高中数学单元测试——第4章幂函数、指数函数和对数函数（较易版02）

**基本信息** 高中数学第4章幂函数、指数函数和对数函数单元复习卷（较易版），通过基础巩固与能力提升的梯度设计，落实数学眼光、思维与语言素养，适配单元知识查漏与核心概念强化。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|幂函数定义（题3）、指数对数运算（题1）、函数图像（题5）|基础题为主，强化概念辨析与运算能力| |多选题|3/18|函数奇偶性（题10）、单调性（题11）|多角度考查性质理解，培养推理意识| |填空题|3/15|反函数（题12）、函数单调性参数（题13）|聚焦易错点，提升数学表达精准度| |解答题|5/77|对数运算（题15）、实际应用（题18废气过滤）、函数综合（题19）|梯度分布，结合真实情境落实模型意识，适配单元核心素养评价|

高中数学单元测试 —— 第4章 幂函数、指数函数和对数函数（较易版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）若，，则的值是（    ） A．0.9 B．1.08 C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据题意结合指数幂运算求解. 【详解】因为，，所以. 故选：B. 2．（本题5分）若有意义，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定的式子有意义，列式求解即得. 【详解】由有意义，得，解得， 所以a的取值范围是. 故选：B 3．（本题5分）已知幂函数的图象经过点，则（    ） A． B．9 C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数定义代入点坐标可得，可求得结果. 【详解】设幂函数，代入点可得， 解得，所以； 因此. 故选：D 4．（本题5分）若，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由指数和对数的单调性可得. 【详解】，，， 所以. 故选：C. 5．（本题5分）函数与函数且的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分0＜a＜1和a＞1两种情况，结合指数和对数函数的图像性质即可进行判断﹒ 【详解】函数f(x)单调递增，且过定点(0，1＋a)， 当0＜a＜1时，1＜1＋a＜2，即f(x)与y轴交点纵坐标介于1和2之间，此时过定点(1，0)且在(0，＋∞)单调递减，没有符合的选项； 当a＞1时，1＋a＞2，即f(x)与y轴交点纵坐标大于2，此时g(x)过定点(1，0)且在(0，＋∞)单调递增，符合的选项为B. 故选：B. 6．（本题5分）设函数，则（    ） A．是奇函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减 C．是偶函数，且在单调递增 D．是偶函数，且在单调递减 【答案】C 【分析】先利用奇偶函数的定义，判断出的奇偶性，再由指数函数的性质，即可求解. 【详解】易知的定义域为，又，所以是偶函数， 当时，，易知在区间单调递增， 故选：C. 7．（本题5分）已知函数，若的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数性质分析可知的值域为，结合题意可得，结合对数函数性质列式求解即可. 【详解】设的值域分别为， 当时，则，可得； 因为的值域为，可知， 则，且，可得，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D. 8．（本题5分）若函数的零点所在区间为，则a 的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】确定函数的单调性，再利用零点存在性定理列出不等式求解. 【详解】函数的定义域为， 函数在上都单调递减， 因此函数在上单调递减，由函数的零点所在区间为， 得，则，解得， 所以a 的取值范围为. 故选：A 二、多选题 9．（本题6分）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】对A，利用不等式性质判断；对 B，利用幂函数单调性判断；对C，利用对数函数单调性判断；对D，利用对数函数单调性判断. 【详解】对于A，因为，所以，故A错误； 对于B，因为，函数在上单调递增，又，所以，故B正确； 对于C，因为在上单调递减，又，所以，故C正确； 对于D，因为在上单调递减，又，所以，故D错误. 故选：BC. 10．（本题6分）已知函数，则（    ） A．函数的图象关于原点对称 B．函数的图象关于轴对称 C．函数的值域为 D．函数是减函数 【答案】AC 【分析】求函数的奇偶性可判断AB；分离参数可得，根据指数函数的值域可判断C；根据单调性的定义可判断D. 【详解】的定义域为，，则， 所以为奇函数，的图象关于原点对称,A正确，B错误； ，因为,所以,， 所以,故的值域为,C正确； 设,则 , 因为，所以， 所以,即， 所以函数是增函数，故D错误， 故选:AC. 11．（本题6分）已知函数，若，且，则（    ） A． B． C．的取值范围是 D．的取值范围是 【答案】BCD 【分析】利用方程的根与函数图象的关系，结合对数函数性质，二次函数的值域，即可作出判断. 【详解】作出函数的图象，如图所示，    设，因为， 所以由图可知，当时，直线与函数的图象有4个交点， 又设这4个交点横坐标分别为，且， 由关于直线对称，得，故A错误； 由，可得，故B正确； 由图可知，则，故C正确； 由图可知，即，得， 则，故D正确. 故选：BCD 三、填空题 12．（本题5分）若函数与的图象关于直线对称，则为______. 【答案】3 【分析】利用反函数的概念计算即可. 【详解】易知函数与的图象关于直线对称， 即上一点，则有在上， 设，则，解得. 故答案为：3 13．（本题5分）函数，在上是减函数，则实数的取值范围是 __． 【答案】 【分析】利用分段函数的单调性，结合指数函数、二次函数单调性列出不等式求解即可. 【详解】由函数在上是减函数， 得，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 14．（本题5分）已知函数若，且，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】作出函数图象，观察得出的关系及范围，然后把化为一个变量的函数，再求得范围． 【详解】作出的图象，如图所示．由，得，， 则，，则，， 令，，则， 当时，函数的取值范围是． 故答案为：．    四、解答题 15．（本题13分）（1）已知，，试用a，b表示； （2）求值：． 【答案】（1） ；（2）1 . 【分析】（1）根据对数运算法则进行计算； （2）非零数的零次幂等于1，结合对数运算法则求出结果. 【详解】（1）因为， 而，，所以． （2） ． 16．（本题15分）已知函数. (1)判断的奇偶性，并证明； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)为奇函数，证明见解析 (2) 【分析】（1）首先求出函数的定义域，再计算，即可证明； （2）首先判断函数的单调性，根据单调性与奇偶性转化为自变量的不等式，解得即可. 【详解】（1）为奇函数，证明如下： 由题意可得，解得， 所以函数的定义域为. 又， 所以函数是定义在上的奇函数. （2）因为， 又在上单调递增，在定义域上单调递增， 所以在上单调递增， 又， 不等式，即，即，即， 解得， 所以的取值范围为. 17．（本题15分）已知函数（，且）． (1)若函数的图象过和两点，求的解析式； (2)若函数在区间上的最大值比最小值大，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）待定系数法求解函数解析式； （2）分与两种情况，结合函数单调性得到最值，列出方程，求出答案. 【详解】（1），，又， 解得，， 所以. （2）当时，在区间上单调递减， 此时，， 所以，解得：或0（舍去）； 当时，在区间上单调递增， 此时，，， 所以，解得：或0（舍去）. 综上：或 18．（本题17分）某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为：，其中是正的常数.若在前消除了的污染物，则： (1)后还剩百分之几的污染物？ (2)污染物减少需要花多少时间？（精确到，参考数据：） 【答案】(1)后还剩的污染物 (2) 【分析】(1)先根据已知条件得出的值，从而可得的值，进而得出答案. (2)令，再根据指数化成对数，利用对数的运算即可得出结果. 【详解】（1）由可知，当时，；当时，， 于是有，得，当时，， 所以后还剩的污染物. （2）当时，则，即， 可得①，由，可得②，①/②，得 ，则， 所以污染物减少大约需要花 19．（本题17分）已知函数满足. (1)求的解析式； (2)若关于的方程的两根为，，且，求的值； (3)若，，求的取值范围. 【答案】(1) (2)或. (3). 【分析】（1）构造方程，解方程组即可求出函数解析式； （2）由一元二次方程根与系数的关系求解即可； （3）由不等式恒成立转化为判别式不大于0求解即可. 【详解】（1）由，① 得，② ②①，得， 所以. （2）由（1）得，由，得， 则，得或， ，. 由， 化简得，解得或. （3）由，得， 因为，，所以， 解得，所以的取值范围为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第4章 幂函数、指数函数和对数函数（较易版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）若，，则的值是（    ） A．0.9 B．1.08 C．2 D．4 2．（本题5分）若有意义，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．（本题5分）已知幂函数的图象经过点，则（    ） A． B．9 C． D． 4．（本题5分）若，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 5．（本题5分）函数与函数且的图象大致是（    ） A． B． C． D． 6．（本题5分）设函数，则（    ） A．是奇函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减 C．是偶函数，且在单调递增 D．是偶函数，且在单调递减 7．（本题5分）已知函数，若的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（本题5分）若函数的零点所在区间为，则a 的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）已知，则（    ） A． B． C． D． 10．（本题6分）已知函数，则（    ） A．函数的图象关于原点对称 B．函数的图象关于轴对称 C．函数的值域为 D．函数是减函数 11．（本题6分）已知函数，若，且，则（    ） A． B． C．的取值范围是 D．的取值范围是 三、填空题 12．（本题5分）若函数与的图象关于直线对称，则为______. 13．（本题5分）函数，在上是减函数，则实数的取值范围是 __． 14．（本题5分）已知函数若，且，则的取值范围是__________． 四、解答题 15．（本题13分）（1）已知，，试用a，b表示； （2）求值：． 16．（本题15分）已知函数. (1)判断的奇偶性，并证明； (2)若，求的取值范围. 17．（本题15分）已知函数（，且）． (1)若函数的图象过和两点，求的解析式； (2)若函数在区间上的最大值比最小值大，求的值． 18．（本题17分）某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为：，其中是正的常数.若在前消除了的污染物，则： (1)后还剩百分之几的污染物？ (2)污染物减少需要花多少时间？（精确到，参考数据：） 19．（本题17分）已知函数满足. (1)求的解析式； (2)若关于的方程的两根为，，且，求的值； (3)若，，求的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $