高中数学单元测试——第五章统计与概率（较易版02）

**基本信息** 高中数学统计与概率单元复习卷（较易版），覆盖总体样本、频率、概率等基础知识点，结合文化情境与实际应用，适配单元基础巩固与核心素养培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|总体样本、古典概型|结合《数书九章》“验米夹谷”文化情境，培养数学眼光| |多选题|3/18|频率分布形态、独立事件|通信传输方案设计考查逻辑推理，体现数学思维| |填空题|3/15|百分位数、方差、全概率公式|基础统计量计算与概率模型应用| |解答题|5/77|频率分布表、概率独立性、分层抽样|医学数据处理题强化数据表达能力，落实数学语言|

高中数学单元测试 —— 第五章 统计与概率（较易版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）某中学研究人员希望调查该校高中学生平均每天的自习时间.他调查了100名学生，发现他们每天的平均自习时间是3h.这里的总体是（    ） A．该校的所有高中学生 B．该校所有高中学生的平均每天自习时间 C．所调查的100名高中学生 D．所调查的100名高中学生的平均每天自习时间 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用样本、总体的意义判断即得. 【详解】调查对象的全体为该校所有高中学生的平均每天自习时间， 因此总体应是该校所有高中学生的平均每天自习时间. 故选：B 2．（本题5分）中国古典数学先后经历了三次发展高潮，即两汉时期、魏晋南北朝时期和宋元时期，并在宋元时期达到顶峰，而南宋时期的数学家秦九韶正是其中的代表人物．作为秦九韶的集大成之作，《数书九章》一书所承载的数学成就非同一般．可以说，但凡是实际生活中需要运用到数学知识的地方，《数书九章》一书皆有所涉及，例如“验米夹谷”问题：今有谷3318石，抽样取谷一把，数得168粒内有秕谷22粒，则粮仓内的秕谷约为（    ） A．321石 B．166石 C．434石 D．623石 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用样本的数字特征估计总体的相应特征作答. 【详解】设粮仓内的秕谷有石，依题意，，解得， 所以粮仓内的秕谷约为434石. 故选：C 3．（本题5分）从存放号码分别为1，2，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下： 卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 取到的次数 11 10 5 8 5 12 19 10 11 9 则取到号码为奇数的频率是（    ） A．0.53 B．0.51 C．0.49 D．0.47 【答案】B 【分析】运用频率定义计算即可. 【详解】由题意知，取到号码为奇数的频率为. 故选：B. 4．（本题5分）已知事件与事件相互独立，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用相互独立事件的概率公式，即可求解. 【详解】因为事件A，B是相互独立事件，所以事件也是相互独立事件， 又，所以， 故. 故选：A. 5．（本题5分）有一组样本数据都在区间内，将其制成如图所示的频率分布直方图，估计该组样本数据的平均数为（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（    ） A．10 B．10.68 C．10.58 D．12 【答案】B 【分析】利用频率分布直方图估计平均数的方法，列式计算即得. 【详解】由频率分布直方图得：从左到右各小矩形面积依次为， 所以该组样本数据的平均数为. 故选：B 6．（本题5分）已知事件A，B互斥，它们都不发生的概率为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据互斥事件，对立事件的概率关系即可计算求解. 【详解】由题可知，， 又，所以，解得， 所以. 故选：D. 7．（本题5分）已知样本数据、、、、的平均数为，方差为，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平均数公式可得出的值，利用方差公式可得出的值，结合平方关系可求得的值. 【详解】由平均数公式可得，可得， 由方差公式可得， 整理可得，即，所以， 因为，所以， 故. 故选：D. 8．（本题5分）袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则下列说法正确的是（ ） A．取出的3个球颜色相同的概率为 B．取出的3个球颜色全不相同的概率为 C．取出的3个球颜色不全相同的概率为 D．取出的3个球无红球的概率为 【答案】C 【分析】应用古典概型计算各个选项即可. 【详解】设取得黄、红、白球分别为， 有放回地取球3次， 共 27种等可能结果， 其中颜色相同的结果有3种，其概率为，故A错误； 颜色全不相同的结果有6种，其概率为，故B错误； 颜色不全相同的结果有 24种,其概率为，故C正确； 无红球的结果有8种，其概率为，故D错误． 故选：C 二、多选题 9．（本题6分）如图所示，三个频率分布直方图显示了三种不同的分布形态，图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，则下列判断错误的是（    ）    A．图（1）中，平均数=中位数>众数 B．图（2）中，众数<中位数<平均数 C．图（2）中，平均数<众数<中位数 D．图（3）中，中位数<平均数<众数 【答案】ACD 【分析】频率分布直方图不同分布形态下众数、平均数、中位数之间的大小关系即可求解. 【详解】易知图（1）中，平均数中位数众数，故A错误； 图（2）中，最高峰偏左，众数最小，平均数易受极端值的影响，与中位数相比， 平均数总是在“长尾巴”那边，即平均数大于中位数，故B正确，C错误； 同理可知，图（3）中，众数最大，平均数小于中位数，故D错误． 故选：ACD． 10．（本题6分）掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚正面向上”，事件“第二枚反面向上”，则（    ） A． B．与相互对立 C．与相互独立 D．与互斥 【答案】AC 【分析】求出可判断A；根据对立事件的定义可判断B；根据独立事件的定义可判断C；根据互斥事件的定义可判断D. 【详解】掷两枚质地均匀的硬币，样本空间为：{（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}， 事件“第一枚正面向上”，即{（正，正），（正，反）} 事件“第二枚反面向上”，即{（正，反），（反，反）}， 则，得，故A正确； 由于事件A和事件B能同时发生，所以与不为互斥事件，也不为对立事件，故B、D错误； 事件“第一枚正面向上且第二枚反面向上”，即{（正，反）}， 则，则，所以与相互独立，故C正确， 故选：AC. 11．（本题6分）在一款色彩三原色（红、黄、青）的颜色传输器中，信道内传输红色、黄色、青色信号，信号的传输相互独立.当发送红色信号时，显示为黄色的概率为，显示为青色的概率为；当发送黄色信号时，显示为青色的概率为，显示为红色的概率为；当发送青色信号时，显示为红色的概率为，显示为黄色的概率为.考虑两种传输方案：单次传输和两次传输，单次传输是指每个信号只发送1次，两次传输是指每个信号重复发送2次.显示的颜色信号需要译码，译码规则如下：当单次传输时，译码就是显示的颜色信号；当两次传输时，若两次显示的颜色信号不同，则译码为剩下的颜色信号，若两次显示的颜色信号相同，则译码为显示的颜色.例如：若显示的颜色为（红，黄），则译码为青色，若显示的颜色为（红，红），则译码为红色.则下列结论正确的是（    ） A．采用单次传输方案，若依次发送红色、黄色、青色信号，则依次显示为青色、青色、红色的概率为 B．采用两次传输方案，若发送红色信号，则依次显示黄色、黄色的概率为 C．采用两次传输方案，若发送红色信号，则译码为红色的概率为 D．对于任意的，若发送红色信号，则采用两次传输方案译码为青色的概率小于采用单次传输方案译码为青色的概率 【答案】BD 【分析】根据信号传输规则及相互独立事件同时发生的概率计算可判断ABC，利用作差法比较大小可判断D. 【详解】对于A，依次发送红色、黄色、青色信号，则依次显示青色、青色、红色的事件是发送红色信号显示青色、发送黄色信号显示青色、发送青色信号显示红色的3个事件的积，它们相互独立， 所以所求概率为，A错误； 对于B，两次传输，发送红色信号，相当于依次发送红色、红色信号，则依次显示黄色、黄色的事件是发送红色信号接收黄色信号、发送红色信号接收黄色信号的2个事件的积，它们相互独立， 所以所求概率为，B正确； 对于C，两次传输，发送红色信号，则译码为红色的事件是依次显示黄色、青色或青色、黄色的事件的和，它们互斥， 所以所求的概率为，故C错误； 对于D，若采用两次传输，发送红色信号，则译码为青色的概率， 若单次传输发送红色信号，则译码为青色的概率， 因此，即，D正确. 故选：BD. 三、填空题 12．（本题5分）已知名同学的跳远成绩（单位：）排序后如下：，，，，，，，，，，则这组数据的第百分位数是________. 【答案】4.05 【详解】因为， 故第百分位数为第个数和第个数的平均数即为. 13．（本题5分）甲和乙两个箱子中各装有6个球，其中甲箱子中有4个红球、2个白球，乙箱子中有2个红球、4个白球，现随机选择一个箱子，然后从该箱子中随机取出一个球，则取出的球是白球的概率为____________. 【答案】/0.5 【分析】把所求概率的事件分拆成两个互斥事件的和，再利用互斥事件的概率公式及相互独立事件的概率公式求解即得. 【详解】依题意，取出的球是白球的事件是取甲箱并取白球的事件与取乙箱并取白球的事件的和， 显然事件与互斥，，， 所以. 故答案为： 14．（本题5分）已知某7个数的平均数为3，方差为，现又加入一个新数据3，此时这8个数的平均数为，方差为．则_____________． 【答案】4 【分析】根据加入一个新数据3时，此时这8个数的平均数与方差得，进而根据方差公式计算即可. 【详解】设七个数分别为，所以，， 当加入一个新数据3时，此时这8个数的平均数为， 所以，这8个数的方差，解得， 所以，某七个数据的方差. 故答案为： 四、解答题 15．（本题13分）对一批西装进行了多次抽检，并记录结果如下表： 抽取件数 50 100 200 300 400 500 检出次品的件数 5 6 5 6 8 10 检出次品的频率 0.1 (1)根据表中数据，计算并填写每次抽检中检出次品的频率； (2)从这批西装中任抽一件，抽到次品的经验概率是多少？ (3)如果要销售2000件西装，至少需额外准备多少件正品西装供买到次品的顾客调换？ 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)至少需额外准备52件正品西装供买到次品的顾客调换． 【分析】（1）利用次品率的计算公式求解即可； （2）利用次品的经验概率及古典概型求解即可； （3）利用次品西装的件数约为（件）求解即可. 【详解】（1）检出次品的频率，填表如下： 抽取件数 50 100 200 300 400 500 检出次品的件数 5 6 5 6 8 10 检出次品的频率 0.1 0.06 0.025 0.02 0.02 0.02 （2）抽取的件数总和为， 检出次品的件数总和为， 故从这批西装中任抽一件，抽到次品的经验概率是． （3）如果要销售2000件西装，则次品西装的件数约为（件）， 所以至少需额外准备52件正品西装供买到次品的顾客调换． 16．（本题15分）某医学研究团队为了研究一种降血脂新药的有效性，给50名患者服用该药，一周后测得低密度脂蛋白的含量（单位：mmol/L）如下： 2.80  3.54  3.02  3.43  3.69  2.46  3.03  3.06  3.35  3.57 3.72  4.36  2.56  4.11  2.81  2.77  5.32  3.34  3.68  3.95 2.98  3.63  3.65  3.22  3.90  3.97  3.86  3.93  3.17  3.72 3.36  3.56  3.80  4.57  5.02  3.31  3.52  3.27  3.98  4.72 3.03  4.09  2.14  2.06  3.00  2.75  3.84  2.16  3.09  2.81 (1)制作频率分布表； (2)绘制频率分布直方图和频率分布折线图. 【答案】(1)频率分布表见解析 (2)频率分布直方图和频率分布折线图见解析 【分析】（1）根据所给数据求出极差，分组，求出各区间的频数及频率即可求出频率分布表； （2）根据（1）作出频率分布直方图，再由频率分布直方图得出折线图即可 【详解】（1）由题目数据可知极差为，组距为，所以分7组较好， ， 频率分布表如下： 分组 频数 频率 4 11 12 16 3 3 1 合计 50 1.00 （2）根据（1）的频率分布表可以画出频率分布直方图如图所示： 频率折线图如图： 17．（本题15分）有个相同的球，分别标有数字，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．用表示样本点，其中表示第一次取出球的数字，表示第二次取出球的数字． (1)写出这个试验的样本空间； (2)设事件“第一次取出的球的数字是1”，事件“两次取出的球的数字之和是4”．计算，，并判断事件和事件是否相互独立，并说明理由． 【答案】(1)答案见解析 (2)，，相互独立，理由见解析 【分析】（1）依题意逐一列出基本事件即可得到样本空间； （2）根据古典概型的概率公式求出，，，再根据独立事件的定义判断． 【详解】（1）依题意试验的样本空间，，，，，，，，； （2）事件和事件相互独立，理由如下： 因为，，，，，， 所以，， 因为， 所以， 因为， 所以事件和事件相互独立． 18．（本题17分）某学校高中部最近组织了一次野外郊游活动，活动分为登山看日出组和海边看日落组，且每位学生至多参加其中一组.在参加活动的学生中，高一学生占20%，高二学生占30%，登山组的学生占参加活动的总人数的，且该组高一学生占50%，高二学生占30%.为了了解各组不同年级的学生对本次活动的满意程度，现用分层随机抽样的方法从参加活动的全体学生中抽取一个容量为80的样本. (1)求在海边看日落组中，高一学生、高二学生、高三学生分别所占的比例; (2)求在海边看日落组中，高三年级应抽取的人数. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设高一学生、高二学生、高三学生所占的比例分别为，根据题意，列出方程求得，求得的值； （2）由（1）可得高三学生所占的比例分别为，进而求得高三年级应抽取的人数. 【详解】（1）解：设登山看日出组的人数为x，在海边看日落组中， 设高一学生、高二学生、高三学生所占的比例分别为， 则，解得， 所以. 故在海边看日落组中，高一学生、高二学生、高三学生所占的比例分别为. （2）解：由（1）可得高三学生所占的比例分别为， 所以在海边看日落组中，高三年级应抽取的人数为人. 19．（本题17分）甲、乙两位同学独立地参加某大学少科班的入学面试，入学面试共有3道题目，答对2道题则通过面试（前2道题都答对或都答错，第3道题均不需要回答）.已知甲答对每道题目的概率均为，乙答对第1道和第2道题目的概率都是，答对第3道题目的概率是，且甲、乙两人对每道题能否答对相互独立.记“甲只回答2道题就结束面试”为事件，记“乙3道题都回答且通过面试”为事件. (1)求事件“甲只回答2道题且通过”的概率； (2)求事件和事件同时发生的概率； (3)求甲、乙两人恰有一人通过面试的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意直接计算即可； （2）先由题意求出即可由独立事件概率乘法公式计算求解； （3）先依次分析计算求出甲、乙通过面试的概率，再由独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式计算即可求解. 【详解】（1）由题可得（甲只回答2道题且通过）； （2）由题可得， 若事件发生，则乙前两题对一题，错一题，第三题答对， ， 由题意可知事件相互独立， 所以； （3）记甲没有通过面试为事件， 包括前两道回答对一道且最后一道错误或前两道均回答错误两种情况， 则甲没有通过面试的概率为 则甲通过面试的概率为， 乙通过面试的事件记为，则概率为， 乙没有通过面试概率为， 由题意可知事件相互独立，甲、乙两人恰有一人通过面试的事件记为， 则概率为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第五章 统计与概率（较易版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）某中学研究人员希望调查该校高中学生平均每天的自习时间.他调查了100名学生，发现他们每天的平均自习时间是3h.这里的总体是（    ） A．该校的所有高中学生 B．该校所有高中学生的平均每天自习时间 C．所调查的100名高中学生 D．所调查的100名高中学生的平均每天自习时间 2．（本题5分）中国古典数学先后经历了三次发展高潮，即两汉时期、魏晋南北朝时期和宋元时期，并在宋元时期达到顶峰，而南宋时期的数学家秦九韶正是其中的代表人物．作为秦九韶的集大成之作，《数书九章》一书所承载的数学成就非同一般．可以说，但凡是实际生活中需要运用到数学知识的地方，《数书九章》一书皆有所涉及，例如“验米夹谷”问题：今有谷3318石，抽样取谷一把，数得168粒内有秕谷22粒，则粮仓内的秕谷约为（    ） A．321石 B．166石 C．434石 D．623石 3．（本题5分）从存放号码分别为1，2，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下： 卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 取到的次数 11 10 5 8 5 12 19 10 11 9 则取到号码为奇数的频率是（    ） A．0.53 B．0.51 C．0.49 D．0.47 4．（本题5分）已知事件与事件相互独立，且，则（   ） A． B． C． D． 5．（本题5分）有一组样本数据都在区间内，将其制成如图所示的频率分布直方图，估计该组样本数据的平均数为（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（    ） A．10 B．10.68 C．10.58 D．12 6．（本题5分）已知事件A，B互斥，它们都不发生的概率为，且，则（    ） A． B． C． D． 7．（本题5分）已知样本数据、、、、的平均数为，方差为，则的值为（　　） A． B． C． D． 8．（本题5分）袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则下列说法正确的是（ ） A．取出的3个球颜色相同的概率为 B．取出的3个球颜色全不相同的概率为 C．取出的3个球颜色不全相同的概率为 D．取出的3个球无红球的概率为 二、多选题 9．（本题6分）如图所示，三个频率分布直方图显示了三种不同的分布形态，图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，则下列判断错误的是（    ）    A．图（1）中，平均数=中位数>众数 B．图（2）中，众数<中位数<平均数 C．图（2）中，平均数<众数<中位数 D．图（3）中，中位数<平均数<众数 10．（本题6分）掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚正面向上”，事件“第二枚反面向上”，则（    ） A． B．与相互对立 C．与相互独立 D．与互斥 11．（本题6分）在一款色彩三原色（红、黄、青）的颜色传输器中，信道内传输红色、黄色、青色信号，信号的传输相互独立.当发送红色信号时，显示为黄色的概率为，显示为青色的概率为；当发送黄色信号时，显示为青色的概率为，显示为红色的概率为；当发送青色信号时，显示为红色的概率为，显示为黄色的概率为.考虑两种传输方案：单次传输和两次传输，单次传输是指每个信号只发送1次，两次传输是指每个信号重复发送2次.显示的颜色信号需要译码，译码规则如下：当单次传输时，译码就是显示的颜色信号；当两次传输时，若两次显示的颜色信号不同，则译码为剩下的颜色信号，若两次显示的颜色信号相同，则译码为显示的颜色.例如：若显示的颜色为（红，黄），则译码为青色，若显示的颜色为（红，红），则译码为红色.则下列结论正确的是（    ） A．采用单次传输方案，若依次发送红色、黄色、青色信号，则依次显示为青色、青色、红色的概率为 B．采用两次传输方案，若发送红色信号，则依次显示黄色、黄色的概率为 C．采用两次传输方案，若发送红色信号，则译码为红色的概率为 D．对于任意的，若发送红色信号，则采用两次传输方案译码为青色的概率小于采用单次传输方案译码为青色的概率 三、填空题 12．（本题5分）已知名同学的跳远成绩（单位：）排序后如下：，，，，，，，，，，则这组数据的第百分位数是________. 13．（本题5分）甲和乙两个箱子中各装有6个球，其中甲箱子中有4个红球、2个白球，乙箱子中有2个红球、4个白球，现随机选择一个箱子，然后从该箱子中随机取出一个球，则取出的球是白球的概率为____________. 14．（本题5分）已知某7个数的平均数为3，方差为，现又加入一个新数据3，此时这8个数的平均数为，方差为．则_____________． 四、解答题 15．（本题13分）对一批西装进行了多次抽检，并记录结果如下表： 抽取件数 50 100 200 300 400 500 检出次品的件数 5 6 5 6 8 10 检出次品的频率 0.1 (1)根据表中数据，计算并填写每次抽检中检出次品的频率； (2)从这批西装中任抽一件，抽到次品的经验概率是多少？ (3)如果要销售2000件西装，至少需额外准备多少件正品西装供买到次品的顾客调换？ 16．（本题15分）某医学研究团队为了研究一种降血脂新药的有效性，给50名患者服用该药，一周后测得低密度脂蛋白的含量（单位：mmol/L）如下： 2.80  3.54  3.02  3.43  3.69  2.46  3.03  3.06  3.35  3.57 3.72  4.36  2.56  4.11  2.81  2.77  5.32  3.34  3.68  3.95 2.98  3.63  3.65  3.22  3.90  3.97  3.86  3.93  3.17  3.72 3.36  3.56  3.80  4.57  5.02  3.31  3.52  3.27  3.98  4.72 3.03  4.09  2.14  2.06  3.00  2.75  3.84  2.16  3.09  2.81 (1)制作频率分布表； (2)绘制频率分布直方图和频率分布折线图. 17．（本题15分）有个相同的球，分别标有数字，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．用表示样本点，其中表示第一次取出球的数字，表示第二次取出球的数字． (1)写出这个试验的样本空间； (2)设事件“第一次取出的球的数字是1”，事件“两次取出的球的数字之和是4”．计算，，并判断事件和事件是否相互独立，并说明理由． 18．（本题17分）某学校高中部最近组织了一次野外郊游活动，活动分为登山看日出组和海边看日落组，且每位学生至多参加其中一组.在参加活动的学生中，高一学生占20%，高二学生占30%，登山组的学生占参加活动的总人数的，且该组高一学生占50%，高二学生占30%.为了了解各组不同年级的学生对本次活动的满意程度，现用分层随机抽样的方法从参加活动的全体学生中抽取一个容量为80的样本. (1)求在海边看日落组中，高一学生、高二学生、高三学生分别所占的比例; (2)求在海边看日落组中，高三年级应抽取的人数. 19．（本题17分）甲、乙两位同学独立地参加某大学少科班的入学面试，入学面试共有3道题目，答对2道题则通过面试（前2道题都答对或都答错，第3道题均不需要回答）.已知甲答对每道题目的概率均为，乙答对第1道和第2道题目的概率都是，答对第3道题目的概率是，且甲、乙两人对每道题能否答对相互独立.记“甲只回答2道题就结束面试”为事件，记“乙3道题都回答且通过面试”为事件. (1)求事件“甲只回答2道题且通过”的概率； (2)求事件和事件同时发生的概率； (3)求甲、乙两人恰有一人通过面试的概率. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $