第二章 一元二次函数、方程和不等式（单元分层自测·能力提升卷）高一数学湘教版必修第一册

2026-2027学年必修第一册数学单元自测 第二章 一元二次函数、方程和不等式·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，由不等式的性质可得： ，A选项正确； ，B选项错误； ，C选项错误； ，D选项错误； 2．不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】将原分式不等式同解变形为一元二次不等式，求一元二次不等式的解集即可．需要注意的是同解变形时要考虑分母不为零的情形． 【详解】原不等式变形为， 同解变形为，解得，又因为， 所以原不等式的解集为． 3．某园林建设公司计划购买一批机器投入施工．据分析，这批机器可获得的总利润y（单位：万元）与运转时间x（单位：年）的函数解析式为．则这批机器的年平均利润值最大为（   ） A．7 B．8 C．24 D．40 【答案】B 【分析】设年平均利润为u，利用已知可表示出，利用基本不等式求出u的最大值即可. 【详解】设年平均利润为u，因为，且， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 因此这批机器的年平均利润值最大为8万元， 故选：B 4．若，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为, 所以, 因为, 所以, 所以, 所以. 5．乐乐、丁丁解关于的不等式，乐乐得到的解集为，丁丁得到的解集为，检验解答题过程发现乐乐、丁丁的解答均正确，再次审题时，发现乐乐写错了参数的值，丁丁写错了一次项系数的值，则原不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合一元二次方程的根与系数的关系，列出方程组，求得的值，得出不等式，即可求解. 【详解】因为乐乐得到的解集为，丁丁得到的解集为， 且乐乐写错了参数的值，丁丁写错了一次项系数的值， 可得，解得，所以不等式为， 又由，解得， 即不等式的解集为 6．若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用分类讨论，利用二次不等式恒成立求参数范围. 【详解】当时，不等式恒成立， 当时，要使得不等式对一切实数都成立， 则，解得：， 综上可得：的取值范围为， 故选：D. 7．若关于的不等式组的整数解只有，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出每一个不等式，然后由不等式组整数解只有，列出关于的不等式组，分三种情况讨论，从而可求出的取值范围. 【详解】解集为， 当时， 的解集为， 因为关于的不等式组的整数解只有， 所以，即， 当时，的解集为空集，不满足题意， 当时，的解集为，不满足题意， 综上，的取值范围. 8．记 已知 ，则 的最小值为（ ） A．2 B． C．4 D．3 【答案】D 【分析】通过设，得到的不等式约束，结合基本不等式求出的下界，再验证等号成立的条件，从而得到的最小值. 【详解】设，由的定义，得且（）. 将两式相加，得. 由基本不等式，（当且仅当时取等）， （当且仅当时取等）. 因此，故，即. 当时，，此时，等号成立. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列命题为真命题的是（    ） A． B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】BC 【详解】A.∵，， 又∵，∴ 即，故A错误； B.∵，∴，又∵，∴，故B正确； C.∵，∴，又∵，∴，故C正确； D.∵，又，， ∴，∴，即，故D错误. 10．不等式解集为，下列结论正确的有（    ） A． B． C．不等式的解集是 D．不等式的解集是 【答案】ABD 【分析】利用 “三个二次”（二次函数、一元二次方程、一元二次不等式）的关系，通过已知解集推出系数 的符号和关系，再求解新的不等式逐项分析即可. 【详解】因为 解集为 ， 所以，解得， 因为 ，所以 ，，故选项A、B正确； 选项C：不等式 可化为 ， 即 ， 解得 ， 不等式解集是 ， 选项C错误； 选项D：不等式 可化为 ， 即 ， 解得 或 ， 不等式的解集为 ， 选项D正确. 故选： ABD. 11．若存在，使得与同时成立，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D．的最大值为 【答案】ACD 【分析】由已知可得，可求得或，可判断A；计算不等式可判断B；利用基本不等式计算可判断CD. 【详解】对于A，存在，使得与同时成立， 则，解得，所以，故A正确． 对于B：若，则或，由上可知，故B不一定正确． 对于C：，当且仅当时等号成立，又， 所以，故C正确． 对于D：因为，所以，所以 ， 当且仅当，即时取等号，所以的最大值为，故D正确． 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．设，，则p与的大小为　________　． 【答案】p≥4q 【详解】因为， ， 则 , 故,当且仅当时取等号． 13．已知，，且，则的最小值为______. 【答案】 【分析】利用基本不等式求和的最小值. 【详解】因为，所以，所以. 又， 当且仅当即，时取“”. 所以，即的最小值为11. 14．某天数学课上，你突然惊醒，发现黑板上有如下内容： 例：求的最小值． 解：利用基本不等式 (，，)，得到， 于是， 当且仅当时，取到最小值． 则的最小值为_____________，当时，求的最小值为______ 【答案】 . 【分析】利用三元基本不等式得到、，注意等号成立条件，即可得. 【详解】由，， 当且仅当时等号成立，所以， 所以当时，取最小值，为； 由，知， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以，故时，取到最小值，为． 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）（1）已知，，，，比较p与q的大小，并说明理由； （2）已知，，比较与的大小，并说明理由． 【答案】（1）略（2）略 【详解】（1），理由： 由， ， 作差得 . 因 ，，故 ，又 ， 所以 ，即 ，当且仅当 时取等号. （2），理由： 作差得 . 因 ，，故 ，，又 ， 所以 ， 即 ，当且仅当 时取等号. 16.（15分）已知不等式. (1)若不等式的解集不是，求实数m的取值范围； (2)若，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由已知，不等式的解集不是， 即不等式在上有解， 则，即. 所以实数m的取值范围是. （2）依题意，在区间上恒成立， 的对称轴为， 因为，， 所以当时，， 所以， 即的取值范围是. 17．（15分）某公司的商品原来每件售价为元，年销售万件. (1)据市场调查，若价格每提高元，销售量将相应减少件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最高为多少元? (2)为了扩大该商品的影响力，提高销售量，公司决定对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到每件元. 公司拟投入万元作为技术革新，投入万元作为设备升级，投入万元作为广告宣传.试问：当该商品改革后的销售量至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和? 并求出此时商品的每件定价. 【答案】(1)元 (2)万件，元 【详解】（1）设每件定价为元，由题意可， 整理可得，解得， 要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为元； （2）依题意，当时， 有解， 等价于当时，有解， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，则， 所以，当该商品明年的销售量至少应达到万件时， 才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为元 18．（17分）已知关于的一元二次方程，其两实根为，，且． (1)若，求的值； (2)若为整数时，求所有满足条件的整数； (3)求的取值范围． 【答案】(1) (2)，3，4，5，8． (3)可以取所有不等于的实数． 【详解】（1）由题意，，，得， ，． 因为， ， 解得：， ； （2）显然，这说明与都不为0，所以．因为为整数， 所以，进而，其中符合的有，3，4，5，8． （3）， 因为，所以，且，，， 所以，这等价于，这是恒成立的． 综上可以取所有不等于的实数． 19．（17分）已知二次函数. (1)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围. (2)若，解关于的不等式. (3)若关于的不等式的解集为，求的最小值. 【答案】(1)； (2) 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为. (3)3. 【详解】（1）不等式，即， 当时，可变形为，即， 又，当且仅当，即时等号成立， ，即，实数的取值范围是； （2），等价于，即， 由，方程的两根为，， ①当时，即时，解不等式得：； ②当时，即，不等式的解集为； ③当时，即，解不等式得：. 综上所述， 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为. （3）由已知有且，是方程的两个根， 则，设， 令，则， 又，，当且仅当，即时等号成立， 此时，即，此时，满足方程有实根条件， 所以最小值为3. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年必修第一册数学单元自测 第二章 一元二次函数、方程和不等式·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 2．不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 3．某园林建设公司计划购买一批机器投入施工．据分析，这批机器可获得的总利润y（单位：万元）与运转时间x（单位：年）的函数解析式为．则这批机器的年平均利润值最大为（   ） A．7 B．8 C．24 D．40 4．若，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．乐乐、丁丁解关于的不等式，乐乐得到的解集为，丁丁得到的解集为，检验解答题过程发现乐乐、丁丁的解答均正确，再次审题时，发现乐乐写错了参数的值，丁丁写错了一次项系数的值，则原不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 6．若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．若关于的不等式组的整数解只有，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 8．记 已知 ，则 的最小值为（ ） A．2 B． C．4 D．3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列命题为真命题的是（    ） A． B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 10．不等式解集为，下列结论正确的有（    ） A． B． C．不等式的解集是 D．不等式的解集是 11．若存在，使得与同时成立，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D．的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．设，，则p与的大小为　________　． 13．已知，，且，则的最小值为______. 14．某天数学课上，你突然惊醒，发现黑板上有如下内容： 例：求的最小值． 解：利用基本不等式 (，，)，得到， 于是， 当且仅当时，取到最小值． 则的最小值为_____________，当时，求的最小值为______ 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）（1）已知，，，，比较p与q的大小，并说明理由； （2）已知，，比较与的大小，并说明理由． 16．（15分）已知不等式. (1)若不等式的解集不是，求实数m的取值范围； (2)若，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 17.（15分）某公司的商品原来每件售价为元，年销售万件. (1)据市场调查，若价格每提高元，销售量将相应减少件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最高为多少元? (2)为了扩大该商品的影响力，提高销售量，公司决定对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到每件元. 公司拟投入万元作为技术革新，投入万元作为设备升级，投入万元作为广告宣传.试问：当该商品改革后的销售量至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和? 并求出此时商品的每件定价. 18．（17分）已知关于的一元二次方程，其两实根为，，且． (1)若，求的值； (2)若为整数时，求所有满足条件的整数； (3)求的取值范围． 19.（17分）已知二次函数. (1)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围. (2)若，解关于的不等式. (3)若关于的不等式的解集为，求的最小值. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年必修第一册数学单元自测 第二章 一元二次函数、方程和不等式·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 2．不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 3．某园林建设公司计划购买一批机器投入施工．据分析，这批机器可获得的总利润y（单位：万元）与运转时间x（单位：年）的函数解析式为．则这批机器的年平均利润值最大为（   ） A．7 B．8 C．24 D．40 4．若，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．乐乐、丁丁解关于的不等式，乐乐得到的解集为，丁丁得到的解集为，检验解答题过程发现乐乐、丁丁的解答均正确，再次审题时，发现乐乐写错了参数的值，丁丁写错了一次项系数的值，则原不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 6．若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．若关于的不等式组的整数解只有，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 8．记 已知 ，则 的最小值为（ ） A．2 B． C．4 D．3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列命题为真命题的是（    ） A． B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 10．不等式解集为，下列结论正确的有（    ） A． B． C．不等式的解集是 D．不等式的解集是 11．若存在，使得与同时成立，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D．的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．设，，则p与的大小为　________　． 13．已知，，且，则的最小值为______. 14．某天数学课上，你突然惊醒，发现黑板上有如下内容： 例：求的最小值． 解：利用基本不等式 (，，)，得到， 于是， 当且仅当时，取到最小值． 则的最小值为_____________，当时，求的最小值为______ 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）（1）已知，，，，比较p与q的大小，并说明理由； （2）已知，，比较与的大小，并说明理由． 16．（15分）已知不等式. (1)若不等式的解集不是，求实数m的取值范围； (2)若，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 17.（15分）某公司的商品原来每件售价为元，年销售万件. (1)据市场调查，若价格每提高元，销售量将相应减少件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最高为多少元? (2)为了扩大该商品的影响力，提高销售量，公司决定对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到每件元. 公司拟投入万元作为技术革新，投入万元作为设备升级，投入万元作为广告宣传.试问：当该商品改革后的销售量至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和? 并求出此时商品的每件定价. 18．（17分）已知关于的一元二次方程，其两实根为，，且． (1)若，求的值； (2)若为整数时，求所有满足条件的整数； (3)求的取值范围． 19.（17分）已知二次函数. (1)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围. (2)若，解关于的不等式. (3)若关于的不等式的解集为，求的最小值. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年必修第一册数学单元自测 第二章 一元二次函数、方程和不等式·能力提升（参考答案） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 A B B A A D A D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9 10 11 BC ABD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．p≥4q 13． 14． . 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分） 【答案】（1）略（2）略 【详解】（1），理由：..........1分 由， ，..........2分 作差得 ...........4分 因 ，，故 ，又 ，..........5分 所以 ，即 ，当且仅当 时取等号...........6分 （2），理由：..........7分 作差得 ...........10分 因 ，，故 ，，又 ，..........11分 所以 ，..........12分 即 ，当且仅当 时取等号...........13分 16．（15分） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由已知，不等式的解集不是，..........1分 即不等式在上有解，..........4分 则，即...........6分 所以实数m的取值范围是...........7分 （2）依题意，在区间上恒成立，..........10分 的对称轴为，.........11分 因为，， 所以当时，，..........13分 所以，..........14分 即的取值范围是...........15分 17．（15分） 【答案】(1)元 (2)万件，元 【详解】（1）设每件定价为元，由题意可，..........3分 整理可得，解得，..........6分 要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为元；..........7分 （2）依题意，当时， 有解，..........9分 等价于当时，有解，..........11分 由基本不等式可得，..........13分 当且仅当时，即当时，等号成立，则，..........14分 所以，当该商品明年的销售量至少应达到万件时， 才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为元..........15分 18．（17分） 【答案】(1) (2)，3，4，5，8． (3)可以取所有不等于的实数． 【详解】（1）由题意，，，得，..........1分 ，．..........2分 因为，..........3分 ，..........4分 解得：， ；..........5分 （2）显然，这说明与都不为0，所以．因为为整数，..........8分 所以，进而，其中符合的有，3，4，5，8．..........10分 （3）， 因为，所以，且，，..........13分，..........15分 所以，这等价于，这是恒成立的．..........16分 综上可以取所有不等于的实数．..........17分 19．（17分） 【答案】(1)； (2) 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为. (3)3. 【详解】（1）不等式，即，..........1分 当时，可变形为，即，..........3分 又，当且仅当，即时等号成立，..........4分 ，即，实数的取值范围是；..........5分 （2），等价于，即，..........6分 由，方程的两根为，，..........7分 ①当时，即时，解不等式得：；..........8分 ②当时，即，不等式的解集为；..........9分 ③当时，即，解不等式得：...........10分 综上所述， 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为...........11分 （3）由已知有且，是方程的两个根，..........12分 则，..........13分 设，..........14分 令，则，..........15分 又，，当且仅当，即时等号成立，..........16分 此时，即，此时，满足方程有实根条件， 所以最小值为3...........17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $