第二章 一元二次函数、方程和不等式（单元分层自测·基础通关卷）高一数学湘教版必修第一册

2026-2027学年必修第一册数学单元自测 第二章 一元二次函数、方程和不等式·基础通关（参考答案） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 A C A D A D B A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9 10 11 BC AD AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．①③④ 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分） 【答案】（1）； （2） 【详解】（1）因为，则，..........1分 所以，..........4分 当且仅当时，即时，等号成立，..........5分 所以的最小值为...........6分 （2）因为正数满足， 则，..........10分 当且仅当时，即时，等号成立，..........12分 所以的最小值为...........13分 16．（15分） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）若是真命题，则 ，..........4分 得，..........6分 故实数的取值范围为...........7分 （2）若是假命题，则 ， 是真命题，..........9分 由 ..........12分 解得，..........14分 即实数的取值范围是...........15分 17．（15分） 【答案】(1)或 (2)或 【详解】（1）因为，是关于的方程的两个实数根， 所以，，..........2分 解得..........3分 由韦达定理知，，...........4分 所以，即，..........5分 解得或，均满足...........6分 所以或...........7分 （2） 由题意知，，..........9分 即，..........11分 解得，..........13分 所以或...........14分 故实数的取值范围为或...........15分 18．（17分） 【答案】(1)长为，宽为时，所用篱笆总长最小． (2)菜园的长为15，宽为时，菜园面积最大． (3)． 【详解】（1）由题意得，，所用篱笆总长为．.........1分 因为，..........3分 当且仅当时，即，时等号成立．..........4分 所以菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小．..........5分 （2）由题意得，，菜园面积为． 因为，..........8分 当且仅当时，即，时等号成立．..........9分 所以菜园的长为15，宽为时，菜园面积最大．.........10分 （3）由题意得，，..........11分 ，..........15分 当且仅当，即时等号成立，..........16分 所以的最小值是．..........17分 19．（17分） 【答案】(1) (2) 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为. (3) 【详解】（1）当时，则，..........1分 即，因式分解可得：，..........3分 所以，则不等式的解集为...........4分 （2）当时，则为，即，.........5分 当时，则， 因式分解可得：，..........6分 当时，有，则此时不等式解集为，.........7分 当时，等价于，..........8分 若，即时，不等式解集为，..........9分 若，即时，不等式解集为，..........10分 若，即时，不等式解集为空集，..........11分 综上所述，当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为. （3）因为， 所以，..........12分 因为，..........13分 则，则题目等价于，，..........14分 令，因为，所以， 则，..........15分 由基本不等式，当且仅当时取等号，..........16分 因此的最大值为，即，..........17分 所以实数a的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年必修第一册数学单元自测 第二章 一元二次函数、方程和不等式·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若实数，满足，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知实数，满足，则，故A正确，B错误； ， ，故，即，故C，D错误． 2．若，则的最小值为（   ） A．1 B．3 C．6 D．10 【答案】C 【分析】直接根据基本不等式求解. 【详解】由于，根据基本不等式， 当且仅当，即时取得等号，故最小值是. 故选：C 3．设，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由可得， 由于是的真子集，所以“”是“”的充分不必要条件. 4．完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元.现有工人工资预算2 000元，设请木工人，瓦工人，则工人数需满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，可知，其中， 化简得 5．不等式的解集为（ ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【详解】因为，所以， 由一元二次不等式解得， 不等式的解集为. 6．已知正实数x，y满足，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】利用“1的代换”构造符合基本不等式的结构，进而求解的最小值. 【详解】已知为正实数，且，则， 因此, 当且仅当即时取等号， 故的最小值为9. 7．若，则的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，解得. ，，相加得. 【点睛】错误思路：先单独求、各自范围，再代入求. 两式相加: 两式相减: 再算： 得到：. 和不是相互独立变量，与有约束关联，不能先拆开单独求范围再直接代入，拆开后放大了取值范围，求出的是虚假宽泛区间，不是真实范围. 8．已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过对进行分类讨论来求解不等式恒成立问题. 【详解】首先，若，明显不恒成立. 若，恒成立. 若，可知当时最大， 所以即可， 解得. 所以综上所述，. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列结论正确的是（    ） A．若，且，则 B．当时， C．当时，的最小值为2 D．当时， 【答案】BC 【详解】对A，当时，，故A错误； 对B，因为，所以，当且仅当即时取“”.故B正确； 对C，当时，，当且仅当时取“”.故C正确； 对D，当时，.故D错误. 10．已知关于的不等式的解集为，则（    ） A． B． C．方程的两根为或 D．不等式的解集为 【答案】AD 【分析】根据一元二次不等式的解集与一元二次方程的根之间的关系可知AC正误；利用韦达定理可得之间关系，结合一元二次不等式的解法可求得CD正误. 【详解】对于AC，不等式的解集为， 且方程的两根分别为和，A正确，C错误； 对于B，由韦达定理可知：，， ，，，B错误； 对于D，， ，，解得：或， 不等式的解集为，D正确. 故选：AD. 11．如图，这是某十字路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口 ， ， ， 的机动车辆数如图所示，例如:路口 中的数字 “55”表示单位时间驶入路口 的机动车辆数，数字“50”表示单位时间驶出路口 的机动车辆数. 图中 分别表示该时段单位时间通过路段 的机动车辆数 (假设单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等)， 则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据每个路口驶入与驶出相应的环岛路段的车辆数列出等量关系，即可比较出大小． 【详解】依题意，有，所以， 同理，，所以， 同理，，所以， 同理，，所以， 所以． 故选：AC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．若，，则下列不等式关系中一定成立的是　________　． ①　② ③④ 【答案】①③④ 【详解】因为，，所以，，所以，故①成立； 取，，，，代入②，可知②不成立； 因为，由不等式的可加性知，所以③成立； 由知，，由不等式的可加性知，所以④成立． 13．若对任意，不等式都成立，则实数的取值范围是______． 【答案】 【详解】对任意，不等式都成立， 所以，即， 解得，即k的取值范围是. 14．甲、乙两人解关于的不等式，甲写错了，正确计算后得到的解为；乙写错了，正确计算后得到的解为．那么不等式的解为___________． 【答案】 【详解】甲写错了，但是正确的，由的解为，则1和2是方程的两个根，得； 乙写错了，但是正确的，由的解为，则和1是方程的两个根，得，即. 由，得，即，解得. 不等式的解为. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）（1）已知，求的最小值． （2）已知正数满足，求的最小值． 【答案】（1）； （2） 【分析】（1）运用基本不等式进行求解即可； （2）用整体代换，结合基本不等式进行求解即可. 【详解】（1）因为，则， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. （2）因为正数满足， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 16.（15分）设命题，；命题， (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若为假命题，求实数的取值范围； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得出，即可求得实数的取值范围； （2）由题意可知 ， 是真命题，则，即可求得实数的取值范围. 【详解】（1）若是真命题，则 ，得， 故实数的取值范围为. （2）若是假命题，则 ， 是真命题， 由 解得，即实数的取值范围是. 17．（15分）设，是关于的方程的两个实数根． (1)若，求的值； (2)若，是两个不相等的正数，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）根据韦达定理得到两根之和与两根之积代入已知条件中求解即可. （2）由方程有两个不相等的正数根可得两根之和、两根之积及根的判别式均大于零，联立即可求出范围. 【详解】（1）因为，是关于的方程的两个实数根， 所以，，解得 由韦达定理知，，. 所以，即， 解得或，均满足. 所以或. （2）由题意知，，即，解得， 所以或. 故实数的取值范围为或. 18．（17分）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园．设菜园的长为米，宽为米． (1)若菜园面积为36平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？ (2)若使用的篱笆总长为30米，则，为何值时，菜园面积最大？ (3)若使用的篱笆总长为30米，求的最小值． 【答案】(1)长为，宽为时，所用篱笆总长最小． (2)菜园的长为15，宽为时，菜园面积最大． (3)． 【分析】（1）明确，在此条件下求的最小值，并明确等号成立的条件即可. （2）明确，在此条件下，求的最大值，并明确等号成立的条件即可. （3）结合，求的最小值. 【详解】（1）由题意得，，所用篱笆总长为． 因为， 当且仅当时，即，时等号成立． 所以菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小． （2）由题意得，，菜园面积为． 因为， 当且仅当时，即，时等号成立． 所以菜园的长为15，宽为时，菜园面积最大． （3）由题意得，， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是． 19．（17分）已知关于x不等式． (1)若时，求不等式的解集； (2)若，解这个关于的不等式； (3)，恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为. (3) 【分析】（1）由题意可得，解出即可. （2）当时，不等式变为一次不等式，当时，对分解因式，讨论根的大小即可得答案. （3）由题意可得，，利用换元法结合函数单调性可得答案. 【详解】（1）当时，则， 即，因式分解可得：， 所以，则不等式的解集为. （2）当时，则为，即， 当时，则， 因式分解可得：， 当时，有，则此时不等式解集为， 当时，等价于， 若，即时，不等式解集为， 若，即时，不等式解集为， 若，即时，不等式解集为空集， 综上所述，当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为. （3）因为， 所以， 因为， 则，则题目等价于，， 令，因为，所以， 则， 由基本不等式，当且仅当时取等号， 因此的最大值为，即， 所以实数a的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年必修第一册数学单元自测 第二章 一元二次函数、方程和不等式·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若实数，满足，则（     ） A． B． C． D． 2．若，则的最小值为（   ） A．1 B．3 C．6 D．10 3．设，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元.现有工人工资预算2 000元，设请木工人，瓦工人，则工人数需满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 5．不等式的解集为（ ） A． B．或 C． D．或 6．已知正实数x，y满足，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 7．若，则的取值范围是（） A． B． C． D． 8．已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列结论正确的是（    ） A．若，且，则 B．当时， C．当时，的最小值为2 D．当时， 10．已知关于的不等式的解集为，则（    ） A． B． C．方程的两根为或 D．不等式的解集为 11．如图，这是某十字路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口 ， ， ， 的机动车辆数如图所示，例如:路口 中的数字 “55”表示单位时间驶入路口 的机动车辆数，数字“50”表示单位时间驶出路口 的机动车辆数. 图中 分别表示该时段单位时间通过路段 的机动车辆数 (假设单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等)， 则（    ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．若，，则下列不等式关系中一定成立的是　________　． ①　② ③④ 13．若对任意，不等式都成立，则实数的取值范围是______． 14．甲、乙两人解关于的不等式，甲写错了，正确计算后得到的解为；乙写错了，正确计算后得到的解为．那么不等式的解为___________ 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）（1）已知，求的最小值． （2）已知正数满足，求的最小值． 16．（15分）设命题，；命题， (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若为假命题，求实数的取值范围； 17.（15分）设，是关于的方程的两个实数根． (1)若，求的值； (2)若，是两个不相等的正数，求实数的取值范围． 18．（17分）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园．设菜园的长为米，宽为米． (1)若菜园面积为36平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？ (2)若使用的篱笆总长为30米，则，为何值时，菜园面积最大？ (3)若使用的篱笆总长为30米，求的最小值． 19.（17分）已知关于x不等式． (1)若时，求不等式的解集； (2)若，解这个关于的不等式； (3)，恒成立，求实数a的取值范围. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年必修第一册数学单元自测 第二章 一元二次函数、方程和不等式·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若实数，满足，则（     ） A． B． C． D． 2．若，则的最小值为（   ） A．1 B．3 C．6 D．10 3．设，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元.现有工人工资预算2 000元，设请木工人，瓦工人，则工人数需满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 5．不等式的解集为（ ） A． B．或 C． D．或 6．已知正实数x，y满足，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 7．若，则的取值范围是（） A． B． C． D． 8．已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列结论正确的是（    ） A．若，且，则 B．当时， C．当时，的最小值为2 D．当时， 10．已知关于的不等式的解集为，则（    ） A． B． C．方程的两根为或 D．不等式的解集为 11．如图，这是某十字路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口 ， ， ， 的机动车辆数如图所示，例如:路口 中的数字 “55”表示单位时间驶入路口 的机动车辆数，数字“50”表示单位时间驶出路口 的机动车辆数. 图中 分别表示该时段单位时间通过路段 的机动车辆数 (假设单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等)， 则（    ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．若，，则下列不等式关系中一定成立的是　________　． ①　② ③④ 13．若对任意，不等式都成立，则实数的取值范围是______． 14．甲、乙两人解关于的不等式，甲写错了，正确计算后得到的解为；乙写错了，正确计算后得到的解为．那么不等式的解为___________ 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）（1）已知，求的最小值． （2）已知正数满足，求的最小值． 16．（15分）设命题，；命题， (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若为假命题，求实数的取值范围； 17.（15分）设，是关于的方程的两个实数根． (1)若，求的值； (2)若，是两个不相等的正数，求实数的取值范围． 18．（17分）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园．设菜园的长为米，宽为米． (1)若菜园面积为36平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？ (2)若使用的篱笆总长为30米，则，为何值时，菜园面积最大？ (3)若使用的篱笆总长为30米，求的最小值． 19.（17分）已知关于x不等式． (1)若时，求不等式的解集； (2)若，解这个关于的不等式； (3)，恒成立，求实数a的取值范围. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $