第三章 函数的概念与性质（单元分层自测·基础通关卷）高一数学湘教版必修第一册

2026-2027学年必修第一册数学单元自测 第三章 函数的概念与性质·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知，要使函数有意义，需满足被开方数大于0， 即，综上所述，，C正确. 2．函数，则（   ） A．14 B．1 C．0 D．13 【答案】A 【详解】换元求解 【点睛】令，则， 3．已知函数在上具有单调性，则实数k的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【详解】因为为开口向上的二次函数，其对称轴方程为， 所以在单调递减，在单调递增； 若在上具有单调性，则或， 因此或. 4．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法，令，，代入化简即可求解． 【详解】令，则，因为，所以， 由，可得， 所以． 5．已知是定义在上的奇函数，且当时，，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【详解】是定义在上的奇函数， ∴当时，，解得， ∴当时，， . 6．若函数是增函数，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分段函数的单调性求实数的取值范围. 【详解】若为增函数，则，所以. 因此实数a的取值范围为. 7．已知函数，若，则（ ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】D 【分析】先证得为奇函数，所以，再由奇函数的性质可求出. 【详解】令，函数定义域为R， ，所以为奇函数， 所以，所以， 所以，所以． 8．设奇函数的定义域为，对任意的，且，都有不等式，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意确定函数的单调性，分情况将不等式变形利用函数的单调性求解. 【详解】因为对任意的且，都有不等式， 所以函数在单调递增， 因为是奇函数，所以对，，且， 即函数是偶函数. 因为函数在单调递增，所以函数在单调递减， 当可化为或 又为偶函数，，所以①或②， 由①得，解得; 由②得，可得，解得； 综上不等式的解集是. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列函数相等的是（ ） A．函数与函数 B．函数与函数 C．函数与函数 D．函数与函数 【答案】AB 【分析】逐项求两函数的定义域，化简函数解析式，结合函数相等的定义判断结论. 【详解】对于A，函数的定义域为， 函数的定义域为，又， 所以函数与函数相等，A正确； 对于B，函数的定义域为，且， 函数的定义域为， 所以函数与函数相等，B正确； 对于C，函数的定义域为， 函数的定义域为， 函数与函数的定义域不相同， 所以函数与函数不相等，C错误； 对于D，函数的定义域为， 函数的定义域为， 函数与函数的定义域不相同， 所以函数与函数不相等，D错误； 故选：AB. 10．已知定义域为的函数可表示为 1 2 3 4 则下列结论正确的是（    ） A． B．的值域是 C．的值域是 D．若，则 【答案】ABD 【分析】根据分段函数表格，分层计算复合函数，区分值域是集合还是区间，再逆向求解复合方程对应的的范围，逐一判断选项. 【详解】，A正确；的值域是，B正确，C错误； 因为，所以，所以，所以，D正确. 11．若函数同时满足：①对于定义域上的任意，都有在定义域上，且恒有；②对于定义域上的任意，当时，恒有，则称函数为“理想函数”．下列四个函数中能被称为“理想函数”的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据题目所给定义，可知“理想函数”为一个在定义域上单调递减的奇函数，根据基本初等函数性质，逐一判断各选项是否符合要求，判断结果即可. 【详解】对于定义域上的任意，都有在定义域上，且恒有，即，则是奇函数； 对于定义域上的任意，当时，恒有，则函数为减函数，所以满足既是奇函数又是减函数的函数为“理想函数”． 对于A，是奇函数，在定义域上不单调，不满足条件； 对于B，是奇函数，在定义域上是减函数，满足条件； 对于C，是偶函数，不满足条件； 对于D，作出函数的图象，如下图， 由图象知函数既是奇函数又是减函数，满足条件． 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知是定义在上的奇函数，若当时，，则________． 【答案】 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以； 当时，，所以， 则； 由可得； 所以. 13．已知函数是定义在上的偶函数，且当时，单调递增，则关于的不等式的解集是______. 【答案】 【分析】首先根据偶函数的性质转化不等式，然后利用函数的单调性解不等式. 【详解】函数是定义在上的偶函数，， 所以， 当时，单调递增， 所以，即， 解得， 不等式的解集为. 14．函数，则______. 【答案】 【详解】因为函数， 则， 所以关于成中心对称， 所以 ， 令， 则， 两式相加可得：，所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知函数（a为常数）的图象过点． (1)求a的值，判断的奇偶性，并说明理由； (2)求不等式的解集． 【答案】(1)略； (2)或 【详解】（1）因为函数的图象过点．所以，解得． 因此，．是偶函数，理由如下： 因为，都有，所以是偶函数． （2）由，得， 所以，即． 所以或． 所以原不等式的解集为或． 16.（15分）已知函数， (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明你的结论． (2)求该函数在区间上的最大值与最小值． 【答案】(1)略 (2)最大值为，最小值为 【详解】（1）在上的单调递增，证明如下： 在内任取，且， ， 因为，所以， 所以，即， 所以在上的单调递增. （2）由（1）得在上的单调递增， 所以的最大值为，的最小值为. 17．（15分）已知函数且经过，两点. (1)求函数的解析式； (2)利用单调性的定义证明：在上单调递增. 【答案】(1) (2)略 【详解】（1）将点，的坐标代入解析式得， 解得，故. （2）证明：任取，且， 则 ， 因为，且， 所以， 故， 故， 所以在上单调递增. 18．（17分）已知函数． (1)判断函数的奇偶性，并证明； (2)证明在上单调递增，在上单调递减； (3)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)略(2)略 (3) 【详解】（1）略，定义域关于原点对称． ，函数为奇函数 （2）任取，则． 因为，且，所以，从而． 故在上单调递增． 任取，同样有． 此时，，所以，从而． 故在上单调递减． （3）当时，，且 ． 因此，且当时取等号，所以在上的最小值为． 要使对任意都有，必须且只需． 所以实数的取值范围为． 19．（17分）已知函数的定义域为R，且，若. (1)求的值； (2)求的解析式； (3)已知，，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）令，则，即， 解得或， 当时，令，则，即（舍去）， 当时，令，则， 又，， . （2）令，得， 即， 故的解析式为. （3）由题意得，， 令，，，， ，. ， 当且仅当，即时等号成立. 此时，解得. 故的最小值为. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年必修第一册数学单元自测 第三章 函数的概念与性质·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 2．函数，则（   ） A．14 B．1 C．0 D．13 3．已知函数在上具有单调性，则实数k的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 4．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 5．已知是定义在上的奇函数，且当时，，则（    ） A． B． C．1 D．2 6．若函数是增函数，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．已知函数，若，则（ ） A．0 B．2 C．4 D．6 8．设奇函数的定义域为，对任意的，且，都有不等式，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列函数相等的是（ ） A．函数与函数 B．函数与函数 C．函数与函数 D．函数与函数 10．已知定义域为的函数可表示为 1 2 3 4 则下列结论正确的是（    ） A． B．的值域是 C．的值域是 D．若，则 11．若函数同时满足：①对于定义域上的任意，都有在定义域上，且恒有；②对于定义域上的任意，当时，恒有，则称函数为“理想函数”．下列四个函数中能被称为“理想函数”的是（　　） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知是定义在上的奇函数，若当时，，则________． 13．已知函数是定义在上的偶函数，且当时，单调递增，则关于的不等式的解集是______. 14．函数，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知函数（a为常数）的图象过点． (1)求a的值，判断的奇偶性，并说明理由； (2)求不等式的解集． 16．（15分）已知函数， (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明你的结论． (2)求该函数在区间上的最大值与最小值． 17.（15分）已知函数且经过，两点. (1)求函数的解析式； (2)利用单调性的定义证明：在上单调递增. 18．（17分）已知函数． (1)判断函数的奇偶性，并证明； (2)证明在上单调递增，在上单调递减； (3)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 19.（17分）已知函数的定义域为R，且，若. (1)求的值； (2)求的解析式； (3)已知，，求的最小值. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年必修第一册数学单元自测 第三章 函数的概念与性质·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 2．函数，则（   ） A．14 B．1 C．0 D．13 3．已知函数在上具有单调性，则实数k的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 4．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 5．已知是定义在上的奇函数，且当时，，则（    ） A． B． C．1 D．2 6．若函数是增函数，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．已知函数，若，则（ ） A．0 B．2 C．4 D．6 8．设奇函数的定义域为，对任意的，且，都有不等式，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列函数相等的是（ ） A．函数与函数 B．函数与函数 C．函数与函数 D．函数与函数 10．已知定义域为的函数可表示为 1 2 3 4 则下列结论正确的是（    ） A． B．的值域是 C．的值域是 D．若，则 11．若函数同时满足：①对于定义域上的任意，都有在定义域上，且恒有；②对于定义域上的任意，当时，恒有，则称函数为“理想函数”．下列四个函数中能被称为“理想函数”的是（　　） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知是定义在上的奇函数，若当时，，则________． 13．已知函数是定义在上的偶函数，且当时，单调递增，则关于的不等式的解集是______. 14．函数，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知函数（a为常数）的图象过点． (1)求a的值，判断的奇偶性，并说明理由； (2)求不等式的解集． 16．（15分）已知函数， (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明你的结论． (2)求该函数在区间上的最大值与最小值． 17.（15分）已知函数且经过，两点. (1)求函数的解析式； (2)利用单调性的定义证明：在上单调递增. 18．（17分）已知函数． (1)判断函数的奇偶性，并证明； (2)证明在上单调递增，在上单调递减； (3)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 19.（17分）已知函数的定义域为R，且，若. (1)求的值； (2)求的解析式； (3)已知，，求的最小值. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年必修第一册数学单元自测 第三章 函数的概念与性质·基础通关（参考答案） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 C A A B B C D B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9 10 11 AB ABD BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分） 【答案】(1)略； (2)或 【详解】（1）因为函数的图象过点．所以，解得．..........2分 因此，．是偶函数，理由如下：..........4分 因为，都有，所以是偶函数．..........6分 （2）由，得，..........8分 所以，即．..........10分 所以或．..........12分 所以原不等式的解集为或．..........13分 16．（15分） 【答案】(1)略 (2)最大值为，最小值为 【详解】（1）在上的单调递增，证明如下：..........1分 在内任取，且，..........2分 ，..........5分 因为，所以，..........6分 所以，即，..........7分 所以在上的单调递增...........8分 （2）由（1）得在上的单调递增，..........9分 所以的最大值为，..........12分 的最小值为...........15分 17．（15分） 【答案】(1) (2)略 【详解】（1）将点，的坐标代入解析式得，..........3分 解得，..........6分 故...........7分 （2）证明：任取，且，..........8分 则..........9分 ，..........10分 因为，且，..........11分 所以，..........12分 故，..........13分 故，..........14分 所以在上单调递增...........15分 18．（17分） 【答案】(1)略(2)略 (3) 【详解】（1）略，定义域关于原点对称．..........1分 ，函数为奇函数..........4分 （2）任取，则．..........5分 因为，且，所以，从而．..........7分 故在上单调递增．..........8分 任取，同样有．.........9分 此时，，所以，从而．..........10分 故在上单调递减．..........11分 （3）当时，，且 ．..........13分 因此，且当时取等号，所以在上的最小值为．..........15分 要使对任意都有，必须且只需．..........16分 所以实数的取值范围为．..........17分 19．（17分） 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）令，则，即，..........1分 解得或，..........2分 当时，令，则，即（舍去），..........3分 当时，令，则，..........4分 又，，..........5分 ...........6分 （2）令，得，..........7分 即，..........9分 故的解析式为...........10分 （3）由题意得，，..........11分 令，，，，..........12分 ，...........13分 ，..........14分 当且仅当，即时等号成立...........15分 此时，解得...........16分 故的最小值为...........17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $