第五章 三角函数（单元分层自测·基础通关卷）高一数学湘教版必修第一册

2026-2027学年必修第一册数学单元自测 第五章 三角函数·基础通关（参考答案） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 B C D D A C C D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9 10 11 BCD AC BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．（答案不唯一） 13． 14．6 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）将两边平方得：，..........1分 ，..........2分 又， ，..........3分 ，..........4分 ...........6分 （2）由（1）可知， 又， ，..........9分 ，..........11分 ...........13分 16．（15分） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由图可知，，，，..........3分 ，因为点在图象上，..........4分 ，，..........6分 ，，．..........8分 （2），，..........12分 ∴当，即时，取最小值，最小值为．..........15分 17．（15分） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题可知，，所以，..........1分 所以， 又函数图象经过点，所以，..........2分 所以，..........3分 因为，所以，所以，即，..........6分 所以；..........7分 （2）因为，所以，..........9分 所以，，画出对应的函数图象， ，..........11分 方程在区间上有三个解等价于直线与图象有三个不同的交点，..........13分 由图可知，所以t的取值范围为..........15分 18．（17分） 【答案】(1)略 (2)对称轴方程为：，对称中心为：， (3) 【详解】（1） 0 0 2 0 -2 0 ..........7分 （2）由图象可得： 函数的对称轴方程为：，..........9分 函数的对称中心为：，..........11分 （3）由，可得，..........12分 由正弦函数的性质可得：，..........14分 解得，..........16分 即不等式的解集为...........17分 19．（17分） 【答案】(1)； (2)4 (3) 【详解】（1）由题意可知时， （），..........1分 即 ，又，所以，..........2分 即，..........3分 当时，，..........4分 易知在上单调递增，在上单调递减，..........5分 则此时，所以在区间上的值域为；..........6分 （2）由上知，所以，显然，即，..........7分 当时，，..........8分 若要符合题意需， （），..........9分 解不等式得，易知，则，此时．..........10分 （3）因为对任意的，，都有，所以．..........11分 因为，所以，所以，所以，..........12分 ，..........13分 令，则，．对称轴为，..........14分 所以①，可得，..........15分 ②，可得，..........16分 ③，可得， 综上．..........17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年必修第一册数学单元自测 第五章 三角函数·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．的值为（   ） A． B． C． D． 2．如图，角的终边与单位圆交于点，的横坐标为，则（   ） A． B． C． D． 3．已知，且α为第四象限的角，则（   ） A． B． C． D． 4．已知，则（   ） A． B． C． D． 5．已知函数，将的图象向左平移（）个单位后所得函数为偶函数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．已知，则（     ） A． B． C． D． 7．函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 8．已知函数在区间上恰有2个最值点和2个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列函数中，最小正周期为的函数为（    ） A． B． C． D． 10．设函数，则下列结论正确的是（   ） A．的最小正周期为π B．的图象关于直线对称 C．的一个零点为 D．的值域为 11．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，上面挂在轮边缘的是供乘客搭乘的座舱．某地一摩天轮与地面的垂直高度（最高处与地面的距离）为208米，直径193米，入口在最底部．摩天轮逆时针方向匀速转动，30分钟转一圈，假设该摩天轮共有36个座舱，且每两个座舱间隔相等，则下列说法正确的是（ ） A．若摩天轮的转速减半，则其旋转一圈的时间是原来的一半 B．乘客从入口进入座舱，摩天轮开始转动后，乘客距离水平地面的高度米）与时间（分钟）的函数解析式为 C．乘客从入口进入座舱，摩天轮开始转动后，经过10分钟，乘客距离地面的高度为63.25米 D．游客乙在游客甲后进入座舱，且中间间隔5个座舱，在摩天轮转动一周的过程中，两人距离地面的高度差的最大值为96.5米 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知定义域为R的函数同时满足以下三个条件： ①函数的图象过原点； ②对，都有； ③对，都有． 则符合上述三个条件的函数表达式可以为__________．（答案不唯一，写出一个即可） 13．若满足的点是函数的图像的一个对称中心，则的最大值为________． 14．方程根的个数为_________ 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知. (1)求的值； (2)求的值. 16．（15分）已知函数的部分图象如图所示，其中．求： (1)的解析式； (2)在上的最小值． 17.（15分）已知函数的图象经过点，其最大值与最小值的差为4，且相邻两个零点之间的距离为. (1)求函数的解析式； (2)方程在区间上有三个解，求t的取值范围. 18．（17分）已知函数，． (1)在用“五点法”作函数的图象时，完成上述表格，并在坐标系中画出函数的大致图象； (2)根据（1）得到的图象，写出函数的对称轴方程和对称中心的坐标； (3)求不等式的解集． 19.（17分）已知函数（）的图像关于点对称． (1)求的值和在区间上的值域； (2)若，函数在区间上单调递增，求的值； (3)设，若对任意的，，都有，求实数a的取值范围． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年必修第一册数学单元自测 第五章 三角函数·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】． 2．如图，角的终边与单位圆交于点，的横坐标为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】点的横坐标为，点的纵坐标为，由三角函数的定义可知． 3．已知，且α为第四象限的角，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用同角三角函数的基本关系求出 ，再根据 为第四象限角确定 的符号。 【详解】因为且所以 又因为 为第四象限角，所以 ，从而 4．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同角的三角函数关系求解即可. 【详解】因为，所以. 所以. 5．已知函数，将的图象向左平移（）个单位后所得函数为偶函数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】将的图象向左平移个单位得为偶函数 所以， ，取得. 6．已知，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，可得， 即， 故. 7．函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将函数解析式转化为，求得，再根据正弦函数的性质求解即可. 【详解】因为，所以． 因为，所以． 令，解得， 所以函数的单调递增区间是． 8．已知函数在区间上恰有2个最值点和2个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过换元将内层函数视为整体，结合正弦函数的零点和最值点的分布规律，列出关于ω的不等式求解取值范围. 【详解】当且时，令，可得， 则题设等价于在区间内恰有2个零点和2个最值点， 正弦函数的零点为，最值点为， 在上，从小到大的零点依次为，最值点依次为， 要使区间内恰有2个零点、2个最值点，需满足，解得， 因此的取值范围为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列函数中，最小正周期为的函数为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】对于A，函数的图象可由函数保留轴右侧的图象不变， 去掉轴左侧图象， 并将右侧图象关于轴翻折到左侧得到，故函数没有周期性，故A错误； 对于B，的图象可由函数保留轴上方的图象不变， 并将轴下方的图象关于轴翻折到上方得到， 故其周期是函数的周期的一半，即，故B正确； 对于C，函数的最小正周期为，故C正确； 对于D，函数的最小正周期为，故D正确. 10．设函数，则下列结论正确的是（   ） A．的最小正周期为π B．的图象关于直线对称 C．的一个零点为 D．的值域为 【答案】AC 【详解】对于A：函数，根据周期公式可得，故A正确； 对于B：令，解得， 当时，，当时，，所以直线不是函数的对称轴，故B错误； 对于C：令，解得， 当时，，所以是的一个零点，故C正确； 对于D：对于函数，因为的值域为， 所以的值域为，故D错误. 11．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，上面挂在轮边缘的是供乘客搭乘的座舱．某地一摩天轮与地面的垂直高度（最高处与地面的距离）为208米，直径193米，入口在最底部．摩天轮逆时针方向匀速转动，30分钟转一圈，假设该摩天轮共有36个座舱，且每两个座舱间隔相等，则下列说法正确的是（ ） A．若摩天轮的转速减半，则其旋转一圈的时间是原来的一半 B．乘客从入口进入座舱，摩天轮开始转动后，乘客距离水平地面的高度米）与时间（分钟）的函数解析式为 C．乘客从入口进入座舱，摩天轮开始转动后，经过10分钟，乘客距离地面的高度为63.25米 D．游客乙在游客甲后进入座舱，且中间间隔5个座舱，在摩天轮转动一周的过程中，两人距离地面的高度差的最大值为96.5米 【答案】BD 【分析】由转速和转动时间的关系判断选项A；待定系数法求的函数解析式判断选项B；利用函数解析式求函数值判断选项C；辅助角公式化简高度差的表达式，结合三角函数知识求最大值判断选项D. 【详解】对于A，若摩天轮的转速减半，则其旋转一圈的时间是原来的2倍，故A错误； 设，， 对于B，则且，解得， 摩天轮转动的周期为30分钟，，则， 所以， 令，则有，解得， 所以，故B正确； 对于C，当时，，故C错误； 对于D，两人间隔5个座舱，乙与甲进入座舱的时间间隔为5分钟，所以两人距离地面的高度差， ， 当时，， 当或，即或25时，取得最大值96.5，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知定义域为R的函数同时满足以下三个条件： ①函数的图象过原点； ②对，都有； ③对，都有． 则符合上述三个条件的函数表达式可以为__________．（答案不唯一，写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【详解】条件①：函数过原点，即. 条件②：，为偶函数. 条件③：，周期为. 所以函数符合上述三个条件. 13．若满足的点是函数的图像的一个对称中心，则的最大值为________． 【答案】 【分析】根据正切型函数的性质求解即可. 【详解】正切函数的对称中心为，. 令，，解得，， 所以的图像的对称中心为，. 由题意知，，， 所以，，解得，. 当取最大值时，取得最大值，此时，. 故的最大值为. 14．方程根的个数为_________ 【答案】6 【分析】将问题转换成函数图象交点，结合函数图象即可求解. 【详解】画出的函数图象， 由图象可知，两个函数共有6个交点， 故方程根的个数为6. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）将两边平方得：， ， 又， ， ， . （2）由（1）可知， 又， ， ， . 16.（15分）已知函数的部分图象如图所示，其中．求： (1)的解析式； (2)在上的最小值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由图可知，，，， ，因为点在图象上， ，， ，，． （2），， ∴当，即时，取最小值，最小值为． 17．（15分）已知函数的图象经过点，其最大值与最小值的差为4，且相邻两个零点之间的距离为. (1)求函数的解析式； (2)方程在区间上有三个解，求t的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题可知，，所以， 所以， 又函数图象经过点，所以， 所以， 因为，所以，所以，即， 所以； （2）因为，所以， 所以，，画出对应的函数图象， ， 方程在区间上有三个解等价于直线与图象有三个不同的交点， 由图可知，所以t的取值范围为 18．（17分）已知函数，． (1)在用“五点法”作函数的图象时，完成上述表格，并在坐标系中画出函数的大致图象； (2)根据（1）得到的图象，写出函数的对称轴方程和对称中心的坐标； (3)求不等式的解集． 【答案】(1)略 (2)对称轴方程为：，对称中心为：， (3) 【详解】（1） 0 0 2 0 -2 0 （2）由图象可得： 函数的对称轴方程为：， 函数的对称中心为：， （3）由，可得， 由正弦函数的性质可得：， 解得， 即不等式的解集为. 19．（17分）已知函数（）的图像关于点对称． (1)求的值和在区间上的值域； (2)若，函数在区间上单调递增，求的值； (3)设，若对任意的，，都有，求实数a的取值范围． 【答案】(1)； (2)4 (3) 【详解】（1）由题意可知时， （）， 即 ，又，所以， 即， 当时，， 易知在上单调递增，在上单调递减， 则此时，所以在区间上的值域为； （2）由上知，所以，显然，即， 当时，， 若要符合题意需， （）， 解不等式得，易知，则，此时． （3）因为对任意的，，都有，所以． 因为，所以，所以，所以， ， 令，则，．对称轴为， 所以①，可得， ②，可得， ③，可得， 综上． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年必修第一册数学单元自测 第五章 三角函数·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．的值为（   ） A． B． C． D． 2．如图，角的终边与单位圆交于点，的横坐标为，则（   ） A． B． C． D． 3．已知，且α为第四象限的角，则（   ） A． B． C． D． 4．已知，则（   ） A． B． C． D． 5．已知函数，将的图象向左平移（）个单位后所得函数为偶函数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．已知，则（     ） A． B． C． D． 7．函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 8．已知函数在区间上恰有2个最值点和2个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列函数中，最小正周期为的函数为（    ） A． B． C． D． 10．设函数，则下列结论正确的是（   ） A．的最小正周期为π B．的图象关于直线对称 C．的一个零点为 D．的值域为 11．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，上面挂在轮边缘的是供乘客搭乘的座舱．某地一摩天轮与地面的垂直高度（最高处与地面的距离）为208米，直径193米，入口在最底部．摩天轮逆时针方向匀速转动，30分钟转一圈，假设该摩天轮共有36个座舱，且每两个座舱间隔相等，则下列说法正确的是（ ） A．若摩天轮的转速减半，则其旋转一圈的时间是原来的一半 B．乘客从入口进入座舱，摩天轮开始转动后，乘客距离水平地面的高度米）与时间（分钟）的函数解析式为 C．乘客从入口进入座舱，摩天轮开始转动后，经过10分钟，乘客距离地面的高度为63.25米 D．游客乙在游客甲后进入座舱，且中间间隔5个座舱，在摩天轮转动一周的过程中，两人距离地面的高度差的最大值为96.5米 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知定义域为R的函数同时满足以下三个条件： ①函数的图象过原点； ②对，都有； ③对，都有． 则符合上述三个条件的函数表达式可以为__________．（答案不唯一，写出一个即可） 13．若满足的点是函数的图像的一个对称中心，则的最大值为________． 14．方程根的个数为_________ 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知. (1)求的值； (2)求的值. 16．（15分）已知函数的部分图象如图所示，其中．求： (1)的解析式； (2)在上的最小值． 17.（15分）已知函数的图象经过点，其最大值与最小值的差为4，且相邻两个零点之间的距离为. (1)求函数的解析式； (2)方程在区间上有三个解，求t的取值范围. 18．（17分）已知函数，． (1)在用“五点法”作函数的图象时，完成上述表格，并在坐标系中画出函数的大致图象； (2)根据（1）得到的图象，写出函数的对称轴方程和对称中心的坐标； (3)求不等式的解集． 19.（17分）已知函数（）的图像关于点对称． (1)求的值和在区间上的值域； (2)若，函数在区间上单调递增，求的值； (3)设，若对任意的，，都有，求实数a的取值范围． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $