高中数学单元测试——第3章函数的概念与性质（较易版01）

**基本信息** 聚焦函数概念与性质，覆盖定义域、奇偶性、单调性等核心知识点，通过基础题与实际应用题（如医疗器械利润问题）梯度设计，适配单元复习巩固，体现数学建模与运算能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题40分|函数值、定义域、同一函数|基础概念辨析，如第2题考查定义域求解| |多选题|3题18分|函数关系、奇偶性、值域|多选项设置，如第10题综合判断函数奇偶性与单调性| |填空题|3题15分|单调性参数范围、存在性问题|第13题结合单调性求参数，体现推理意识| |解答题|5题77分|分段函数、实际应用、奇偶性证明|第17题以医疗器械生产为情境，考查函数建模与最值求解，体现数学应用意识|

高中数学单元测试 —— 第3章函数的概念与性质（较易版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）若函数，则（   ） A． B．1 C． D．3 【答案】C 【分析】根据题意，直接代入，即可求解. 【详解】由函数，则. 故选：C. 2．（本题5分）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式被开方数非负及分式分母不为零可列不等式组，进而求解即可. 【详解】由，解得且，所以函数的定义域为. 故选：B. 3．（本题5分）下列函数中，与函数为同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用相同函数的定义逐项判断得解. 【详解】函数定义域为，值域为， 对于A，函数的定义域为，且，与的对应法则相同，A是； 对于B，函数的定义域为，值域为，与的值域不同，B不是； 对于C，函数的定义域为，与的定义域不同，C不是； 对于D，函数的定义域为，与的定义域不同，D不是. 故选：A 4．（本题5分）设函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意直接求解即可. 【详解】解：因为，所以． 故选：D． 5．（本题5分）函数的大致图象是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先研究函数的奇偶性排除B，再根据的解排除D，根据确定答案. 【详解】由题得函数的定义域为，关于原点对称. ,所以为奇函数，排除B； 当时，，排除D； 当时，，故选A. 故选：A 6．（本题5分）已知函数，则在上的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的性质，可得的单调性，进而可得的单调性，代入数据，分析计算，即可得答案. 【详解】因为为开口向上，对称轴为的抛物线， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则在上单调递增，在上单调递减， 又， 所以在上的最小值为. 故选：A 7．（本题5分）已知偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据偶函数的单调性，结合分类讨论即可求解. 【详解】偶函数 在 单调递减，则在 单调递增. 由 和偶函数性质得 . 由可得以下两种情况： ① 时： ② 时： 不等式的解集为 . 故选：B 8．（本题5分）已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先比较的大小，再由函数的单调性和奇偶性求解即可. 【详解】当时，恒成立， 可知函数在上单调递增， 又因为函数是偶函数， 所以， 设，则， 所以，又， 所以，所以， 又因为函数在上单调递增， 所以. 故选：A. 二、多选题 9．（本题6分）设集合，则下列曲线能表示从集合到集合的函数关系的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据函数的概念一一判断即可得正确答案. 【详解】对于选项和选项，集合中有的数(如：）在集合中对应两个值，不唯一， 所以不符合函数定义，所以选项和选项错误； 对于选项和选项，集合和集合均为数集，且集合中的每一个数在集合中都有唯一的数与它对应，符合函数的定义， 所以选项和选项正确. 故选：BD. 10．（本题6分）对于函数（），下面几个结论中正确的是（   ） A．函数是偶函数 B．函数是奇函数 C．函数的值域为 D．函数在上是增函数 【答案】BCD 【分析】利用函数奇偶性定义可判断AB，再利用分段讨论单调性来求值域，可判断CD. 【详解】因为，且定义域为，所以函数是奇函数，故A错误，B正确； 当时，， 此时在时单调递增，所以， 当时，， 当时，由奇函数的对称性可知，此时， 综上可得：函数的值域为，故C正确； 当时，， 此时在时单调递增，根据奇函数对称性可知， 在时也单调递增，由于函数的定义域为，且， 所以函数在上是增函数，故D正确； 故选：BCD 11．（本题6分）已知函数，则下列选项中正确的有（    ） A． B．若，则 C．在上单调递增 D．当时，，则的最小值为，最大值为 【答案】ABD 【分析】选项A和B，利用函数解析式，代入求解即可，选项C，利用分段函数、一次、二次函数的性质，即可求解；选项D，作出的图象，数形结合，即可求解. 【详解】对于选项A，因为，所以，故选项A正确， 对于选项B，若，则，得到，满足题意， 若，则，即， 又，所以无解，故选项B正确， 对于选项C，当时，在区间上单调递增， 当时，，对称轴为，开口向上， 所以在上单调递减，在上单调递增，故选项C错误， 对于选项D，的图象如图， 由，得到，由，得到，解得， 由，得到，由，得到，解得或， 又时，， 由图知，当，或，或，时，满足题意， 所以的最小值为，最大值为，故选项D正确， 故选：ABD. 三、填空题 12．（本题5分）若函数，且，则__________． 【答案】2 【分析】根据解析式，代入得，即可求解. 【详解】由，得，解得， 故答案为：. 13．（本题5分）已知函数在上单调递增，则a的取值范围是__________． 【答案】 【分析】代入临界值即可得到不等式，解出即可. 【详解】因为在上单调递增，所以，解得， 则a的取值范围是. 故答案为：. 14．（本题5分）已知函数，，若存在，使得，则实数的取值范围是________________. 【答案】 【分析】分析可知函数的值域为，根据题意可得有解，运算求解即可. 【详解】因为，故函数的值域为. 若存在，使得成立，即， 则，即有解，解得或， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 15．（本题13分）已知定义在R上的偶函数，当,时，. (1)求函数在上的解析式； (2)求函数在上的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)在,上的最大值是，最小值是． 【分析】（1）根据题意，设，则，分析可得的解析式，结合函数为偶函数，分析可得答案； （2）由（1）的结论可得函数的解析式，分析其在,的单调性，进而分析可得答案． 【详解】（1）根据题意，设，则，则， 又由为偶函数，则 （2）由（1）的结论：， 在,上单调递增，在,上单调递减， 则；， 函数在,上的最大值是，最小值是． 16．（本题15分）已知函数． (1)用分段函数的形式表示该函数； (2)画出该函数的图象（不写画法），写出该函数的定义域、值域． 【答案】(1)； (2) 定义域为，值域为. 【详解】（1）当， ；当，. 故； （2）略 17．（本题15分）随着我国经济发展，医疗消费需求增长，人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势．某医疗器械公司为了进一步增加市场力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台，每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． (1)写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润＝销售收入－成本）； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)； (2)年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1680万元 【分析】（1）分和两种情况，进行求解利润； （2）时，可利用二次函数的特点求最大利润值，时，利用基本不等式求最值，最后要对两个最值比较，得出最大利润． 【详解】（1）当时，； 当时，， ． （2）若，当时，万元； 若， ， 当且仅当时，即时，万元， 由于，故该产品的年产量为60台时，公司所获利润最大， 最大利润是1680万元． 18．（本题17分）已知是奇函数． (1)求的解析式； (2)判断并证明在区间上的单调性； (3)解不等式：． 【答案】(1) (2) 函数在上单调递增，证明如下： 任取，且， 则， 因为，所以， 则，即， 所以函数在上单调递增. (3) 【分析】（1）根据奇函数的定义列式求解即可； （2）根据函数单调性的定义判断并证明； （3）结合（2）及为奇函数可得时，，时，，时，，时，，进而得到或，再求解不等式即可. 【详解】（1）由为奇函数，得， 则，整理得，即， 所以. （2）略 （3）由（2）知，函数在上单调递增，且， 则时，，时，， 而函数为奇函数，则时，，时，， 由，则或， 先解不等式，即，则， 即，解得或； 再解不等式，即， 则，即，解得或. 综上所述，不等式的解集为. 19．（本题17分）设函数的定义域为D，若，都有，且，则的图象为关于直线对称的轴对称图形；若且，有，且，则的图象为关于直线对称的拟轴对称图形． (1)若函数的图象是关于直线对称的轴对称图形，求实数m的值； (2)判断函数的图象是否为关于y轴对称的拟轴对称图形，并说明理由； (3)若函数的图象是关于直线对称的拟轴对称图形，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2)函数的图象不是关于y轴对称的拟轴对称图形，理由见解析. (3) 【分析】（1）由题意得对任意都成立，将条件代入解析式，整理计算，即可得答案. （2）由题意，需存在，使得，根据解析式，代入求解，可得，分析即可得答案. （3）设，由题意，需存在，使成立，分别讨论、和三种情况，分别求出解析式，令，根据对勾函数的性质，求得m范围，分析即可得答案. 【详解】（1）的定义域为R，由题意得对任意都成立， 所以， 展开整理得：， 即，所以，解得. （2）函数的图象不是关于y轴对称的拟轴对称图形，理由如下： 关于y轴对称，即，需存在，使得， 由，则， 所以，解得，与矛盾， 所以函数的图象不是关于y轴对称的拟轴对称图形. （3）设，由题意，需存在，使成立， 当时，，， 令，得，在上有解，且， 所以 ，令，，则， 所以， 令，根据对勾函数的性质可得在单调递增， 所以，所以即可； 当时，，， 令，得，解得，不符合题意； 当时，，， 令，得，在上有解，且， 所以，因为在单调递增， 所以，所以即可； 综上，实数m的取值范围是. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第3章函数的概念与性质（较易版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）若函数，则（   ） A． B．1 C． D．3 2．（本题5分）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 3．（本题5分）下列函数中，与函数为同一函数的是（    ） A． B． C． D． 4．（本题5分）设函数，则（    ） A． B． C． D． 5．（本题5分）函数的大致图象是（ ） A． B． C． D． 6．（本题5分）已知函数，则在上的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．（本题5分）已知偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 8．（本题5分）已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）设集合，则下列曲线能表示从集合到集合的函数关系的有（    ） A． B． C． D． 10．（本题6分）对于函数（），下面几个结论中正确的是（   ） A．函数是偶函数 B．函数是奇函数 C．函数的值域为 D．函数在上是增函数 11．（本题6分）已知函数，则下列选项中正确的有（    ） A． B．若，则 C．在上单调递增 D．当时，，则的最小值为，最大值为 三、填空题 12．（本题5分）若函数，且，则__________． 13．（本题5分）已知函数在上单调递增，则a的取值范围是__________． 14．（本题5分）已知函数，，若存在，使得，则实数的取值范围是________________. 四、解答题 15．（本题13分）已知定义在R上的偶函数，当,时，. (1)求函数在上的解析式； (2)求函数在上的最大值和最小值． 16．（本题15分）已知函数． (1)用分段函数的形式表示该函数； (2)画出该函数的图象（不写画法），写出该函数的定义域、值域． 17．（本题15分）随着我国经济发展，医疗消费需求增长，人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势．某医疗器械公司为了进一步增加市场力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台，每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． (1)写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润＝销售收入－成本）； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 18．（本题17分）已知是奇函数． (1)求的解析式； (2)判断并证明在区间上的单调性； (3)解不等式：． 19．（本题17分）设函数的定义域为D，若，都有，且，则的图象为关于直线对称的轴对称图形；若且，有，且，则的图象为关于直线对称的拟轴对称图形． (1)若函数的图象是关于直线对称的轴对称图形，求实数m的值； (2)判断函数的图象是否为关于y轴对称的拟轴对称图形，并说明理由； (3)若函数的图象是关于直线对称的拟轴对称图形，求实数m的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $