第三章 函数的概念与性质全章综合测试卷（基础篇）-2025-2026学年高一数学秋季讲义（人教A版必修第一册）

第三章 函数的概念与性质全章综合测试卷（基础篇） 【人教A版】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高一上·重庆九龙坡·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C．或 D．或 2．（5分）（24-25高一下·四川南充·阶段练习）已知幂函数在上是增函数，则（    ） A．或3 B． C．3 D．1 3．（5分）（25-26高一上·浙江舟山·阶段练习）已知函数满足，则（   ） A． B． C． D． 4．（5分）（25-26高一上·江西·阶段练习）你见过古人眼中的烟花吗？那是朱淑真元宵夜的“火树银花触目红”，是隋炀帝眼中的“灯树千光照，花焰七枝开”.烟花，虽然是没有根的花，是虚幻的花，却在达到最高点时爆裂，用其灿烂的一秒换来人们真心的喝彩.已知某种烟花距地面的高度（单位：米）与时间（单位：秒）之间的关系式为，则烟花在冲击后爆裂的时刻是（    ） A．第4秒 B．第5秒 C．第3.5秒 D．第3秒 5．（5分）（24-25高一上·四川广安·阶段练习）函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   6．（5分）（25-26高一上·浙江温州·阶段练习）函数在区间上的最大值､最小值分别为（    ） A．最大值为，最小值为 B．最大值为，最小值为 C．最大值为1，最小值为 D．最大值为，最小值为 7．（5分）（24-25高三上·福建漳州·阶段练习）已知函数是上的减函数，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．（5分）（24-25高一上·安徽阜阳·期中）已知偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高一上·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．所有幂函数的图象均过点 B．若幂函数在区间上单调递减，则 C．幂函数一定具有奇偶性 D．任何幂函数的图象都不经过第四象限 10．（6分）（25-26高一上·黑龙江牡丹江·阶段练习）下列各组函数表示同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 11．（6分）（25-26高三上·重庆·阶段练习）已知函数 为定义在 上的奇函数，对 ，都有 ，且 在区间上单调递增，则下列说法正确的是（   ） A． B．的一个周期为 4 C． D． 在区间上单调递增 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（25-26高一上·全国·单元测试）若函数是幂函数，且，则 ． 13．（5分）（25-26高一上·山东泰安·阶段练习）若函数的定义域为，则的定义域为 ． 14．（5分）（25-26高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）随着市场需求和消费习惯的转变，摆摊创业正吸引着越来越多创业者．小李打算批发某种水果摆摊售卖，设他进货总费用（百元）与进货量（单位：百斤）之间的关系为（为常数），若满足“随着进货量的增大，水果每斤的平均价格逐渐减小”，则的取值范围为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高一上·全国·周测）（1）已知函数的定义域为，求的定义域； （2）已知函数的定义域为，求的定义域. 16．（15分）（25-26高一上·山东泰安·阶段练习）求下列函数的解析式． (1)已知，求； (2)已知为二次函数，且，求． 17．（15分）（24-25高一上·陕西西安·期末）已知幂函数在区间上单调递增． (1)求的解析式； (2)若，求实数的取值范围． 18．（17分）（25-26高一上·吉林·阶段练习）为贯彻绿水青山就是金山银山的发展理念，现规划一块沙漠中如图所示的矩形区域用于绿洲灌溉.要求绿洲部分为面积为的矩形.考虑到灌溉设备的布局，绿洲部分的两长边处需额外留出宽的设备通道，两短边处需额外留出宽10m的设备通道.设绿洲部分的宽与长之比为（）.    (1)求使得规划区域面积最小的绿洲部分的值； (2)若一共需要铺设长的设备通道，求此时绿洲部分的长.（不考虑设备通道宽度）. 19．（17分）（25-26高一上·广东佛山·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求，的值： (2)试判断函数的单调性，并证明你的结论； (3)求使成立的实数的取值范围. 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数的概念与性质全章综合测试卷（基础篇） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高一上·重庆九龙坡·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【解题思路】根据题意得到不等式组，解出即可. 【解答过程】由题意得，解得或， 则其定义域为或. 故选：D. 2．（5分）（24-25高一下·四川南充·阶段练习）已知幂函数在上是增函数，则（    ） A．或3 B． C．3 D．1 【答案】C 【解题思路】根据是幂函数，解得或，分别代入检验是否在上是增函数，从而得到答案. 【解答过程】因为是幂函数，所以，解得或， 当时，在上是增函数，符合题意， 当时，在上是减函数，不符合题意，舍去， 所以， 故选：C. 3．（5分）（25-26高一上·浙江舟山·阶段练习）已知函数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用配凑法，用解析式中的换成，可求的解析式. 【解答过程】因为函数满足， 所以. 故选：D. 4．（5分）（25-26高一上·江西·阶段练习）你见过古人眼中的烟花吗？那是朱淑真元宵夜的“火树银花触目红”，是隋炀帝眼中的“灯树千光照，花焰七枝开”.烟花，虽然是没有根的花，是虚幻的花，却在达到最高点时爆裂，用其灿烂的一秒换来人们真心的喝彩.已知某种烟花距地面的高度（单位：米）与时间（单位：秒）之间的关系式为，则烟花在冲击后爆裂的时刻是（    ） A．第4秒 B．第5秒 C．第3.5秒 D．第3秒 【答案】A 【解题思路】利用配方法，求二次函数最大值及相应值即可. 【解答过程】由题意，， 则当时，即烟花达到最高点，爆裂的时刻是第秒. 故选：A. 5．（5分）（24-25高一上·四川广安·阶段练习）函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【解题思路】首先判断函数的奇偶性，根据奇偶性排除B，再根据即可排成CD，从而得到答案． 【解答过程】∵的定义域为，关于原点对称， 且， ∴为奇函数，其图象关于原点对称，故排除选项B； 又，故排除选项D； 又，故排除选项C； 故选：A． 6．（5分）（25-26高一上·浙江温州·阶段练习）函数在区间上的最大值､最小值分别为（    ） A．最大值为，最小值为 B．最大值为，最小值为 C．最大值为1，最小值为 D．最大值为，最小值为 【答案】B 【解题思路】将函数解析式变形为，可得其在上的单调性，利用单调性求出最值. 【解答过程】因为， 由反比例函数性质可得在上单调递增， 当时，，当时，. 故选：B. 7．（5分）（24-25高三上·福建漳州·阶段练习）已知函数是上的减函数，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据分段函数在上的单调性可得出关于实数的不等式组，进而可求得实数的取值范围. 【解答过程】由于函数是定义在上的减函数， 所以，函数在区间上为减函数，函数在区间上为减函数，且有， 即，解得. 因此，实数的取值范围是. 故选：A. 8．（5分）（24-25高一上·安徽阜阳·期中）已知偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题中条件，分别讨论，两种情况，结合函数单调性与奇偶性，即可求出结果. 【解答过程】若，则等价于，因是偶函数，故， 又在上单调递减，则由可得； 若，则等价于，由题意，在上单调递增，则由可得； 综上，的解集为. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高一上·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．所有幂函数的图象均过点 B．若幂函数在区间上单调递减，则 C．幂函数一定具有奇偶性 D．任何幂函数的图象都不经过第四象限 【答案】BD 【解题思路】根据幂函数的概念和性质逐项判断即可. 【解答过程】幂函数的图象不过点，A说法错误； 当幂函数在区间上单调递减时，，B说法正确； 对于幂函数，无奇偶性，C说法错误； 任何幂函数的图象都不经过第四象限，D说法正确； 故选：BD. 10．（6分）（25-26高一上·黑龙江牡丹江·阶段练习）下列各组函数表示同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】BD 【解题思路】分别分析每个选项中函数的定义域和对应关系式是否相同即可. 【解答过程】对于A，函数的定义域为，而的定义域为，故A错误； 对于B，函数的定义域为，而的定义域为， 且，故B正确； 对于C，函数的定义域为，而的定义域为，故C错误； 对于D，函数的定义域为，而的定义域为， 且，故D正确. 故选：BD. 11．（6分）（25-26高三上·重庆·阶段练习）已知函数 为定义在 上的奇函数，对 ，都有 ，且 在区间上单调递增，则下列说法正确的是（   ） A． B．的一个周期为 4 C． D． 在区间上单调递增 【答案】ABC 【解题思路】根据奇函数的性质，结合已知等式求出函数的周期，再根据已知等式求出函数的一条对称轴，然后逐一判断即可. 【解答过程】A：因为函数 为定义在 上的奇函数， 所以，在中，令，则有，因此本选项说法正确； B：因为函数 为定义在 上的奇函数， 所以有，而，所以有， 即有，则有， 所以函数的周期为，因此本选项说法正确； C：因为奇函数的周期为， 所以， 因此本选项说法正确； D：当时，，， 由，所以该函数的一条对称轴为， 又因为 在区间上单调递增， 所以 在区间上单调递减， 在区间上单调递减，因此本选项说法不正确， 故选：ABC. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（25-26高一上·全国·单元测试）若函数是幂函数，且，则 ． 【答案】64 【解题思路】由题意求得，代入即可得解. 【解答过程】设，由，得，解得， 所以，所以． 故答案为：64. 13．（5分）（25-26高一上·山东泰安·阶段练习）若函数的定义域为，则的定义域为 ． 【答案】 【解题思路】根据抽象函数定义域的求法及分式的分母不为，偶次方根的被开方数大于等于求解. 【解答过程】因为函数的定义域为， 所以要使函数有意义， 则，即，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 14．（5分）（25-26高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）随着市场需求和消费习惯的转变，摆摊创业正吸引着越来越多创业者．小李打算批发某种水果摆摊售卖，设他进货总费用（百元）与进货量（单位：百斤）之间的关系为（为常数），若满足“随着进货量的增大，水果每斤的平均价格逐渐减小”，则的取值范围为 ． 【答案】 【解题思路】由题意可得水果每斤的平均价格为，根据题意可得函数在上单调递减，进而结合分段函数的单调性求解即可. 【解答过程】由题意，水果每斤的平均价格为， 因为随着进货量的增大，水果每斤的平均价格逐渐减小， 所以函数在上单调递减， 所以，解得， 则的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高一上·全国·周测）（1）已知函数的定义域为，求的定义域； （2）已知函数的定义域为，求的定义域. 【答案】（1）{，或}；（2） 【解题思路】（1）根据的定义域列不等式求解x，即为的定义域； （2）由的定义域可得，求出的范围即为的定义域. 【解答过程】（1）的定义域为， 要使有意义，须使，即或， 函数的定义域为{，或}. （2）的定义域为，即其中的函数自变量的取值范围是， 令，，的定义域为， 函数的定义域为. 16．（15分）（25-26高一上·山东泰安·阶段练习）求下列函数的解析式． (1)已知，求； (2)已知为二次函数，且，求． 【答案】(1) (2)． 【解题思路】（1）令，求出后代入即可得； （2）设，代入已知等式，由恒等式知识求解． 【解答过程】（1）令，则， 于是有，所以； （2）设， 所以，解得，所以． 17．（15分）（24-25高一上·陕西西安·期末）已知幂函数在区间上单调递增． (1)求的解析式； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据幂函数的定义和性质来求得的值，从而求得的解析式. （2）根据函数的单调性化简不等式，从而求得的取值范围. 【解答过程】（1）是幂函数， ，解得或， 又幂函数在区间上单调递增， ，即． （2））易知在上单调递增， 又， ，即， 解得， 实数的取值范围为． 18．（17分）（25-26高一上·吉林·阶段练习）为贯彻绿水青山就是金山银山的发展理念，现规划一块沙漠中如图所示的矩形区域用于绿洲灌溉.要求绿洲部分为面积为的矩形.考虑到灌溉设备的布局，绿洲部分的两长边处需额外留出宽的设备通道，两短边处需额外留出宽10m的设备通道.设绿洲部分的宽与长之比为（）.    (1)求使得规划区域面积最小的绿洲部分的值； (2)若一共需要铺设长的设备通道，求此时绿洲部分的长.（不考虑设备通道宽度）. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由题意，表示出绿洲的长宽，得到规划区域面积，利用基本不等式求最值得解； （2）由题意铺设管道长度等于绿洲部分的周长，据此列出方程求解即可. 【解答过程】（1）设矩形绿洲的长为，则宽为， 由绿洲区域面积为，可知，故， 因为存在设备通道，故规划区域的宽为， 长为， 故， 由基本不等式，， 当且仅当，即时等号成立，故此时. （2）因为，所以. 由（1）知铺设管道长度等于绿洲部分的周长， 故总共需要铺设的管道长度为，则， 又因为，整理得一元二次方程，解得. 因为，所以. 19．（17分）（25-26高一上·广东佛山·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求，的值： (2)试判断函数的单调性，并证明你的结论； (3)求使成立的实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)在上单调递增，证明见解析； (3). 【解题思路】（1）由奇函数性质利用以及可得结果； （2）利用函数单调性定义按步骤即可证得在上单调递增； （3）由函数奇偶性及其单调性解不等式即可得a的取值范围为. 【解答过程】（1）由题意可知，故， 又由可得，解得； 所以， 此时定义域关于原点对称，且， 故是定义在上的奇函数，满足题意， 所以. （2）在上单调递增，证明如下： 取任意，且， 则； 因为，且， 所以，，即， 所以，即， 因此在上单调递增. （3）由（1）（2）知，是在上单调递增的奇函数， 所以由，得， 因此需满足，解得，即， 故实数a的取值范围为. 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $