第三章 函数的概念与性质（单元分层自测·能力提升卷）高一数学湘教版必修第一册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年必修第一册数学单元自测 第三章 函数的概念与性质·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 2．已知是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 3．已知函数在区间上单调递减，且是偶函数，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 4．已知为定义在上的奇函数，若在上单调递减，则满足不等式的实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．满足式子的图象形状大致是（     ） A．B．C．D． 6．定义在上的函数满足．当时，，当时，．则（    ） A． B． C． D． 7．已知函数是定义在上的函数，且函数的图象关于点对称，对于任意的，总有成立，当时，．函数，对任意，存在，使得成立，则满足条件的实数构成的集合为（     ） A． B． C． D． 8．函数在上有定义，若对任意，，有，则称在上具有性质．设在上具有性质，现给出如下命题： ①在上是增函数； ②在上具有性质； ③若在处取得最大值1，则，； ④对任意，，，，有． 其中真命题的序号是（     ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知函数用列表法表示如下，则下列说法正确的是（   ） 1 2 3 3 2 1 A．的定义域与值域相同 B． C．若，则 D．是减函数 10．已知函数是定义在上的偶函数，若，且，则下列满足不等式的t的值可以为（   ） A． B． C．2 D．3 11．定义：若存在常数，对定义域内任意，都有成立，则称是“—阶增长函数”．已知是定义在上的奇函数，当时，，且是“1—阶增长函数”，下列说法正确的有（    ） A．当时， B．若，则是周期函数 C．实数的取值范围是 D．不等式的解集为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知函数且，则的值为______． 13．已知函数在区间是减函数，则实数a的取值范围是________ 14．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知函数 (1)若，求不等式的解集； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围． 16．（15分）已知函数． (1)用定义法证明：函数 在区间上单调递增； (2)若，且存在，使得，求实数的取值范围． 17.（15分）“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明，“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度（单位：千克/年）是养殖密度（单位：尾/立方米）的函数．当时，的值为2千克/年；当时，是的一次函数；当时，因缺氧等原因，的值为0千克/年． (1)当时，求函数关于的函数解析式； (2)当养殖密度为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？求出最大值． 18．（17分）已知满足对任意，都有，且，当时，． (1)计算，判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)判断并证明在上的单调性； (3)求不等式的解集． 19.（17分）对于定义在区间上的函数，定义集合．对任意闭区间，设函数在区间上的最大值为，最小值为，记． (1)若，判断函数是否属于集合，并求的值； (2)若，且，求函数的解析式； (3)若，令．证明：是单调函数的充要条件是：对任意，恒成立． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年必修第一册数学单元自测 第三章 函数的概念与性质·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，求解即可. 【详解】因，则其定义域满足， 从而，解得. 2．已知是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将原不等式转化为，再结合单调性即可得解. 【详解】因为是定义在R上的偶函数，故可转化为， 又因为在上单调递增，故，解得或，即解集为. 3．已知函数在区间上单调递减，且是偶函数，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数是偶函数，所以，则函数的图象关于直线对称， （另解：函数的图象向右平移2个单位长度，得的图象，故函数的图象关于直线对称） 又函数在区间上单调递减， 所以函数在区间上单调递增. 因为，所以， 又，所以， 所以. 4．已知为定义在上的奇函数，若在上单调递减，则满足不等式的实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先用奇偶性把不等式化为，再由单调性脱去函数符号转化为二次不等式，最后与定义域限定的区间取交集. 【详解】由为奇函数且在上单调递减知在上单调递减， 则化为， 由单调性得，即，解得或； 由定义域得且， 即且，故； 两式取交集得或. 5．满足式子的图象形状大致是（     ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】讨论的取值，写出关系式，然后画出图象. 【详解】当时，关系式为，即，所以或， 当时，关系式为，即，所以或， 所以解析式为， 即函数图象如下，故C正确. 6．定义在上的函数满足．当时，，当时，．则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得函数的周期为，再结合函数周期求解一个周期内的函数值，最后利用周期性求解即可. 【详解】因为，所以，即的周期. 因为，所以，利用其计算一个周期内函数值： ，,， ，,, 所以 因为，又. 所以 7．已知函数是定义在上的函数，且函数的图象关于点对称，对于任意的，总有成立，当时，．函数，对任意，存在，使得成立，则满足条件的实数构成的集合为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意求出函数的对称性和周期性，进而求出函数的值域，接着将题设中的恒成立和存在性问题转换成成立和求函数的最值问题即可由二次函数性质求解. 【详解】因为函数的图象关于点对称， 又函数的图象是由函数的图象向右平移一个单位得到的， 所以函数图象关于点对称，且， 对于任意的总有成立，则， 即函数是周期为4的周期函数， 当时，则函数在上的值域为， 则函数在上的值域为， 即函数在上的值域为，且由函数对称性可得， 所以任意存在，使得成立存在，使得， 函数， 则当时，显然存在，使得， 当时，， 则存在，使得，解得. 综上满足条件的实数构成的集合为. 8．函数在上有定义，若对任意，，有，则称在上具有性质．设在上具有性质，现给出如下命题： ①在上是增函数； ②在上具有性质； ③若在处取得最大值1，则，； ④对任意，，，，有． 其中真命题的序号是（     ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【答案】D 【分析】根据题设条件，分别举出反例，说明①和②都是错误的；同时证明③和④是正确的． 【详解】对于①，函数，它在上满足，具有性质，但在上不是增函数，①不正确； 对于②，取，它在上满足，具有性质， 但，取，则 左边， 右边，此时左边，不满足性质的不等式，②不正确； 对于③，， 又在上的最大值为1，即，，故， 从而，所以，③正确； 对于④，， ，④正确． 故命题③④正确，即选项D正确. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知函数用列表法表示如下，则下列说法正确的是（   ） 1 2 3 3 2 1 A．的定义域与值域相同 B． C．若，则 D．是减函数 【答案】AC 【分析】由图表得到函数的映射关系与其定义域和值域，并结合函数单调性的概念即可求解. 【详解】由题意，的定义域为，值域为，故A正确， ，定义域并非实数，故B错误， 若，则，所以，故C正确， 减函数是对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，当时，都有， 这里定义域仅三个值，并非区间，所以在定义域上不具有单调性，故D错误． 10．已知函数是定义在上的偶函数，若，且，则下列满足不等式的t的值可以为（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】BCD 【分析】根据题设条件可得在上的单调性，结合其奇偶性可求不等式的解，从而可得正确的选项. 【详解】令，由题意知在上为减函数． 因为为上的偶函数，为上的奇函数，所以为上的奇函数． 又在上为减函数，，所以为上的减函数． ①当 时，即， 所以，所以，所以，解得； ②当 时，即， 所以，所以，所以，解得． 综上，或． 11．定义：若存在常数，对定义域内任意，都有成立，则称是“—阶增长函数”．已知是定义在上的奇函数，当时，，且是“1—阶增长函数”，下列说法正确的有（    ） A．当时， B．若，则是周期函数 C．实数的取值范围是 D．不等式的解集为 【答案】AC 【分析】对于A，根据奇函数的性质求时的解析式；对于B，当时，，根据周期函数的定义判断；对于C，分段验证，求出的取值范围；对于D，取解不等式. 【详解】已知函数是奇函数，且当时，． 对于A，由奇函数性质可得当时，，故A正确． 对于B，当时，，不是周期函数，故B错误． 对于C，， 验证外侧区间：当时， 恒成立， 当时， 恒成立， 中间区间要求：当时， 若：，不满足； 若：， 要让对所有成立，只需最小值， 即，且对恒成立，即， 解得，因此，，故C正确． 对于D，当，时，， 当时，, 综上所述，， 所以的解集为，故D错误． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知函数且，则的值为______． 【答案】 【详解】函数且， 所以，即, 所以 13．已知函数在区间是减函数，则实数a的取值范围是________ 【答案】 【详解】的对称轴为，开口向上，递减区间为. 所以，所以. 14．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是_________． 【答案】 【详解】作出函数的图象，如图所示. 由图可知函数的单调递增区间为，， 因为函数在区间上单调递增， 所以或，解得或. 所以的取值范围为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知函数 (1)若，求不等式的解集； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）， 即不等式的解集为； （2），恒成立， 令，则函数在上单调递减，在上单调递增， 故，则， 故实数的取值范围为. 16.（15分）已知函数． (1)用定义法证明：函数 在区间上单调递增； (2)若，且存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1)略 (2) 【详解】（1）任取 ，且， 则 由于，，，所以， 因此，即， 故在上单调递增. （2）因为，所以，得， 则． 于是． 令，由题可知． 由（1）易得函数 在上单调递增，故，即， 所以实数的取值范围是． 17．（15分）“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明，“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度（单位：千克/年）是养殖密度（单位：尾/立方米）的函数．当时，的值为2千克/年；当时，是的一次函数；当时，因缺氧等原因，的值为0千克/年． (1)当时，求函数关于的函数解析式； (2)当养殖密度为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？求出最大值． 【答案】(1) (2)当养殖密度为10时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为千克/立方米 【详解】（1）依题意，当时，关于的函数解析式为； 当时，设关于的函数解析式为， 将代入，得，解得， 当时，关于的函数解析式为， 所以函数关于的函数解析式为. （2）设年生长量为， 依题意，， 当时，，随的增大而增大， 因此当时，取得最大值，最大值； 当时，， 当且仅当时取等号，而，即的最大值为， 所以当养殖密度为10时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为千克/立方米. 18．（17分）已知满足对任意，都有，且，当时，． (1)计算，判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)判断并证明在上的单调性； (3)求不等式的解集． 【答案】(1)略 (2)略 (3) 【详解】（1）依题意，函数对任意的，都有， 令，得， 是奇函数，理由如下： 用代替，得，则， 所以是奇函数. （2）在上是单调递减的函数，证明如下： 任取，则，由已知得， 则， ∴，∴在上是单调递减函数． （3）由于，则，所以， 又因为，所以． 因为， 又因为，所以不等式可化为， 由于在上是单调递减， ，即，即， 所以不等式的解集为. 19．（17分）对于定义在区间上的函数，定义集合．对任意闭区间，设函数在区间上的最大值为，最小值为，记． (1)若，判断函数是否属于集合，并求的值； (2)若，且，求函数的解析式； (3)若，令．证明：是单调函数的充要条件是：对任意，恒成立． 【答案】(1)函数属于集合， (2) (3)略 【详解】（1）任取，， 又，所以函数属于集合 易知在上严格单调递减 故最大值，最小值 因此 （2）取，则 又，所以； 取，则 又，所以 综上，所以 （3）必要性：若单调递增，则对任意，，在定义域上单调递增， 所以； 若单调递减，则对任意，，在定义域上单调递增， 所以 必要性得证. 充分性：若不单调，则在存在极值点，导致，与题意矛盾，故是单调函数 充分性得证 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年必修第一册数学单元自测 第三章 函数的概念与性质·能力提升（参考答案） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 A D C A C B C D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9 10 11 AC BCD AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分） 【答案】(1) (2) 【详解】（1），..........5分 即不等式的解集为；..........6分 （2），恒成立，..........8分 令，则函数在上单调递减，在上单调递增，..........10分 故，则，..........12分 故实数的取值范围为...........13分 16．（15分） 【答案】(1)略 (2) 【详解】（1）任取 ，且，..........1分 则 ..........2分 ..........4分 由于，，，所以，..........5分 因此，即，..........6分 故在上单调递增...........7分 （2）因为，所以，得，..........8分 则．..........9分 于是．..........11分 令，由题可知．..........13分 由（1）易得函数 在上单调递增，故，即，..........14分 所以实数的取值范围是．..........15分 17．（15分） 【答案】(1) (2)当养殖密度为10时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为千克/立方米 【详解】（1）依题意，当时，关于的函数解析式为；..........1分 当时，设关于的函数解析式为，..........2分 将代入，得，解得，..........4分 当时，关于的函数解析式为，..........6分 所以函数关于的函数解析式为...........7分 （2）设年生长量为， 依题意，，..........8分 当时，，随的增大而增大，..........9分 因此当时，取得最大值，最大值；..........10分 当时，，..........12分 当且仅当时取等号，而，即的最大值为，..........14分 所以当养殖密度为10时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为千克/立方米...........15分 18．（17分） 【答案】(1)略 (2)略 (3) 【详解】（1）依题意，函数对任意的，都有，..........1分 令，得，..........2分 是奇函数，理由如下： 用代替，得，则，..........4分 所以是奇函数...........5分 （2）在上是单调递减的函数，证明如下： 任取，则，由已知得，..........6分 则，..........9分 ∴，∴在上是单调递减函数．..........10分 （3）由于，则，所以，..........11分 又因为，所以．..........12分 因为，..........13分 又因为，所以不等式可化为，..........14分 由于在上是单调递减，..........15分 ，即，即，..........16分 所以不等式的解集为...........17分 19．（17分） 【答案】(1)函数属于集合， (2) (3)略 【详解】（1）任取，，..........1分 又，所以函数属于集合..........2分 易知在上严格单调递减..........3分 故最大值，最小值..........4 因此..........5分 （2）取，则..........6分 又，所以；..........7分 取，则..........8分 又，所以..........9分 综上，所以..........10分 （3）必要性：若单调递增，则对任意，，在定义域上单调递增， 所以； 若单调递减，则对任意，，在定义域上单调递增， 所以..........14分 必要性得证. 充分性：若不单调，则在存在极值点，导致，与题意矛盾，故是单调函数 充分性得证..........17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年必修第一册数学单元自测 第三章 函数的概念与性质·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 2．已知是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 3．已知函数在区间上单调递减，且是偶函数，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 4．已知为定义在上的奇函数，若在上单调递减，则满足不等式的实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．满足式子的图象形状大致是（     ） A．B．C．D． 6．定义在上的函数满足．当时，，当时，．则（    ） A． B． C． D． 7．已知函数是定义在上的函数，且函数的图象关于点对称，对于任意的，总有成立，当时，．函数，对任意，存在，使得成立，则满足条件的实数构成的集合为（     ） A． B． C． D． 8．函数在上有定义，若对任意，，有，则称在上具有性质．设在上具有性质，现给出如下命题： ①在上是增函数； ②在上具有性质； ③若在处取得最大值1，则，； ④对任意，，，，有． 其中真命题的序号是（     ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知函数用列表法表示如下，则下列说法正确的是（   ） 1 2 3 3 2 1 A．的定义域与值域相同 B． C．若，则 D．是减函数 10．已知函数是定义在上的偶函数，若，且，则下列满足不等式的t的值可以为（   ） A． B． C．2 D．3 11．定义：若存在常数，对定义域内任意，都有成立，则称是“—阶增长函数”．已知是定义在上的奇函数，当时，，且是“1—阶增长函数”，下列说法正确的有（    ） A．当时， B．若，则是周期函数 C．实数的取值范围是 D．不等式的解集为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知函数且，则的值为______． 13．已知函数在区间是减函数，则实数a的取值范围是________ 14．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知函数 (1)若，求不等式的解集； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围． 16．（15分）已知函数． (1)用定义法证明：函数 在区间上单调递增； (2)若，且存在，使得，求实数的取值范围． 17.（15分）“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明，“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度（单位：千克/年）是养殖密度（单位：尾/立方米）的函数．当时，的值为2千克/年；当时，是的一次函数；当时，因缺氧等原因，的值为0千克/年． (1)当时，求函数关于的函数解析式； (2)当养殖密度为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？求出最大值． 18．（17分）已知满足对任意，都有，且，当时，． (1)计算，判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)判断并证明在上的单调性； (3)求不等式的解集． 19.（17分）对于定义在区间上的函数，定义集合．对任意闭区间，设函数在区间上的最大值为，最小值为，记． (1)若，判断函数是否属于集合，并求的值； (2)若，且，求函数的解析式； (3)若，令．证明：是单调函数的充要条件是：对任意，恒成立． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $