第四章 幂函数、指数函数和对数函数（单元分层自测·基础通关卷）高一数学湘教版必修第一册

2026-2027学年必修第一册数学单元自测 第四章 幂函数、指数函数和对数函数·基础通关（参考答案） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 D C C B C C D D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9 10 11 ACD AC ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分） 【答案】(1) (2)3.1 【详解】（1）原式 ..........6分 （2）原式 ..........13分 16．（15分） 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）因为是幂函数，且在上单调递增，..........1分 则且，由解得，..........2分 又，所以或3...........3分 又是偶函数，则是偶数，..........4分 将或3分别代入，可得或6，..........5分 故或；..........7分 （2）由（1），偶函数在上单调递增，..........8分 则由可得，故有，..........12分 两边取平方，整理得，解得或，..........14分 所以原不等式的解集是...........15分 17．（15分） 【答案】(1)略(2) 【详解】（1）由，得，所以定义域为，..........1分 对，且，所以是奇函数...........2分 在定义域内单调递增，理由如下： 因为在单调递增，是增函数，..........3分 所以在单调递增；..........4分 因为在单调递减，是减函数，..........5分 所以在单调递增；.........6分 所以在单调递增...........7分 （2）因为是奇函数，所以由..........8分 得，..........9分 又是定义在的增函数，..........10分 所以，解得，..........14分 所以的取值范围是...........15分 18．（17分） 【答案】(1)为奇函数 (2)略 (3) 【详解】（1）由题意可知：函数的定义域为，..........1分 对，都有，则，..........4分 所以为奇函数..........5分 （2）函数在定义域内单调递减，证明如下： 因为，..........6分 令，则 ，..........8分 因为，则，可得，，，..........9分 可得，即，..........10分 所以在定义域上单调递减...........11分 （3）因为，且为奇函数，..........12分 则，..........13分 又因为在定义域上单调递减，则，..........15分 即，解得，..........16分 所以实数m的取值范围为...........17分 19．（17分） 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）因为且，则的定义域为，又为奇函数，..........1分 则，解得，..........2分 所以，..........3分 则，所以满足题意，..........4分 又，所以，则，所以函数的值域为...........5分 （2）由（1）知，由，得到，..........7分 整理得到，解得，..........9分 所以不等式的解集为...........10分 （3）因为，令，即，..........11分 整理得到，..........12分 又函数在区间上有两个不同的零点，所以时，方程有两个不等根，..........13分 令，得到，又在区间上单调递增，所以，..........14分 则在上有两个不等根， 令，则，..........15分 解得，..........16分 所以实数的取值范围为...........17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年必修第一册数学单元自测 第四章 幂函数、指数函数和对数函数·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知函数则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先算出，再代入函数即可. 【详解】因为，所以. 2．函数的零点个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．无数 【答案】C 【详解】函数的零点个数是方程的解的个数， 由，解得． 所以函数的零点有2个． 3．（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据对数的运算即可求解. 【详解】． 4．若函数的零点所在区间为，，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】因为函数与函数均为增函数, 所以函数为增函数, 因为,, 所以函数的零点所在区间为, 所以. 5．若，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由指数函数与对数函数的增减性判断出与和的大小关系即可求解. 【详解】，即， ，即， ，即， 综上，. 6．若是奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据奇函数的定义域关于原点对称列不等式，由此求得. 【详解】因为是奇函数，所以它的定义域关于原点对称， 所以不等式的解集关于原点对称， 所以不等式的解集关于原点对称， 所以方程的根互为相反数， 所以，此时定义域为，函数是奇函数. 7．函数（且）在区间上是减函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，，得，故的取值范围是. 8．冷链物流是指冷藏冷冻类物品在生产、贮藏、运输、销售到消费前的各个环节中始终处于规定的低温环境下，以保证物品质量、减少损耗的系统工程．主要包括初级农产品（如蔬菜、水果、肉禽蛋等）、加工食品（如速冻食品、冰淇淋等）和特殊商品（如药品等）．已知某蔬菜的保鲜时间（单位：小时）与贮藏温度（单位：）之间满足：（其中，为常数）．若该蔬菜在贮藏温度为的环境下保鲜时间为261小时，在的环境下保鲜时间为29小时，且该蔬菜所需物流时间为87小时，则该蔬菜在物流过程中的贮藏温度最高不能超过（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用已知条件求出指数函数的参数，再通过不等式求解温度范围. 【详解】已知保鲜时间与贮藏温度的关系为（为常数）. 当时，，代入得：① 当时，，代入得：② 将①②化简可得：，即，解得：， 代入①式求得：， 由题意，即：，即， 则，将代入：， 化简可得： ，当指数大于等于零时不等式成立，即 ，解得：. 所以该蔬菜在物流过程中的贮藏温度不能超过. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列以为自变量的函数中不是指数函数的有（    ） A． B． C． D．且 【答案】ACD 【详解】由指数函数的定义：形如且的函数，其中指数为自变量，定义域是.根据定义逐一判断： 选项A：底数为，不满足指数函数底数大于的要求，不是指数函数，故A符合； 选项B：底数（满足且），符合指数函数定义，是指数函数，故B不符合； 选项C：函数可写为，指数部分的系数为，不符合“系数为”的要求，不是指数函数，故C符合； 选项D：解析式中指数不是自变量，这是一个值为常数的常函数，不是指数函数，故D符合. 10．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用指数幂的运算法则可判断A；利用对数运算法则可判断CD；利用根式运算法则可判断B. 【详解】选项 A：根据指数幂的运算法则： ，故A正确； 选项 B：因为 ， 所以，故B不正确； 选项 C： 根据对数加法法则： ，故C正确； 选项 D： 根据对数换底公式： ，故D不正确. 故选：AC 11．已知定义在上的函数满足，，且当时，．若函数在上至少有三个不同的零点，则下列结论正确的是（    ） A．函数的图象关于直线对称 B．当时， C．当时，单调递减 D．实数的取值范围是 【答案】ABD 【分析】先根据题意得函数是偶函数，且是周期为2的周期函数，进而利用数形结合思想讨论各选项即可得答案． 【详解】根据题意得：由知是偶函数， 由知是周期为2的周期函数， 因为当时，，所以函数图象如图所示， 对于A：由图可知图象关于对称，所以A正确； 对于B：当时，，所以，所以B正确； 对于C：当时，由图象可知单调递增，所以C错误； 对于D：设， 则函数在上至少有三个不同的零点， 等价于函数与图象在上至少有三个不同的交点， 若，则函数与图象在上无交点，所以，如图所示， 结合图象可知，有， 即，解得，所以D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．函数（且）的图象必经过点________． 【答案】 【详解】由函数，令，解得，此时， 所以函数且的图象必经过点． 13．若，则的取值范围是________． 【答案】 【详解】因为函数在上单调递减， 由得， ，解得. 所以的取值范围是. 14．已知函数．若存在实数，使得关于的方程有三个不同的根，则实数的取值范围是______． 【答案】. 【分析】方程有三个不同的根等价于直线与函数图象有个不同的交点，比较分段点处左右函数值大小，结合图象单调性得到参数范围. 【详解】如下图所示，当时，若要满足题意，需要，解得； 当时，， 此时函数在上单调递增，在上单调递减， 故不存在，使得关于的方程有三个不同的根； 当时，若要满足题意，需要，解得或（舍去）. 综上所述，实数的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）化简求值： (1)； (2). 【答案】(1) (2)3.1 【详解】（1）原式 （2）原式 16.（15分）已知幂函数是偶函数，且在上单调递增. (1)求函数的解析式； (2)解不等式 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）因为是幂函数，且在上单调递增， 则且，由解得， 又，所以或3. 又是偶函数，则是偶数， 将或3分别代入，可得或6， 故或； （2）由（1），偶函数在上单调递增， 则由可得，故有， 两边取平方，整理得，解得或， 所以原不等式的解集是. 17．（15分）已知函数． (1)证明函数的奇偶性，并指出函数的单调性（不需证明）； (2)若，求取值范围． 【答案】(1)略(2) 【详解】（1）由，得，所以定义域为，对，且，所以是奇函数. 在定义域内单调递增，理由如下： 因为在单调递增，是增函数， 所以在单调递增； 因为在单调递减，是减函数， 所以在单调递增； 所以在单调递增. （2）因为是奇函数，所以由得， 又是定义在的增函数， 所以，解得， 所以的取值范围是. 18．（17分）已知函数． (1)判断的奇偶性； (2)判断函数的单调性，利用函数单调性的定义进行证明； (3)若不等式成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)为奇函数 (2)略 (3) 【详解】（1）由题意可知：函数的定义域为， 对，都有，则， 所以为奇函数. （2）函数在定义域内单调递减，证明如下： 因为， 令，则 ， 因为，则，可得，，， 可得，即， 所以在定义域上单调递减. （3）因为，且为奇函数， 则， 又因为在定义域上单调递减，则， 即，解得， 所以实数m的取值范围为. 19．（17分）已知函数且为奇函数. (1)求实数的值及函数的值域； (2)解不等式； (3)求函数在区间上有两个不同的零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）因为且，则的定义域为，又为奇函数， 则，解得，所以， 则，所以满足题意， 又，所以，则，所以函数的值域为. （2）由（1）知，由，得到， 整理得到，解得，所以不等式的解集为. （3）因为，令，即，整理得到， 又函数在区间上有两个不同的零点，所以时，方程有两个不等根， 令，得到，又在区间上单调递增，所以， 则在上有两个不等根， 令，则，解得， 所以实数的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年必修第一册数学单元自测 第四章 幂函数、指数函数和对数函数·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知函数则（    ） A． B． C． D． 2．函数的零点个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．无数 3．（   ） A．1 B． C．2 D． 4．若函数的零点所在区间为，，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．若，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 6．若是奇函数，则（    ） A． B． C． D． 7．函数（且）在区间上是减函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 8．冷链物流是指冷藏冷冻类物品在生产、贮藏、运输、销售到消费前的各个环节中始终处于规定的低温环境下，以保证物品质量、减少损耗的系统工程．主要包括初级农产品（如蔬菜、水果、肉禽蛋等）、加工食品（如速冻食品、冰淇淋等）和特殊商品（如药品等）．已知某蔬菜的保鲜时间（单位：小时）与贮藏温度（单位：）之间满足：（其中，为常数）．若该蔬菜在贮藏温度为的环境下保鲜时间为261小时，在的环境下保鲜时间为29小时，且该蔬菜所需物流时间为87小时，则该蔬菜在物流过程中的贮藏温度最高不能超过（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列以为自变量的函数中不是指数函数的有（    ） A． B． C． D．且 10．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 11．已知定义在上的函数满足，，且当时，．若函数在上至少有三个不同的零点，则下列结论正确的是（    ） A．函数的图象关于直线对称 B．当时， C．当时，单调递减 D．实数的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．函数（且）的图象必经过点________． 13．若，则的取值范围是________． 14．已知函数．若存在实数，使得关于的方程有三个不同的根，则实数的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）化简求值： (1)； (2). 16．（15分）已知幂函数是偶函数，且在上单调递增. (1)求函数的解析式； (2)解不等式 17.（15分）已知函数． (1)证明函数的奇偶性，并指出函数的单调性（不需证明）； (2)若，求取值范围． 18．（17分）已知函数． (1)判断的奇偶性； (2)判断函数的单调性，利用函数单调性的定义进行证明； (3)若不等式成立，求实数m的取值范围． 19.（17分）已知函数且为奇函数. (1)求实数的值及函数的值域； (2)解不等式； (3)求函数在区间上有两个不同的零点，求实数的取值范围. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年必修第一册数学单元自测 第四章 幂函数、指数函数和对数函数·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知函数则（    ） A． B． C． D． 2．函数的零点个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．无数 3．（   ） A．1 B． C．2 D． 4．若函数的零点所在区间为，，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．若，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 6．若是奇函数，则（    ） A． B． C． D． 7．函数（且）在区间上是减函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 8．冷链物流是指冷藏冷冻类物品在生产、贮藏、运输、销售到消费前的各个环节中始终处于规定的低温环境下，以保证物品质量、减少损耗的系统工程．主要包括初级农产品（如蔬菜、水果、肉禽蛋等）、加工食品（如速冻食品、冰淇淋等）和特殊商品（如药品等）．已知某蔬菜的保鲜时间（单位：小时）与贮藏温度（单位：）之间满足：（其中，为常数）．若该蔬菜在贮藏温度为的环境下保鲜时间为261小时，在的环境下保鲜时间为29小时，且该蔬菜所需物流时间为87小时，则该蔬菜在物流过程中的贮藏温度最高不能超过（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列以为自变量的函数中不是指数函数的有（    ） A． B． C． D．且 10．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 11．已知定义在上的函数满足，，且当时，．若函数在上至少有三个不同的零点，则下列结论正确的是（    ） A．函数的图象关于直线对称 B．当时， C．当时，单调递减 D．实数的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．函数（且）的图象必经过点________． 13．若，则的取值范围是________． 14．已知函数．若存在实数，使得关于的方程有三个不同的根，则实数的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）化简求值： (1)； (2). 16．（15分）已知幂函数是偶函数，且在上单调递增. (1)求函数的解析式； (2)解不等式 17.（15分）已知函数． (1)证明函数的奇偶性，并指出函数的单调性（不需证明）； (2)若，求取值范围． 18．（17分）已知函数． (1)判断的奇偶性； (2)判断函数的单调性，利用函数单调性的定义进行证明； (3)若不等式成立，求实数m的取值范围． 19.（17分）已知函数且为奇函数. (1)求实数的值及函数的值域； (2)解不等式； (3)求函数在区间上有两个不同的零点，求实数的取值范围. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $