第六章 统计学初步（单元分层自测·基础通关卷）高一数学湘教版必修第一册

2026-2027学年必修第一册数学单元自测 第六章 统计学初步·基础通关（参考答案） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 D B C B B D B C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9 10 11 ACD BCD ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．4 13．13 14．①④ 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分） 【答案】(1)200人； (2)37.5. 【详解】（1）各组组距均为 ．..........1分 由各组频率之和为 ，得解得 ．..........3分 年龄在 内的频率为 ，所以所求人数为 （人）．..........6分 （2）五组的频率依次为 ．..........7分 各组区间的中点值依次为 ．..........8分 因此这 名中国 AI 大模型用户年龄的平均数估计为..........12分 故估计平均数为 ．..........13分 16．（15分） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意得：，解得；..........5分 （2）由题意得：的频率为，频数为人，..........7分 的频率为，频数为人，..........9分 的频率为，频数为人，..........11分 所以的总频数为：，..........13分 现从这70名学生中采用分层随机抽样的方法抽取28名学生，..........14分 所以在内被抽取的人数为（人）．..........15分 17．（15分） 【答案】(1)众数为80，极差为，A组的平均成绩为，B组的平均成绩为. (2)A组的方差为，B组的方差为，蒙特利尔站全红婵发挥更稳定. 【详解】（1）由题意，这10个分数的众数为80，..........1分 极差为，..........2分 A组的平均成绩为，..........4分 B组的平均成绩为...........6分 （2）A组的方差为，..........10分 B组的方差为，..........14分 因为， 所以蒙特利尔站全红婵发挥更稳定...........15分 18．（17分） 【答案】(1) (2) (3)， 大于平均锻炼时长 【详解】（1）由频率分布直方图可知，组距为，各组频率之和为，所以 ，解得．..........5分 （2）各组区间中点值依次为，对应频率依次为． 平均锻炼时长估计为（分钟）．..........11分 （3）锻炼时长小于分钟的累计频率为； 锻炼时长小于分钟的累计频率为． 因此临界值在55分钟到65分钟之间，即．..........17分 由（2）知平均锻炼时长为分钟，且，所以临界值大于平均锻炼时长． 19．（17分） 【答案】(1)，估计该校达标的人数为人； (2)分钟； (3). 【详解】（1）由频率分布直方图可知，组距为， 则， 解得. ..........3分 每周课外阅读时间在分钟以上（含分钟）的频率为： . ..........4分 故估计该校达标的人数为（人）...........6分 （2）该校学生每周课外阅读的平均时间为： （分钟）...........10分 （3）样本数据在内的频率为，平均数为，方差； ..........11分 样本数据在内的频率为，平均数为，方差. ..........12分 设样本数据在内的平均数为，方差为. 则. ..........14分 由分层方差公式可得： . ..........16分 故样本数据在内的方差为...........17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年必修第一册数学单元自测 第六章 统计学初步·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．期中考试后,为了分析高一年级1000名学生的学习成绩,从中随机抽取了200名学生的成绩单,就这个问题来说,下面说法中正确的是（   ） A．1000名学生是总体 B．每名学生是个体 C．每名学生的成绩是所抽取的一个样本 D．样本容量是200 2．中国古代科举制度始于隋，兴盛于明、清．明代会试分南卷、北卷、中卷，按11：7：2的比例录取，若某年会试后南卷地区录取人数为165人，则北卷地区录取人数为（   ） A．140 B．105 C．70 D．30 3．一组数据中最大值为，最小值，绘制频率分布直方图，若组距为，且第一组左端点取，则组数为（     ） A． B． C． D． 4．下表记录了某地区一年之内的月平均降水量． 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 月平均降水量/cm 5.8 4.8 5.3 4.6 5.6 5.6 5.1 7.1 5.6 5.3 6.4 6.6 则的分位数为（   ） A．5.1 B．5.2 C．5.3 D．5.6 5．一组数据（）的平均数是2，方差是1，则另一组数据（）的平均数及标准差分别为（     ） A．2，1 B．7，3 C．7，9 D．4， 6．射箭比赛中的环数通常为整数，最高 10 环，若一名射箭运动员连续射箭 3 次的环数均不低于 8 环，则称该运动员为“神射手”. 现有甲、乙、丙、丁四名射箭运动员连续射箭 3 次，根据他们的数据， 可以推断一定不是神射手的是（    ） A．甲:平均数为 9 ，中位数为 9 B．乙:平均数为 9 ，极差大于 1 C．丙:中位数为 9 ，众数为 9 D．丁:众数为 9 ，方差大于 1 7．已知一组数据，，，，，，，，，的平均数为3，其中，均为正整数，则当取得最小值时，这组数据的方差为（    ） A． B． C． D． 8．如图所示的扇形统计图统计了某地2013年和2023年小学生参加课外兴趣班的情况，已知2023年当地小学生参加课外兴趣班的总人数是2013年当地小学生参加课外兴趣班的总人数的4倍，下面说法不正确的是（    ） A．2023年当地参加音乐兴趣班的小学生人数是2013年当地参加音乐兴趣班的小学生人数的4倍 B．这11年间当地参加编程兴趣班的小学生人数变化量最大 C．2023年当地参加美术兴趣班的小学生人数少于2013年当地参加美术兴趣班的小学生人数 D．相对于2013年，2023年参加不同课外兴趣班的小学生人数更平均 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．为培养学生科技创新意识，某校组织科技创新知识测试，高一年级一共1000名学生参加测试，从中随机抽取100名学生的成绩作为样本，得到如下频率分布直方图，将80分及以上的成绩评定为科创优秀，下列说法正确的是（     ） A．图中的值为0.026 B．估计该校高一学生成绩的下四分位数为65 C．估计该校高一学生成绩的众数为75 D．估计该校高一年级被评定为科创优秀的学生的平均分约为89 10．2024年中国经济社会发展“成绩单”中，科技创新的分项尤为亮眼，无论是整体实力，还是结构性指标都稳步提升.2020至2024年我国研究与试验发展经费支出及其增长速度如图所示，则（   ） A．2020至2024年我国研究与试验发展经费支出逐年递减 B．2020至2024年我国研究与试验发展经费支出的第25百分位数为27956亿元 C．2020至2024年我国研究与试验发展经费支出增长速度的极差为6.3% D．2020至2024年我国研究与试验发展经费支出增长速度的平均数超过10% 11．的监测值是用来评价环境空气质量的指标之一．划分等级为：日均值在以下，空气质量为一级：日均值在，空气质量为二级：日均值超过为超标．如图是某地12月1日至10日的日均值（单位：）变化的折线图，关于日均值说法正确的是（   ） A．这10天的日均值的第75百分位数为60 B．前5天的日均值的极差小于后5天的日均值的极差 C．这10天的日均值的中位数为41 D．前5天的日均值的方差小于后5天的日均值的方差 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．一组数据按从小到大的顺序排列为1，2，2，，5，10，其中，已知该组数据的中位数是众数的倍，则______. 13．某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件，为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n＝______. 14．甲、乙、丙、丁四人各掷骰子次（骰子每次出现的点数等可能为），并分别记录每次出现的点数，四人根据统计结果对各自的试验数据分别做了如下描述：①中位数为，众数为；②中位数为，极差为；③中位数为，平均数为；④平均数为，方差为；可以判断一定没有出现点的描述序号是_________．（错选或漏选不给分） 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）为了解中国AI大模型用户的年龄分布，某公司调查了500名中国AI大模型用户，统计他们的年龄（都在内），按照，，，，进行分组，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求这500名中国AI大模型用户的年龄在内的人数； (2)估计这500名中国AI大模型用户年龄的平均数（各组数据以该组区间的中点值作代表）. 16．（15分）某县区举办了“中央苏区，红色梅州”的知识竞赛活动．为了了解本次竞赛的成绩情况，从中随机抽取了100名学生的竞赛成绩作为样本进行统计分析，将成绩进行整理后，按分为5组，得到如图所示的频率分布直方图： (1)求图中a的值； (2)在这100名学生中，采用分层随机抽样的方法从内的学生中抽取28名学生进行调查，求在内被抽取的人数． 17.（15分）在2024年世界泳联跳水世界杯蒙特利尔站和柏林站女子10米台跳水决赛中，全红婵奉献了高水准的精彩表现，在决赛中的五个动作惊艳了全世界.在这两场决赛中，7名裁判给选手的五个跳水动作打分，两站裁判对全红婵的打分记录如下：（为了方便计算，采取分数四舍五入取整） 组（蒙特利尔站）：80，80，82，78，93. 组（柏林站）：81，80，86，99，86. (1)请写出这10个得分的众数、极差以及，两组各自的平均成绩； (2)请你分别计算两站比赛得分的方差，并根据计算结果分析两站比赛中，哪一站全红婵发挥更稳定？ 18．（17分）某社区开展全民健身活动，工作人员抽样统计了500名居民每日体育锻炼时长（单位：分钟），得到频率分布直方图如图所示． (1)根据频率分布直方图，求出图中的值； (2)估计这500名居民锻炼时长的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (3)为了鼓励居民积极参与体育锻炼，工作人员想将锻炼时长排名前50%的居民定义为“健身达人”，需要确定一个临界值，试根据频率分布直方图判断临界值和平均锻炼时长的大小关系 19.（17分）某学校举办读书节活动，该校有2000名学生，现随机调查了100名学生一周的课外阅读时间，将统计数据按照，，…，分组绘制成如图所示的频率分布直方图（单位：分钟，同一组中的数据用该组的中点值作代表）. (1)求的值，若每周课外阅读时间60分钟以上（含60分钟）视为达标，试估计该校达标的人数； (2)估计该校学生每周课外阅读的平均时间； (3)若样本数据在与内的方差分别为，，求样本数据在内的方差. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年必修第一册数学单元自测 第六章 统计学初步·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．期中考试后,为了分析高一年级1000名学生的学习成绩,从中随机抽取了200名学生的成绩单,就这个问题来说,下面说法中正确的是（   ） A．1000名学生是总体 B．每名学生是个体 C．每名学生的成绩是所抽取的一个样本 D．样本容量是200 2．中国古代科举制度始于隋，兴盛于明、清．明代会试分南卷、北卷、中卷，按11：7：2的比例录取，若某年会试后南卷地区录取人数为165人，则北卷地区录取人数为（   ） A．140 B．105 C．70 D．30 3．一组数据中最大值为，最小值，绘制频率分布直方图，若组距为，且第一组左端点取，则组数为（     ） A． B． C． D． 4．下表记录了某地区一年之内的月平均降水量． 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 月平均降水量/cm 5.8 4.8 5.3 4.6 5.6 5.6 5.1 7.1 5.6 5.3 6.4 6.6 则的分位数为（   ） A．5.1 B．5.2 C．5.3 D．5.6 5．一组数据（）的平均数是2，方差是1，则另一组数据（）的平均数及标准差分别为（     ） A．2，1 B．7，3 C．7，9 D．4， 6．射箭比赛中的环数通常为整数，最高 10 环，若一名射箭运动员连续射箭 3 次的环数均不低于 8 环，则称该运动员为“神射手”. 现有甲、乙、丙、丁四名射箭运动员连续射箭 3 次，根据他们的数据， 可以推断一定不是神射手的是（    ） A．甲:平均数为 9 ，中位数为 9 B．乙:平均数为 9 ，极差大于 1 C．丙:中位数为 9 ，众数为 9 D．丁:众数为 9 ，方差大于 1 7．已知一组数据，，，，，，，，，的平均数为3，其中，均为正整数，则当取得最小值时，这组数据的方差为（    ） A． B． C． D． 8．如图所示的扇形统计图统计了某地2013年和2023年小学生参加课外兴趣班的情况，已知2023年当地小学生参加课外兴趣班的总人数是2013年当地小学生参加课外兴趣班的总人数的4倍，下面说法不正确的是（    ）    A．2023年当地参加音乐兴趣班的小学生人数是2013年当地参加音乐兴趣班的小学生人数的4倍 B．这11年间当地参加编程兴趣班的小学生人数变化量最大 C．2023年当地参加美术兴趣班的小学生人数少于2013年当地参加美术兴趣班的小学生人数 D．相对于2013年，2023年参加不同课外兴趣班的小学生人数更平均 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．为培养学生科技创新意识，某校组织科技创新知识测试，高一年级一共1000名学生参加测试，从中随机抽取100名学生的成绩作为样本，得到如下频率分布直方图，将80分及以上的成绩评定为科创优秀，下列说法正确的是（     ） A．图中的值为0.026 B．估计该校高一学生成绩的下四分位数为65 C．估计该校高一学生成绩的众数为75 D．估计该校高一年级被评定为科创优秀的学生的平均分约为89 10．2024年中国经济社会发展“成绩单”中，科技创新的分项尤为亮眼，无论是整体实力，还是结构性指标都稳步提升.2020至2024年我国研究与试验发展经费支出及其增长速度如图所示，则（   ） A．2020至2024年我国研究与试验发展经费支出逐年递减 B．2020至2024年我国研究与试验发展经费支出的第25百分位数为27956亿元 C．2020至2024年我国研究与试验发展经费支出增长速度的极差为6.3% D．2020至2024年我国研究与试验发展经费支出增长速度的平均数超过10% 11．的监测值是用来评价环境空气质量的指标之一．划分等级为：日均值在以下，空气质量为一级：日均值在，空气质量为二级：日均值超过为超标．如图是某地12月1日至10日的日均值（单位：）变化的折线图，关于日均值说法正确的是（   ） A．这10天的日均值的第75百分位数为60 B．前5天的日均值的极差小于后5天的日均值的极差 C．这10天的日均值的中位数为41 D．前5天的日均值的方差小于后5天的日均值的方差 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．一组数据按从小到大的顺序排列为1，2，2，，5，10，其中，已知该组数据的中位数是众数的倍，则______. 13．某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件，为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n＝______. 14．甲、乙、丙、丁四人各掷骰子次（骰子每次出现的点数等可能为），并分别记录每次出现的点数，四人根据统计结果对各自的试验数据分别做了如下描述：①中位数为，众数为；②中位数为，极差为；③中位数为，平均数为；④平均数为，方差为；可以判断一定没有出现点的描述序号是_________．（错选或漏选不给分） 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）为了解中国AI大模型用户的年龄分布，某公司调查了500名中国AI大模型用户，统计他们的年龄（都在内），按照，，，，进行分组，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求这500名中国AI大模型用户的年龄在内的人数； (2)估计这500名中国AI大模型用户年龄的平均数（各组数据以该组区间的中点值作代表）. 16．（15分）某县区举办了“中央苏区，红色梅州”的知识竞赛活动．为了了解本次竞赛的成绩情况，从中随机抽取了100名学生的竞赛成绩作为样本进行统计分析，将成绩进行整理后，按分为5组，得到如图所示的频率分布直方图： (1)求图中a的值； (2)在这100名学生中，采用分层随机抽样的方法从内的学生中抽取28名学生进行调查，求在内被抽取的人数． 17.（15分）在2024年世界泳联跳水世界杯蒙特利尔站和柏林站女子10米台跳水决赛中，全红婵奉献了高水准的精彩表现，在决赛中的五个动作惊艳了全世界.在这两场决赛中，7名裁判给选手的五个跳水动作打分，两站裁判对全红婵的打分记录如下：（为了方便计算，采取分数四舍五入取整） 组（蒙特利尔站）：80，80，82，78，93. 组（柏林站）：81，80，86，99，86. (1)请写出这10个得分的众数、极差以及，两组各自的平均成绩； (2)请你分别计算两站比赛得分的方差，并根据计算结果分析两站比赛中，哪一站全红婵发挥更稳定？ 18．（17分）某社区开展全民健身活动，工作人员抽样统计了500名居民每日体育锻炼时长（单位：分钟），得到频率分布直方图如图所示． (1)根据频率分布直方图，求出图中的值； (2)估计这500名居民锻炼时长的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (3)为了鼓励居民积极参与体育锻炼，工作人员想将锻炼时长排名前50%的居民定义为“健身达人”，需要确定一个临界值，试根据频率分布直方图判断临界值和平均锻炼时长的大小关系 19.（17分）某学校举办读书节活动，该校有2000名学生，现随机调查了100名学生一周的课外阅读时间，将统计数据按照，，…，分组绘制成如图所示的频率分布直方图（单位：分钟，同一组中的数据用该组的中点值作代表）. (1)求的值，若每周课外阅读时间60分钟以上（含60分钟）视为达标，试估计该校达标的人数； (2)估计该校学生每周课外阅读的平均时间； (3)若样本数据在与内的方差分别为，，求样本数据在内的方差. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年必修第一册数学单元自测 第六章 统计学初步·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．期中考试后,为了分析高一年级1000名学生的学习成绩,从中随机抽取了200名学生的成绩单,就这个问题来说,下面说法中正确的是（   ） A．1000名学生是总体 B．每名学生是个体 C．每名学生的成绩是所抽取的一个样本 D．样本容量是200 【答案】D 【详解】A.总体是1000名学生的学习成绩，A错； B.个体是每名学生的成绩，B错； C.所抽取的样本是200名学生的成绩，不是每名学生的成绩，C错； D.样本容量是200，D正确. 2．中国古代科举制度始于隋，兴盛于明、清．明代会试分南卷、北卷、中卷，按11：7：2的比例录取，若某年会试后南卷地区录取人数为165人，则北卷地区录取人数为（   ） A．140 B．105 C．70 D．30 【答案】B 【详解】因为南卷、北卷、中卷的录取比例为11：7：2，且南卷地区录取人数为165人， 所以北卷地区录取人数为（人）. 3．一组数据中最大值为，最小值，绘制频率分布直方图，若组距为，且第一组左端点取，则组数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，，组数为. 4．下表记录了某地区一年之内的月平均降水量． 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 月平均降水量/cm 5.8 4.8 5.3 4.6 5.6 5.6 5.1 7.1 5.6 5.3 6.4 6.6 则的分位数为（   ） A．5.1 B．5.2 C．5.3 D．5.6 【答案】B 【详解】把这组数据由小到大的顺序排列，得：4.6，4.8，5.1，5.3，5.3，5.6，5.6，5.6，5.8，6.4，6.6，7.1， 因为3，所以分位数为． 5．一组数据（）的平均数是2，方差是1，则另一组数据（）的平均数及标准差分别为（     ） A．2，1 B．7，3 C．7，9 D．4， 【答案】B 【详解】已知数据（）的平均数是2，方差是1， 所以另一组数据（）的平均数是，方差是，标准差是. 6．射箭比赛中的环数通常为整数，最高 10 环，若一名射箭运动员连续射箭 3 次的环数均不低于 8 环，则称该运动员为“神射手”. 现有甲、乙、丙、丁四名射箭运动员连续射箭 3 次，根据他们的数据， 可以推断一定不是神射手的是（    ） A．甲:平均数为 9 ，中位数为 9 B．乙:平均数为 9 ，极差大于 1 C．丙:中位数为 9 ，众数为 9 D．丁:众数为 9 ，方差大于 1 【答案】D 【详解】设三次射箭环数从小到大依次为，环数为整数且，“神射手”要求. 对选项A，由甲的平均数为9、中位数为9，得，，故. 又，因此，即，三次环数均不低于8，甲一定是神射手. 对选项B，由乙的平均数为9、极差大于1，可取环数为8,9,10（极差，均不低于8，是神射手）， 也可取环数为7,10,10（极差，存在环数低于8，不是神射手），故无法断定乙一定不是神射手. 对选项C，由丙的中位数为9、众数为9，可取环数为（均不低于8，是神射手）， 也可取环数为7,9,9（存在环数低于8，不是神射手），故无法断定丙一定不是神射手. 对选项D，由丁的众数为9，知9至少出现两次.若三次均为9，则方差为0，与方差大于1矛盾， 故必为两次9、一次（）.设环数为，平均数，方差 由得，即.结合环数为整数且最高10环，得， 即，故必有一次环数低于8，丁一定不是神射手. 7．已知一组数据，，，，，，，，，的平均数为3，其中，均为正整数，则当取得最小值时，这组数据的方差为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由平均数的定义可得，再利用基本不等式求出取最小值时的取值，最后代入方差公式计算即可. 【详解】由题意可得：，则，其中. 可得 ， 当且仅当，即时，等号成立，满足条件， 所以 , ， 所以这组数据的方差为. 8．如图所示的扇形统计图统计了某地2013年和2023年小学生参加课外兴趣班的情况，已知2023年当地小学生参加课外兴趣班的总人数是2013年当地小学生参加课外兴趣班的总人数的4倍，下面说法不正确的是（    ）    A．2023年当地参加音乐兴趣班的小学生人数是2013年当地参加音乐兴趣班的小学生人数的4倍 B．这11年间当地参加编程兴趣班的小学生人数变化量最大 C．2023年当地参加美术兴趣班的小学生人数少于2013年当地参加美术兴趣班的小学生人数 D．相对于2013年，2023年参加不同课外兴趣班的小学生人数更平均 【答案】C 【分析】设2013年参加课外兴趣班的小学生总人数为，则2023年参加课外兴趣班的小学生总人数是，根据扇形统计图中的比例计算，并逐项检验，即可得到结果. 【详解】设2013年当地参加课外兴趣班的小学生总人数为，则2023年当地参加课外兴趣班的小学生总人数是4a． 由统计图可知，2013年当地参加音乐兴趣班的小学生人数是年当地参加音乐兴趣班的小学生人数是，故A正确； 这11年间当地参加编程兴趣班的小学生人数变化量为， 这11年间当地参加语言表演兴趣班的小学生人数变化量为， 这11年间当地参加音乐兴趣班的小学生人数变化量为， 这11年间当地参加美术兴趣班的小学生人数变化量为， 所以这11年间当地参加编程兴趣班的小学生人数变化量最大，故B正确； 2023年当地参加美术兴趣班的小学生人数为， 2013年当地参加美术兴趣班的小学生人数为，，故C不正确； 根据扇形统计图中的比例分布，可知D正确． 故选C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．为培养学生科技创新意识，某校组织科技创新知识测试，高一年级一共1000名学生参加测试，从中随机抽取100名学生的成绩作为样本，得到如下频率分布直方图，将80分及以上的成绩评定为科创优秀，下列说法正确的是（     ） A．图中的值为0.026 B．估计该校高一学生成绩的下四分位数为65 C．估计该校高一学生成绩的众数为75 D．估计该校高一年级被评定为科创优秀的学生的平均分约为89 【答案】ACD 【分析】对于A，利用频率分布直方图的性质求参数即可；对于B，根据百分位数的求解方式求解；对于C，由众数的概念求解；对于D，根据平均值的公式求解． 【详解】，解得，故A正确； 的频率分别为， 则高一学生成绩的下四分位数落在，设为， ，解得，故B错误； 估计该校高一学生成绩的众数为，故C正确； 估计该校高一年级被评定为科创优秀的学生的平均分约为，故D正确． 10．2024年中国经济社会发展“成绩单”中，科技创新的分项尤为亮眼，无论是整体实力，还是结构性指标都稳步提升.2020至2024年我国研究与试验发展经费支出及其增长速度如图所示，则（   ） A．2020至2024年我国研究与试验发展经费支出逐年递减 B．2020至2024年我国研究与试验发展经费支出的第25百分位数为27956亿元 C．2020至2024年我国研究与试验发展经费支出增长速度的极差为6.3% D．2020至2024年我国研究与试验发展经费支出增长速度的平均数超过10% 【答案】BCD 【详解】2020至2024年我国研究与试验发展经费支出逐年增长，A项错误； ，2020至2024年我国研究与试验发展经费支出的第25百分位数为从小到大排列的第2个数，即亿元，B项正确； 2020至2024年我国研究与试验发展经费支出增长速度的极差为，C项正确； 2020至2024年我国研究与试验发展经费支出增长速度的平均数为： ，D项正确. 11．的监测值是用来评价环境空气质量的指标之一．划分等级为：日均值在以下，空气质量为一级：日均值在，空气质量为二级：日均值超过为超标．如图是某地12月1日至10日的日均值（单位：）变化的折线图，关于日均值说法正确的是（   ） A．这10天的日均值的第75百分位数为60 B．前5天的日均值的极差小于后5天的日均值的极差 C．这10天的日均值的中位数为41 D．前5天的日均值的方差小于后5天的日均值的方差 【答案】ABD 【分析】选项A，根据百分位数定义求结论即可判断.选项B判断极差相关选项，分别找出前5天数据的最大值、最小值，后5天数据的最大值、最小值，用最大值减最小值得到对应极差后比较. 选项C判断中位数相关选项，将10个数据从小到大排序后，取第5和第6项的平均值即为中位数，选项D判断方差相关选项，可通过数据波动程度定性比较. 【详解】首先从折线图提取10天的PM2.5日均值，按日期顺序为：30,41,32,34,40,80,78,60,45,48， 将全部数据从小到大排序得：30,32,34,40,41,45,48,60,78,80，逐一判断选项： 选项A：因为，故，不是整数，向上取整得到位置为， 排序后第项为，因此第百分位数为，选项A正确. 选项B：前5天数据为，极差为； 后5天数据为，极差为，显然，B正确. 选项C：10个数据的中位数是第5项和第6项的平均值， 即，C错误. 选项D：前5天数据全部集中在区间，波动程度很小； 后5天数据分布在区间，数值差异大，波动程度远高于前5天， 因此前5天的方差小于后5天的方差，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．一组数据按从小到大的顺序排列为1，2，2，，5，10，其中，已知该组数据的中位数是众数的倍，则______. 【答案】4 【详解】依题意，该组数据的众数为2，中位数为，则，所以. 13．某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件，为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n＝______. 【答案】13 【详解】由题意得，解得． 14．甲、乙、丙、丁四人各掷骰子次（骰子每次出现的点数等可能为），并分别记录每次出现的点数，四人根据统计结果对各自的试验数据分别做了如下描述：①中位数为，众数为；②中位数为，极差为；③中位数为，平均数为；④平均数为，方差为；可以判断一定没有出现点的描述序号是_________．（错选或漏选不给分） 【答案】①④ 【分析】根据中位数，极差，平均数，方差，众数等定义分别判断计算各个选项即可. 【详解】①由于中位数为，众数为，故出现两次，又中位数为，则数据从小到大为，一定没有； ②中位数为3，极差为3，则数据从小到大为符合题意，故可能出现； ③中位数为，平均数为，则设数据从小到大为符合题意，故可能出现6； ④平均数为，方差为，则设满足要求且含的数据从小到大为， 故且， 那么且，， 平方和不可能为负数，不存在满足条件的正整数数据，故一定没有. 综上，①④一定没有. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分） 15．为了解中国AI大模型用户的年龄分布，某公司调查了500名中国AI大模型用户，统计他们的年龄（都在内），按照，，，，进行分组，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求这500名中国AI大模型用户的年龄在内的人数； (2)估计这500名中国AI大模型用户年龄的平均数（各组数据以该组区间的中点值作代表）. 【答案】(1)200人； (2)37.5. 【详解】（1）各组组距均为 ． 由各组频率之和为 ，得解得 ． 年龄在 内的频率为 ，所以所求人数为 （人）． （2）五组的频率依次为 ． 各组区间的中点值依次为 ． 因此这 名中国 AI 大模型用户年龄的平均数估计为 故估计平均数为 ． 16.（15分） 16．某县区举办了“中央苏区，红色梅州”的知识竞赛活动．为了了解本次竞赛的成绩情况，从中随机抽取了100名学生的竞赛成绩作为样本进行统计分析，将成绩进行整理后，按分为5组，得到如图所示的频率分布直方图： (1)求图中a的值； (2)在这100名学生中，采用分层随机抽样的方法从内的学生中抽取28名学生进行调查，求在内被抽取的人数． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意得：，解得； （2）由题意得：的频率为，频数为人， 的频率为，频数为人， 的频率为，频数为人， 所以的总频数为：， 现从这70名学生中采用分层随机抽样的方法抽取28名学生， 所以在内被抽取的人数为（人）． 17．（15分） 17．在2024年世界泳联跳水世界杯蒙特利尔站和柏林站女子10米台跳水决赛中，全红婵奉献了高水准的精彩表现，在决赛中的五个动作惊艳了全世界.在这两场决赛中，7名裁判给选手的五个跳水动作打分，两站裁判对全红婵的打分记录如下：（为了方便计算，采取分数四舍五入取整） 组（蒙特利尔站）：80，80，82，78，93. 组（柏林站）：81，80，86，99，86. (1)请写出这10个得分的众数、极差以及，两组各自的平均成绩； (2)请你分别计算两站比赛得分的方差，并根据计算结果分析两站比赛中，哪一站全红婵发挥更稳定？ 【答案】(1)众数为80，极差为，A组的平均成绩为，B组的平均成绩为. (2)A组的方差为，B组的方差为，蒙特利尔站全红婵发挥更稳定. 【详解】（1）由题意，这10个分数的众数为80， 极差为， A组的平均成绩为， B组的平均成绩为. （2）A组的方差为， B组的方差为， 因为， 所以蒙特利尔站全红婵发挥更稳定. 18．（17分） 18．某社区开展全民健身活动，工作人员抽样统计了500名居民每日体育锻炼时长（单位：分钟），得到频率分布直方图如图所示． (1)根据频率分布直方图，求出图中的值； (2)估计这500名居民锻炼时长的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (3)为了鼓励居民积极参与体育锻炼，工作人员想将锻炼时长排名前50%的居民定义为“健身达人”，需要确定一个临界值，试根据频率分布直方图判断临界值和平均锻炼时长的大小关系． 【答案】(1) (2) (3)， 大于平均锻炼时长 【详解】（1）由频率分布直方图可知，组距为，各组频率之和为，所以 ，解得． （2）各组区间中点值依次为，对应频率依次为． 平均锻炼时长估计为（分钟）． （3）锻炼时长小于分钟的累计频率为； 锻炼时长小于分钟的累计频率为． 因此临界值在55分钟到65分钟之间，即． 由（2）知平均锻炼时长为分钟，且，所以临界值大于平均锻炼时长． 19．（17分） 19．某学校举办读书节活动，该校有2000名学生，现随机调查了100名学生一周的课外阅读时间，将统计数据按照，，…，分组绘制成如图所示的频率分布直方图（单位：分钟，同一组中的数据用该组的中点值作代表）. (1)求的值，若每周课外阅读时间60分钟以上（含60分钟）视为达标，试估计该校达标的人数； (2)估计该校学生每周课外阅读的平均时间； (3)若样本数据在与内的方差分别为，，求样本数据在内的方差. 【答案】(1)，估计该校达标的人数为人； (2)分钟； (3). 【详解】（1）由频率分布直方图可知，组距为， 则， 解得. 每周课外阅读时间在分钟以上（含分钟）的频率为： . 故估计该校达标的人数为（人）. （2）该校学生每周课外阅读的平均时间为： （分钟）. （3）样本数据在内的频率为，平均数为，方差； 样本数据在内的频率为，平均数为，方差. 设样本数据在内的平均数为，方差为. 则. 由分层方差公式可得： . 故样本数据在内的方差为. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $