高中数学单元测试——第2章一元二次函数、方程和不等式（较易版01）

**基本信息** 本卷为高中数学第2章一元二次函数、方程和不等式单元复习较易版测试，以基础巩固为主，融入现实应用与数学文化，适配单元知识梳理与核心素养培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|不等式变形、解集等基础知识点|注重数学眼光的抽象能力，如第1题不等式变形| |多选题|3/18|二次方程根的性质、最值应用|体现数学思维的推理能力，如第10题方程根的充要条件分析| |填空题|3/15|实际销售不等式、恒成立问题|强化数学语言的模型意识，如第12题销售收入模型| |解答题|5/77|二次函数不等式、利润最值、韦达定理应用|融合现实情境与数学文化，如17题利润模型构建、19题韦达定理历史应用，培养综合应用能力|

高中数学单元测试 —— 第2章 一元二次函数、方程和不等式（较易版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知，下列不等式变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用不等式的性质逐项判断即可. 【详解】对于A，由，得，故A错误； 对于B，由，得，故B错误； 对于C，由，可得，故C错误； 对于D，由，可得，故D正确. 故选：D. 2．（本题5分）下列式子的值比的值大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用作差法比较大小后可得正确的选项. 【详解】因为， 所以， 同理可得均小于． 故选：D. 3．（本题5分）不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】因为， 所以，解得， 则不等式的解集为. 故选：B 4．（本题5分）不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式不等式的解法求解即可. 【详解】由，得，即， 则，解得， 则不等式的解集为. 故选：C 5．（本题5分）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由一元二次不等式的解法求解． 【详解】原不等式可化为，而，故， 图象开口向下， 故原不等式的解集为 故选：C 6．（本题5分）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先化简，再应用不等式性质计算求解. 【详解】原式的分子和分母同时除以，得， 由条件得，，所以，即， 所以， 所以，则则的取值范围是. 故选：D. 7．（本题5分）已知，且，则的最小值是（   ） A．9 B．1 C．3 D． 【答案】A 【分析】先利用基本不等式将 转化为含 的形式，再代入已知等式得到关于 的不等式，最后求解不等式得出 的最小值. 【详解】因为 ，所以 ，当且仅当 时，等号成立， 又因为 ，所以 ， 整理可得 ，解得 或 （舍去）， 所以 ，所以 ，当且仅当时等号成立． 所以 的最小值为：9. 故选：A 8．（本题5分）若不等式对任意正数恒成立，则实数的最大值为（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】由题意可得，由基本不等式可得的最小值等于，故，从而得到实数的最大值． 【详解】由不等式可得， 故的最小值． 因为，当且仅当时，等号成立， 故的最小值等于， 故，所以，则实数的最大值为. 故选：A． 二、多选题 9．（本题6分）若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质逐项分析判断. 【详解】对于A，由，得，A正确； 对于B，由，得，B错误； 对于C，由，得，C正确； 对于D，由，得，则，D错误. 故选：AC 10．（本题6分）已知关于的方程，则下列结论中错误的是（   ） A．当时，方程的两个实数根之和为 B．方程有两个正根的充要条件是 C．方程无实数根的一个充分不必要条件是 D．方程有一个正根一个负根的充要条件是 【答案】ABD 【分析】利用二次方程根的分布求出实数的取值范围，逐项判断即可. 【详解】对于A选项，当时，方程为，， 即方程无实数解，A错； 对于B选项，若方程有两个正根，则，解得， 即方程有两个正根的充要条件是，B错； 对于C选项，若方程无实数根，则，解得， 故方程无实数根的一个充分不必要条件是，C对； 对于D选项，若方程有一个正根一个负根，设这两根分别为、，则，解得， 故方程有一个正根一个负根的充要条件是，D错. 故选：ABD. 11．（本题6分）下列说法正确的是（   ） A．若，则的最小值为4 B．的最小值为6 C．若，，且，则的最小值为 D．若，，且，则的最小值为 【答案】BC 【分析】由配凑法结合基本不等式即可求解判断AB；由进行配凑得到，再结合基本不等式常数“1”的等价代换法即可计算求解判断C；由基本不等式常数“1”的等价代换法即可计算求解判断D. 【详解】若，则， 所以， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为，故A错误； ， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为6，故B正确； 若，，且，则， 所以 ， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为，故C正确； 若，，且，则， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为.故D错误. 故选：BC 三、填空题 12．（本题5分）某杂志以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本，据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就相应减少2000本.设提价后该杂志的单价为x元，则用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元为__________. 【答案】 【分析】根据已知条件列出不等式. 【详解】若提价后该杂志的单价为x元，则销售量为万本， 则提价后销售的总收入为万元， 所以不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以用不等式表示为： . 故答案为： 13．（本题5分）已知实数，，，且恒成立，则实数的取值范围为______. 【答案】 【分析】利用乘的方法求的最小值，即可得解. 【详解】， 当且仅当，即，时等号成立， 故，解得. 故答案为：. 14．（本题5分）若对任意的，都有，则实数的取值范围为_____. 【答案】； 【分析】由于的解集为,可得，列出不等式即可求解. 【详解】由于的解集为,则，所以，解得：， 所以实数的取值范围为； 故答案为： 四、解答题 15．（本题13分）已知二次函数. (1)当且时，解关于的不等式； (2)若的解集是，求，的值. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）将代入，解一元二次不等式即可得解； （2）由题意得是方程的两根，利用根与系数的关系可求得的值. 【详解】（1）当且时， 则不等式，即为 即，解得， 则的解集为. （2）因为的解集是， 所以是方程，即的两根， 则，解得，经检验满足题意. 16．（本题15分）已知，. (1)求的取值范围； (2)证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）应用不等式的性质计算可得范围 （2）应用不等式的性质计算即可证明. 【详解】（1）由题意得，， 所以. （2）由题意得， 则，， 得， 所以. 17．（本题15分）某公司经市场调研发现，若本季度在某材料上多投入x（）万元，则该材料的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外生产p吨该材料还需要投入其他成本万元. (1)求出该公司本季度增加部分的利润y（单位：万元）与x之间的函数关系式； (2)当x为多少时，该公司在本季度增加部分的利润最大?最大为多少万元? 【答案】(1)， (2)当时，该公司在本季度增加的利润最大，最大为7.5万元 【分析】（1）根据题目中的等量关系列出函数关系式； （2）对函数关系式变形，利用基本不等式求解最值. 【详解】（1）由题意，列出函数关系式可得， ， 又因为， 所以； （2）由（1）知. 因为，所以， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以， 所以当时，该公司在本季度增加的利润最大，最大为7.5万元. 18．（本题17分）已知函数. (1)求的开口方向和对称轴； (2)若对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围； 【答案】(1)开口向上，对称轴为 (2)或 【分析】（1）根据二次函数图象的性质求解即可； （2）由已知可得恒成立，结合二次函数的性质可得，解不等式即可． 【详解】（1），对称轴为， 的开口向上，对称轴为； （2）由恒成立， 可得恒成立， ∴，即， 解得或， 实数a的取值范围为或． 19．（本题17分）法国数学家佛郎索瓦·韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间的这种关系，人们把这个关系称为韦达定理，它的内容为：“对于一元二次方程，它的两根、有如下关系：，．”韦达定理还有逆定理，它的内容为：“如果两数和满足如下关系：，，那么这两个数和是方程的根．”通过韦达定理的逆定理，我们就可以利用两数的和与积的关系构造一元二次方程，例如：，，那么m和n是方程的两根．请应用上述材料解决以下问题： (1)已知m、n是两个不相等的实数，且满足，，求的值； (2)已知实数x、y满足，，求的值； (3)已知，是关于x的一元二次方程的两个实根，且，求使的值为整数的所有k的值． 【答案】(1) (2)22或37． (3)，，． 【分析】（1）由题意，可把看作的根，利用韦达定理求解即可； （2）由韦达定理的逆定理，可将，看作方程的两个实数根，求解后即可得解； （3）由韦达定理求出，，代入化简求出得解. 【详解】（1）由已知，，， 可将m，n看作方程的两个不相等的实数根， 由韦达定理可得，，， 所以． （2）由，， 可将，看作方程的两个实数根， 则有，或，， ①当，时，； ②当，时，， 所以的值为22或37． （3）由韦达定理，可得，，， 且，解得， 故， 因，又，故必为的因数， 则的值可能为，，，1，2，4， 则实数k的值可能为，，，0，1，3， 又，故k的所有取值为，，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第2章 一元二次函数、方程和不等式（较易版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知，下列不等式变形正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（本题5分）下列式子的值比的值大的是（   ） A． B． C． D． 3．（本题5分）不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 4．（本题5分）不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 5．（本题5分）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 6．（本题5分）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（本题5分）已知，且，则的最小值是（   ） A．9 B．1 C．3 D． 8．（本题5分）若不等式对任意正数恒成立，则实数的最大值为（    ） A． B．1 C．2 D． 二、多选题 9．（本题6分）若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（本题6分）已知关于的方程，则下列结论中错误的是（   ） A．当时，方程的两个实数根之和为 B．方程有两个正根的充要条件是 C．方程无实数根的一个充分不必要条件是 D．方程有一个正根一个负根的充要条件是 11．（本题6分）下列说法正确的是（   ） A．若，则的最小值为4 B．的最小值为6 C．若，，且，则的最小值为 D．若，，且，则的最小值为 三、填空题 12．（本题5分）某杂志以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本，据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就相应减少2000本.设提价后该杂志的单价为x元，则用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元为__________. 13．（本题5分）已知实数，，，且恒成立，则实数的取值范围为______. 14．（本题5分）若对任意的，都有，则实数的取值范围为_____. 四、解答题 15．（本题13分）已知二次函数. (1)当且时，解关于的不等式； (2)若的解集是，求，的值. 16．（本题15分）已知，. (1)求的取值范围； (2)证明：. 17．（本题15分）某公司经市场调研发现，若本季度在某材料上多投入x（）万元，则该材料的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外生产p吨该材料还需要投入其他成本万元. (1)求出该公司本季度增加部分的利润y（单位：万元）与x之间的函数关系式； (2)当x为多少时，该公司在本季度增加部分的利润最大?最大为多少万元? 18．（本题17分）已知函数. (1)求的开口方向和对称轴； (2)若对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围； 19．（本题17分）法国数学家佛郎索瓦·韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间的这种关系，人们把这个关系称为韦达定理，它的内容为：“对于一元二次方程，它的两根、有如下关系：，．”韦达定理还有逆定理，它的内容为：“如果两数和满足如下关系：，，那么这两个数和是方程的根．”通过韦达定理的逆定理，我们就可以利用两数的和与积的关系构造一元二次方程，例如：，，那么m和n是方程的两根．请应用上述材料解决以下问题： (1)已知m、n是两个不相等的实数，且满足，，求的值； (2)已知实数x、y满足，，求的值； (3)已知，是关于x的一元二次方程的两个实根，且，求使的值为整数的所有k的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $