3.3.2 抛物线的简单几何性质（讲义）高二数学人教A版选择性必修第一册

第三章 圆锥曲线的方程 3.3.2 抛物线的简单几何性质 课标要点 1.掌握抛物线范围、对称轴、顶点、离心率等几何性质，熟记e=1的特点。 2.理解直线与抛物线的位置关系，会联立方程，利用判别式判断交点情况。 3.分清只有一个交点的两种情形：相切、直线平行于对称轴，区分两者差异。 4.掌握弦长公式，结合韦达定理计算弦长，不忘讨论斜率不存在的特殊直线。 学习重难点 重点： 1.抛物线的各项几何性质，牢记离心率e=1，熟练读取表格中的基础信息。 2.直线与抛物线位置判定，区分二次项系数是否为 0 的两种不同情形。 3.抛物线弦长计算，熟练运用弦长公式以及韦达定理完成相交弦运算。 难点： 1.辨析 “一个公共点”，分清直线平行对称轴和相切，理解必要不充分条件。 2.容易忽略斜率不存在的直线，参数求解类题目容易出现漏解的问题。 知识点一 抛物线的简单几何性质 标准方程 图象 性质 范围 对称轴 x轴 y轴 顶点 焦点 准线 离心率 特别提醒 抛物线离心率恒为，代表抛物线上点到焦点与到准线距离永远相等。 即学即练 1．下列抛物线中，开口最小的是                          A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于对于抛物线的标准方程中， 开口最小：说明一次项的系数的绝对值最小， 观察四个选项发现：A选项一次项的系数的绝对值最小， 本题选择A选项. 知识点二 直线与抛物线的位置关系 （1）直线斜率存在 设直线，抛物线方程，联立消元得到一元方程。 ①二次项系数不为0，得到一元二次方程，用判别式判断： ：直线与抛物线相交，两个公共点； ：直线与抛物线相切，一个公共点； ：直线与抛物线相离，无公共点。 ②二次项系数等于0：直线平行或者重合于抛物线对称轴，此时仅有一个交点，不是相切。 （2）直线斜率不存在（直线） 以为例： ，直线与抛物线相离，无交点； ，直线与抛物线相切于顶点，一个交点； ，直线与抛物线相交，两个交点。 易错提醒 忽略斜率不存在的直线情况：研究直线与抛物线位置关系，很多同学只考虑斜率存在的直线，漏掉垂直于x轴的竖直线。对于竖直线不能使用判别式，需要代入抛物线直接看交点个数。漏掉该情况容易漏解，尤其求解参数范围类题目，务必单独讨论。 即学即练 2．已知抛物线：的焦点为，过的直线与相交于，两点，若线段的中点到轴的距离为3，则（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【详解】首先抛物线满足，即，因此焦点为，准线方程为. 设，，线段的中点为，由题意得到轴的距离为3，故. 根据抛物线的定义可得：，, 弦长， 由中点坐标公式得，即，代入得. 知识点三 弦长问题——焦点弦 过抛物线焦点的直线与抛物线交于，两点，线段称为焦点弦。 由抛物线定义：抛物线上点到焦点距离等于到准线距离。 ，，因此焦点弦长： 焦点弦常用二级结论（为的焦点弦，为直线倾斜角） ①，②，③ ④（定值） 弦长的两种类型： ①一般弦长（任意相交弦） ，，依靠韦达定理计算。 ②焦点弦长 ，仅适用于抛物线过焦点的弦。 即学即练 3．（多选）已知直线与抛物线有且只有一个公共点，则k的值可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】由直线方程可知直线经过定点， 而该点恰在抛物线的对称轴上，故时， 两者有且仅有一个公共点； 联立，消去，可得， 由，可得. 此时直线方程为与，恰与抛物线相切，两者有且仅有一个公共点. 故k的值可以是0，. 故选：ACD. 题型01 抛物线方程及其几何性质 典｜例｜精｜析 【例1】（多选）对于抛物线，下列描述正确的是（    ） A．开口向右 B．对称轴为轴 C．焦点为 D．准线方程为 【答案】BD 【详解】由抛物线方程可知，其为开口向上的抛物线，故A错误； 对称轴为轴，故B正确； 由得，则焦点坐标为，故C错误； 准线方程为，故D正确. 故选：BD 【例2】已知点在抛物线C：上，则C的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由点在抛物线上，则， 即，解得或（舍）， 因为抛物线准线方程为，即， 因此，抛物线C的准线方程为. 变｜式｜巩｜固 【变式1-1】已知线段AB是抛物线的一条弦，且AB中点M在上，则点A横坐标（    ） A．有最大值，无最小值 B．无最大值，有最小值 C．无最大值，无最小值 D．有最大值，有最小值 【答案】D 【详解】      由题意，设 由抛物线范围可知，， 所以如图1，当点A在原点时横坐标有最小值，为0， 由AB中点M在上，可知，即， 所以， 即如图2，当点B在原点时,点A横坐标有最大值，为2. 故选：D. 【变式1-2】已知，则方程与在同一坐标系内对应的图形编号可能是（    ） A．①④ B．②③ C．①② D．③④ 【答案】B 【详解】对于①：由双曲线的图像可知：；由抛物线的图像可知：同号，矛盾.故①错误； 对于②：由双曲线的图像可知：；由抛物线的图像可知：异号，符合要求.故②成立； 对于③：由椭圆的图像可知：；由抛物线的图像可知：同号，且抛物线的焦点在x轴上，符合要求.故③成立； 对于④：由椭圆的图像可知：；由抛物线的图像可知：同号，且抛物线的焦点在x轴上，矛盾.故④错误； 故选：B 【变式1-3】正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线的图象上，则这个正三角形的边长为（   ） A． B．3 C． D．6 【答案】D 【详解】设正三角形的边长为，由抛物线的对称性及题意可得，其另外两个顶点的坐标为， 又另外两个顶点在抛物线上， 所以，得， 所以这个正三角形的边长为6. 题型02直线与抛物线的位置关系 典｜例｜精｜析 【例3】过点作直线与抛物线只有一个公共点，这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】B 【详解】将代入，解得，因此点在抛物线上， 当直线与抛物线相切时，即过点抛物线的切线； 当直线与抛物线的对称轴平行时，此直线与抛物线也只有一个公共点， 又因过点，所以这条直线为； 综上过点作直线与抛物线只有一个公共点，这样的直线有2条. 【例4】已知抛物线，直线过点且与抛物线有且仅有一个公共点，则直线的条数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】因为点在抛物线外，显然过可作两条直线与相切， 过可作一条与的对称轴（即轴）平行的直线，它与也只有一个公共点. 所以满足条件的直线有3条， 故选：C. 变｜式｜巩｜固 【变式2-1】若直线与曲线恰好有一个公共点，则实数的取值集合为________． 【答案】 【详解】因为直线与曲线恰好有一个公共点，所以方程组只有一组实数解， 消去，得，即．① 当，即时，方程①是关于的一元一次方程，解得，这时，原方程组有唯一解 当，即时，方程是关于的一元二次方程． 令，解得（舍去）或．此时原方程组有唯一解 综上，实数的取值集合是． 【变式2-2】（多选）已知直线l：，抛物线C：，则下列结论正确的是（   ） A．直线l过定点 B．当时，直线l与抛物线C相切 C．当时，直线l与抛物线C有两个公共点 D．当直线l与抛物线C无公共点时，或 【答案】BD 【详解】选项A，因为，因此不是直线所过定点，A错； 选项B，时，直线方程为，代入抛物线方程得，解得，从而， 又直线与抛物线的对称轴不平行，所以直线与抛物线相切，切点为，B正确； 选项C，时，直线方程为，它与抛物线的对称轴平行，直线与抛物线只有一个公共点，C错； 选项D，由得，， 由，得或，D正确． 故选：BD． 【变式2-3】已知点是抛物线上的一个动点，点是直线上的一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】设直线与抛物线相切于点，显然切点位于第一象限， 在第一象限内，由，得，则， 所以，即，所以点的坐标为， 所以的最小值为点到直线的距离，即. 故选：A. 题型03抛物线的弦长 典｜例｜精｜析 【例5】已知过抛物线的焦点的弦长为12，则该弦所在直线的倾斜角是________． 【答案】或 【详解】弦长（为过焦点的直线的倾斜角），所以， 所以，因为，所以，所以． 因为，所以或． 【例6】已知直线 过抛物线 的焦点 ，与抛物线 交于 ， 两点，且线段 中点的横坐标为 ，则弦 的长为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【详解】抛物线方程为 ，焦点坐标为 ，准线方程为 ， 设 ，由中点坐标公式得： ，因此 ， 根据抛物线的定义得， 故弦长. 变｜式｜巩｜固 【变式3-1】已知抛物线的焦点为，过的直线交于两点，若中点的纵坐标为3，则（    ） A．4 B．8 C．10 D．11 【答案】B 【详解】由抛物线方程知，， 设，，线段的中点的纵坐标为3， 所以，而， 所以. 【变式3-2】记抛物线的焦点为，过的直线与C交于，两点，与C的准线交于点，若，且，则_________． 【答案】 【详解】 抛物线的焦点为，准线方程为， 分别过点、作准线的垂线，垂足为、， 根据抛物线定义得，， 设，则， 由得，且四点共线， 故， 因为，故， 则，所以， 由于，约去化简得，解得，即， 此时，故为线段的中点， 设准线与轴交点是，所以是的中位线， 则，即. 【变式3-3】已知抛物线的焦点为F，AB是过焦点F的弦．且AB的倾斜角为，则的面积为__________． 【答案】4 【详解】抛物线方程为：，焦点为，AB的倾斜角为， 所以所在的直线方程为：，联立消去整理得：， 由韦达定理得：，， 点到直线：的距离为：， 所以的面积为：. 题型04中点弦问题 典｜例｜精｜析 【例7】已知抛物线，直线，则直线被抛物线截得的弦长为__________. 【答案】 【详解】抛物线的焦点为，易知直线过点， 联立可得，， 设点、，由韦达定理可得， 所以，. 因此，直线被抛物线截得的弦长为. 故答案为：. 【例8】直线与抛物线交于两点，求线段AB的长． 【答案】． 【详解】解：抛物线，直线， 将直线方程代入到抛物线方程中，得：， 整理得：， 设，，，， 由一元二次方程根与系数的关系得：，， 所以弦长． 变｜式｜巩｜固 【变式4-1】若抛物线和直线交于，两点，且，则原点到直线的距离为（   ） A．2 B． C． D．4 【答案】B 【详解】将代入，得， 设，则， 由，解得， 于是原点到直线的距离为. 【变式4-2】已知动圆过定点，且与直线：相切，圆心的轨迹为． (1)求动点的轨迹方程； (2)过点作倾斜角为的直线交轨迹于，两点，求． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）设，由动圆过定点，且与直线：相切， ，整理得， 故动点的轨迹方程为． （2）设，，直线的方程为， 则由，整理得, ． 【变式4-3】①为抛物线上的点，且；②焦点到准线的距离是1．在这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并求解． 已知抛物线的焦点为，______，若直线与抛物线相交于A、两点，求弦长． 【答案】． 【详解】若选①： 在抛物线上，且， ，则p＝1； 若选②： ∵焦点到准线的距离是1，∴p＝1； 故抛物线的方程为． 联立，可得， 设，，则，， ． 题型05焦点弦问题 典｜例｜精｜析 【例9】过抛物线的焦点作直线，交抛物线于，两点.若线段中点的横坐标为6，则等于（    ） A．20 B．16 C．12 D．8 【答案】B 【详解】由题设，抛物线的焦点为，可设， 联立，可得，则， 所以，，则，得， 所以. 故选：B 【例10】已知抛物线，过点作一条直线交抛物线于，两点，则弦的中点的轨迹方程为________． 【答案】 【详解】方法一：设，，弦的中点为，则， 因为，两式相减可得， 即，可得， 显然，则有： 若，则，且， 即，整理可得； 若，检验可知符合； 故所求轨迹方程为． 方法二：由题意可知：直线的斜率不为0， 设直线的方程为，，， 联立方程，消去x可得， 则，则，， 可得， 设的中点为，则， 消去m可得，整理可得， 所以所求轨迹方程为． 变｜式｜巩｜固 【变式5-1】AB为抛物线的焦点弦，若，则AB中点的横坐标为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】抛物线的焦点为，准线为，设焦点弦的端点为、，根据抛物线的定义，，， 故弦长，由得， 所以中点的横坐标为. 【变式5-2】已知抛物线，直线与抛物线相交于两点，且的中点为，则__________. 【答案】 【详解】根据题意，点在直线上，所以，解得. 设点， 则，两式作差得， 整理得， 又，且，解得. 故答案为：. 【变式5-3】已知动点到直线的距离与到点距离相等，设动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)直线与曲线交于两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由题意知，动点到直线的距离与到点距离相等， 根据抛物线的定义，可得动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 可得，解得，所以曲线的方程为. （2）设，可得， 两式相减得， 线段的中点坐标为，可得在抛物线内部， 所以，可得， 又由，可得， 所以直线的斜率， 故直线的方程为，即. 题型06抛物线的定值问题 典｜例｜精｜析 【例11】已知抛物线经过点，过点的直线与抛物线有两个不同的交点，，且直线交轴于，直线交轴于. (1)求直线的斜率的取值范围； (2)设为原点，，，求证：为定值. 【答案】(1) (2)， 故直线方程为：，化简可得：. 由于直线过，所以， 同理：方程：；方程：， 令，得，同理可得， ， 所以，所以为定值. 【分析】 【详解】（1）因为抛物线经过点，所以，解得， 设直线方程为，，，联立方程组可得， ，且解得，且， 又因为要与轴相交，故直线不能经过点，所以， 所以直线的斜率的取值范围是： （2）略 【例12】如图所示，M是抛物线上的一定点，动弦分别交x轴于两点，且．证明：直线EF的斜率为定值．    【答案】证明：设，直线ME的斜率为k（），则直线MF的斜率为， 所以直线ME的方程为， 由，则，解得， 所以，同理可得， 所以（定值）， 所以直线EF的斜率为定值. 【详解】略 变｜式｜巩｜固 【变式6-1】设抛物线：的焦点为，直线：与抛物线相交于两点，点为线段的中点． (1)求的取值范围； (2)求证：点的纵坐标为定值． 【答案】(1). (2)证明：设，则, 则点Q的纵坐标为. ∴点Q的纵坐标为定值2. 【分析】 【详解】（1）直线l：与抛物线：联立得， ∴， 解得. （2）略 【变式6-2】在平面直角坐标系中，点为抛物线：的焦点，A，B，C为E上三点，且F为的垂心. (1)若点A的纵坐标为，求直线的斜率； (2)若，求的面积； (3)证明：为定值. 【答案】(1)； (2)； (3) 设，其中两两相异. 因为为垂心，故， 而，故， 故，而，故， 故，同理， 故， 而，故即， 而， 故.    【分析】 【详解】（1）由抛物线的焦点为，得抛物线方程为， 由，得点，直线的斜率为， 由为的垂心，得，所以直线的斜率为. （2）由，得点为坐标原点，此时轴， 设，则，由，得，解得， 从而的面积为. （3）略 【变式6-3】如图，已知抛物线过点，过定点的直线与曲线交于两点，以为直径的圆交轴于两点，为原点，求证：为定值． 【答案】 证明：由题意得，故，所以． 设，则，即. 设，则以为端点的圆为， 即可得． 令，设， 则是方程，即的两个实根， 故有． 又 ， 所以． 综上，即证得的为定值. 【分析】 【详解】略 题型07抛物线的定点问题 典｜例｜精｜析 【例13】已知动点到定点的距离比它到直线 的距离小 (1)求动点的轨迹方程； (2)过点作倾斜角为，（）的两条直线交的轨迹于两点，若，求证：直线恒过定点． 【答案】(1) (2)由题意可知，直线 的倾斜角均不为 和， 故直线 ， 的斜率存在且不为 ， 因为，所以，即， 即， 若直线 的斜率为 ，则与抛物线只有一个交点，若斜率不存在，则 重合，均不符合题意； 故设，， 联立，得， 则， 则 ， 得， 则直线恒过点. 【分析】 【详解】（1）设动点，根据题意， 到的距离 比到直线的距离小，即： 分析绝对值范围： 若，则，代入得： 两边平方并化简： ， 化简可得， 若，则，代入得右边为负，而左边根号非负，无解， 因此，动点 的轨迹方程为； （2）略 【例14】已知直线与抛物线相交于异于原点的、两点． (1)若为正三角形，求的面积； (2)若以为直径的圆经过原点，求证：直线恒过定点． 【答案】(1)； (2) 显然直线不垂直于轴，设直线的方程为， 由，得，则，， 由以为直径的圆经过原点，得，， 又，解得，则直线恒过定点， 所以直线恒过定点. 【分析】 【详解】（1）设，由为正三角形，得， 则，即，整理得， 而，因此，，， 由，得，即，解得， 所以的面积. （2）略 变｜式｜巩｜固 【变式7-1】两直线 和 分别与抛物线 相交于不同于原点的 两点， 则直线 恒过的点是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为两直线 和 分别与抛物线 相交于不同于原点的 两点， 所以分别联立直线与抛物线为： ，化简得和. 解得和，所以. 所以直线的斜率为，所以直线的方程为. 化简得，所以直线 恒过的点是. 故选：D. 【变式7-2】已知动圆过定点，且与直线相切． (1)求动圆圆心的轨迹C的方程； (2)过点作倾斜角为，（）的两条直线交轨迹C于M，N两点，若，求证：直线MN恒过定点． 【答案】(1) (2)证明：由题意可知，直线的倾斜角均不为和， 故直线的斜率均存在且不为0， 因为，所以，即， 即， 若直线的斜率为，则与抛物线只有一个交点，不符合题意； 故设，， 联立，得， 则， 则 ， 得， 则直线恒过点. 【分析】 【详解】（1）由题意可知，动圆圆心到点和到的距离相等， 故动圆圆心的轨迹C是以为焦点，为准线的抛物线， 故动圆圆心的轨迹C的方程为； （2）略 【变式7-3】已知抛物线的焦点为F，抛物线上的点P的横坐标为2，且． (1)求抛物线的标准方程； (2)过点F的直线l交抛物线于A，B两点，设点，设直线EA，EB分别与抛物线交于另一点C，D，求证：直线CD过定点，并求出定点坐标． 【答案】(1) (2) 设直线l的方程为，， 联立方程，整理得， 所以， 设， 又，所以，即 ，所以，得， 同理， 又， 所以，即， ，又， 所以， 所以直线过定点． 【详解】（1）由题意得：，得， 所以标准方程为， （2）略 题型08 抛物线的三角形问题 典｜例｜精｜析 【例15】设抛物线：的焦点为，为坐标原点，过点的直线交于，两点． (1)证明：点在以为直径的圆上； (2)若，求的面积． 【答案】(1)证明：设直线的方程为，， 联立，即，则，，， 因为，则，又， 所以，所以，即， 所以点在以为直径的圆上； (2) 【分析】 【详解】（1）略 （2）由题可得，，则， 所以，又， 所以， 由（1）知，，所以，解得， 由弦长公式可得， 又点到直线：的距离， 所以. 【例16】已知椭圆的焦点为，，抛物线的焦点为．经过的上顶点，且的面积为． (1)求的方程； (2)当时，求的坐标； (3)若与除点外还有两个不同的交点，，求的面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3)2 【详解】（1）椭圆的上顶点为， 抛物线过点，代入得，得，因此， 设椭圆半焦距为，则焦点，， 的面积，解得 所以，又， 故椭圆的方程为； （2）当时，抛物线的方程为，即， 因为抛物线， ，得，又抛物线的顶点，开口向下， 所以抛物线的焦点在顶点下方处，所以的坐标是； （3）将代入椭圆方程，得， 展开整理得， 对应上顶点，设另外两个交点的横坐标为，则，由题意存在两个不同交点，故，得， 的纵坐标相同，均为，弦长， 抛物线的焦点为，即， 直线为水平线，因此到的距离， 故的面积， 令，则，代入化简得， 令， 所以 ， 当时，取得最大值，此时或，对应，均满足， 故面积的最大值为. 变｜式｜巩｜固 【变式8-1】已知直线与抛物线相交于A，B两点，且． (1)求证：直线AB必过一定点； (2)求面积的最小值． 【答案】(1)证明：设直线AB方程：，，， 由消去x并整理得， ∴，，由得 解得或（舍去）．∴直线AB过定点． (2)4 【分析】 【详解】（1）略 （2）由（1）得， ∴当时，的面积取得最小值为4． 【变式8-2】已知抛物线的焦点为F，点在C上，且． (1)求C的方程； (2)过F的直线与C交于A，B两点，若P在以为直径的圆上，求的面积． 【答案】(1); (2); 【分析】 【详解】（1）    因为点在抛物线上，所以，得， 因为抛物线的准线方程为，且， 由抛物线的定义可得，解得， 所以抛物线的方程为； （2）由（1）知，，， 易知过点F的直线斜率不为0，设其方程为， 将代入，得到， 设，，则，， ， ， ，， 因为P在以为直径的圆上， 所以， 即， 化简得：，解得：或. 当时，直线为，此时但与重合，舍去. 当时，直线为，此时，， 则, 点到直线的距离：， 所以的面积为. 【变式8-3】已知为坐标原点，抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且． (1)求抛物线的方程； (2)若过点的直线与抛物线交于，两点，其中点在第一象限，且的面积为，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】 【详解】（1）抛物线：的焦点为， 由知，又点在抛物线上，所以，解得， 因此抛物线的方程为. （2）由（1）得， 假设直线的斜率不存在，即轴，将代入可得， 此时的面积为，矛盾，假设不成立，所以直线的斜率存在； 如图，设直线的方程为， 由消去得. 设， 由韦达定理得， 所以. 所以的面积为， 整理得，解得，所以. 设，结合共线性质得， 所以，所以， 又，所以，解得或. 基础通关 一、单选题 1．过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，若，则直线倾斜角为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【详解】法一：因为，故直线的斜率必定存在，且不为零，而焦点坐标为， 故设，. 由可得，则， 所以， 故，故斜率为，故直线倾斜角为或. 法2：设直线的倾斜角为，其中， 则焦点弦长，故，倾斜角为或. 2．若椭圆：，与抛物线有相同焦点，则该椭圆与在第一象限的交点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题可得抛物线的焦点坐标是, 所以椭圆的右焦点坐标是,所以即, 所以椭圆方程是， 联立椭圆方程与抛物线方程, 把抛物线方程代入椭圆方程，去分母整理得, 解得或，因为，故， 因为求第一象限的交点，代入抛物线方程解得, 所以交点坐标为. 3．已知是抛物线的焦点，，线段的垂直平分线与抛物线的交点坐标为（    ） A．或 B． C． D． 【答案】D 【详解】如图所示： 由题意可知，抛物线的准线为：，点在抛物线的准线上， 设线段的垂直平分线与抛物线的交点为，则有，由抛物线定义可知， ，则，可得，所以交点. 4．若抛物线上一点与焦点的距离，为坐标原点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设点，由抛物线，得， 因为，所以，解得，又，所以， 所以的面积为. 5．已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，若两点的横坐标之和为6，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【详解】设点，由题意可得. 所以. 6．抛物线的焦点为F，C的准线与轴交于点，过且倾斜角为的直线与交于M，N两点（在轴上方），则（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【详解】由抛物线得焦点为， 由题意，得直线MF的方程为，与抛物线方程联立， 消去得， 解得， 所以， ， 所以， 故选：D 二、多选题 7．已知抛物线的焦点为是抛物线上两动点，下列说法正确的有（    ） A．抛物线的焦点坐标为 B．若，则线段的中点到轴的距离为6 C．以线段为直径的圆与轴相切 D．以点为圆心，线段的长为半径的圆与准线相切 【答案】CD 【详解】对于A，抛物线的准线方程为，焦点为，故A错误； 对于B，设点， 由抛物线的定义可得， 可得，所以线段的中点到轴的距离为，故B错误； 对于C，因的中点为 该点到轴的距离为， 故以线段为直径的圆与轴相切，故C正确． 对于D，因，故以为圆心，线段的长为半径的圆与准线相切， 即D正确． 故选：CD. 8．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.已知抛物线的焦点为，一束平行于轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上另一点反射后，沿直线射出，则下列结论中正确的是（   ） A． B．若直线倾斜角为，则 C． D．与之间的距离为3 【答案】AC 【详解】抛物线的焦点为，由轴，，得， 直线斜率，直线方程为，由，得， 对于A，，，A正确； 对于B，，由，，得，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，与之间的距离为，D错误. 故选：AC 三、填空题 9．已知点为直线与抛物线的一个交点，则点P到抛物线C的焦点的距离为__________． 【答案】5 【详解】因为点为直线与抛物线的一个交点， 所以，且，故，解得， 故抛物线C的焦点为，，. 10．已知抛物线的焦点为，点M是抛物线C上一点，且，过点M作x轴的垂线，垂足为N，则的面积为_______________ ． 【答案】 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为， 不妨设点位于第一象限，由，得，解得， 故，则有， 所以的面积. 四、解答题 11．已知抛物线：． (1)求抛物线的焦点F的坐标和准线的方程； (2)过焦点F且斜率为的直线与抛物线交于两个不同的点A、B，求线段AB的长． 【答案】(1) ，准线的方程为； (2) 【分析】 【详解】（1）由可得，即. 则抛物线的焦点坐标为，准线的方程为. （2）设点，，由题意，设直线的方程为. 联立直线与抛物线方程 消去，整理得， 则， 又因，， 故弦长. 12．已知抛物线，其焦点为，是上的一点. (1)求； (2)直线交于两点，且的面积为16，求直线的方程. 【答案】(1)； (2) 【分析】 【详解】（1）将代入，得，其中， 所以； （2）直线的斜率显然存在，设直线，、， 由得：， ，，， 由于 所以， 解得， 即直线方程为：，所以直线恒过定点， 原点到直线的距离， ， ， ，解得， 所以直线方程为：. 素养提升 1．已知抛物线，为坐标原点，过焦点的直线交抛物线于，两点，为线段的中点，则直线的斜率的最大值为（    ） A． B．2 C．1 D． 【答案】D 【详解】∵ 抛物线，，∴ 焦点的坐标为. 分两种情况讨论： ① 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，代入抛物线方程得， 故，，中点，此时直线的斜率为. ② 当直线的斜率存在时，设直线的方程为（）， 联立，消去整理得. 设，，由韦达定理得， ∴ . ∵ 为线段的中点， ∴ 的横坐标，纵坐标. ∴ 直线的斜率. 要求的最大值，不妨设（时斜率为负，显然小于正数），则. 由基本不等式得，当且仅当即时等号成立， ∴ . 综上，直线的斜率的最大值为. 2．抛物线的焦点为F，点F关于坐标原点O的对称点为E，过点E的直线与抛物线在第一象限内的交点为A，B，已知A恰为的中点，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．抛物线的准线方程为 C． D． 【答案】AD 【详解】选项 A，抛物线的焦点为，是关于原点的对称点，故，由，且是的中点，得， 因为都在抛物线上，代入抛物线方程得，， 即，，所以，得，由，解得，故 A 正确； 选项 B，由，抛物线方程为，其准线方程为，故 B 错误； 选项 C，由，，因为点B在第一象限，故，即，故， 所以，故 C 错误； 选项 D，如图，延长AF与抛物线交于点C，在F的右侧且在x轴上取一点X， 焦点，，， 可得，说明直线与关于轴对称，所以， 因为，所以，故D 正确. 3．（多选）已知抛物线 的焦点为， 为坐标原点，则下列结论正确的是（    ） A．抛物线上任意一点到点 的距离最小值为 B．若点为抛物线上的动点，点，则 的最小值为 C．若过焦点且倾斜角为 的直线与抛物线交于， 两点，且，则 D．若过点的直线与抛物线交于 ， 两点，则点 在以为直径的圆内 【答案】CD 【详解】A中，设为抛物线上任意一点，则，其中. 因为. 配方得，当时取得最小值， 即的最小值为，不等于，A错误. B中，抛物线的焦点为，准线方程为. 由抛物线的定义知等于点到准线的距离，所以， 即折线的长度. 点到准线的距离为，而折线长度不小于点到直线的距离， 且当取过垂直于的直线与抛物线的交点时取到等号. 故的最小值为，不等于，B错误. C中，焦点，倾斜角为的直线斜率为，其方程为. 代入得，解得，. 由焦半径公式，，所以，C正确. D中，设过点的直线方程为，代入得， 其判别式恒大于零. 设，，则，. 因为. . 所以为钝角，即点在以为直径的圆内，D正确. 4．（多选）已知抛物线的焦点为，且，两点在抛物线上，为原点，下列结论正确的有（    ） A．抛物线的准线方程为 B．存在点，使得为等腰直角三角形 C．若、、共线，则面积的最小值为 D．若，则直线恒过点 【答案】ACD 【详解】由抛物线知，，，所以抛物线准线方程为，故A正确； 若为等腰直角三角形，则或， 若，则，显然不在抛物线上，矛盾， 若，则，显然不在抛物线上，矛盾，故B错误； 设，易知直线斜率不为，设直线， 由，可得，， 则 若、、共线，则三点所在直线，则， 所以面积， 当时等号成立，故C正确； 若，则，， 代入，解得或（舍去）， 所以直线，直线恒过，故D正确. 5．已知抛物线与点，过的焦点且斜率为2的直线与交于，两点，若，则______． 【答案】4 【详解】由题意可得，设直线为，两式联立可得， 设，，则，因为，所以， 所以，，所以， 所以， 即，解得或（舍）. 6．已知抛物线 的焦点为 ，抛物线上一点 到点 的距离为2． (1)求抛物线上的动点到直线的最小距离； (2)设是抛物线上异于原点的两个不同点，直线和关于 对称，证明:直线恒过定点，并求出该定点的坐标． 【答案】(1) (2)设，， 则直线的斜率为，直线的斜率为． 因为直线与关于对称，所以，即， 所以． （提示：的证明可用三种方法： 法1：到角公式，化简得； 法2：OA与OB的倾斜角，满足，即， 则，得； 法3：设关于直线的对称点为，则， 则，即，得．） 法1.设，，由题意得，且， 则直线的斜率存在，从而可设方程为，显然，， 将与联立消去，得，， 由韦达定理知，可得， 则方程为，可知直线恒过定点． 法2.由前面已得，直线的斜率为， 则直线的方程为， 化简． 又，所以， 则直线恒过定点． 法3.因为直线与关于对称，所以． 设直线的斜率为，则直线OB的斜率为． 直线，与联立， 解得或，则． 同理，直线，与联立， 解得或，则． 直线的斜率为， 于是直线的方程为， 化简得． 则直线AB恒过定点． 【分析】 【详解】（1）法1：由抛物线定义可知，得， ∴抛物线方程． 设点，则点P到直线l的距离为 ， 当且仅当时取等号． 则动点P到直线的最小距离为． 法2：由抛物线定义可知，得， ∴抛物线方程． 抛物线，其切线斜率为，要与直线平行， 则，，．切点为，切线为． 直线与的距离． 则最小距离为． （2）略 迁移创新 1．（多选）过抛物线对称轴上一点作直线交于，两点，过，作直线的垂线，垂足分别记为，，则（    ） A． B．记坐标原点为，则，，三点共线 C．记的中点为，则直线与抛物线相切 D．对于任意的正数， 【答案】BCD 【详解】设直线的方程为，，由对称性不妨令，则， 由消去，得，则， 对于A，，A错误； 对于B，直线的斜率，直线的斜率， 因此，，，三点共线，B正确； 对于C，，直线的斜率， 直线的方程为，即， 由消去，得，， 因此直线与抛物线相切，C正确； 对于D，， 因此 ，D正确. 2．（多选）已知为坐标原点，抛物线：的焦点为，点在的准线上，过且斜率为的直线与交于不同的两点，（点在线段上），则（   ） A． B．当时，的面积为 C．存在使得 D．若的斜率为，则 【答案】ABD 【详解】 因为点在抛物线：的准线上，所以，即， 抛物线方程为，故A正确； 焦点，设直线的方程为， 联立方程得，，解得， 设，则， 根据焦半径公式得，， 当时，即，又，， 所以，即，又因为，即， 代入得，解得，又，故， 因为点在线段上， 所以的面积为， 又因为，，， 所以，故B正确； 过点作垂直于准线，垂足为点，则，若， 则，又，所以，，即， ，又，故不存在使得，C选项错误； 因为，， 所以，又， 所以，即，D选项正确. 3．（多选）设分别为直线和曲线上的动点，若线段的长度存在最小值，则称该值为曲线到直线的距离，记作，已知直线，则下面说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，且，则 【答案】AD 【详解】对于A，表示的直线与直线平行， 则两平行线间距离即为，，A正确； 对于B，表示以原点为圆心，半径的圆， 则圆心到直线的距离，即直线与圆相离， 则，B错误； 对于C，由得：，则， 直线与曲线相离； 设直线与曲线相切， 由得：，则，解得：， 则直线与直线均与曲线相切， 到直线的距离为， 到直线的距离为， ，C错误； 对于D，设直线与曲线相切， 由得：，则， 又，，，解得：或， 当时，，由得：， 则，此时直线与相交，即，不合题意； 当时，，由得：， 则，此时直线与相离，满足题意； 综上所述：，D正确. 4．已知抛物线的焦点为，过焦点的直线与交于，两点，的最小值为4，为坐标原点． (1)求； (2)证明：为钝角三角形； (3)求的外接圆圆心的轨迹方程． 【答案】(1) (2)由（1）可得抛物线方程为，所以焦点坐标为， 设直线的方程为，， 由，所以，整理得， 所以， 所以， 所以，所以， 所以为钝角三角形； (3) 【分析】 【详解】（1）抛物线方程为，所以焦点坐标为， 设直线的方程为，， 由，所以，整理得， 所以， 所以 ， 当时，的最小值为， 因为的最小值为4，所以，解得； （2）略. （3）由题意可得的中点为，又， 所以的垂直平分线的方程为， 整理得①， 同理可得的垂直平分线的方程为②， ①-②，得， 所以， 所以，所以， ①+②，得 ， 又， 所以， 所以， 所以，所以. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 圆锥曲线的方程 3.3.2 抛物线的简单几何性质 课标要点 1.掌握抛物线范围、对称轴、顶点、离心率等几何性质，熟记e=1的特点。 2.理解直线与抛物线的位置关系，会联立方程，利用判别式判断交点情况。 3.分清只有一个交点的两种情形：相切、直线平行于对称轴，区分两者差异。 4.掌握弦长公式，结合韦达定理计算弦长，不忘讨论斜率不存在的特殊直线。 学习重难点 重点： 1.抛物线的各项几何性质，牢记离心率e=1，熟练读取表格中的基础信息。 2.直线与抛物线位置判定，区分二次项系数是否为 0 的两种不同情形。 3.抛物线弦长计算，熟练运用弦长公式以及韦达定理完成相交弦运算。 难点： 1.辨析 “一个公共点”，分清直线平行对称轴和相切，理解必要不充分条件。 2.容易忽略斜率不存在的直线，参数求解类题目容易出现漏解的问题。 知识点一 抛物线的简单几何性质 标准方程 图象 性质 范围 对称轴 x轴 y轴 顶点 焦点 准线 离心率 特别提醒 抛物线离心率恒为，代表抛物线上点到焦点与到准线距离永远相等。 即学即练 1．下列抛物线中，开口最小的是                          A． B． C． D． 知识点二 直线与抛物线的位置关系 （1）直线斜率存在 设直线，抛物线方程，联立消元得到一元方程。 ①二次项系数不为0，得到一元二次方程，用判别式判断： ：直线与抛物线相交，两个公共点； ：直线与抛物线相切，一个公共点； ：直线与抛物线相离，无公共点。 ②二次项系数等于0：直线平行或者重合于抛物线对称轴，此时仅有一个交点，不是相切。 （2）直线斜率不存在（直线） 以为例： ，直线与抛物线相离，无交点； ，直线与抛物线相切于顶点，一个交点； ，直线与抛物线相交，两个交点。 易错提醒 忽略斜率不存在的直线情况：研究直线与抛物线位置关系，很多同学只考虑斜率存在的直线，漏掉垂直于x轴的竖直线。对于竖直线不能使用判别式，需要代入抛物线直接看交点个数。漏掉该情况容易漏解，尤其求解参数范围类题目，务必单独讨论。 即学即练 2．已知抛物线：的焦点为，过的直线与相交于，两点，若线段的中点到轴的距离为3，则（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 知识点三 弦长问题——焦点弦 过抛物线焦点的直线与抛物线交于，两点，线段称为焦点弦。 由抛物线定义：抛物线上点到焦点距离等于到准线距离。 ，，因此焦点弦长： 焦点弦常用二级结论（为的焦点弦，为直线倾斜角） ①，②，③ ④（定值） 弦长的两种类型： ①一般弦长（任意相交弦） ，，依靠韦达定理计算。 ②焦点弦长 ，仅适用于抛物线过焦点的弦。 即学即练 3．（多选）已知直线与抛物线有且只有一个公共点，则k的值可以是（ ） A． B． C． D． 题型01 抛物线方程及其几何性质 典｜例｜精｜析 【例1】（多选）对于抛物线，下列描述正确的是（    ） A．开口向右 B．对称轴为轴 C．焦点为 D．准线方程为 【例2】已知点在抛物线C：上，则C的准线方程为（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 【变式1-1】已知线段AB是抛物线的一条弦，且AB中点M在上，则点A横坐标（    ） A．有最大值，无最小值 B．无最大值，有最小值 C．无最大值，无最小值 D．有最大值，有最小值 【变式1-2】已知，则方程与在同一坐标系内对应的图形编号可能是（    ） A．①④ B．②③ C．①② D．③④ 【变式1-3】正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线的图象上，则这个正三角形的边长为（   ） A． B．3 C． D．6 题型02直线与抛物线的位置关系 典｜例｜精｜析 【例3】过点作直线与抛物线只有一个公共点，这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【例4】已知抛物线，直线过点且与抛物线有且仅有一个公共点，则直线的条数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 变｜式｜巩｜固 【变式2-1】若直线与曲线恰好有一个公共点，则实数的取值集合为________． 【变式2-2】（多选）已知直线l：，抛物线C：，则下列结论正确的是（   ） A．直线l过定点 B．当时，直线l与抛物线C相切 C．当时，直线l与抛物线C有两个公共点 D．当直线l与抛物线C无公共点时，或 【变式2-3】已知点是抛物线上的一个动点，点是直线上的一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 题型03抛物线的弦长 典｜例｜精｜析 【例5】已知过抛物线的焦点的弦长为12，则该弦所在直线的倾斜角是________． 【例6】已知直线 过抛物线 的焦点 ，与抛物线 交于 ， 两点，且线段 中点的横坐标为 ，则弦 的长为（    ） A． B．2 C． D．3 变｜式｜巩｜固 【变式3-1】已知抛物线的焦点为，过的直线交于两点，若中点的纵坐标为3，则（    ） A．4 B．8 C．10 D．11 【变式3-2】记抛物线的焦点为，过的直线与C交于，两点，与C的准线交于点，若，且，则_________． 【变式3-3】已知抛物线的焦点为F，AB是过焦点F的弦．且AB的倾斜角为，则的面积为__________． 题型04中点弦问题 典｜例｜精｜析 【例7】已知抛物线，直线，则直线被抛物线截得的弦长为__________. 【例8】直线与抛物线交于两点，求线段AB的长． 变｜式｜巩｜固 【变式4-1】若抛物线和直线交于，两点，且，则原点到直线的距离为（   ） A．2 B． C． D．4 【变式4-2】已知动圆过定点，且与直线：相切，圆心的轨迹为． (1)求动点的轨迹方程； (2)过点作倾斜角为的直线交轨迹于，两点，求． 【变式4-3】①为抛物线上的点，且；②焦点到准线的距离是1．在这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并求解． 已知抛物线的焦点为，______，若直线与抛物线相交于A、两点，求弦长． 题型05焦点弦问题 典｜例｜精｜析 【例9】过抛物线的焦点作直线，交抛物线于，两点.若线段中点的横坐标为6，则等于（    ） A．20 B．16 C．12 D．8 【例10】已知抛物线，过点作一条直线交抛物线于，两点，则弦的中点的轨迹方程为________． 变｜式｜巩｜固 【变式5-1】AB为抛物线的焦点弦，若，则AB中点的横坐标为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式5-2】已知抛物线，直线与抛物线相交于两点，且的中点为，则__________. 【变式5-3】已知动点到直线的距离与到点距离相等，设动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)直线与曲线交于两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 题型06抛物线的定值问题 典｜例｜精｜析 【例11】已知抛物线经过点，过点的直线与抛物线有两个不同的交点，，且直线交轴于，直线交轴于. (1)求直线的斜率的取值范围； (2)设为原点，，，求证：为定值. 【例12】如图所示，M是抛物线上的一定点，动弦分别交x轴于两点，且．证明：直线EF的斜率为定值．    变｜式｜巩｜固 【变式6-1】设抛物线：的焦点为，直线：与抛物线相交于两点，点为线段的中点． (1)求的取值范围； (2)求证：点的纵坐标为定值． 【变式6-2】在平面直角坐标系中，点为抛物线：的焦点，A，B，C为E上三点，且F为的垂心. (1)若点A的纵坐标为，求直线的斜率； (2)若，求的面积； (3)证明：为定值. 【变式6-3】如图，已知抛物线过点，过定点的直线与曲线交于两点，以为直径的圆交轴于两点，为原点，求证：为定值． 题型07抛物线的定点问题 典｜例｜精｜析 【例13】已知动点到定点的距离比它到直线 的距离小 (1)求动点的轨迹方程； (2)过点作倾斜角为，（）的两条直线交的轨迹于两点，若，求证：直线恒过定点． 【例14】已知直线与抛物线相交于异于原点的、两点． (1)若为正三角形，求的面积； (2)若以为直径的圆经过原点，求证：直线恒过定点． 变｜式｜巩｜固 【变式7-1】两直线 和 分别与抛物线 相交于不同于原点的 两点， 则直线 恒过的点是（ ） A． B． C． D． 【变式7-2】已知动圆过定点，且与直线相切． (1)求动圆圆心的轨迹C的方程； (2)过点作倾斜角为，（）的两条直线交轨迹C于M，N两点，若，求证：直线MN恒过定点． 【变式7-3】已知抛物线的焦点为F，抛物线上的点P的横坐标为2，且． (1)求抛物线的标准方程； (2)过点F的直线l交抛物线于A，B两点，设点，设直线EA，EB分别与抛物线交于另一点C，D，求证：直线CD过定点，并求出定点坐标． 题型08 抛物线的三角形问题 典｜例｜精｜析 【例15】设抛物线：的焦点为，为坐标原点，过点的直线交于，两点． (1)证明：点在以为直径的圆上； (2)若，求的面积． 【例16】已知椭圆的焦点为，，抛物线的焦点为．经过的上顶点，且的面积为． (1)求的方程； (2)当时，求的坐标； (3)若与除点外还有两个不同的交点，，求的面积的最大值． 变｜式｜巩｜固 【变式8-1】已知直线与抛物线相交于A，B两点，且． (1)求证：直线AB必过一定点； (2)求面积的最小值． 【变式8-2】已知抛物线的焦点为F，点在C上，且． (1)求C的方程； (2)过F的直线与C交于A，B两点，若P在以为直径的圆上，求的面积． 【变式8-3】已知为坐标原点，抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且． (1)求抛物线的方程； (2)若过点的直线与抛物线交于，两点，其中点在第一象限，且的面积为，求的值． 基础通关 一、单选题 1．过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，若，则直线倾斜角为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 2．若椭圆：，与抛物线有相同焦点，则该椭圆与在第一象限的交点坐标为（     ） A． B． C． D． 3．已知是抛物线的焦点，，线段的垂直平分线与抛物线的交点坐标为（    ） A．或 B． C． D． 4．若抛物线上一点与焦点的距离，为坐标原点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 5．已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，若两点的横坐标之和为6，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 6．抛物线的焦点为F，C的准线与轴交于点，过且倾斜角为的直线与交于M，N两点（在轴上方），则（   ） A． B． C．2 D．3 二、多选题 7．已知抛物线的焦点为是抛物线上两动点，下列说法正确的有（    ） A．抛物线的焦点坐标为 B．若，则线段的中点到轴的距离为6 C．以线段为直径的圆与轴相切 D．以点为圆心，线段的长为半径的圆与准线相切 8．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.已知抛物线的焦点为，一束平行于轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上另一点反射后，沿直线射出，则下列结论中正确的是（   ） A． B．若直线倾斜角为，则 C． D．与之间的距离为3 三、填空题 9．已知点为直线与抛物线的一个交点，则点P到抛物线C的焦点的距离为__________． 10．已知抛物线的焦点为，点M是抛物线C上一点，且，过点M作x轴的垂线，垂足为N，则的面积为_______________ ． 四、解答题 11．已知抛物线：． (1)求抛物线的焦点F的坐标和准线的方程； (2)过焦点F且斜率为的直线与抛物线交于两个不同的点A、B，求线段AB的长． 12．已知抛物线，其焦点为，是上的一点. (1)求； (2)直线交于两点，且的面积为16，求直线的方程. 素养提升 1．已知抛物线，为坐标原点，过焦点的直线交抛物线于，两点，为线段的中点，则直线的斜率的最大值为（    ） A． B．2 C．1 D． 2．抛物线的焦点为F，点F关于坐标原点O的对称点为E，过点E的直线与抛物线在第一象限内的交点为A，B，已知A恰为的中点，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．抛物线的准线方程为 C． D． 3．（多选）已知抛物线 的焦点为， 为坐标原点，则下列结论正确的是（    ） A．抛物线上任意一点到点 的距离最小值为 B．若点为抛物线上的动点，点，则 的最小值为 C．若过焦点且倾斜角为 的直线与抛物线交于， 两点，且，则 D．若过点的直线与抛物线交于 ， 两点，则点 在以为直径的圆内 4．（多选）已知抛物线的焦点为，且，两点在抛物线上，为原点，下列结论正确的有（    ） A．抛物线的准线方程为 B．存在点，使得为等腰直角三角形 C．若、、共线，则面积的最小值为 D．若，则直线恒过点 5．已知抛物线与点，过的焦点且斜率为2的直线与交于，两点，若，则______． 6．已知抛物线 的焦点为 ，抛物线上一点 到点 的距离为2． (1)求抛物线上的动点到直线的最小距离； (2)设是抛物线上异于原点的两个不同点，直线和关于 对称，证明:直线恒过定点，并求出该定点的坐标． 迁移创新 1．（多选）过抛物线对称轴上一点作直线交于，两点，过，作直线的垂线，垂足分别记为，，则（    ） A． B．记坐标原点为，则，，三点共线 C．记的中点为，则直线与抛物线相切 D．对于任意的正数， 2．（多选）已知为坐标原点，抛物线：的焦点为，点在的准线上，过且斜率为的直线与交于不同的两点，（点在线段上），则（   ） A． B．当时，的面积为 C．存在使得 D．若的斜率为，则 3．（多选）设分别为直线和曲线上的动点，若线段的长度存在最小值，则称该值为曲线到直线的距离，记作，已知直线，则下面说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，且，则 4．已知抛物线的焦点为，过焦点的直线与交于，两点，的最小值为4，为坐标原点． (1)求； (2)证明：为钝角三角形； (3)求的外接圆圆心的轨迹方程． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $