高中数学单元测试——第7章三角函数（较易版02）

**基本信息** 本卷为高中数学三角函数单元复习较易版测试，覆盖三角函数定义、图像、性质及应用，通过基础题与综合题梯度设计，适配单元复习巩固，培养数学眼光、思维与语言。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题40分|终边象限、定义域、三角函数定义|基础概念辨析，如终边位置判断| |多选题|3题18分|单位圆性质、函数奇偶性与周期|多角度性质考查，如函数对称中心判断| |填空题|3题15分|三角函数求值、图像参数|开放与探究结合，如符合条件的参数值| |解答题|5题67分|五点作图、单调性、实际应用、新定义探究|综合应用与创新，如温度变化模型（应用意识）、“余正弦”函数探究（创新意识）|

高中数学单元测试 —— 第7章 三角函数（较易版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）的终边在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（本题5分）定义域为（    ） A． B． C． D． 3．（本题5分）若角的始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 4．（本题5分）化简（   ） A． B． C． D． 5．（本题5分）下列函数中，在既是奇函数且最小正周期为的是（    ） A． B． C． D． 6．（本题5分）函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 7．（本题5分）已知函数，其中．若在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（本题5分）已知函数单调递增，记，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点则（ ） A． B． C． D． 10．（本题6分）（多选）已知函数，下列说法正确的是（   ） A．函数的最小正周期为 B．函数的定义域为 C．函数图象的对称中心为， D．函数的单调递增区间为， 11．（本题6分）函数的部分图象如图，下列说法正确的有（   ） A． B．函数的图象关于对称 C．函数在上的值域为 D．要得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位 三、填空题 12．（本题5分）已知.则_____. 13．（本题5分）已知函数的图象经过点，请写出一个符合要求的的值，则_____. 14．（本题5分）已知，顺次连接函数与的任意三个相邻的交点都构成一个等腰直角三角形，则________． 四、解答题 15．（本题13分）已知函数 (1)用“五点法”画出函数在一个周期内的图象； 列表： 作图： (2)直接写出函数的值域和最小正周期． 16．（本题15分）已知函数． （1）写出函数的单调增区间和对称中心； （2）求的x的取值集合； （3）求函数在上的值域． 17．（本题15分）已知函数的图象关于直线对称． （1）求的最小正周期； （2）将的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，求在上的单调递增区间． 18．（本题17分）已知某地某一天4点~16点的温度变化近似满足函，. (1)求该地区这一天这一段时间内的最大温差； (2)直接写出当天这段时间内，16点的温度与哪些时刻的温度相等？ (3)某种细菌能在温度不低于条件下生存，在4点～16点这段时间内，该细菌最多能生存多长时间? 19．（本题17分）定义函数为“正余弦”函数.结合学过的知识，可以得到该函数的一些性质：容易证明为该函数的周期，但是否是最小正周期呢？我们继续探究：.可得：也为函数的周期.但是否为该函数的最小正周期呢？我们可以分区间研究的单调性：函数在是严格减函数，在上严格增函数，再结合，可以确定：的最小正周期为.进一步我们可以求出该函数的值域了.定义函数为“余正弦”函数，根据阅读材料的内容，解决下列问题： (1)求“余正弦”函数的定义域； (2)判断“余正弦”函数的奇偶性，并说明理由； (3)探究“余正弦”函数的单调性及最小正周期，说明理由，并求其值域. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第7章 三角函数（较易版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）的终边在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据终边相同的角判断即可. 【详解】且角是第二象限角， 角的终边在第二象限. 故选：B 2．（本题5分）定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接根据正切函数的定义域列出不等式解出即可. 【详解】由题意得， 解得，故定义域为. 故选：B. 3．（本题5分）若角的始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求出的值，可得的值． 【详解】因为角的终边经过点，，，， 所以， 则. 故选：C. 4．（本题5分）化简（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通分后结合平方关系和商数关系可得正确的选项. 【详解】原式 ． 故选：C. 5．（本题5分）下列函数中，在既是奇函数且最小正周期为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数的最小正周期的计算公式，可得答案. 【详解】对于A，函数的最小正周期，且为奇函数，故A正确； 对于B，函数的最小正周期，且为奇函数，故B错误； 对于C，函数的最小正周期，且为偶函数，故C错误； 对于D，函数的最小正周期，且为偶函数，故D错误. 故选：A. 6．（本题5分）函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由函数的解析式可知该函数的定义域为全体非零实数， 因为， 所以该函数是奇函数，它的图象关于原点对称，所以排除选项AC； 当时，，所以排除选项D，所以选项B中的图象有可能是该函数的图象. 7．（本题5分）已知函数，其中．若在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦型函数的单调性即可求解. 【详解】因为函数在区间内单调递增，所以，所以， 因为，所以，若在区间上单调递增， 则，，解得， 当时，，又，则； 当k取其它值时不满足，∴的取值范围为， 故选：B． 8．（本题5分）已知函数单调递增，记，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于 ，由 ，则 ，即 ， 对于 ，由 ，则 ，即 ， 对于 ，由 ，得 ， 对于 ，由 ，则 ，即 ， 所以 ， 又因为函数 在区间 上单调递增，所以 . 二、多选题 9．（本题6分）已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点则（ ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用三角函数定义结合诱导公式逐项判断即可. 【详解】由三角函数定义可得，，， 对于A选项，A错； 对于B选项，，B对； 对于C选项，，C错； 对于D选项，，D对. 故选：BD. 10．（本题6分）（多选）已知函数，下列说法正确的是（   ） A．函数的最小正周期为 B．函数的定义域为 C．函数图象的对称中心为， D．函数的单调递增区间为， 【答案】ABD 【分析】由正切函数定义域，周期，单调区间，对称性结合题意可得答案. 【详解】对于A，的最小正周期满足：，故A正确； 对于B，定义域满足， 则定义域为：，故B正确； 对于C，对称中心的横坐标满足：，则对称中心为： ，其中，故C错误； 对于D， 单调递增区间满足： ， 其中，则单调递增区间为，.故D正确. 故选：ABD 11．（本题6分）函数的部分图象如图，下列说法正确的有（   ） A． B．函数的图象关于对称 C．函数在上的值域为 D．要得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位 【答案】AD 【分析】根据函数图象求函数 的解析式,即可得到选项 A 正确; 利用 可知选项 B 错误; 根据 可得 ,结合函数的单调性可知选项 C 错误；利用函数图象平移的原则可知选项 D 正确. 【详解】选项 A ：设函数的最小正周期为 ，由图可知，，故 . 因为所以. 因为函数图象最高点为 ，所以， 所以，故 ， 因为，所以，选项 A 正确. 选项 B ：由 A 可得 ， 故直线 不是函数 的对称轴，选项 错误. 选项 C ：当 时，，，， 故函数 在 上的值域为 ，选项C错误. 选项 D ：由题意得，， 将函数 的图象向左平移 个单位后的函数表达式为： ，选项D正确. 三、填空题 12．（本题5分）已知.则_____. 【答案】 【分析】利用诱导公式化简，即可求值. 【详解】由结合诱导公式可得：， 所以. 故答案为： 13．（本题5分）已知函数的图象经过点，请写出一个符合要求的的值，则_____. 【答案】（答案不唯一） 【分析】将点代入，利用余弦函数的图象和性质，求值即可. 【详解】由题意：，. 所以，. 所以的值可以为：，，… 故答案为：（答案不唯一） 14．（本题5分）已知，顺次连接函数与的任意三个相邻的交点都构成一个等腰直角三角形，则________． 【答案】/ 【分析】根据题意作图，通过图象可知，等腰直角三角形的斜边的长度为三角函数的一个周期，利用等腰直角三角形的性质求出边长，再由三角函数的周期公式求得的值. 【详解】 如图所示（根据对称性，其它情况与此本质相同）， 在函数与的交点中，， 令，又，所以， 因为三个相邻的交点构成一个等腰直角三角形， 故等腰直角三角形斜边上的高为，即， 所以，则. 故答案为：. 四、解答题 15．（本题13分）已知函数 (1)用“五点法”画出函数在一个周期内的图象； 列表： 作图： (2)直接写出函数的值域和最小正周期． 【答案】(1)答案见解析； (2)值域，最小正周期为. 【分析】（1）由正弦型函数解析式，列出一个周期内五个点，在坐标系中描点用平滑的曲线画出函数图象即可； （2）由正弦型函数性质求值域，应用最小正周期的求法求最小正周期． 【详解】（1）列表: 0 图象如图所示： （2）因为，则， 故函数的值域为，最小正周期为. 16．（本题15分）已知函数． （1）写出函数的单调增区间和对称中心； （2）求的x的取值集合； （3）求函数在上的值域． 【答案】（1）单调增区间为；对称中心为；（2）；（3）． 【分析】（1）根据三角函数基本性质求得单增区间和对称中心. （2）根据函数图像性质，确定三角函数不等式解集. （3）根据函数图像性质求得定义域内的值域. 【详解】解：（1）由三角函数的性质易知，的单调增区间应满足，故单调增区间为； 对称中心应满足，故对称中心为． （2）由得 ∴， ∴， ∴所求x的取值集合为． （3）∵∴ ∴ ∴ 即 ∴在上的值域为． 【点睛】方法点睛：借助三角函数图像问题，来研究不等式，值域，单调区间等问题. 17．（本题15分）已知函数的图象关于直线对称． （1）求的最小正周期； （2）将的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，求在上的单调递增区间． 【答案】（1）；（2）单调递增区间为，． 【分析】（1）根据题意，得到，得到，进而求得的最小正周期； （2）由（1）可得，根据三角函数的图象变换，得到，利用三角函数的性质，即可求得在上的单调递增区间. 【详解】（1）因为的图象关于直线对称， 所以，即． 又因为，所以，故的最小正周期． （2）由（1）可得， 将的图象向左平移个单位长度后，得到函数， 当时，可得， 当时，即，单调递增， 当时，即，单调递增， 故在上的单调递增区间为，. 18．（本题17分）已知某地某一天4点~16点的温度变化近似满足函，. (1)求该地区这一天这一段时间内的最大温差； (2)直接写出当天这段时间内，16点的温度与哪些时刻的温度相等？ (3)某种细菌能在温度不低于条件下生存，在4点～16点这段时间内，该细菌最多能生存多长时间? 【答案】(1) (2)点 (3)小时 【分析】（1）利用正弦型函数来求指定区间内的最值即可求解； （2）利用正弦函数值在指定区间内有两解来求另一个解即可； （3）利用正弦型函数满足的不等式，结合指定区间，即可求解. 【详解】（1）当时，有，则， 此时函数在时取到最大值为，在时取到最小值为， 所以该地区这一天这一段时间内的最大温差为； （2）当时，， 则 ， 根据，可知， 所以16点的温度与12点的温度相等； （3）由题意可得：， 因为，所以可得：， 解得：， 所以该细菌能生存的最长时间为小时. 19．（本题17分）定义函数为“正余弦”函数.结合学过的知识，可以得到该函数的一些性质：容易证明为该函数的周期，但是否是最小正周期呢？我们继续探究：.可得：也为函数的周期.但是否为该函数的最小正周期呢？我们可以分区间研究的单调性：函数在是严格减函数，在上严格增函数，再结合，可以确定：的最小正周期为.进一步我们可以求出该函数的值域了.定义函数为“余正弦”函数，根据阅读材料的内容，解决下列问题： (1)求“余正弦”函数的定义域； (2)判断“余正弦”函数的奇偶性，并说明理由； (3)探究“余正弦”函数的单调性及最小正周期，说明理由，并求其值域. 【答案】(1) (2)偶函数，理由见解析 (3)在是严格减函数，在上严格增函数；最小正周期为；理由见解析.值域为. 【分析】（1）根据函数定义域的求法，求得的定义域. （2）根据函数奇偶性的定义，求得的奇偶性. （3）结合题目所给的解题思路，求得的单调区间、最小正周期、值域. 【详解】（1）的定义域为. （2）对于函数， ，所以是偶函数. （3）， 在区间上递减，在区间上递增，所以在上递减. 在区间上递增，在区间上递增，所以在上递增. 所以的最小正周期为， 在上是严格减函数，在上是严格增函数. 结合的单调性可知，的值域为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $