第二章 实数（高效培优讲义）数学新教材北师大版八年级上册

第二章 实数复习讲义 教学目标 1.理解无理数、实数概念，掌握实数两种分类，知道实数与数轴上点一一对应。 2.掌握平方根、算术平方根、立方根定义，读懂符号，理解双重非负性等性质。 3.理解二次根式概念，熟练进行二次根式乘除化简，识别最简、同类二次根式。 4.掌握二次根式加减与混合运算，会分母有理化，规范完成根式化简计算。 教学重难点 重点： 1.实数的分类，分清无理数常见类型，掌握平方根、算术平方根、立方根性质。 2.二次根式双重非负性，熟练运用乘除法则对二次根式进行化简变形。 3.识别最简、同类二次根式，掌握二次根式加减运算、分母有理化方法。 难点： 1.区分与，理解算术平方根双重非负性的应用条件。 2.二次根式化简，容易忽略被开方数取值范围，符号处理容易出现错误。 3.辨别同类二次根式，混合运算、分母有理化，容易混淆运算法则出现失误。 知识点01认识实数 一、无理数 1.概念：有限小数、无限小数属于有理数；无限小数叫做无理数。 2.无理数两大特征：（1）小数部分位数；（2）小数部分没有循环节，无法写成（为整数，）的形式。 3.三类常见无理数：①含的数：如；②有规律但的无限小数：如；③开方开不尽的带数：如。 注意： （1）误认为带根号的数都是无理数：只有开方开不尽的根号数才是无理数；像，化简后是整数，属于有理数。 （2）混淆无限小数与无理数概念：无限小数分两种：无限循环小数是有理数，只有无限不循环小数才是无理数，不能直接说无限小数就是无理数。 二、实数 1.实数定义：和合起来统称为实数。 2.实数两种分类方式： （1）按定义划分：实数 （2）按与0的大小划分：实数 3.实数与数轴的对应关系：实数和数轴上的点一一对应：数轴上任意一点都代表一个；任意一个实数都能在数轴上找到唯一对应点。 知识点02 平方根与立方根 一、算术平方根 1.定义 如果一个的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根；规定0的算术平方根是。的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数。 2.双重非负性 当有意义时，被开方数，算术平方根结果，两个条件必须同时成立。 3.与的区别与联系 （1）区别： ①取值范围：中可取；要求； ②被开方数：的被开方数是；的被开方数是； ③运算顺序：为先、再；为先、再。 （2）联系： ①两种式子的计算结果都为；②当时，。 二、平方根 1.定义 如果，那么叫做的平方根。求一个数的平方根的运算叫作开平方，平方与开平方互为逆运算。 2.符号区分 的平方根写作，其中仅代表的算术平方根，是平方根中正的那一个。 3.平方根数字规律 正数有互为的平方根；0只有一个平方根，就是0本身；负数平方根。 三、立方根 1.定义 如果一个数的等于，这个数叫作的立方根（三次方根）；若，则是的立方根。求立方根的运算叫开立方，立方与开立方互为逆运算。 2.表示形式 立方根记作，为被开方数，数字3是根指数，根指数不能省略。 3.立方根特征 正数的立方根为，负数的立方根为，0的立方根是。任意实数都有立方根，立方根符号与原数符号；互为相反数的两数，立方根也互为。 知识点03 二次根式及其乘除法 一、二次根式的概念 1.定义 一般地，形如（）的式子叫做二次根式，符号称为二次根号，、、等都是二次根式。 2.二次根式成立的两个必备条件 式子中必须带有二次根号；根号内的被开方数必须是非负数。 3.二次根式有无意义的判定条件 （1）二次根式有意义：被开方数； （2）二次根式无意义：被开方数。 二、二次根式性质 1.双重非负性 表示的算术平方根，因此，同时被开方数，常用于含字母根式求值题型。 2.二次根式性质：，多用于二次根式化简计算。 3.二次根式性质：，分情况化简：时；时；时。 三、二次根式的乘法法则 1.乘法法则 ；二次根式相乘，被开方数相乘，根指数保持不变。 2.法则推广 多个二次根式相乘：；带系数二次根式相乘，类比单项式乘法：，系数相乘作新系数，被开方数相乘作新被开方数。 3.乘法逆用（积的算术平方根性质） ，主要用于化简二次根式；推广：。 四、二次根式的除法法则 1.除法法则 ；二次根式相除，被开方数相除，根指数不变。 2.法则推广 带系数二次根式相除：。 3.注意事项 公式成立前提，不能等于0；若被开方数为带分数，计算前必须先化为假分数。 知识点04 最简二次根式及其二次根式的加减法 一、最简二次根式 1.概念 满足两个条件才是最简二次根式：第一，被开方数不含分母；第二，被开方数不含能开得尽方的因数或因式。 2.化简二次根式的通用方法 第一，提取完全平方因数/因式开方：找出被开方数里能开尽方的数字或代数式，开方后写到根号外侧。 第二，化去根号内分母：被开方数是带分数先转假分数；是小数先化为分数；是分式则配平方分母再开方。 第三，被开方数为多项式时，先因式分解，再拆分能开方的因式化简。 二、同类二次根式 1.概念 几个二次根式化简成最简形式后，如果被开方数完全相同，这几个根式称为同类二次根式。 2.合并同类二次根式方法 依据乘法分配律，只把根号外的系数相加，根指数、根号内的被开方数保持不变，不能改动根号部分。 三、二次根式的加减法 1.加减运算法则 先把所有二次根式化为最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并，非同类根式不能合并。 2.三步运算步骤 化：全部根式统一化简为最简二次根式； 找：区分找出化简后被开方数相同的同类二次根式； 合：同类根式系数相加减，根号与被开方数原样保留。 四、二次根式的混合运算 运算顺序和整式运算完全一致：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号优先计算括号内内容，也可先去括号计算。 五、分母有理化 1.定义 分母中含有根式时，利用分式基本性质消去分母里根号的过程，叫做分母有理化。 2.核心方法 给分子、分母同时乘分母对应的有理化因式，让分母转化为不含根号的有理数或整式。 题型01 直接求解平方根与立方根 例1．16的平方根是（     ） A． B． C．4 D．2 变式1-1．下列各式中，正确的是（     ） A． B． C． D． 变式1-2．可以表示（     ） A．0.2的平方根 B．的算术平方根 C．0.2的算术平方根的相反数 D．的平方根 变式1-3．下列说法中，正确的是（     ） A． B． C． D． 题型02 利用平方根、立方根解简易方程 例2．若，则_________． 变式2-1．求式子中的x：． 变式2-2．求的值： (1)； (2)； (3)． 变式2-3．求下列各式中的的值： (1)； (2)． 题型03 根据平方根、立方根的性质求值 例3．已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，的立方根为． (1)求正数和的值； (2)求的平方根． 变式3-1．若实数，满足，，则的值为（     ） A． B． C． D． 变式3-2．已知+=0，则的值为（     ） A． B．1 C．0 D．2025 变式3-3．已知正数的两个不同平方根分别是和，且的立方根为2． (1)求和正数及的值； (2)求的平方根． 题型04 无理数的估算问题 例4．已知（是整数），则的所有可能值中，最大值是______． 变式4-1．请写出介于和之间的一个整数_________________．（写一个即可） 变式4-2．将四个数，，，表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是______． 变式4-3．已知（为整数），则的值是__________． 题型05 二次根式概念及有意义的条件判断 例5．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 变式5-1．下列各式中，属于二次根式的是（ ） A． B． C． D． 变式5-2．若二次根式有意义，则x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 变式5-3．要使，实数x的取值范围是______． 题型06 利用二次根式的性质进行化简 例6．计算的结果为（     ） A． B． C． D． 变式6-1．计算：________． 变式6-2．实数、在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为________． 变式6-3．已知实数、、在数轴上的位置如图所示，则___________． 题型07 识别与化简最简二次根式 例7．下列各式是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 变式7-1．下列二次根式属于最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 变式7-2．关于的叙述不正确的是（     ） A． B．面积是的正方形的边长是 C．是有理数 D．在数轴上可以找到表示的点 变式7-3．将下列各式化为最简二次根式： (1)； (2)． 题型08 二次根式中求参数取值或参数值 例8．若最简二次根式与可以合并，则的值为________． 变式8-1．若最简二次根式与能合并，则的值为__________． 变式8-2．若是最简二次根式，则整数的值可以是__________．（写出一个符合题意的数即可） 变式8-3．与最简二次根式能合并，则__________． 题型09 二次根式运算与化简求值 例9．化简求值：，其中． 变式9-1．已知，求的值为（     ） A． B． C． D． 变式9-2．已知，求的值． 变式9-3．已知，则_________． 题型10 二次根式双重非负性的应用 例10．若，则化简的结果是（     ） A． B． C． D． 变式10-1．把 化简得（     ） A． B． C． D． 变式10-2．化简___________（所有字母为非负数）． 变式10-3．计算并化简：． 题型11 实数的大小比较 例11．比较大小：______．（填“”“”或“”） 变式11-1．如图（甲和乙）中，不添加辅助线便可验证的是______．    变式11-2．比较下列各对数的大小： (1)与； (2)与． 变式11-3．如图1，探究：把两个面积为的小正方形沿着虚线剪开，将所得的四个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为的大正方形，因此，可得大正方形的边长为．启发：把两个长为3、宽为2的长方形沿着虚线剪开，将所得的四个直角三角形拼成如图2所示的一个正方形． (1)求的值； (2)比较和的大小． 题型12 求无理数的整数部分与小数部分 例12．已知的平方根是；的立方根为；c是的整数部分．求的值（     ） A． B．3 C．8 D． 变式12-1．的小数部分是，则等于__． 变式12-2．已知的整数部分为，小数部分为，则代数式的值为（     ）． A． B． C． D．6 变式12-3．已知的平方根是，的立方根是，是的整数部分 (1)求、、的值； (2)求的算术平方根． 题型13 实数与数轴的综合问题 例13．如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，则的长为（    ） A． B． C． D． 变式13-1．若，则表示实数的点会落在如图所示的数轴上的（     ）段． A．① B．② C．③ D．④ 变式13-2．如图，将有一边重合的两张直角三角形纸片放在数轴上，纸片上的点表示的数是，若以点A为圆心、的长为半径画弧，与数轴交于点E（点E位于点A右侧），则点E表示的数为_________． 变式13-3．如图，网格由25个边长为1的小正方形组成，网格中有一个阴影正方形（顶点都在格点上）．若点A表示的数为． (1)图中正方形的边长为多少？ (2)若正方形的边长的值的整数部分为x，小数部分为y，求的值． (3)若正方形从当前状态沿数轴正方向翻滚，如图所示，我们把点B第一次落在数轴上的点记为点P，数轴上与点P距离最近的整数点记为点Q，求P，Q两点之间的距离． 题型14 复合二次根式的化简 例14．阅读与思考请阅读下列材料，并完成相应的任务． 材料一： 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会遇到如 的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 我们就称这个过程为分母有理化． 材料二： 形如 的化简，只要我们找到两个正数 ，使 ，则∶ 我们就称 为“理想二次根式”，则上述过程就称之为化简“理想二次根式”． 任务： (1)根据材料中的方法进行化简与计算：已知 求的值 (2)若 且a，m，n为正整数，求a的值． 变式14-1．计算：． 变式14-2．在当今时代，国家人才培养和筛选机制正经历重大转变，以往单纯依靠死记硬背和题海战术的学习方式，已难以适应新的人才需求，自学能力逐渐成为孩子成长过程中不可或缺的关键因素．小知在家学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ， 根据以上信息，解答下列问题． (1)填空：(______)； (2)将化成另一个式子的平方； (3)化简二次根式，聪明的小知同学思考后说：我的解决思路是将转化为的形式，再根据进行化简，请你根据小知的做题思路直接写出化简为_____． 变式14-3．我们学习了二次根式，那么所有的非负数都可以看成是一个数的平方，如，，下面我们观察：；反之，，∴ (1)直接写出答案： ； ． (2)化简：． (3)若，则a与m，n的关系是什么？b与m，n的关系又是什么？ 题型15 二次根式的规律探究 例15．用计算器计算： (1)； (2)； (3)； (4)． (5)观察上面几题的结果，你能发现什么规律？用你发现的规律直接写出下题的结果： ____________． 变式15-1．已知，，，⋯，，其中为正整数．设，则的值是________． 变式15-2．学习《实数》之后，在数学活动课上，马老师出示了一组有规律的算式．阅读观察下列算式，探求规律：，，，，… 【实践探究】 （1）按照此规律，计算：___________； （2）若符合上述规律，则___________． 变式15-3．观察下列各式： ． ． (1)在最后一个等式的括号内填上适当的数，使等式成立． (2)从上述各式中你发现了什么规律，请用含有n的式子将其规律表示出来，注明n的取值范围，并用数学知识证明你所写式子的正确性． 一、单选题 1．估算的值应在（     ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 2．如图所示，数轴上、两点表示的数分别为和3，点关于点的对称点为点，则点所表示的数是（     ） A． B． C． D． 3．在下列各数，，，，，，，，，（相邻两个1之间有1个0）中，是无理数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．实数介于两个相邻的整数之间，这两个整数是（     ） A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5 5．若m是的小数部分，n是的小数部分，则的值是（     ） A．1 B． C．4 D． 6．如图，一个棱长为的正方体盒子上，一只蚂蚁在的中点处，它到的中点的最短路线是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 7．若m是64的平方根，则m的立方根是______；若的立方根为4，则的平方根为______． 8．计算：（1）=________．（2）=__________． 9．已知表示不超过x的最大整数，例如，．则的结果为________． 三、解答题 10．计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 11．阅读材料，完成任务：我们知道，因此将分子、分母同时乘“”，分母就变成了，例如： ． (1)模仿材料中的计算方法，化简________；________． (2)计算：； (3)已知，，求的值． 12．实验中学有一块长方形的文化长廊（如图），该文化长廊的长为，宽为，现计划在该长廊的中间放置一个正方形展台，展台的边长为．除去放置展台的区域、其余区域（阴影部分）全部需要刷上涂料． (1)这个文化长廊的周长是多少米？ (2)刷涂料的面积是多少平方米？ 1．如图，网格中每个小正方形的边长为1，把图中阴影部分剪拼成一个正方形，正方形的边长为．已知的整数部分和小数部分分别是，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．对于任意的实数，规定，若要使的计算结果一定为负数，则②中的不等号一定是（     ） A． B． C． D． 3．已知，求：代数式的值． 4．按要求完成下列各题： (1)已知正实数的两个不同平方根是和的立方根是3，求的平方根． (2)如图，长方形纸片沿折叠，，两点分别与，两点重合，若，求的度数． 5．下面是小明在学习“无理数的估算”时做的学习笔记： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是我用来表示的小数部分，你同意我的表示方法吗？ 因为的整数部分是1，所以将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 例如：，即， 的整数部分为2，小数部分为． 根据以上笔记内容，请完成如下任务． (1)任务一：的小数部分为________． (2)任务二：a为的小数部分，b为的整数部分，请计算的值． (3)任务三：，其中x是整数，且，求的平方根 6．阅读材料，在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方．如：；． (1)填空： ； (2)请你仿照小明的方法化简． 【拓展提升】 (3)如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形和，若两小正方形的面积分别为和，求剩余部分的面积． 7．综合与实践 小若同学在学完《二次根式》后探究这样一个数学问题：“如果，那么”． 【直观感受】如图1，面积为，，，的正方形均放在数轴上，且所有正方形左下角顶点均与原点重合，数轴上标有它们的边长，，，．观察图形发现面积小的正方形，边长表示的数小；面积大的正方形，边长表示的数大，从而利用正方形面积大小判断算术平方根大小． (1)【画图探究】请你类比图1，在图2中画图探究“如果，那么”．（★注：这里画图探究过程无需严格尺规作图，只需要画出示意图） (2)【应用推理】当时，请你用探究得到的结论，求证：． (3)【拓展提升】记（为正整数，且），请你也用探究得到的结论，求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 实数复习讲义 教学目标 1.理解无理数、实数概念，掌握实数两种分类，知道实数与数轴上点一一对应。 2.掌握平方根、算术平方根、立方根定义，读懂符号，理解双重非负性等性质。 3.理解二次根式概念，熟练进行二次根式乘除化简，识别最简、同类二次根式。 4.掌握二次根式加减与混合运算，会分母有理化，规范完成根式化简计算。 教学重难点 重点： 1.实数的分类，分清无理数常见类型，掌握平方根、算术平方根、立方根性质。 2.二次根式双重非负性，熟练运用乘除法则对二次根式进行化简变形。 3.识别最简、同类二次根式，掌握二次根式加减运算、分母有理化方法。 难点： 1.区分与，理解算术平方根双重非负性的应用条件。 2.二次根式化简，容易忽略被开方数取值范围，符号处理容易出现错误。 3.辨别同类二次根式，混合运算、分母有理化，容易混淆运算法则出现失误。 知识点01认识实数 一、无理数 1.概念：有限小数、无限小数属于有理数；无限小数叫做无理数。 2.无理数两大特征：（1）小数部分位数；（2）小数部分没有循环节，无法写成（为整数，）的形式。 3.三类常见无理数：①含的数：如；②有规律但的无限小数：如；③开方开不尽的带数：如。 注意： （1）误认为带根号的数都是无理数：只有开方开不尽的根号数才是无理数；像，化简后是整数，属于有理数。 （2）混淆无限小数与无理数概念：无限小数分两种：无限循环小数是有理数，只有无限不循环小数才是无理数，不能直接说无限小数就是无理数。 二、实数 1.实数定义：和合起来统称为实数。 2.实数两种分类方式： （1）按定义划分：实数 （2）按与0的大小划分：实数 3.实数与数轴的对应关系：实数和数轴上的点一一对应：数轴上任意一点都代表一个；任意一个实数都能在数轴上找到唯一对应点。 知识点02 平方根与立方根 一、算术平方根 1.定义 如果一个的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根；规定0的算术平方根是。的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数。 2.双重非负性 当有意义时，被开方数，算术平方根结果，两个条件必须同时成立。 3.与的区别与联系 （1）区别： ①取值范围：中可取；要求； ②被开方数：的被开方数是；的被开方数是； ③运算顺序：为先、再；为先、再。 （2）联系： ①两种式子的计算结果都为；②当时，。 二、平方根 1.定义 如果，那么叫做的平方根。求一个数的平方根的运算叫作开平方，平方与开平方互为逆运算。 2.符号区分 的平方根写作，其中仅代表的算术平方根，是平方根中正的那一个。 3.平方根数字规律 正数有互为的平方根；0只有一个平方根，就是0本身；负数平方根。 三、立方根 1.定义 如果一个数的等于，这个数叫作的立方根（三次方根）；若，则是的立方根。求立方根的运算叫开立方，立方与开立方互为逆运算。 2.表示形式 立方根记作，为被开方数，数字3是根指数，根指数不能省略。 3.立方根特征 正数的立方根为，负数的立方根为，0的立方根是。任意实数都有立方根，立方根符号与原数符号；互为相反数的两数，立方根也互为。 知识点03 二次根式及其乘除法 一、二次根式的概念 1.定义 一般地，形如（）的式子叫做二次根式，符号称为二次根号，、、等都是二次根式。 2.二次根式成立的两个必备条件 式子中必须带有二次根号；根号内的被开方数必须是非负数。 3.二次根式有无意义的判定条件 （1）二次根式有意义：被开方数； （2）二次根式无意义：被开方数。 二、二次根式性质 1.双重非负性 表示的算术平方根，因此，同时被开方数，常用于含字母根式求值题型。 2.二次根式性质：，多用于二次根式化简计算。 3.二次根式性质：，分情况化简：时；时；时。 三、二次根式的乘法法则 1.乘法法则 ；二次根式相乘，被开方数相乘，根指数保持不变。 2.法则推广 多个二次根式相乘：；带系数二次根式相乘，类比单项式乘法：，系数相乘作新系数，被开方数相乘作新被开方数。 3.乘法逆用（积的算术平方根性质） ，主要用于化简二次根式；推广：。 四、二次根式的除法法则 1.除法法则 ；二次根式相除，被开方数相除，根指数不变。 2.法则推广 带系数二次根式相除：。 3.注意事项 公式成立前提，不能等于0；若被开方数为带分数，计算前必须先化为假分数。 知识点04 最简二次根式及其二次根式的加减法 一、最简二次根式 1.概念 满足两个条件才是最简二次根式：第一，被开方数不含分母；第二，被开方数不含能开得尽方的因数或因式。 2.化简二次根式的通用方法 第一，提取完全平方因数/因式开方：找出被开方数里能开尽方的数字或代数式，开方后写到根号外侧。 第二，化去根号内分母：被开方数是带分数先转假分数；是小数先化为分数；是分式则配平方分母再开方。 第三，被开方数为多项式时，先因式分解，再拆分能开方的因式化简。 二、同类二次根式 1.概念 几个二次根式化简成最简形式后，如果被开方数完全相同，这几个根式称为同类二次根式。 2.合并同类二次根式方法 依据乘法分配律，只把根号外的系数相加，根指数、根号内的被开方数保持不变，不能改动根号部分。 三、二次根式的加减法 1.加减运算法则 先把所有二次根式化为最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并，非同类根式不能合并。 2.三步运算步骤 化：全部根式统一化简为最简二次根式； 找：区分找出化简后被开方数相同的同类二次根式； 合：同类根式系数相加减，根号与被开方数原样保留。 四、二次根式的混合运算 运算顺序和整式运算完全一致：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号优先计算括号内内容，也可先去括号计算。 五、分母有理化 1.定义 分母中含有根式时，利用分式基本性质消去分母里根号的过程，叫做分母有理化。 2.核心方法 给分子、分母同时乘分母对应的有理化因式，让分母转化为不含根号的有理数或整式。 题型01 直接求解平方根与立方根 例1．16的平方根是（     ） A． B． C．4 D．2 【答案】B 【详解】解：∵， ∴16的平方根是． 变式1-1．下列各式中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．原式，该项错误； B．原式，该项错误； C．原式，该项错误； D．原式，该项正确． 变式1-2．可以表示（     ） A．0.2的平方根 B．的算术平方根 C．0.2的算术平方根的相反数 D．的平方根 【答案】C 【详解】解：0.2的平方根应为，则A不符合题意， 没有算术平方根，则B不符合题意， 0.2的算术平方根的相反数为，则C符合题意， 没有平方根，则D不符合题意， 故选：C． 变式1-3．下列说法中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，∴选项A错误； ，∴选项B错误； ∵，∴选项C正确，符合题意； ∵，∴选项D错误． 题型02 利用平方根、立方根解简易方程 例2．若，则_________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴原等式可化为， ∵，， ∴． 变式2-1．求式子中的x：． 【答案】或 【详解】解： 或 解得或． 变式2-2．求的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)或 (2) (3)或 【详解】（1）解：， 整理得， 解得或； （2）解：， 整理得， 解得； （3）解：， 整理得， 开方得， ∴或， 解得或． 变式2-3．求下列各式中的的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 整理得， 因此； （2）解：， 开立方得， 解得． 题型03 根据平方根、立方根的性质求值 例3．已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，的立方根为． (1)求正数和的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】 【详解】（1）解：∵一个正数的两个不同的平方根分别是和， ∴， 解得：， ∴； （2）解：∵的立方根为 ∴， 解得：， ∴，16的平方根为， ∴的平方根为． 变式3-1．若实数，满足，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据二次根式有意义的条件得，则， 代入，得， ． 变式3-2．已知+=0，则的值为（     ） A． B．1 C．0 D．2025 【答案】A 【详解】解：∵，，且， ∴，， 解得，． ∴． 变式3-3．已知正数的两个不同平方根分别是和，且的立方根为2． (1)求和正数及的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】 【详解】（1）解：正数的两个不同平方根分别是和， 和互为相反数， ， 解得：， ，， 正数的两个不同平方根分别是和5， ， 的立方根为2， ， 解得：， 综上所述，，，． （2）解：由（1）得，，， ， 的平方根为． 题型04 无理数的估算问题 例4．已知（是整数），则的所有可能值中，最大值是______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴数轴上，数对应的点到原点的距离小于， ∴， 又∵为整数， ∴的所有可能值为，，，，，，， ∴的所有可能值中，最大值为． 变式4-1．请写出介于和之间的一个整数_________________．（写一个即可） 【答案】4（答案不唯一） 【详解】解：， ， 即， 又， ， 即， 因此介于和之间的整数为和． 即介于和之间的一个整数可以是． 变式4-2．将四个数，，，表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是______． 【答案】 【详解】解：由数轴得，被墨迹覆盖的数， ∵，，，， ∴能被墨迹覆盖的数是． 变式4-3．已知（为整数），则的值是__________． 【答案】 【详解】解：，，且， ，即， 又，为整数， ． 题型05 二次根式概念及有意义的条件判断 例5．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意得， 解得． 变式5-1．下列各式中，属于二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A：，不是二次根式，不符合题意； B：当时，无意义，不一定是二次根式，不符合题意； C：当时，无意义，不一定是二次根式，不符合题意； D：，是二次根式，符合题意． 变式5-2．若二次根式有意义，则x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵二次根式有意义时，被开方数必须是非负数 ∴， 解不等式得 变式5-3．要使，实数x的取值范围是______． 【答案】 【详解】解：等式左边，对任意实数都有意义． 要使原等式成立，需先使等式右边有意义． ∵ 二次根式的被开方数必须为非负数， ∴ ， 解得． 当时，左边，右边， 左边等于右边，原等式成立． 因此的取值范围是． 题型06 利用二次根式的性质进行化简 例6．计算的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴． 变式6-1．计算：________． 【答案】 【详解】解：根据二次根式的性质可得． ∵． ∴ ∴ 即原式结果为． 变式6-2．实数、在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为________． 【答案】 【详解】解：由数轴可知，，， ． 变式6-3．已知实数、、在数轴上的位置如图所示，则___________． 【答案】 【详解】解：由数轴可得，， ∴，，， ∴ ． 题型07 识别与化简最简二次根式 例7．下列各式是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：被开方数含分母，不是最简二次根式； ，，二者被开方数均含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式； 符合最简二次根式的要求． 变式7-1．下列二次根式属于最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：选项A：，不是最简二次根式，不符合题意； 选项B：是最简二次根式，符合题意． 选项C：，不是最简二次根式，不符合题意； 选项D：，不是最简二次根式，不符合题意． 变式7-2．关于的叙述不正确的是（     ） A． B．面积是的正方形的边长是 C．是有理数 D．在数轴上可以找到表示的点 【答案】C 【详解】解：A.，故A选项不符合题意. B.面积为12的正方形边长为，故B选项不符合题意. C.，是无理数，不是有理数，故C选项符合题意. D.数轴上的点与实数一一对应，是实数，故在数轴上可以找到表示的点，叙述正确，故D不符合题意. 变式7-3．将下列各式化为最简二次根式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：根据题意可知，，则， ． （2）解：根据题意可知，，则，， ． 题型08 二次根式中求参数取值或参数值 例8．若最简二次根式与可以合并，则的值为________． 【答案】 【详解】解：最简二次根式与可以合并， 二者为同类二次根式，被开方数相等，即， 移项得， ， 系数化为得． 变式8-1．若最简二次根式与能合并，则的值为__________． 【答案】3 【详解】先化简得：， 最简二次根式与能合并， 与是同类二次根式， 根据同类二次根式的定义，可得二者被开方数相同， ． 变式8-2．若是最简二次根式，则整数的值可以是__________．（写出一个符合题意的数即可） 【答案】 （答案不唯一，任意符合条件的整数均可） 【详解】解：∵是最简二次根式，为整数， ∴，且不含能开得尽方的因数， 当时，，满足条件，因此符合题意． 变式8-3．与最简二次根式能合并，则__________． 【答案】4 【详解】解：化简得， 与最简二次根式能合并， ， 解得：， 题型09 二次根式运算与化简求值 例9．化简求值：，其中． 【答案】 【详解】解： ． 变式9-1．已知，求的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， 两边平方得； 展开得，整理得， ∴ . 变式9-2．已知，求的值． 【答案】 【详解】解：， ， 两边平方，得， ， ． 变式9-3．已知，则_________． 【答案】 【详解】解： 将代入得： ， ∵， ∴． 题型10 二次根式双重非负性的应用 例10．若，则化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由二次根式有意义的条件，得， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ，， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ 原式． 变式10-1．把 化简得（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴， ∴． 变式10-2．化简___________（所有字母为非负数）． 【答案】 【详解】解：． 变式10-3．计算并化简：． 【答案】当时，结果为；当时，结果为；当时，结果为 【详解】解：， 当时，， 当时，， 当时，， 综上所述，当时，结果为；当时，结果为；当时，结果为． 题型11 实数的大小比较 例11．比较大小：______．（填“”“”或“”） 【答案】 【详解】解：两个分数的分母均为，且，因此只需比较分子与的大小， ∵，， ∴， ∴， ∴. 变式11-1．如图（甲和乙）中，不添加辅助线便可验证的是______．    【答案】甲 【详解】解：图甲中，∵， ∴三角形是直角三角形， 再根据垂线段最短，可知， ∴图甲可验证； 图乙中，根据三角形的两边之和大于第三边可得， ∴，即， ∴无法验证． 变式11-2．比较下列各对数的大小： (1)与； (2)与． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴． 变式11-3．如图1，探究：把两个面积为的小正方形沿着虚线剪开，将所得的四个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为的大正方形，因此，可得大正方形的边长为．启发：把两个长为3、宽为2的长方形沿着虚线剪开，将所得的四个直角三角形拼成如图2所示的一个正方形． (1)求的值； (2)比较和的大小． 【答案】(1)； (2). 【分析】 【详解】（1）解：大正方形面积为，空白部分面积为， 根据题意，得， 即，解得或（舍去）． 因此的值为. （2）解：，即， ． ． 题型12 求无理数的整数部分与小数部分 例12．已知的平方根是；的立方根为；c是的整数部分．求的值（     ） A． B．3 C．8 D． 【答案】A 【详解】解：∵的平方根是， ∴，解得 ； ∵的立方根是， ∴，解得 ； ∵， ∴， ∴的整数部分， ∴. 变式12-1．的小数部分是，则等于__． 【答案】 【详解】， ， ， ， 的小数部分． 变式12-2．已知的整数部分为，小数部分为，则代数式的值为（     ）． A． B． C． D．6 【答案】A 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ， ． 变式12-3．已知的平方根是，的立方根是，是的整数部分 (1)求、、的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)，， (2)４ 【分析】 【详解】（1）解：由题意可得， 解得：，； ∵，是的整数部分， ∴； （2）解：当，，时，． 题型13 实数与数轴的综合问题 例13．如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意可知，正方形的边长为1， 根据勾股定理，正方形的对角线长为， 点表示的数为， ∵，且是右侧最近的整数点， ∴点表示的数为2， ∴的长为． 变式13-1．若，则表示实数的点会落在如图所示的数轴上的（     ）段． A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【详解】解：∵， ， ， 表示实数的点会落在如图所示的数轴上的②段， 变式13-2．如图，将有一边重合的两张直角三角形纸片放在数轴上，纸片上的点表示的数是，若以点A为圆心、的长为半径画弧，与数轴交于点E（点E位于点A右侧），则点E表示的数为_________． 【答案】/ 【详解】解：由图可得，， 在中，， 在中，， ∵以点A为圆心、的长为半径画弧，与数轴交于点E， ∴， ∴点E表示的数为． 变式13-3．如图，网格由25个边长为1的小正方形组成，网格中有一个阴影正方形（顶点都在格点上）．若点A表示的数为． (1)图中正方形的边长为多少？ (2)若正方形的边长的值的整数部分为x，小数部分为y，求的值． (3)若正方形从当前状态沿数轴正方向翻滚，如图所示，我们把点B第一次落在数轴上的点记为点P，数轴上与点P距离最近的整数点记为点Q，求P，Q两点之间的距离． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）解：正方形的面积为； 正方形的边长为； （2）解：∵， ∴， ∵正方形的边长的值的整数部分为x，小数部分为y， ∴， ∴； （3）解：由（1）得：，由（2）得：， ∵点A表示的数为， ∴点P对应的数为， ∵， ∴， ∴， ∴数轴上与点P距离最近的整数点为3，即点Q对应的数为3， ∴P，Q两点之间的距离为． 题型14 复合二次根式的化简 例14．阅读与思考请阅读下列材料，并完成相应的任务． 材料一： 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会遇到如 的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 我们就称这个过程为分母有理化． 材料二： 形如 的化简，只要我们找到两个正数 ，使 ，则∶ 我们就称 为“理想二次根式”，则上述过程就称之为化简“理想二次根式”． 任务： (1)根据材料中的方法进行化简与计算：已知 求的值 (2)若 且a，m，n为正整数，求a的值． 【答案】(1) (2)46或14 【分析】 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：， ∵ ∴， ∵a，m，n为正整数， ∴， 即， ∴或， ∴当时，， 当时，， 综上所述，a的值为46或14． 变式14-1．计算：． 【答案】 【详解】解：， ， ∴原式． 变式14-2．在当今时代，国家人才培养和筛选机制正经历重大转变，以往单纯依靠死记硬背和题海战术的学习方式，已难以适应新的人才需求，自学能力逐渐成为孩子成长过程中不可或缺的关键因素．小知在家学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ， 根据以上信息，解答下列问题． (1)填空：(______)； (2)将化成另一个式子的平方； (3)化简二次根式，聪明的小知同学思考后说：我的解决思路是将转化为的形式，再根据进行化简，请你根据小知的做题思路直接写出化简为_____． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． 变式14-3．我们学习了二次根式，那么所有的非负数都可以看成是一个数的平方，如，，下面我们观察：；反之，，∴ (1)直接写出答案： ； ． (2)化简：． (3)若，则a与m，n的关系是什么？b与m，n的关系又是什么？ 【答案】(1)； (2) (3)， 【分析】 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴． （2）解：∵， ∴． （3）解：∵， ∴， ∴， ∴，． 题型15 二次根式的规律探究 例15．用计算器计算： (1)； (2)； (3)； (4)． (5)观察上面几题的结果，你能发现什么规律？用你发现的规律直接写出下题的结果： ____________． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：根据上述几题的结果可得：所得结果为被开方数算式中相乘的因数加1， ∴． 【点睛】本题考查了利用计算器求算术平方根，规律探究，主要是计算器的使用方法，需熟记，关键是总结规律． 变式15-1．已知，，，⋯，，其中为正整数．设，则的值是________． 【答案】 【详解】， ， ， ， ． 变式15-2．学习《实数》之后，在数学活动课上，马老师出示了一组有规律的算式．阅读观察下列算式，探求规律：，，，，… 【实践探究】 （1）按照此规律，计算：___________； （2）若符合上述规律，则___________． 【答案】 【分析】 【详解】解：（1） 可得规律：，其中为大于的正整数． ； （2）由（1）得：， ∵， ， 解得：， ． 变式15-3．观察下列各式： ． ． (1)在最后一个等式的括号内填上适当的数，使等式成立． (2)从上述各式中你发现了什么规律，请用含有n的式子将其规律表示出来，注明n的取值范围，并用数学知识证明你所写式子的正确性． 【答案】(1)， (2)（的整数），证明见解析 【分析】 【详解】（1）解： ， ……， 以此类推，可知． （2）解：（的整数），证明如下： ． 一、单选题 1．估算的值应在（     ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】C 【详解】解：， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即原式的值在和之间． 2．如图所示，数轴上、两点表示的数分别为和3，点关于点的对称点为点，则点所表示的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵点、表示的数分别为和， ∴， ∵点关于点的对称点为点， ∴，且点在点的左侧， ∴点表示的数为． 3．在下列各数，，，，，，，，，（相邻两个1之间有1个0）中，是无理数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：，，． ，，，为整数，是有理数．是有限小数，是有理数． 、（相邻两个之间有个）是无限循环小数，是有理数． 是无限不循环小数，是无理数． 是无理数． 是开方开不尽的数，是无理数． 综上，无理数共个． 4．实数介于两个相邻的整数之间，这两个整数是（     ） A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5 【答案】C 【详解】解: ∵ ，，， ∴ ， 即 ． ∴介于3和4之间． 5．若m是的小数部分，n是的小数部分，则的值是（     ） A．1 B． C．4 D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴，即的整数部分为3， ∴． ∵， ∴， 即的整数部分为0． ∴． ∴． 6．如图，一个棱长为的正方体盒子上，一只蚂蚁在的中点处，它到的中点的最短路线是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：①如图所示，将面，面展开在同一平面内， 在中，，，， ∴． ②如图所示：将面，面展开在同一平面内， 在中，，，， ∴． ③如图所示：将面，面展开在同一平面内， 在中，，，， ∴． ∵， ∴最短路线长是． 二、填空题 7．若m是64的平方根，则m的立方根是______；若的立方根为4，则的平方根为______． 【答案】 【详解】解：∵是的平方根， ∴； 当时，， 当时，， ∴的立方根是； ∵ 的立方根为， ∴， 解得， 将代入得， ∵的平方根是， ∴的平方根为． 8．计算：（1）=________．（2）=__________． 【答案】 【详解】解：（1） ； （2） ． 9．已知表示不超过x的最大整数，例如，．则的结果为________． 【答案】 【详解】解：，， ， 根据定义可得， 又， 因此不超过的最大整数为， 即， . 三、解答题 10．计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2)0 (3) (4) 【分析】 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 11．阅读材料，完成任务：我们知道，因此将分子、分母同时乘“”，分母就变成了，例如： ． (1)模仿材料中的计算方法，化简________；________． (2)计算：； (3)已知，，求的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】 【详解】（1）解：；． （2）解：由材料可得，； ； ；； ； 原式 ． （3）解：，， ，， ， 原式 ． 12．实验中学有一块长方形的文化长廊（如图），该文化长廊的长为，宽为，现计划在该长廊的中间放置一个正方形展台，展台的边长为．除去放置展台的区域、其余区域（阴影部分）全部需要刷上涂料． (1)这个文化长廊的周长是多少米？ (2)刷涂料的面积是多少平方米？ 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：根据题意可得，这个文化长廊的周长为： ， 答：该长方形的文化长廊区域的周长为； （2）解： ， 答：刷涂料的面积为． 1．如图，网格中每个小正方形的边长为1，把图中阴影部分剪拼成一个正方形，正方形的边长为．已知的整数部分和小数部分分别是，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的整数部分和小数部分分别是， ∴，， ∴． 2．对于任意的实数，规定，若要使的计算结果一定为负数，则②中的不等号一定是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】算术平方根的被开方数需满足非负， ∴， 走①对应的分支，且此时运算结果，不可能为负数； 要使运算结果一定为负，只能走②对应的分支，此时， 即． 3．已知，求：代数式的值． 【答案】 【详解】解：，，且， ，， ∴， ∴， ∴ ． 4．按要求完成下列各题： (1)已知正实数的两个不同平方根是和的立方根是3，求的平方根． (2)如图，长方形纸片沿折叠，，两点分别与，两点重合，若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：∵正实数的两个不同平方根为和的立方根是3， ∴，， ∴，， 解得， 则， 即， ∴， ∴的平方根为； （2）解：， ， 由折叠的性质得出， ， ， ， ， 解得． 则． 5．下面是小明在学习“无理数的估算”时做的学习笔记： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是我用来表示的小数部分，你同意我的表示方法吗？ 因为的整数部分是1，所以将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 例如：，即， 的整数部分为2，小数部分为． 根据以上笔记内容，请完成如下任务． (1)任务一：的小数部分为________． (2)任务二：a为的小数部分，b为的整数部分，请计算的值． (3)任务三：，其中x是整数，且，求的平方根 【答案】(1) (2)1 (3) 【分析】 【详解】（1）解：，即， 的整数部分为4，小数部分为， （2）解：，即， 的小数部分， ，即， 的整数部分， ； （3）解：，即， ， 的整数部分为12，小数部分为， 是整数，且， ，， ， 的平方根为． 6．阅读材料，在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方．如：；． (1)填空： ； (2)请你仿照小明的方法化简． 【拓展提升】 (3)如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形和，若两小正方形的面积分别为和，求剩余部分的面积． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】 【详解】（1）解： （2）略 （3）设正方形的边长为，正方形的边长为， 根据题意得：，， ∴，， 剩余部分的面积为：． 7．综合与实践 小若同学在学完《二次根式》后探究这样一个数学问题：“如果，那么”． 【直观感受】如图1，面积为，，，的正方形均放在数轴上，且所有正方形左下角顶点均与原点重合，数轴上标有它们的边长，，，．观察图形发现面积小的正方形，边长表示的数小；面积大的正方形，边长表示的数大，从而利用正方形面积大小判断算术平方根大小． (1)【画图探究】请你类比图1，在图2中画图探究“如果，那么”．（★注：这里画图探究过程无需严格尺规作图，只需要画出示意图） (2)【应用推理】当时，请你用探究得到的结论，求证：． (3)【拓展提升】记（为正整数，且），请你也用探究得到的结论，求证：． 【答案】(1) (2)证明：∵，且， ∴，即， ∴，即， ∴； (3)证明：∵为正整数，且， ∴， 又∵， ∴利用探究的结论可以得到， ∴． 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $