轴方程，并指出最大值点．（只需写出结论，不要求证明） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第5章 三角函数（较易版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）的终边在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据终边相同的角判断即可. 【详解】且角是第二象限角， 角的终边在第二象限. 故选：B 2．（本题5分）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正切函数的定义域进行求解即可. 【详解】由，可得， 所以函数的定义域是. 故选：A. 3．（本题5分）若角的终边过点，则（    ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】由任意角的三角函数定义直接可得. 【详解】因为角的终边过点，所以，，， 由三角函数定义，即. 故选：A 4．（本题5分）设，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据商数关系和平方关系求解即可. 【详解】，所以， 解得或（舍）， 故选：B. 5．（本题5分）下列函数中，在既是奇函数且最小正周期为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数的最小正周期的计算公式，可得答案. 【详解】对于A，函数的最小正周期，且为奇函数，故A正确； 对于B，函数的最小正周期，且为奇函数，故B错误； 对于C，函数的最小正周期，且为偶函数，故C错误； 对于D，函数的最小正周期，且为偶函数，故D错误. 故选：A. 6．（本题5分）函数的部分图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先通过奇偶性排除CD选项，再通过特定区间的函数符号排除B选项，即可得解. 【详解】因为，所以， 所以的图象关于原点中心对称，所以CD错误． 当时，，所以B错误. 故选：A． 7．（本题5分）已知函数，其中．若在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦型函数的单调性即可求解. 【详解】因为函数在区间内单调递增，所以，所以， 因为，所以，若在区间上单调递增， 则，，解得， 当时，，又，则； 当k取其它值时不满足，∴的取值范围为， 故选：B． 8．（本题5分）已知函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分析函数的奇偶性，单调性，再利用中间值比较大小即可. 【详解】函数的定义域为，定义域关于原点对称， 又，所以为偶函数， 函数在上单调递增，函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 又， 所以. 故选：A 二、多选题 9．（本题6分）若角是的三个内角,则下列等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用三角形的内角和为和诱导公式求解即可. 【详解】因为, 所以,故A正确; ,故B错误; ,故C正确; 当时,选项D不正确; 故选:AC 10．（本题6分）（多选）已知函数，下列说法正确的是（   ） A．函数的最小正周期为 B．函数的定义域为 C．函数图象的对称中心为， D．函数的单调递增区间为， 【答案】ABD 【分析】由正切函数定义域，周期，单调区间，对称性结合题意可得答案. 【详解】对于A，的最小正周期满足：，故A正确； 对于B，定义域满足， 则定义域为：，故B正确； 对于C，对称中心的横坐标满足：，则对称中心为： ，其中，故C错误； 对于D， 单调递增区间满足： ， 其中，则单调递增区间为，.故D正确. 故选：ABD 11．（本题6分）函数的部分图象如图，下列说法正确的有（   ） A． B．函数的图象关于对称 C．函数在上的值域为 D．要得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位 【答案】AD 【分析】根据函数图象求函数 的解析式,即可得到选项 A 正确; 利用 可知选项 B 错误; 根据 可得 ,结合函数的单调性可知选项 C 错误；利用函数图象平移的原则可知选项 D 正确. 【详解】选项 A ：设函数的最小正周期为 ，由图可知，，故 . 因为所以. 因为函数图象最高点为 ，所以， 所以，故 ， 因为，所以，选项 A 正确. 选项 B ：由 A 可得 ， 故直线 不是函数 的对称轴，选项 错误. 选项 C ：当 时，，，， 故函数 在 上的值域为 ，选项C错误. 选项 D ：由题意得，， 将函数 的图象向左平移 个单位后的函数表达式为： ，选项D正确. 三、填空题 12．（本题5分）若，则______. 【答案】 【详解】根据诱导公式可知， 且. 13．（本题5分）已知函数的图象经过点，请写出一个符合要求的的值，则_____. 【答案】（答案不唯一） 【分析】将点代入，利用余弦函数的图象和性质，求值即可. 【详解】由题意：，. 所以，. 所以的值可以为：，，… 故答案为：（答案不唯一） 14．（本题5分）若存在实数a，对任意的，都有恒成立，则实数m的最大值为_________. 【答案】 【分析】由题意可知或恒成立，数形结合，可知的图象不能在直线，即的同一侧，即可求得答案. 【详解】由题意知存在实数a，对任意的，都有恒成立， 即或恒成立； 在同一坐标系中，作出函数的图象如图： 由图象可知， 当时，要使不等式恒成立，，此时满足题意的实数有无数多个； 当时，要使不等式恒成立，只有； 当时，需使得的图象不能在直线，即的同一侧， 故此时需满足，综合可知，实数m的最大值为， 故答案为： 四、解答题 15．（本题13分）用“五点法”作出下列函数的简图. (1)； (2). 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析. 【分析】（1）（2）列出表格，利用五点法作出函数图象. 【详解】（1）取值列表如下： x 0 π 2π 0 1 0 0 描点、连线，作出函数的图象： （2）取值列表如下： x 0 π 2π 1 0 0 1 描点、连线，作出函数的图象： 16．（本题15分）已知函数． （1）写出函数的单调增区间和对称中心； （2）求的x的取值集合； （3）求函数在上的值域． 【答案】（1）单调增区间为；对称中心为；（2）；（3）． 【分析】（1）根据三角函数基本性质求得单增区间和对称中心. （2）根据函数图像性质，确定三角函数不等式解集. （3）根据函数图像性质求得定义域内的值域. 【详解】解：（1）由三角函数的性质易知，的单调增区间应满足，故单调增区间为； 对称中心应满足，故对称中心为． （2）由得 ∴， ∴， ∴所求x的取值集合为． （3）∵∴ ∴ ∴ 即 ∴在上的值域为． 【点睛】方法点睛：借助三角函数图像问题，来研究不等式，值域，单调区间等问题. 17．（本题15分）已知函数，将图象上每一点的横坐标缩短为原来的，再将所得图象向上平移1个单位长度得到函数的图象． (1)求图象的对称中心； (2)若函数在上没有最小值，求实数m的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据三角函数的平移伸缩变换求得函数解析式，结合正弦函数图像确定对称中心即可； （2）由（1）中函数解析式和给定区间求出整体角范围，结合正弦函数图像确定参数m范围即可. 【详解】（1）根据题意，， 由，得，， 所以函数图象的对称中心为，． （2）由（1）知：， 因为，所以， 要使在上没有最小值， 则，解得，即实数的取值范围为． 18．（本题17分）“星空摩天轮”是某游乐园的标志性观光设施，游客乘坐座舱沿圆形轮盘圆心O匀速转动，可俯瞰城市全景.该设施的轮盘最高点距离地面100m，轮盘直径为90m，开启后按逆时针方向匀速转动，游客在距离地面最近的位置进入座舱，转一周需要20min.以轮盘圆心为原点，与地面平行的直线为轴，上下方向的直线为轴建立平面直角坐标系： (1)游客甲坐上座舱后，转动时距离地面的高度为（单位：m)，求转动过程中关于的函数解析式； (2)若游客甲在最低点进入座舱时，游客乙恰好位于x轴负半轴与轮盘的交点A处 （i）转动过程中，两人首次距离地面高度相等的时间是多少？ （ii）当座舱距离地面高度不低于m时，可清晰地看到城市的“灯光秀”这段时间称为“观秀时段”，求游客甲在转动一周过程中，位于“观秀时段”的时长. 【答案】(1)，； (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据题意设，，再结合题意求解对应的参数即可得答案； （2）（i）结合（1）考虑游客乙的初始位置得游客乙距离地面的高度关于的关系为，，再解方程即可得答案； （ii）结合题意，解不等式得，进而求时间差即可得答案. 【详解】（1）根据题意，设关于的函数解析式为， 由题知，轮盘最高点距地面100m，直径90m，最低点距离地面为10m， 时，游客甲从最低点逆时针匀速转动，即时， 周期， 所以，解得， ，解得， 所以，当，，即，解得， 所以，，整理得，； 所以，关于的函数解析式为：， （2）（i）由（1）知，游客乙距离地面的高度与时间的关系为：， 考虑游客乙的初始位置，当时，游客乙距离地面的高度为55m，且开始后高度降低， 故，即，解得， 即游客乙距离地面的高度关于的关系为，， 即， 所以，时刻时，游客乙距离地面的距离为； 游客甲距离地面的距离为 所以，即， 所以，首次相等对应最小正解,即，即 所以，转动过程中，两人首次距离地面高度相等的时间是. （ii）由题，，即， 所以，解得，时间间隔为：， 所以游客甲在转动一周过程中，位于“观秀时段”的时长. 19．（本题17分）若实数x，y，m满足，则称x比y远离m． (1)若0比sinx远离，求x的取值范围； (2)已知函数f（x）的定义域为，任取，f（x）为sinx与cosx中远离0的值． ①求出f（x）的解析式； ②写出f（x）的周期，对称轴方程，并指出最大值点．（只需写出结论，不要求证明） 【答案】(1)或，； (2)① ②函数的周期为，对称轴方程为或，最大值点为或. 【分析】（1）根据定义列出不等式即可求出； （2）通过解出，，即可求出的解析式，据此可得出周期、对称轴、最大值点. 【详解】（1）由新定义可得，，即， 解得，即 , 由正弦函数的性质可得或，. （2）①若，当时，，上式成立， 此时，，当时，可化为，即或 ，解得， 综上，时，； ②若，由①可知，. . 函数图象如图， 函数的周期为，对称轴方程为或， 当或时，有最大值，即最大值点为或. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $