第二章 实数（4核心+11题型+5难点+复习讲义）数学新教材北师大版八年级上册

该初中数学第二章“实数”复习讲义通过表格系统梳理复习要点与重难点，将实数概念、平方根与立方根、二次根式的概念性质及运算四大知识点分层呈现，每个知识点配套要点速测，清晰构建知识脉络与内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计，从基础要点速测到迁移练再到难点精练，如无理数识别题培养抽象能力，二次根式混合运算提升运算能力，复合二次根式化简与新定义问题发展推理意识，助力不同层次学生提升，支持教师实施精准化复习教学。

第二章 实数 复习要点 1. 理解无理数、实数的概念，能准确区分有理数与无理数，掌握实数与数轴上的点一一对应的关系。 2. 掌握平方根、算术平方根、立方根的概念、表示方法与性质，能区分平方根与算术平方根（个数、符号差异），会求各类方根。 3. 掌握二次根式的概念与最简二次根式的条件（被开方数不含分母、不含能开得尽方的因数或因式），理解二次根式的双重非负性。 4. 掌握二次根式的加、减、乘、除运算法则，能进行正确的混合运算，区分二次根式加减（先化简为同类二次根式再合并）与乘除运算的不同处理方式。 复习重难点 重点：平方根、算术平方根、立方根、二次根式的概念与性质，以及二次根式的化简与混合运算。 难点：准确区分平方根与算术平方根，熟练进行二次根式的混合运算（如分母有理化、复合二次根式化简），并灵活运用估值法比较实数大小。 知识点 实数的概念和性质 1.无理数的概念：无限不循环小数. 注意：(1)无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式 (2)常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 2.实数的概念：有理数和无理数统称为实数. 3.实数的分类 按定义分： 按与0的大小关系分： 实数 实数 4.实数与数轴上的点一 一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 5.实数的三个非负性及性质： 在实数范围内，正数和零统称为非负数。我们已经学习过的非负数有如下三种形式： （1）任何一个实数的绝对值是非负数，即||≥0；（2）任何一个实数的平方是非负数，即≥0； （3）任何非负数的算术平方根是非负数，即 (). 非负数具有以下性质： （1）非负数有最小值零；（2）有限个非负数之和仍是非负数； （3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0. 要点速测 1．（25-26七年级下·广东广州·期中）在，0，，，3.14，，，0.202002000…实数中，无理数有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】根据无理数定义（无限不循环小数是无理数），逐个判断给定实数，统计无理数个数得到结果，常见无理数包括含π的数、开方开不尽的数、无限不循环小数三类． 【详解】∵是分数，0是整数，3.14是有限小数，是整数，以上都属于有理数； 又∵中π是无限不循环小数， ∴是无理数， ∵开平方开不尽，是无限不循环小数， ∴是无理数， ∵开立方开不尽， ∴是无理数， ∵0.202002000…是无限不循环小数， ∴是无理数， 是分数、0是整数、3.14是有限小数、是整数，这些都是有理数， ∴无理数共有4个． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）将下列各数填在相应的大括号内． 3.030030003…（每两个3之间依次增加一个0），，，3.1415926，，0，，，，． 有理数：{                                    ，…}； 无理数：{                                    ，…}； 正实数：{                                    ，…}； 整数：{                                    ，…}． 【答案】 有理数：； 无理数：； 正实数：； 整数：． 【分析】本题考查了实数的分类（有理数、无理数、正实数、整数），解题关键是先化简能计算的数，再根据定义准确分类，注意无限不循环小数是无理数，而整数和分数都属于有理数． 先根据有理数、无理数、正实数、整数的定义，对每个数进行化简和判断，再将它们分类填入对应的集合中． 【详解】解：（每两个之间依次增加一个）是无限不循环小数，属于无理数，也是正实数； ，是有理数、整数和正实数； 是无限不循环小数，属于无理数，也是正实数； 是有限小数，属于有理数，也是正实数； 是有限小数，属于有理数； 是有理数和整数； 是分数，属于有理数，也是正实数； 是无限不循环小数，属于无理数； ，是有理数、整数和正实数； 是无限不循环小数，属于无理数，也是正实数． 综合以上，分类如下： 有理数集合包括：、、、、、； 无理数集合包括：、、、； 正实数集合包括：、、、、、、； 整数集合包括：、、． 知识点 平方根与立方根 1.算术平方根 （1）定义：一般地，如果一个正数x的平方根等于a,即：那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记作，读作“根号a”, （2）表示方法：非负数a的算术平方根记作，读作根号a, （3）性质：①正数只有一个算术平方根，并且恒为正；②0的算术平方根为0，即；③负数没有算术平方根，当式子有意义时，a一定是一个非负数。 2.平方根 （1）定义:一般地，如果一个正数x的平方根等于a,即：那么数x就叫做a的平方根，记作，读作“正负根号a”, （2）表示方法：一个数a（a≧0）的平方根记作(a≧0)，读作根号a,“正负根号a”, （3）性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，是它本身，负数没有平方根。 3.立方根 （1）定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 注意：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算. （2）立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 注意：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. 要点速测 3．（25-26七年级下·吉林·阶段检测）4的平方根是________，的立方根是________，的算术平方根是________； 【答案】 【分析】根据平方根、立方根、算术平方根的定义逐步求解，第三个空需先计算的值，再求它的算术平方根． 【详解】解：∵ ， ∴ 4的平方根是； ∵ ， ∴ 的立方根是； ∵ ，且，算术平方根为非负的平方根， ∴ 的算术平方根是． 4．（25-26七年级下·四川南充·阶段检测）解下列方程 (1) (2) 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）解：， ， ， 解得或． （2）解：， ， ， 解得． 5．（25-26七年级下·吉林四平·期末）已知的平方根是，的立方根是，是的整数部分 (1)求、、的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)，， (2)４ 【分析】（1）先根据平方根和立方根的定义求出a、b,然后估算出的范围即可求出c； （2）根据（1）所求，结合算术平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得， 解得：，； ∵，是的整数部分， ∴； （2）解：当，，时，． 知识点 二次根式的概念和性质 1.二次根式的概念:一般地，我们把形如 的式子的式子叫做二次根式，称为 称为二次根号．如都是二次根式. 2.二次根式满足条件：（1）必须含有二次根号；（2）被开方数必须是非负数. 3.二次根式有无意义的条件 ①二次根式有意义：被开方数为非负数，即； ②二次根式无意义：被开方数为负数，即； 4.二次根式的性质：①二次根式（）的非负性；（）表示的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即（）． ②二次根式的性质：（） ③二次根式的性质： 要点速测 6．（25-26八年级下·贵州安顺·期末）下列式子中，是二次根式的是（     ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】二次根式需满足根指数为2，且被开方数大于等于0．据此逐项判断即可． 【详解】解：A．的被开方数，它不是二次根式，故本选项不合题意； B．的根指数为2，被开方数，它是二次根式，故本选项符合题意； C．的根指数为3，它不是二次根式，故本选项不合题意； D．是整数，不含二次根号，它不是二次根式，故本选项不合题意． 7．（25-26八年级下·河北唐山·期末）若是二次根式，则的值可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据是二次根式，则，即可得到答案． 【详解】解：∵是二次根式， ∴， 各选项中只有满足． 8．（25-26八年级下·山东德州·期末）实数，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由数轴可知：，则有， ∴． 知识点 二次根式的运算 1.最简二次根式 （1）最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母，（2）被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式 2.同类二次根式 （1）同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 （2）合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如 3.二次根式的乘法 （1）二次根式的乘法法则：（二次根式相乘，把被开方数相乘，根的指数不变） （2）二次根式的乘法法则的推广: ① ②，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数. （3）二次根式的乘法法则的逆用：（二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质） （4）二次根式的乘法法则的逆用的推广： 4.二次根式的除法 （1）二次根式的除法法则：（二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变） （2）二次根式的除法法则的推广：. 5.二次根式的加减法 （1）二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 （2）二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 6.二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） 要点速测 9．（25-26八年级下·云南红河·期末）下列二次根式，属于最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．，被开方数中含有能开得尽方的因数4，不是最简二次根式； B．的被开方数中含有分母，不是最简二次根式； C．是最简二次根式； D．，被开方数中含有分母，不是最简二次根式． 10．（25-26八年级下·安徽蚌埠·期末）若能与最简二次根式合并，则的值为________． 【答案】5 【分析】先化简，根据同类二次根式可以合并的性质，得到最简二次根式的被开方数与化简后的被开方数相等，列方程求解即可． 【详解】解：∵，能与最简二次根式合并， ∴与是同类二次根式，被开方数相等， ∴， ． 11．（25-26八年级下·天津东丽·期末）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用二次根式的性质化简，再加减运算即可解答； （2）利用平方差公式和二次根式的乘法运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．（25-26八年级下·陕西商洛·期中）【发现问题】进行二次根式的计算时，有时会遇到这种分母中含有无理数的式子． 【分析问题】对形如这类式子可以用课本所学知识直接进行计算，但是这类式子无法直接计算，我们可以用之前所学乘法公式来解决． 【解决问题】经过探索、同学们发现可以用下面的方法进行计算： 请你认真阅读同学们的解题方法、并解决下列问题： (1)计算：___________． (2)计算：； (3)求：的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）对原式进行分母有理化，分子分母同乘即可得到结果； （2）分子分母同乘，利用平方差公式化简即可得到结果； （3）先对原式每一项进行分母有理化，再抵消中间项计算最终结果； 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解：对任意正整数，对分母有理化得， 因此， ． 题型1 无理数的识别 ▌例1 （25-26七年级下·山东临沂·期中）下列实数中无理数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题根据无理数和有理数的定义，逐一判断选项即可，无理数是无限不循环小数，有理数是整数和分数的统称． 【详解】无理数是无限不循环小数，有理数是整数和分数的统称，据此判断： 是分数，属于有理数，不符合要求； 是无限不循环小数，属于无理数，符合要求； 是有限小数，属于有理数，不符合要求； ，是整数，属于有理数，不符合要求； 综上，答案选． 解题要点 1. 按定义判定：无理数是无限不循环小数。常见类型有：①开方开不尽的数（如√2、√3）；②含π的数（如π、2π）；③特定结构（如0.1010010001…）。 2. 排除有理数：有理数包括整数、分数、有限小数及无限循环小数。如√4=2、3.14、22/7均为有理数，需先化简再判断，不能只看表面形式。 ▌迁移练1-1（25-26七年级下·河南安阳·期中）在五个数中，无理数有（   ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【详解】∵是分数，属于有理数； 是整数，属于有理数；是整数，属于有理数；是开方开不尽的数，属于无理数；是无限不循环小数，属于无理数； ∴无理数共有个． ▌迁移练1-2（25-26七年级下·广东广州·期中）在，0，，，3.14，，，0.202002000…实数中，无理数有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】根据无理数定义（无限不循环小数是无理数），逐个判断给定实数，统计无理数个数得到结果，常见无理数包括含π的数、开方开不尽的数、无限不循环小数三类． 【详解】∵是分数，0是整数，3.14是有限小数，是整数，以上都属于有理数； 又∵中π是无限不循环小数， ∴是无理数， ∵开平方开不尽，是无限不循环小数， ∴是无理数， ∵开立方开不尽， ∴是无理数， ∵0.202002000…是无限不循环小数， ∴是无理数， 是分数、0是整数、3.14是有限小数、是整数，这些都是有理数， ∴无理数共有4个． ▌迁移练1-3（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列各数：，0.2，，，，中，无理数的个数是（  ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】先化简题目中可化简的数，再根据无理数的定义：无限不循环小数是无理数，逐一判断即可得到结果． 【详解】解：∵，，，0.2，，2都属于有理数， 又∵是无限不循环小数， ∴是无理数， ∵开方开不尽，是无限不循环小数， ∴是无理数， ∴无理数共2个． 题型2 实数与数轴 ▌例2 （25-26八年级上·广东茂名·期中）如图，数轴上点表示，点表示，点是线段的中点，则点表示的数是_______． 【答案】 【分析】设点表示的数为，结合题意可得，进一步可得答案． 【详解】解：设点表示的数为， ∵数轴上点表示，点表示，点是线段的中点， ∴，即， ∴． 解题要点 1. 数轴上的点与实数一一对应：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反之亦然。解题时利用数轴直观比较实数大小（右大左小），求两点距离用右边点表示的数减去左边点表示的数。 2. 借助数轴化简含根式：在数轴上标出各数位置，判断根号内开方结果的正负，利用√a²=|a| 化简绝对值。注意数轴上的点与有理数、无理数的对应关系，常用于估算无理数的大致位置。 ▌迁移练2-1（25-26八年级下·内蒙古呼伦贝尔·期末）我们知道实数与数轴上的点一一对应，如图，正方形的边长为1，以数轴上表示数1的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与数轴负半轴交于点P，则点P表示的实数为____________． 【答案】/ 【分析】先根据勾股定理求出的长，再根据数轴上两点间的距离公式求出点表示的数即可． 【详解】解：如图， 正方形的边长为1， ， ， 点表示1， 点到点原点的距离为：， ∵点在数轴的负半轴上， 点表示． ▌迁移练2-2（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，，，，以点为圆心，长为半径作弧，交数轴负半轴于点，则点表示的数是________． 【答案】 【分析】由勾股定理求出的长度，进而得的长度，则可求得点表示的数． 【详解】解：由勾股定理得， 由作图知， 则点表示的数为． ▌迁移练2-3（25-26八年级下·河南濮阳·期末）如图，点在数轴原点处，数轴上的点的坐标是3，过点作直线垂直于，在上截取，以点为圆心，长为半径作弧，弧与数轴正半轴的交点表示的数为________． 【答案】 【分析】先由得到是直角三角形，利用勾股定理求出斜边的长度；由作图可知，即可得到点在数轴上表示的数． 【详解】解：∵直线， ∴，为直角三角形， 由题意得：，，根据勾股定理： ， ∵以点为圆心，长为半径作弧交数轴正半轴于点， ∴， 因此数轴上点表示的数为． 题型3 实数的性质 ▌例3 （25-26七年级下·天津津南·期末）的绝对值是_________；的相反数是_________． 【答案】 【分析】根据绝对值和相反数的定义计算即可． 【详解】解：由题意得，的绝对值为； 的相反数为． 解题要点 1. 运算性质与大小比较：实数包含有理数和无理数，遵循与有理数相同的运算律（交换、结合、分配）。比较大小常用作差法（a-b＞0则a＞b）或平方法（正数平方大则数大）。 2. 绝对值与倒数：实数a的绝对值|a|表示数轴上a到原点的距离（非负性）。倒数为1/a（a≠0）。注意无理数的相反数、绝对值运算规则与有理数一致，化简含根式的绝对值时需先判断正负。 ▌迁移练3-1（25-26七年级下·天津·期中）的相反数是______，的绝对值是______． 【答案】 【详解】解：的相反数为. ， ，则 ． ▌迁移练3-2（25-26七年级下·山东临沂·阶段检测）的相反数是______，的绝对值是______． 【答案】 / / 【详解】解：的相反数为． ∵， ∴， ∴． ▌迁移练3-3（25-26七年级下·全国·课后作业）（1）的倒数是__________． （2）相反数和绝对值都为的实数是_____________． （3）的相反数是__________，绝对值是__________，倒数是__________． 【答案】 【分析】本题考查实数的性质，包括倒数、相反数和绝对值的定义和计算． （1）根据倒数的定义求解即可； （2）根据相反数和绝对值的定义求解即可； （3）先化简，再根据相反数、倒数和绝对值的定义求解即可． 【详解】解：（1）的倒数是 ； 故答案为：； （2）设该实数为，则相反数为，绝对值为，且，由于， ∴； 故答案为：； （3）=，其相反数为，绝对值为，倒数为； 故答案为：，，． 题型4 实数大小比较 ▌例4 （25-26七年级下·吉林四平·期末）比较大小：________．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】比较两个非负数的大小，可对两个数分别平方，通过比较平方结果的大小判断原数大小，平方结果更大的原数更大． 【详解】解：对两个数分别平方，可得，， ∵， ∴． 解题要点 1. 数轴法：在数轴上标出各数，右边的数总比左边的大。对于无理数，先估算其近似值（如√2≈1.414），再定位比较，直观快捷。 2. 平方法或作差法：正数比较大小时，可同时平方比较大小（如√3与√5）；也可用作差法（a-b＞0则a＞b）。注意负数比较时绝对值大的反而小，含根式时可先化为同次根式再比较。 ▌迁移练4-1（25-26七年级下·陕西商洛·期中）比较大小：______1．（填“”或“”） 【答案】 【分析】通过变形将问题转化为比较和的大小，利用算术平方根的性质估算即可． 【详解】解：， ， ， ， ． ▌迁移练4-2（25-26七年级下·云南昭通·阶段检测）比较大小：______．（填“”“”或“”） 【答案】 【详解】解：两个分数的分母均为，且，因此只需比较分子与的大小， ∵，， ∴， ∴， ∴. ▌迁移练4-3（26-27七年级·浙江·暑假作业）比较大小：___________；___________；___________．（填“”“”或“”） 【答案】 > < < 【分析】根据实数大小的比较方法解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴； ∵，， ∴． 题型5 实数的分类 ▌例5 （25-26七年级下·全国·课后作业）把下列各数填在相应的括号里：，，，0，，，2.9，1.3030030003…（相邻两个3之间依次多一个0）． （1）整数：{                                                    …}； （2）分数：{                                                    …}； （3）无理数：{                                                    …}． 【答案】（1）整数：； （2）分数：； （3）无理数：{，，（相邻两个3之间依次多一个0）}． 【分析】本题考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类是解题的关键； 根据实数的分类将题干的八个数分别填到三个空内． 【详解】解：是整数；无法化简也不能化为分数形式，是无理数；是分数；0是整数，是无理数；是有限小数，是分数；是有限小数，是分数；（相邻两个3之间依次多一个0）是无限不循环小数，是无理数； ∴整数：； 分数：； 无理数：{，，（相邻两个3之间依次多一个0，…} ． 解题要点 1. 按定义二分法：实数分为有理数和无理数。有理数含整数（正整数、0、负整数）和分数（有限小数、无限循环小数）；无理数是无限不循环小数（如π、√2、√3等）。 2. 先化简再归类：判断一个数属于哪一类时，需先进行化简计算（如√4=2、√8=2√2），再根据化简结果确定类别。注意分类标准要统一，不可同时按定义和性质分类，避免重复。 ▌迁移练5-1（25-26七年级上·浙江杭州·期中）请把下列各数的序号填入相应的集合中． ①，②，③0，④，⑤，⑥，⑦（每两个2之间多一个1） (1)整数集合：{_________}； (2)负有理数集合：{_________}； (3)无理数集合：{_________}． 【答案】(1)②③⑤ (2)②⑥ (3)①④⑦ 【分析】本题考查实数的定义及分类． （1） 根据整数的定义分类即可； （2）根据负有理数的定义分类即可； （3）根据无理数的定义分类即可． 【详解】（1）解：，， 整数集合：{②③⑤}； （2）解：负有理数集合：{②⑥}； （3）解：大于0，且是无理数， 无理数集合：{①④⑦}． ▌迁移练5-2（25-26七年级上·浙江温州·期中）把下列各数填入相应的横线上： ，，，，，，， 整数：______； 分数：______； 无理数：______． 【答案】 整数：，，； 分数：，，； 无理数：，． 【分析】本题考查的是实数，熟知有理数和无理数统称实数是解题的关键． 根据实数分类解答即可． 【详解】解： ▌迁移练5-3（25-26八年级上·广东佛山·阶段检测）把下列各数对应的序号填在相应的横线上．（只填序号，多填或者少填不给分） ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦5.4，⑧，⑨0，⑩，⑪1.2020020002…（每两个2之间多一个0） (1)负分数：___________________________； (2)无理数：__________________； (3)正有理数：____________________________． 【答案】(1)⑥⑩ (2)②⑧⑪ (3)④⑤⑦ 【分析】此题主要考查了实数的分类．实数分为：有理数和无理数；有理数分为：整数和分数；无理数分为：正无理数、负无理数（无限不循环小数）．根据实数的分类：负分数是负的有理数中的分数或小数；无理数是无限不循环小数；正有理数是正的有理数，包括正整数、正分数和正小数． 【详解】（1）解：∵， ∴ 负分数：⑥⑩； 故答案为：⑥⑩； （2）无理数：②⑧⑪； 故答案为：②⑧⑪； （3）正有理数：④⑤⑦． 故答案为：④⑤⑦． 题型6 程序设计与实数运算 ▌例6 （25-26八年级上·河北秦皇岛·期中）小明是一个电脑爱好者，他设计了一个程序，如图，分析发现，当输入一个可以使程序运行的实数时，该程序无法输出值，则的值为______． 【答案】0或1或负数 【分析】本题考查了实数的运算，关键是掌握立方根及算术平方根的求解． 根据最后都是无理数输出，可得的值为或或负数． 【详解】解：因为按照计算流程发现最后都是无理数输出，所以取或时该程序无法输出值， 因为负数没有算术平方根，所以取负数时该程序无法输出值， 故答案为：或或负数． 解题要点 1. 理清流程图顺序：按箭头方向逐步执行，注意输入、计算、判断、输出各环节。遇分支结构（如条件判断）需根据运算结果选择路径，避免跳步。 2. 规范实数计算：每一步运算严格遵循先乘方开方、再乘除、后加减的顺序。结果若为无理数保留根号或π形式，若为近似值按题目要求取精确值（如保留根号或取小数点后几位）。注意负数的奇偶次幂符号。 ▌迁移练6-1（25-26八年级上·河北石家庄·期中）小明是一个电脑爱好者，他设计了一个程序，如图，当输入的值是时，输出的值是_________．分析发现，当输入一个可以使程序运行的实数时，该程序无法输出值，则的值为_________． 【答案】 或或负数 【分析】本题考查了实数的运算，关键是掌握立方根及算术平方根的求解． （1）按照计算流程计算，如果不满足输出条件，继续循环计算即可． （2）根据最后都是无理数输出，可得的值为或或负数． 【详解】（1）当值为时，取算术平方根得，取立方根得，取算术平方根得是，是无理数，所以输出的数为； （2）因为按照计算流程发现最后都是无理数输出，所以取或时该程序无法输出值， 因为负数没有算术平方根，所以取负数时该程序无法输出值， 故答案为：或或负数． ▌迁移练6-2（25-26八年级上·全国·阶段检测）小明设计了一个如图所示的电脑运算程序： （1）当输入x的值为64时，输出y的值为_______ （2）分析发现，当非负实数x取_______时，该程序无法输出y的值． 【答案】 0或1 【分析】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）把代入按程序计算即可求出值； （2）0的算术平方根和立方根都是0，1也是一样，不会是无理数，不能输出y值． 【详解】解：（1）当时，，， 当时，； 故答案为：； （2）当时，，，一直计算，0的算术平方根和立方根都是0，不会是无理数，不能输出y值， 当时，，，一直计算，1的算术平方根和立方根都是1，不会是无理数，不能输出y值， ∴当非负实数x取0或1，该程序无法输出y值， 故答案为：0或1． ▌迁移练6-3（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）小明设计了一个如图所示的电脑运算程序： （1）当输入的值是64时，输出的值是________． （2）分析发现，当非负数取________时，该程序无法输出值． 【答案】 0或1 【分析】本题考查了实数，立方根，算术平方根，关键是掌握立方根及算术平方根的求解． （1）按照计算流程计算，如果不满足输出条件，继续循环计算即可． （2）按照计算流程，探索即可得出答案解： 【详解】解：（1）当x值为64时，则64的算术平方根得8， ∴8的立方根是2， ∴2的算术平方根得是，是无理数， ∴输出的数为； 故答案为：． （2）依题意，按照计算流程发现最后都是无理数输出， ∴当非负数取0或1时该程序无法输出值， 故答案为：0或1． 题型7 求一个数的平方根、算术平方根、立方根 ▌例7 （25-26七年级下·山东德州·期末）的算术平方根是__________，的立方根是__________． 【答案】 / 【分析】根据算术平方根与立方根的定义即可得到结果． 【详解】解：，且算术平方根为非负数， 的算术平方根是， ， 的立方根是． 解题要点 1. 分清概念：正数a的平方根为 ±√a（有两个，互为相反数），算术平方根为 √a（非负）；0的平方根和算术平方根均为0；负数没有平方根。任意实数a的立方根为 ³√a（符号与原数一致）。 2. 化简与计算：先将被开方数化简（如√16=4、³√-8=-2），再求根。注意√a²=|a|，而 （√a）²=a（a≥0）。常见易错点：√16的平方根是±2（不是±4）。开方结果若为无理数保留根号。 ▌迁移练7-1（25-26七年级下·湖北武汉·期中）8的立方根是 ___，16的平方根是____，的算术平方根是_____． 【答案】 【分析】根据立方根、平方根、算术平方根的定义求解，计算的算术平方根时，需先化简，再根据算术平方根的定义求解． 【详解】解：， 的立方根是， ， 的平方根是， ，，且算术平方根为非负数， 的算术平方根是． ▌迁移练7-2（25-26七年级下·河南周口·期末）的算术平方根是____________，的立方根是____________，的平方根是____________． 【答案】 【详解】解：的算术平方根是，的立方根是，的平方根是． ▌迁移练7-3（25-26七年级下·广东江门·期中）_________，的算术平方根为_________，的平方根为_________． 【答案】 【分析】本题依次根据立方根的定义，绝对值的性质.有理数乘方的意义，算术平方根的定义，平方根的定义逐步计算，即可得到结果． 【详解】解：； ∵，， ∴的算术平方根为6； ∵，的平方根为； ∴的平方根为． 题型8 利用平方根与立方根的定义解方程 ▌例8 （25-26七年级下·陕西·期末）求的值： (1)； (2)． 【答案】(1) , (2) 【分析】（1）移项，根据得到或，由此即可求解； （2）原式变形得，根据，得到，由此即可求解． 【详解】（1）解：， ， ∵， ∴或， 解得，； （2）解：， ， ∵， ∴， 解得，． 解题要点 1. 平方根型方程：将方程化为 x²=a（a≥0） 的形式，则 x=±√a。注意a≥0时才有实数解，a<0时无实数根。若含括号（如(2x-1)²=9），将括号整体看作未知数，开方后解一次方程。 2. 立方根型方程：将方程化为 x³=a 的形式，则 x=³√a（任意实数a均有唯一立方根）。若含括号（如(2x+1)³=-8），开立方后解一次方程即可，无需讨论符号。注意结果需化简。 ▌迁移练8-1（25-26七年级下·甘肃平凉·期中）求下列各式中的值： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）解：， ， 解得：或； （2）解： ， ， 解得：． ▌迁移练8-2（25-26七年级下·贵州遵义·期中）求的值： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ， 解得：； （2）解：， ， ， 解得：． ▌迁移练8-3（25-26七年级上·山东烟台·期中）解下列方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）方程两边同时除以9，再开平方，即可作答； （2）方程两边同时除以8，再开立方，即可作答； 【详解】（1）解：∵， ∴ ∴ ∴； （2）解：∵ ∴ ∴ ∴． 题型9 判断是否为二次根式、最简二次根式、同类二次根式 ▌例9 （25-26八年级下·吉林·期末）下列各式中，属于二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：二次根式要求被开方数是非负数． A、中的，不符合被开方数为非负数，故不是二次根式，选项A不符合题意； B、中的，当时不符合被开方数为非负数，故不是二次根式，选项B不符合题意； C、中的，当时，，不符合被开方数为非负数，故不是二次根式，选项C不符合题意； D，中的，符合被开方数为非负数，故是二次根式，选项D符合题意． 解题要点 1. 二次根式判定：形如 √a（a≥0） 的式子，关键看被开方数是否为非负数，且根指数为2（通常省略）。注意√a²需化简为|a|后判断。 2. 最简与同类判定：最简需满足①被开方数不含分母；②不含能开得尽方的因数或因式。同类需先化为最简，再看被开方数是否相同，与系数和根指数无关。 ▌迁移练9-1（25-26八年级下·云南玉溪·期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查最简二次根式，判断是否最简二次根式的关键看被开方数是否含有分母，以及是否含有开得尽方的因数或因式． 【详解】解：， ， ， 只有是最简二次根式． ▌迁移练9-2（25-26八年级下·安徽亳州·期末）下列是同类二次根式的一组是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据同类二次根式的定义，先将各选项的二次根式化为最简二次根式，再比较化简后的被开方数是否相同，即可求解． 【详解】解：A、，，和不是同类二次根式，故选项A不符合题意； B、，，和是同类二次根式，故选项B符合题意； C、的被开方数为，的被开方数为，不相同，和不是同类二次根式，故选项C不符合题意； D、的被开方数为，，被开方数为，和不是同类二次根式，故选项D不符合题意． ▌迁移练9-3（25-26八年级下·安徽滁州·期末）如果最简二次根式与是同类二次根式，那么（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化简已知二次根式，再根据同类二次根式的定义，即最简二次根式的被开方数相同，列出一元一次方程求解即可． 【详解】， 是最简二次根式，且与是同类二次根式， 二者被开方数相等， ， 移项得， 解得． 题型10 二次根式的混合运算 ▌例10 （26-27九年级上·江苏南京·开学考试）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 解题要点 1. 化简与顺序：先将各二次根式化为最简二次根式，再按运算顺序（先乘方开方、再乘除、后加减，有括号先括号）计算。乘法用√a·√b=√(ab)，除法用√a/√b=√(a/b)。 2. 合并同类项与分母有理化：化简后，合并被开方数相同的同类二次根式（系数相加减，根号部分不变）。分母含根式时，通过有理化（如乘以共轭因式）化去分母中的根号，结果需化为最简。注意符号与括号处理。 ▌迁移练10-1（25-26八年级下·山西吕梁·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． ▌迁移练10-2（25-26八年级下·云南红河·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由二次根式性质、二次根式除法运算法则化简，然后合并同类二次根式，最后化简即可； （2）先由平方差公式、完全平方公式展开，再由二次根式性质化简，最后由加减运算计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． ▌迁移练10-3（25-26八年级下·天津河东·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型11 已知字母或式子的值，化简求值 ▌例11 （25-26八年级下·山东菏泽·期末）已知：，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】由已知可得，，再利用平方差公式计算即可； 由已知可得，，再利用完全平方公式将原式变形为，进而代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴原式 ； （2）解：∵，， ∴，， ∴原式 ． 解题要点 1. 先化简再代入：先将原式进行因式分解、通分、约分、合并同类项等化简，化为最简形式，再将字母（或式子）的值代入。避免直接代值导致复杂运算，能有效减少错误。 2. 整体代入与条件转化：若已知条件较复杂（如x+y=3、xy=1），可将所求式用已知整体表示，进行整体代入。或先由已知条件解出字母值再代入，注意代入时负数、分数要加括号。结果需化为最简。 ▌迁移练11-1（25-26八年级下·山东烟台·期末）已知，． (1)求和的值； (2)求的值． 【答案】(1)，1 (2)10 【分析】（1）直接把x，y的值代入进行计算即可； （2）将所求式变形得到，再把（1）中的，的值代入进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ； （2）解： ． ▌迁移练11-2（25-26八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段检测）已知，，求下列各式的值： (1) ； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据完全平方公式的变形公式求解即可； （2）根据平方差公式求解即可. 【详解】（1）解：∵ ，， ∴ ，， ； （2）解：∵ ，， ∴ ，， . ▌迁移练11-3（25-26八年级下·安徽六安·期中）已知． (1)求和的值； (2)利用（1）的结论求的值． 【答案】(1)4，1 (2)98 【分析】（1）直接把分别代入和计算， （2）由（1）得，再代入计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意， ． 则 ． （2）解：由（1）得， 难点一 利用二次根式的性质化简 难点1：双重非负性与隐含条件的挖掘 √a要求a≥0，且算术平方根结果非负。化简时需结合被开方数的取值范围判定字母符号，若隐含条件未充分挖掘（如分母不为零、偶次根式内≥0），易因符号误判导致结果错误。 难点2：完全平方开方时的绝对值处理 化简√(m²)时不能直接等于m，必须写为|m|，再按m≥0或m<0去绝对值。难点在于结合实数大小关系或已知条件分段讨论，若忽略去绝对值的过程而直接约去平方，则极易丢失负号情形。 难点精练 1．（25-26九年级上·吉林长春·开学考试）已知，化简 ． 【答案】1 【分析】本题考查了二次根式性质和绝对值化简．根据二次根式性质和绝对值意义化简计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：1． 2．（2025八年级下·山东临沂·竞赛）已知，化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了化简绝对值，利用二次根式的性质化简，熟练掌握和运用去绝对值法则及利用二次根式的性质化简是解决本题的关键． 先将原式化为，再根据化简绝对值，再进行加减计算． 【详解】解：， ∵， 所以 ∴原式， 故答案为：． 3．（25-26八年级下·广东清远·阶段练习）在中，，，边上的高，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是勾股定理、二次根式的性质，熟练掌握勾股定理并运用分类讨论思想是解题的关键．分两种情况，根据勾股定理分别求出、，进而求出，再根据二次根式的性质计算即可． 【详解】解：如图，在中，，， 由勾股定理得：， 在中，，， 由勾股定理得：， 则， ； 如图， 则 BC=BD-CD=9-4=5， ； 综上所述：或． 故答案为：或． 难点二 复合二次根式的化简 难点1：将双根号化为完全平方配方的策略 需将m 2配成()2形式。难点在于逆向求解x+y=m、xy=n的整数分解，当m、n较大时，因式分解的目标性模糊，配凑极易卡壳。 难点2：化简后的符号与取值范围校验 开方后需确保（对应减号情形）且结果非负。难点在于忽略算术平方根的非负性，或未验证配方中的x、y 是否满足原式定义域，导致化简结果与原式不等价。 难点精练 1．（25-26八年级下·广东珠海·期末）阅读与思考 【阅读理解】数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号． 例题： 【解决问题】 (1)仿照例题补充完整： ___________________________=_________=_________; (2)根据上述思路，试将下列各式化简： ①； ②． 【答案】(1)，, (2)①；② 【分析】主要利用完全平方公式将被开方数变形，再利用二次根式的性质化简即可． 【详解】（1）略 （2）解：①原式 ； ②原式 ． 2．（25-26八年级下·广东汕头·期末）阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数，使，，即把变成，从而可以对根式进行化简． 例如：化简：． 解：， ． 根据上述材料，解答下列问题． (1)化简：． (2)化简：． (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）仿照例题即可求解； （2）将化为，再利用二次根式的性质化简计算； （3）将变形为，再利用二次根式的性质化简计算． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵ ， 而，则 ∴； （3）解： ． 3．（25-26八年级下·安徽安庆·期中）【方法理解】在学习二次根式时，我们可以利用完全平方公式将部分含根号的式子化为完全平方式， 例如：； 【类比应用】 (1)请仿照上述方法，将化为一个式子的平方； (2)请仿照上述方法，化简：； (3)若，其中，且，，均为正整数，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据题干中的方法变形即可； （2）把变形为即可求出答案； （3）求出，或即可求出答案． 【详解】（1）解：； （2）解： （3）解： ， 为正整数， ∵，且，，均为正整数， ∴或， 或 ∴当时，； 当时，， 或． 难点三 二次根式中的新定义型问题 难点1：新运算向基本根式运算的转化 题目定义如a※b =等非常规运算，需将其准确还原为加、乘、开方等基本操作。难点在于代入含根号的式子时，需同步处理多重根号与符号，若代入粗心则极易导致根式层级错乱。 难点2： 定义域与值域的双重隐蔽约束 新定义运算常隐含被开方数非负、分母非零等条件。难点在于求解过程中需始终追踪这些隐性约束，尤其在参数分类或化简变形时，若忽视初始定义域则可能保留使根式无意义的值，导致结果失真。 难点精练 1．（25-26八年级下·安徽池州·期中）定义：我们将与称为一对“有理式”．因为，通过这样一对“有理式”乘积可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造这种“有理式”来解决．例如：已知，求的值，可以这样解答：因为，所以．已知：，根据“有理式”的定义，试解决以下问题： (1)求代数式的值； (2)结合已知条件和第（1）问的结果，解关于的方程：． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据题干中的方法进行解答即可； （2）根据（1）中的结论得到，进行解答即可． 【详解】（1）解： ， ∴． （2）解：由（1）知： 而 两式相加得： 则 两边平方得到，，解得， 经检验，是方程的解， ∵，成立． 2．（25-26八年级下·贵州遵义·期中）我们规定用表示一对数对，其中，．给出如下定义：记，，将称为数对的“衍生数对”． 例如：的“衍生数对”为； (1)数对的“衍生数对”是______； (2)若数对的“衍生数对”是，求的值； (3)若数对的“衍生数对”是，当时，比较和的大小关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)解：，理由如下： 由题意得：，， ∵数对的“衍生数对”是， ∴，， ∴ ， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）根据“衍生数对”的定义解答即可； （2）根据“衍生数对”的定义求出，的值，代入计算即可； （3）先得出，，再根据可得，，然后计算，判断与0的大小关系即可． 【详解】（1）解：∵， ∴数对的“衍生数对”是． （2）解：∵数对的“衍生数对”是， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴． （3）略． 3．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）新定义：如果两个含有二次根式的代数式，满足，且是有理数，那么我们称与是关于的“友好二次根式”． 例如：，，因为，所以与是关于的“友好二次根式”． (1)若与是关于的“友好二次根式”，求的值． (2)若与是关于的“友好二次根式”，求的值． (3)若与是关于的“友好二次根式”，其中是有理数，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据新定义“友好二次根式”的规则，得到两个二次根式的乘积等于给定有理数，用二次根式的乘法运算，结合平方差公式进行分母有理化，再根据乘积为有理数的条件求解未知量即可． 【详解】（1）解：由“友好二次根式”的定义得； （2）解：由“友好二次根式”的定义得， ∴． （3）解：由“友好二次根式”的定义得， 展开并整理左边：， ∵是有理数，是有理数，是无理数， ∴， 解得． 4．（25-26七年级下·湖南湘潭·期末）阅读下面的文字，解答问题． 新定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“阳光区间”为；同理规定无理数的“阳光区间”为．例如：因为，所以，所以的“阳光区间”为，的“阳光区间”为． 请解答下列问题： (1)的“阳光区间”是_______；的“阳光区间”是_______； (2)若无理数（为正整数）的“阳光区间”为，的“阳光区间”为，求的值； (3)实数，，满足关系式：，求的算术平方根的“阳光区间”． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）根据“阳光区间”的定义求解即可； （2）先根据“阳光区间”的定义分别求出a的范围，再结合为正整数，确定a的值； （3）先根据，，得出，进而得出，可得，再根据“阳光区间”的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的“阳光区间”为， ∵， ∴， ∴的“阳光区间”为； （2）解：∵无理数（为正整数）的“阳光区间”为， ∴， ∴， ∵的“阳光区间”为， ∴， ∴，解得， ∴， 又∵为正整数， ∴或； （3）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， 得， ∴， ∴的算术平方根为， ∵， ∴， ∴的“阳光区间”为． 难点四 二次根式中的分母有理化 难点1：单根号分母的标准化 分母含时，直接乘以即可。难点在于化简前需确保分子分母已约分至最简，避免乘以过大因子增大计算量，同时注意系数与根号分离处理。 难点2：双根号分母的平方差构造 分母为时，需乘以其共轭因式利用平方差去根号。难点在于正确配对符号并处理括号展开，学生常混淆共轭方向或漏乘常数项，导致分母仍未完全有理化。 难点精练 1．（2025八年级上·全国·专题练习）阅读下列材料，并解决相应问题： (1)化简； (2)若是的小数部分，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值以及无理数的小数部分确定，熟练掌握分母有理化、完全平方公式等运算是解题的关键． （1）通过分母有理化，利用平方差公式将分母中的根式去掉，从而化简式子． （2）先确定的小数部分，再将代入式子，通过完全平方公式和分母有理化等运算来求解． 【详解】（1）解：． （2）解：根据题意，得， 所以 ． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）阅读下列解题过程：．请解决下列问题： (1)观察上面的解题过程，请直接写出下列各式的结果． ①________； ②________； (2)求的值； (3)________． 【答案】(1)①，② (2)． (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，二次根式的化简，分母有理化，解题的关键是熟练掌握分母有理化的法则． （1）利用分母有理化的步骤进行化简即可； （2）先对二次根式进行分母有理化，再进行二次根式的加减即可； （3）先对二次根式进行分母有理化，再进行二次根式的加减即可． 【详解】（1）解：①； ②； 故答案为：，； （2）解：原式； （3）解： ． 故答案为：． 3．（25-26八年级下·云南临沧·阶段练习）阅读下列解题过程： ； ； 请回答下列问题： (1)观察上面的解题过程，化简： ； ； (2)利用上面提供的解法，请计算：． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查了利用平方差公式对分母进行有理化，熟悉相关运算法则是解题的关键． （1）根据题目的运算法则计算，即可得答案； （2）根据规律，化简求值即可． 【详解】（1）解：； ； （2）解： ． 难点五 二次根式中的规律探究问题 难点1：嵌套根号内在规律的识别 给定多个复杂二次根式，需观察数值增长方式或循环模式。难点在于透过根号层数变化，提炼出递推关系或同构形式，若仅凭个别项猜测则易误判。 难点2： 通项公式的推导与适用范围界定 归纳出通项后，需通过代入或数学归纳法验证其正确性。难点在于需兼顾根号内字母参数的取值范围（非负性），以及化简变形过程中的等价性，忽视定义域易导致规律应用失真。 难点精练 1．（25-26八年级上·全国·周测）观察下列各式： ；；；； (1)根据上述式子的规律填空：______；______； (2)计算：； (3)请用含自然数的代数式把上述规律表示出来． 【答案】(1)；； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，数字规律，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题意进行计算即可； （）结合题意和（）的结论，以此类推计算即可； （）结合（）和（）的结论，归纳规律表示代数式即可． 【详解】（1）解：∵； ； ； ； ∴；； 故答案为：；； （2）解：∵； ； ； ； ∴； （3）解：∵； ； ； ； ∴． 2．（25-26八年级下·江西赣州·期末）先来看一个有趣的现象：．这里根号里的因数2经过适当的演变，竟“跑”到了根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，具有这一性质的数还有许多，如：，等等． (1)猜想：＝ ，并验证你的猜想； (2)你能只用一个正整数n（n≥2）来表示含有上述规律的等式吗？ (3)证明你找到的规律； (4)请你另外再写出1个具有“穿墙”性质的数． 【答案】(1)，见解析 (2)＝n (3)见解析 (4)（答案不唯一） 【分析】本题考查二次根式的化简与求值，熟练掌握二次根式的化简是解题的关键， （1）根据已知等式的规律写出结论，再根据二次根式的乘法法则验证即可； （2）根据“穿墙”的定义，用表示即可； （3）根据二次根式的乘法法则验证即可； （4）根据已知等式的规律写出一个符合题意的数即可； 【详解】（1）解：； 故答案为：； 验证：； （2）解： ； （3）证明： ． （4）解：，验证如下： （答案不唯一）． 3．（25-26七年级下·全国·单元测试）观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： ①， ②， ③， ④． (1)观察算式规律，计算______；______． (2)用含正整数n的代数式表示上述算式的规律：______． (3)计算：． 【答案】(1)6，27 (2) (3) 【分析】本题考查的是与算术平方根有关的数字规律问题，发现数字的变化规律是解题的关键． （1）根据代数式所呈现的规律可得答案； （2）由（1）中代数式呈现的规律发现：每组算式的被开方数是序号×(序号)，结果是(序号)； （3）直接利用上述规律计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：； ； （2）解：由题意得：； （3）解：原式 ． 基础达标 一、单选题 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，数轴上表示实数的点可能是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查的是实数与数轴，先判断出的取值范围，进而可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴点符合题意． 故选：A． 2．（25-26八年级下·广西玉林·阶段练习）有下列各式：①；②；③；④；⑤12，其中一定是二次根式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据二次根式的定义，判断所给式子是否符合二次根式的形式，依次分析每个式子．本题主要考查了二次根式的定义，熟练掌握“二次根式是形如的式子，需满足根指数为且被开方数非负”是解题的关键． 【详解】解： ，根指数是，是三次根式，不是二次根式，①不符合． 是二次根式．②符合． ：当时，式子无意义，不能保证恒成立，③不一定是二次根式． ，，不满足被开方数非负，式子无意义，④不是二次根式． ，是整数，不是形式，⑤不是二次根式． 综上，只有②是二次根式，共个， 故选： ． 3．（25-26八年级上·四川成都·开学考试）下列实数：，，，，，0，，，…（每相邻两个1之间0的个数依次增加1），其中无理数有（   ）个 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了乘方运算，算术平方根，无理数的定义，根据无限不循环小数即为无理数进行分析，即可作答． 【详解】解：，， 则，，…（每相邻两个1之间0的个数依次增加1）都是无限不循环小数， 故无理数有3个, 故选：A 4．（25-26八年级上·全国·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式混合运算的法则． 依次对每个选项进行二次根式的运算，判断其正确性． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能直接相加，所以，该选项错误； B、2与不是同类二次根式，不能直接相加，所以，该选项错误； C、根据二次根式的乘除法则，，该选项正确； D、根据多项式乘法法则， 该选项错误． 故选：C． 5．（25-26八年级上·甘肃张掖·期中）已知，则化简后为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．先得出，再根据二次根式的性质化简即可得． 【详解】解：由二次根式有意义的条件得：， 又∵， ∴， ∴， 故选：B． 6．（2026七年级下·广东佛山·竞赛）有一个数值转换器，流程如下： 当输入的为256时，输出的是（   ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查了流程图与实数运算，算术平方根，以及无理数，掌握无理数的概念是解题关键．根据流程图计算算术平方根，再根据无理数判断即可得到答案． 【详解】解：当输入的为256时， 是有理数， 是有理数， 是有理数， 是无理数， 即输出的是， 故选：A． 二、填空题 7．（25-26八年级上·宁夏银川·期中） 的立方根为 ，的平方根为 ，的倒数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根、平方根和倒数，掌握以上知识点是解题关键． 根据立方根、平方根和倒数的定义解答即可求解． 【详解】解：∵， ∴的立方根是， ∵， ∴的平方根是， ∵， ∴的倒数为， 故答案为：，，． 8．（2026八年级上·全国·专题练习）比较大小（填“＞”“＜”或“=”）： （1） ； （2）3 ． 【答案】 【分析】本题考查实数的比较大小，运用作差法和把两个数分别进行立方是解题的关键． （1）先计算两数之差，再判断差的正负性，进而确定原数的大小关系； （2）先将两个数分别立方，再根据实数的大小比较方法，从而得出原数的大小关系． 【详解】（1） ， ， ， ， 即； （2）， ； 故答案为，． 9．（25-26八年级上·全国·课后作业）若是的小数部分，则代数式的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了无理数小数部分的表示，利用平方差公式进行二次根式的运算，解题的关键是熟练掌握无理数小数部分的表示． 根据无理数的取值范围表示出小数部分，然后代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：2． 10．（25-26八年级上·全国·课后作业）若最简二次根式与可以合并，则的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查的是同类二次根式的概念，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．掌握同类二次根式的概念是解本题的关键． 根据同类二次根式的概念列出方程，求出． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ， ． 故答案为2． 11．（25-26八年级上·四川成都·阶段练习）用“”定义新运算，对于任意实数，都有，例如：，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了定义新运算， 二次根式的化简，绝对值的化简，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据定义，代入计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 12．（25-26八年级下·天津·阶段练习）若直角三角形的两边长为a、b，且满足，则该直角三角形的第三边长为 ． 【答案】或5 【分析】本题主要考查了非负数的性质，勾股定理，根据非负数的性质可求出，再分边长为4的边是斜边和边长为4的边是直角边两种情况，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴； ①在直角三角形中，当边长为4的边是斜边，则第三边的长为； ②在直角三角形中，当边长为4的边是直角边，则第三边的长为． 综上所述，该直角三角形的第三边长为或5． 故答案为：或5． 三、解答题 13．（25-26八年级下·山东烟台·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先计算二次根式的除法、乘法、化简二次根式，再计算二次根式的加减法即可得； （2）先计算二次根式的乘法、化简二次根式，再计算二次根式的乘法，然后计算二次根式的加减法即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 14．（25-26八年级上·全国·单元测试）下面是小星同学解答题目的过程，请认真阅读并完成相应任务． 计算：． 解：原式……第一步 ……第二步 ．……第三步 (1)任务一：以上步骤中，从第________步开始出现错误，这一步错误的原因是________； (2)任务二：请写出正确的计算过程． 【答案】(1)一；乘除混合运算时，未按照从左到右的顺序依次计算； (2)． 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题的关键． （）乘除同级运算，应是从左到右运算，即可作答； （）先运算除法，再运算乘法，最后算减法即可． 【详解】（1）解：任务一：以上步骤中，从第一步开始出现错误，这一步错误的原因是乘除混合运算时，未按照从左到右的顺序依次计算， 故答案为：一，乘除混合运算时，未按照从左到右的顺序依次计算； （2）解：正确的计算过程： 原式 ． 15．（25-26七年级下·福建莆田·期中）把下列各数填在相应的表示集合的大括号内：，，，，1.7，，0，4.262262226……（两个6之间一次增加一个“2”）． 整数{                   }； 负分数{                 }； 无理数{                 }． 【答案】见解析 【分析】此题考查了实数的分类，化简二次根式，首先计算，然后根据实数的分类方法即可求解． 【详解】解：， 整数{，，0}； 负分数{，}； 无理数{，4.262262226……（两个6之间一次增加一个“2”}． 16．（25-26七年级下·全国·单元测试）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬行3个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． (1)求m的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数与数轴，主要利用了在数轴上向右移动作加法的规律，还利用了绝对值的性质和二次根式的运算． （1）根据向右爬行作加法列式即可； （2）把m的值代入，再根据绝对值的性质和二次根式的乘法运算进行计算即可得解． 【详解】（1）解：由题意得． （2）． 17．（25-26七年级下·湖北荆州·期中）已知一个正数m的两个不相等的平方根是与． (1)求a的值； (2)求这个正数m； (3)求关于x的方程 的解． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查正数平方根的性质，根据平方根的定义解方程，正确理解平方根的定义是解题的关键． （1）由一个正数的两个平方根互为相反数求a的值； （2）由（1）代入开方，即可求解这个正数m； （3）将代入即可求解． 【详解】（1）解：∵一个正数m的两个不相等的平方根是与， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴； （3）解：将代入得， 解得. 18．（25-26八年级上·重庆·开学考试）已知的算术平方根是2，的立方根等于本身，且的小数部分为c． (1)求出a，b，c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查平方根，立方根，无理数的估算，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据算术平方根的定义，立方根的性质，无理数的估算，进行求解即可； （2）先代值计算，再根据平方根的定义，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， ∵， ∴的整数部分为3， ∴； （2）由（1）知：，，， ∴， ∴的平方根为． 19．（25-26八年级下·安徽阜阳·阶段练习）观察与思考： ①；②；③；… (1)根据上述等式的规律，直接写出第④个等式； (2)试用含（为自然数，且）的等式表示这一规律，并加以验证． 【答案】(1) (2)（的整数），证明见解析 【分析】本题考查二次根式的性质与化简，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． （1）由题干找出规律求解即可； （2）先找出规律，再由二次根式的性质化简证明． 【详解】（1）解：∵①； ②； ③；… ∴写出第④个等式为：； （2）解： （的整数） 证明如下： ． 20．（25-26八年级下·广东惠州·期中）阅读下列材料，并回答问题 ； ； ； … (1)填空：__________； (2)观察上述算式，请写出算式（n是正整数）的结果； (3)试比较与的大小； (4)计算：（提示：）． 【答案】(1) (2) (3) (4)44 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、分母有理化等知识点，读懂阅读材料找到算式规律是解题的关键． （1）根据材料计算方法进行分母有理化即可解答； （2）仿照材料方法计算即可； （3）先根据材料计算方法进行化简，再进比较即可； （4）先仿照材料方法进行变形，然后进行计算即可． 【详解】（1）解：． 故答案为：． （2）解： ． （3）解：根据材料可知，，， ∵， ，即． （4）解： ． 能力进阶 一、单选题 1．（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，在数轴上，点A、B表示的数分别为0、2，于点B，且．连接，在上截取，以点A为圆心，的长为半径画弧，交线段于点E，则点E表示的实数是（     ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】先根据勾股定理求出的长，再结合求出的长，最后根据圆的半径相等得出的长，从而确定点表示的数． 【详解】解：由题意可知，点表示，点表示， ∴， ∵，， ∴在中，， ∵， ∴， ∵以点为圆心，的长为半径画弧，交线段于点， ∴， ∵点表示的数为，且点在点的右侧， ∴点表示的实数是． 2．（25-26七年级下·辽宁盘锦·期末）定义：对于任意的实数，，当时，有；当时，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先比较参与运算的两个数的大小，再根据给定对应法则代入计算，化简算术平方根和立方根即可得到结果． 【详解】解：由题意得，运算中， ，满足， 按定义得， 代入计算. 二、填空题 3．（26-27九年级上·全国·课后作业）对于任意的正数、，定义一种新的运算“”，；如：，计算的结果为_____． 【答案】 【详解】解：由题意可知：． 4．（25-26七年级下·湖南娄底·期末）对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，．如图所示，数轴上表示和的对应点分别为、，点是的中点，为原点，设点表示的数为，则________． 【答案】 【分析】根据点、分别表示和，点是的中点，可知，从而可知点表示的数是，根据符号表示的意义求出即可． 【详解】解：点、分别表示和， ， 点是的中点， ， 点表示的数是， ． 三、解答题 5．（25-26八年级下·新疆阿克苏·期末）若两个含有二次根式的代数式，满足（表示和的积），其中是有理数，则称与是互为“相关代数式”． (1)若与是互为“12相关代数式”，则_____； (2)若（是有理数），，且与是互为“相关代数式”，求和的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据定义得到等式，化简求解即可得到． （2）根据定义计算，整理后利用为有理数的条件得到二次根式的系数为0，求出，再代入求出即可． 【详解】（1）解：与是互为“12相关代数式”， ， ． （2）解：（是有理数），，且与是互为“相关代数式”， ， 整理得：， 是有理数， ，解得， 将代入得． 6．（25-26八年级下·福建厦门·期中）小兵在学习二次根式的时候，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ； ． 【类比归纳】 (1)仿照上面的方法，若将化成，其中，则_____，______． (2)请你仿照上面的方法化简：； (3)若，其中，且a，m，n均为正整数，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 或 【分析】（1）根据题意，得解答即可． （2）根据所学方法求解即可； （3）利用完全平方公式，等式的性质求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 且，故，． （2）解：根据题意，得 ， 故； （3）解：， ， 或， 或， 故或． 7．（25-26八年级下·江西新余·期末）阅读材料：像；；…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式． 在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如：，． 解答下列问题： (1)化简：________； (2)比较大小：________（填“”，“”或“”）； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）因为分母是 ，其有理化因式为 ，所以给分子分母同乘 ，利用平方差公式化去分母根号即可． （2）如果直接计算两个式子的值比较大小较复杂，那么可以对两个形如的式子分别进行分子有理化，将其转化为分子为1、分母为两个二次根式和的形式，再通过比较分母的大小判断两个原式的大小． （3）先仿照（1）的方法，将每一项都进行分母有理化，拆分后可发现相邻项能相互抵消，利用裂项相消的方法求和即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ，， ​ 因为，分子相同，分母越大分数越小， 所以​，即． （3）解：， ． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第二章实数 复习目标 1.理解无理数、实数的概念，能准确区分有理数与无理数，掌握实数与数轴上的点一一 对应的关系。 2.掌握平方根、算术平方根、立方根的概念、表示方法与性质，能区分平方根与算术平 复习要点 方根（个数、符号差异），会求各类方根。 3.掌握二次根式的概念与最简二次根式的条件（被开方数不含分母、不含能开得尽方的 因数或因式)，理解二次根式的双重非负性。 4.掌握二次根式的加、减、乘、除运算法则，能进行正确的混合运算，区分二次根式加 减（先化简为同类二次根式再合并）与乘除运算的不同处理方式。 重点：平方根、算术平方根、立方根、二次根式的概念与性质，以及二次根式的化筒与 混合运算。 复习重难点 难点：准确区分平方根与算术平方根，熟练进行二次根式的混合运算（如分母有理化、 复合二次根式化简)，并灵活运用估值法比较实数大小。 理脉络 知识体系构建 1/33 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 有理数 实数定义与分类 无理数 定义 平方根 性质 开平方 定义 立方根 性质 开立方 平方根与算术平方根混淆 知识梳理 定义 二次根式被开方数非负忽略 实 二次根式 性质 易错点 二次根式化简不彻底 最简二次根式 分母有理化符号错误 学法指导 乘法 二次根式化简与运算 除法 二次根式运算 实数大小比较 加减 高频考点 无理数判断 混合运算 二次根式在情境中应用 数轴法 实数大小比较 估算法 过主千 核心内容整合 知识点 实数的概念和性质 1.无理数的概念：无限不循环小数 注意：(1)无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式 (2)常见的无理数有三种形式：①含兀类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…③带有根号 的数，但根号下的数字开方开不尽，如V5 2.实数的概念：有理数和无理数统称为实数 3.实数的分类 按定义分： 按与0的大小关系分： 2/33 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 「正有理数 正数 正无理数 0 有理数：有限小数或无限循环小数 负有理数 实数无理数：无限不循环小数 负数 实数 负无理数 4.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应 5.实数的三个非负性及性质： 在实数范围内，正数和零统称为非负数。我们已经学习过的非负数有如下三种形式： (1)任何一个实数a的绝对值是非负数，即|a|≥0：(2)任何一个实数a的平方是非负数，即≥0： (3)任何非负数的算术平方根是非负数，即Va≥0(a≥0). 非负数具有以下性质： (1)非负数有最小值零；(2)有限个非负数之和仍是非负数： (3)几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0. 要点速测 22 1.(25-26七年级下广东广州期中)在7,0,2,10,3.14,9，√25,0.202002000…实数中，无 理数有() A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 2.(25-26七年级下·全国课后作业)将下列各数填在相应的大括号内. 5 3.030030003.(每两个3之间依次增加一个0)，3512，π，3.1415926，-0.456,0,17，-39， -7.0. 有理数：{ ，…} 无理数：{ ,… 正实数：{ ,…} 3/33 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 整数：{ ,…} 知识点 平方根与立方根 1.算术平方根 x2=a, (1)定义：一般地，如果一个正数x的平方根等于4，即： 那么这个正数x就叫做a的算术平方 a 根，记作 ,读作“根号a”, a (2)表示方法：非负数a的算术平方根记作，读作根号4 √0=0 (3)性质：①正数只有一个算术平方根，并且恒为正：②0的算术平方根为0，即 :③负数没有 a 算术平方根，当式子 有意义时，a一定是一个非负数。 2.平方根 x2=a, ±√a (1)定义：一般地，如果一个正数x的平方根等于a,即： 那么数x就叫做a的平方根，记作 ,读作“正负根号a”, va (2)表示方法：一个数a(a20)的平方根记作 ≥0)，读作根号a,“正负根号a”, (3)性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数：0只有一个平方根，是它本身，负数没有平方根。 3.立方根 (1)定义：如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根或三次方根.这就是说，如果x=a, 那么x叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方 注意：一个数a的立方根，用a表示，其中a是被开方数，3是根指数.开立方和立方互为逆运算。 (2)立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0 4/33 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 注意：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同.两个 互为相反数的数的立方根也互为相反数： 要点速测 3.(25-26七年级下·吉林阶段检测)4的平方根是 ,-64的立方根是 ,V81的算术平方 根是 4.(25-26七年级下·四川南充阶段检测)解下列方程 (1)4(x+3)2-1=24 (2)(2x-1)+4=0 5.(25-2ó七年级下吉林四平期末)已知20-的平方根是，3a+6-的立方根是2，c是而 的整数 部分 (1)求a、b、C的值； (2)求a+2b+c的算术平方根. 知识点 二次根式的概念和性质 1二次根式的概念一般地，我们把形如√a(a≥0)的式子的式子叫做二次根式，“√”称为称为二次根 5,0.b 2 号.如 都是二次根式. 2.二次根式满足条件：(1)必须含有二次根昱“√”；(2)被开方数必须是韭负数 3.二次根式有无意义的条件 ①二次根式有意义：被开方数为非负数，即Va有意义一a≥0 a无意义÷a<0 ②二次根式无意义：被开方数为负数，即 5/33 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.二次根式的性质：①二次根式Va(a之0)的非负性，Va(a之0)表示a的算术平方根，也就是说， Va(a≥0)是一个非负数，即Va≥0(a≥0). Ja(az0) 二次根式Va2 性话：V云=4=e 口要点速测 6.(25-26八年级下·贵州安顺期末)下列式子中，是二次根式的是() A.7 B.V10 c.Vi D.4 7.(25-26八年级下河北唐山期末)若 “是二次根式，则的值可能是() A.-3 B.-2 c.-1 D.0 8.(25-26八年级下山东德州期末)实数a,b在数轴上的位置如图所示，则化简 √a+1)2+Vb-12-6-a2 的结果是() 0 A.2a B.-2b C.-2 D.0 知识点 二次根式的运算 1.最简二次根式 (1)最简二次根式的概念：(1)被开方数不含分母，(2)被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式 2.同类二次根式 (1)同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 6/33 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2) 合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘 法分配律，如mVa+Wa=(m+m)Wa(a≥0) 3.二次根式的乘法 (1)二次根式的乘法法则：V日V6=Vb(a≥0，b≥0)（二次根式相乘，把被开方数相乘，根的指数不 变) (2)二次根式的乘法法则的推广： √aVb.Vc=Vabc(a≥0，b≥0，c≥0) 0 aV6·cd=ac/bd(b≥0，d≥0)，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进 行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数 （3)二次根式的乘法法则的逆用：√b=日历(a之0，b≥0)（二次根式的乘法法则的逆用实为积的算 数平方根的性质) (4)二次根式的乘法法则的逆用的推广：vabed=VaV6VC.Va(a≥0，b≥0，c≥0，d≥0) 4.二次根式的除法 (1)二次根式的除法法则： √石Vb(a之0，b>0)(二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变) (2)二次根式的除法法则的推广：Va÷Vb÷Vc=Va÷b÷c(a≥0，b>0,c>0) 5.二次根式的加减法 (1)二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 (2)二次根式加减运算的步聚： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式： ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式： ③合：合并被开方数相同的二次根式一一将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 6.二次根式的混合运算 7/33 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号 里面的（或先去掉括号） 口要点速测 9.(25-26八年级下·云南红河·期末)下列二次根式，属于最简二次根式的是() A.⑧ B C.3V2 D.0.1 10. (25-26八年级下安徽蚌埠期未)若2能与最简二次根式饮-2 合并，则的值为 11.(25-26八年级下·天津东丽期末)计算 w2m-35+s 225+32j23-32) √21 12.(25-26八年级下陕西商洛期中)【发现问题】进行二次根式的计算时，有时会遇到√5'√7-√6这 种分母中含有无理数的式子. 2 1 【分析问题】对形如√5这类式子可以用课本所学知识直接进行计算，但是√7-√6这类式子无法直接计 算，我们可以用之前所学乘法公式来解决 【解决问题】经过探索、同学们发现可以用下面的方法进行计算： 1x(V7+v6) =√7+√6 7-6(7-√6)7+6 请你认真阅读同学们的解题方法、并解决下列问题： 3 (1)计算：√7 (2)计算：-√1而； 8/33 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 1 1 1 6求：2++5+54+店…++8的值. 研题型 高频题型突破 题型1无理数的识别 1例1(25-26七年级下山东临沂·期中)下列实数中无理数是() 22 A.7 B.2 C.3.1415926 D.-√ 解题要点 1. 按定义判定：无理数是无限不循环小数。常见类型有：①开方开不尽的数（如√2、√3）；②含π 的数（如r、2π)；③特定结构（如0.1010010001…）。 2.排除有理数：有理数包括整数、分数、有限小数及无限循环小数。如√42、3.14、22/7均为有理 数，需先化简再判断，不能只看表面形式。 王移练1(25-26七年级下河南安阳期中)在22，√2，-27，元，2026五个数中，无理数有（) A.2个 B.3个， C.4个 D.5个 22 1迁移练1-2(25-26七年级下广东广州期中)在7,0,2,0,314,9，√25,0.202002000.实 数中，无理数有() A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 .02.,万，"，s,无 49 131 ■迁移练1-3(25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中)下列各数： 理数的个数是() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 题型2实数与数轴 9/33 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 例2(25-26八年级上广东茂名期中)如图，数轴上点C表示2，点B表示V5,点C是线段AB的中 点，则点A表示的数是 ACB 0 1 解题要点 1. 数轴上的点与实数一一对应：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反之亦然。解题时利用 数轴直观比较实数大小（右大左小），求两点距离用右边点表示的数减去左边点表示的数。 2.借助数轴化简含根式：在数轴上标出各数位置，判断根号内开方结果的正负，利用√a2=a化简 绝对值。注意数轴上的点与有理数、无理数的对应关系，常用于估算无理数的大致位置。 ■迁移练2-1(25-26八年级下·内蒙古呼伦贝尔期末)我们知道实数与数轴上的点一一对应，如图，正方 形的边长为1，以数轴上表示数1的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与数轴负半轴交于点P,则 点P表示的实数为 ■迁移练22(25-26八年级下黑龙江哈尔滨期末)如图，在RtAOAB中，∠OAB=90°，OA=2,AB=1, 以点O为圆心，OB长为半径作弧，交数轴负半轴于点C,则点C表示的数是 2-1012 ■迁移练2-3(25-26八年级下河南濮阳·期末)如图，点0在数轴原点处，数轴上的点A的坐标是3，过 点A作直线I垂直于OA,在1上截取AB=2,以点O为圆心，OB长为半径作弧，弧与数轴正半轴的交点 C表示的数为 10/33 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 3 题型3实数的性质 ■例3(25-26七年级下·天津津南期末)-√7的绝对值是一；1-5的相反数是 解题要点 1.运算性质与大小比较：实数包含有理数和无理数，遵循与有理数相同的运算律（交换、结合、分 配)。比较大小常用作差法(a-b>0则a>b)或平方法（正数平方大则数大）。 2.绝对值与倒数：实数a的绝对值|a表示数轴上a到原点的距离（非负性）。倒数为l/a(a≠0)。 注意无理数的相反数、绝对值运算规则与有理数一致，化简含根式的绝对值时需先判断正负。 迁移练3-1(25-26七年级下·天津期中)1-V2的相反数是，3-π的绝对值是」 迁移练32(25-26七年级下山东临沂阶段检测)1-V5的相反数是一，1-V3的绝对值是」 3 ■迁移练3-3(25-26七年级下·全国课后作业)(1)V7的倒数是 (2)相反数和绝对值都 3-5 的实数是 27 (3)V8的相反数是 绝对值是 倒数是 题型4实数大小比较 例4(25-26七年级下吉林四平期末)比较大小：√67 8.(填“>”“<”或“=”) 11/33 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解题要点 1. 数轴法：在数轴上标出各数，右边的数总比左边的大。对于无理数，先估算其近似值（如 √2≈1.414)，再定位比较，直观快捷。 2.平方法或作差法：正数比较大小时，可同时平方比较大小（如√3与√5）；也可用作差法(-b>0 则>b)。注意负数比较时绝对值大的反而小，含根式时可先化为同次根式再比较。 √7-1 ■迁移练41(25-26七年级下陕西商洛期中)比较大小：2 1.(填“>”或“”) V5+1 5-1 ■迁移练42(25-26七年级下·云南昭通阶段检测)比较大小：3 3.(填“<”“>”或 “=”) 1迁移练43(26-27七年级浙江暑假作业)比较大小：V5 2:6 2:7 5 (填“>”“<”或“=”) 题型5实数的分类 22 例5(25-26七年级下全国课后作业)把下列各数填在相应的括号里：√25，-√万，7,0，元 -3.14,2.9,1.3030030003..(相邻两个3之间依次多一个0). (1)整数：{ …} (2)分数：{ …} (3)无理数：{ …} 解题要点 1. 按定义二分法：实数分为有理数和无理数。有理数含整数（正整数、O、负整数）和分数（有限小 数、无限循环小数)；无理数是无限不循环小数（如π、√2、√3等）。 2.先化简再归类：判断一个数属于哪一类时，需先进行化简计算（如√4=2、√8=2√2），再根据化 简结果确定类别。注意分类标准要统一，不可同时按定义和性质分类，避免重复。 ■迁移练5-1(25-26七年级上·浙江杭州期中)请把下列各数的序号填入相应的集合中. ①-V7,②-22，③0，④元-3.14，⑤5，⑥3，⑦2.12121112.（每两个2之间多-个1) 12/33 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)整数集合：{ (2)负有理数集合：{ (3)无理数集合：{ ■迁移练5-2(25-26七年级上·浙江温州期中)把下列各数填入相应的横线上： 1 -3’+9,-V5,3,0.58,π’38,1.3. 整数： 分数： 无理数： 】迁移练5-3(25-26八年级上广东佛山阶段检测)把下列各数对应的序号填在相应的横线上.（只填序 号，多填或者少填不给分) 22 ①-8：②π，③-2，④7，⑤√16，⑥-0.9，⑦5.4，⑧-39，⑨0，⑩-3.6，①1.2020020002.…（每 两个2之间多一个0) (1)负分数： (2)无理数： (3)正有理数： 题型6程序设计与实数运算 ■例6(25-26八年级上河北秦皇岛期中)小明是一个电脑爱好者，他设计了一个程序，如图，分析发 现，当输入一个可以使程序运行的实数x时，该程序无法输出'值，则x的值为一， 是有理致 蝓入x伯 玖算术足有理数 1是无理数 平方根 取立方根 拍出y 是无理数 13/33 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解题要点 1.理清流程图顺序：按箭头方向逐步执行，注意输入、计算、判断、输出各环节。遇分支结构（如条 件判断)需根据运算结果选择路径，避免跳步。 2.规范实数计算：每一步运算严格遵循先乘方开方、再乘除、后加减的顺序。结果若为无理数保留根 号或π形式，若为近似值按题目要求取精确值（如保留根号或取小数点后几位）。注意负数的奇偶次 幂符号。 ■迁移练6-1(25-26八年级上河北石家庄·期中)小明是一个电脑爱好者，他设计了一个程序，如图，当 输入x的值是64时，输出的y值是 分析发现，当输入一个可以使程序运行的实数x时，该程 序无法输出y值，则x的值为。 是有理数 输入x值 取算术是有理数 取立方根 是无理数 平方根 输出y 是无理数 ■迁移练6-2(25-26八年级上·全国阶段检测)小明设计了一个如图所示的电脑运算程序： 是有理数 输入非负 取算术是有理数 是无理数 实数x 平方根 取立方根 输出y 是无理数 (1)当输入x的值为64时，输出y的值为 (2)分析发现，当非负实数x取 时，该程序无法输出y的值. ■迁移练6-3(25-26七年级上·浙江绍兴期中)小明设计了一个如图所示的电脑运算程序： 是有理数 取算术 是有理数 是无理数 输入x的值 平方根 取立方根 输出y 是无理数 (1)当输入x的值是64时，输出的y值是 (2)分析发现，当非负数x取 时，该程序无法输出少值. 14/33 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型7求一个数的平方根、算术平方根、立方根 16 1 ■例7(25-26七年级下山东德州期末)25的算术平方根是 27的立方根是 解题要点 1.分清概念：正数a的平方根为士√a(有两个，互为相反数)，算术平方根为√a(非负)：0的 平方根和算术平方根均为0：负数没有平方根。任意实数a的立方根为3√a(符号与原数一致)。 2.化简与计算：先将被开方数化简（如√16=4、3√-8=-2），再求根。注意√a2=a,而（√a) 2=(a≥0)。常见易错点：√16的平方根是士2（不是士4）。开方结果若为无理数保留根号。 迁移练7-1(25-26七年级下湖北武汉期中)8的立方根是一，16的平方根是一，⑧的算术平方根 是 64 ■迁移练72(25-26七年级下河南周口·期末)25的算术平方根是 -0.125的立方根是 √5 的平方根是 】迁移练7-3(25-26七年级下·广东江门期中) k-27=, (-6的算术平方根为 ⑧1的平方根为， 题型8利用平方根与立方根的定义解方程 1例8(25-26七年级下陕西期末)求x的值： 1)(2x-1'-169=0 (2)125(0-2）=-343 解题要点 1.平方根型方程：将方程化为x2=a(a>0)的形式，则x=士√a。注意a≥0时才有实数解，a<0时 无实数根。若含括号（如(2x-1)2=9),将括号整体看作未知数，开方后解一次方程。 2.立方根型方程：将方程化为x3=a的形式，则x=3√a(任意实数a均有唯一立方根)。若含括号 (如(2x+1)3=-8),开立方后解一次方程即可，无需讨论符号。注意结果需化简。 15/33 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ■迁移练8-1(25-26七年级下·甘肃平凉期中)求下列各式中x的值： =4 、2 (2)2(x-10°-16 迁移练8-2(25-26七年级下·贵州遵义·期中)求x的值： 1)-°-27=0 (240x-2=9 ■迁移练83(25-26七年级上·山东烟台期中)解下列方程 9(6x+1)=4 2)8(x-1)°=-125 · 题型9判断是否为二次根式、最简二次根式、同类二次根式 ■例9(25-26八年级下·吉林期末)下列各式中，属于二次根式的是() A.3 B Vr C.Va-b D.V3.5 解题要点 1. 二次根式判定：形如√a(a≥0)的式子，关键看被开方数是否为非负数，且根指数为2（通常省 略)。注意√a2需化简为a后判断。 2.最简与同类判定：最简需满足①被开方数不含分母；②不含能开得尽方的因数或因式。同类需先化 为最简，再看被开方数是否相同，与系数和根指数无关。 ■迁移练9-1(25-26八年级下·云南玉溪·期中)下列二次根式中，是最简二次根式的是() 16/33 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B.√万 C.V28 D.√49 1迁移练9-2(25-26八年级下·安徽毫州期末)下列是同类二次根式的一组是() 2W7 √2m 2m A.320,√50 B.√28, C.2ab,3ab D n, 迁移练9-3(25-26八年级下·安徽滁州：期末)如果最简二次根式V3a-7与-√20是同类二次根式，那么 a=() A.3 B.4 c.5 D.6 题型10二次根式的混合运算 ■例10(26-27九年级上江苏南京开学考试)计算： 55 (1)5 2(巨+1(2-+(5-2. 解题要点 1.化简与顺序：先将各二次根式化为最简二次根式，再按运算顺序（先乘方开方、再乘除、后加减， 有括号先括号)计算。乘法用√a·√b=√(ab),除法用√a/√b=√(a/b)。 2.合并同类项与分母有理化：化简后，合并被开方数相同的同类二次根式（系数相加减，根号部分不 变)。分母含根式时，通过有理化（如乘以共轭因式）化去分母中的根号，结果需化为最简。注意符 号与括号处理。 ■迁移练10-1(25-26八年级下·山西吕梁·期末)计算： 23-25)3+25)-(1+5」 17/33 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ■迁移练10-2(25-26八年级下·云南红河期末)计算： w-558. (25-i35+i3)-(6-2 ☐迁移练103(25-26八年级下·天津河东·阶段检测)计算： 02恒x55v5 4 ②s5-5x2+ 题型11已知字母或式子的值，化简求值 例11(25-26八年级下山东菏泽期末)已知：x=V2+1,y=V2-1. 2-y2 (1)求 的值： x2-3xv+y2 (2)求 的值 解题要点 1. 先化简再代入：先将原式进行因式分解、通分、约分、合并同类项等化简，化为最简形式，再将字 母（或式子）的值代入。避免直接代值导致复杂运算，能有效减少错误。 2.整体代入与条件转化：若已知条件较复杂（如x+y=3、xy=1),可将所求式用已知整体表示，进行 整体代入。或先由已知条件解出字母值再代入，注意代入时负数、分数要加括号。结果需化为最简。 1,√7 1迁移练111(25-26八年级下山东烟台期末)已知x=2+2 y= 22 (1)求x+y和y的值： x+x+y2 (2)求 的值。 18/33 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 迁移练112(25-26八年级下湖北省直辖县级单位阶段检测)已知=V5+V5,b=V5-V3,求下列 各式的值： 092+62 1迁移练113(25-26八年级下安徽六安期中)已知a=(V2+5,b=(2-V5 (1)求a-b和ab的值： (2)利用(1)的结论求a2+b2的值. 破难点方法聚焦透析 难点一利用二次根式的性质化简 难点1：双重非负性与隐含条件的挖掘 √a要求a≥0，且算术平方根结果非负。化简时需结合被开方数的取值范围判定字母符号，若隐含条件未 充分挖掘（如分母不为零、偶次根式内≥0），易因符号误判导致结果错误。 难点2：完全平方开方时的绝对值处理 化简√m2)时不能直接等于m,必须写为ml,再按m≥0或m<0去绝对值。难点在于结合实数大小关系 或已知条件分段讨论，若忽略去绝对值的过程而直接约去平方，则极易丢失负号情形。 口难点精练 1.(25-26九年级上吉林长春开学考试)已知2<x<3,化简Vx-2+k-3到= 2.(2025八年级下山东临沂竞赛)已知2<a<3,化简：口-2+Va-3- 3.(25-26八年级下·广东清远阶段练习)在△ABC中，AB=15,AC=13,BC边上的高AD=12,则 19/33 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 VBC-32)= 难点二复合二次根式的化简 难点1：将双根号化为完全平方配方的策略 需将mt2√n配成(X±√y}形式。难点在于逆向求解x+ym、xy=n的整数分解，当m、n较大时，因 式分解的目标性模糊，配凑极易卡壳。 难点2：化简后的符号与取值范围校验 开方后需确保√X≥y(对应减号情形)且结果非负。难点在于忽略算术平方根的非负性，或未验证配方 中的x、y是否满足原式定义域，导致化简结果与原式不等价。 口难点精练 1.(25-26八年级下·广东珠海·期末)阅读与思考 【阅读理解】数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根 号 例题： V3+22=V2+2W2+1=V(W2)}+2×√2x1+12=V(W2+102=V2+1 【解决问题】 (1)仿照例题补充完整： V5+26=V3+2W6+2= (2)根据上述思路，试将下列各式化简： ①V7+21o ②V9-4V5 2.(25-26八年级下广东汕头期末)阅读材料：把根式Vx±2√下进行化简，若能找到两个数m,”,使 m2+n2=x,mm=,即把x士2D变成m+n±2mn=(m±n,从而可以对根式Vx士2√y进行化简. 20/33 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 例如：化简： V5-26 解：5-26=3-26+2=(-2x5xV2+(2=(5-2」 5-26=5-2=5-5. 根据上述材料，解答下列问题. (1)化简： V6+4√2 (2)化简： m+2/m-1 (3)计算： V19+85-V10-4√6 3.(25-26八年级下·安徽安庆期中)【方法理解】在学习二次根式时，我们可以利用完全平方公式将部 分含根号的式子化为完全平方式， 例如：6+25=0+5)+21x5=1P+(5+2x1x5=(1+5, 7-210=(2+5)-22x5=(N2)+(5-2×2×5=(2-5. 【类比应用】 ①请仿照上述方法，将3+2匝化为一个式子的平方； (2)请仿照上述方法，化简： V11-2√30 8)若a+2=(m+m, 其中m>n>0,且a,m,n均为正整数，求a+m+n的值. 难点三二次根式中的新定义型问题 难点1：新运算向基本根式运算的转化 思目定义如n※。+b等非常规运算，需将其准确还原为加、乘、开方等基本操作。难点在于代入含 根号的式子时，需同步处理多重根号与符号，若代入粗心则极易导致根式层级错乱。 难点2：定义域与值域的双重隐蔽约束 21/33 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 新定义运算常隐含被开方数非负、分母非零等条件。难点在于求解过程中需始终追踪这些隐性约束，尤其 在参数分类或化简变形时，若忽视初始定义域则可能保留使根式无意义的值，导致结果失真。 口难点精练 1,(2526八年级下安微池州期中)定义：我们将石+6)与石-)称为一对“有理式”.因为 (a+)a-)=(矿-(b)=a-b,通过这样一对“有理式”乘积可以有效的去掉根号，所以有 一些题可以通过构造这种“有理式”来解决.例如：已知 图--3-=l,求8-+5-的值，可以 这样解答：因为8--3-×(8-x+3-(8--(B-=8-x-3+x=5,所以 V8-x+V3-x=5 己知： V20-x+V8-x=6 根据“有理式”的定义，试解决以下问题： V20-x-V8-x (1)求代数式 的值； ②结合已知条件和第(1)问的结果，解关于的方程：V20-x+V8-t=6 2.(2526八年级下费州遵义期中)我们提定用a表示一对数对，其中0>0，b>0.给出如下定义： 1 记m= √a’n=V,将(m,n称为数对(a,b)的“衍生数对”. 例如：4)的“葡生数对”为。 9,3) (1)数对 的“衍生数对”是 (2若数对a,b)的“衍生数对”是5,32)，求b的值； 3)若数对ab)。 的“衍生数对” 是m,m）,当a>l时，比较m+和m”的大小关系，并说明理由. 3.(25-26八年级下浙江杭州期末)新定义：如果两个含有二次根式的代数式a,b满足a·b=C,且c是 有理数，那么我们称a与b是关于C的“友好二次根式”. 22/33 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 例如：。=5+反，b=5-反，因为0b=(5+5-2)=3-2=,所以5+与5-2是关 于1的“友好二次根式” ①考25与5是关丁”的“发好=次根式”，求”的值。 2若P与5-5显 5是关于4的“友好二次根式”，求”的值. 6)若2+v5与6+v5m是关于3的“友好二次根式”，其中m是有理数，求m的值. 4.(25-26七年级下·湖南湘潭期末)阅读下面的文字，解答问题. 新定义：若无理数VT的被开方数T(T为正整数)满足<T<+) (其中n为正整数)，则称无理数 厅的“阳光区同°为®n+刊：同理规定无理数一万的“阳光区间”为-1- .例如：因为 P<2<2,所以1<2<2，所以V2的“阳光区间”为2），一2的“阳光区同”为2，) 请解答下列问题： a)vis -√23 的“阳光区间”是 的“阳光区间”是 ②若无理数后(“为正整数)的“阳光区间”为3，-2），+3的“阳光区间”为84)，求“的值： 3)实数，’，m满足关系式： V2x+3y-m+3x+4y-2m=+y-2026+2026-x-y,求m的算术 平方根的“阳光区间”. 难点四二次根式中的分母有理化 难点1：单根号分母的标准化 分母含Va时，直接乘以Va即可。难点在于化简前需确保分子分母已约分至最简，避免乘以过大因子增大 计算量，同时注意系数与根号分离处理。 难点2：双根号分母的平方差构造 分母为Vā±Vb时，需乘以其共轭因式√ā干Vb利用平方差去根号。难点在于正确配对符号并处理括号展 23/33 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 开，学生常混淆共轭方向或漏乘常数项，导致分母仍未完全有理化。 口难点精练 1.(2025八年级上全国专题练习)阅读下列材料，并解决相应问题： 2 25+5) 2(5+5) 5-35-55+3 2 =V5+5 1 )化简7+√2 ⊙若。是V而的小数部分，求r a的值. 2.(25-26八年级上·全国课后作业)阅读下列解题过程： 1×(W5-V2) √3-2 =√3-V2 3+2(W3+2)W3-2)(3-(2) 请解决下列问题： (1)观察上面的解题过程，请直接写出下列各式的结果. 1 ①7+√6 1 ②Vn+m-1一 1 1 1 1 2求万十5+2+店+5+4++i0+5的值： 1 1 1 1 3)5-i5-5+7-59-7 3.(25-26八年级下·云南临沧阶段练习)阅读下列解题过程： 1 1×3-1 5-1-5-15-1 5+1(（N5+1W5-（5-23-12: 24/33 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 1×(5-5) 5-√5√5-35-3 5+55+5W5-可5-(5-32： 请回答下列问题： (1)观察上面的解题过程，化简： 4 ① V13-3 1 ② Vn+√n-2: 1 (2)利用上面提供的解法，请计算： 难点五二次根式中的规律探究问题 难点1：嵌套根号内在规律的识别 给定多个复杂二次根式，需观察数值增长方式或循环模式。难点在于透过根号层数变化，提炼出递推关系 或同构形式，若仅凭个别项猜测则易误判。 难点2：通项公式的推导与适用范围界定 归纳出通项后，需通过代入或数学归纳法验证其正确性。难点在于需兼顾根号内字母参数的取值范围（非 负性)，以及化简变形过程中的等价性，忽视定义域易导致规律应用失真。 口口难点精练 1.(25-26八年级上·全国周测)观察下列各式： 1 (1)根据上述式子的规律填空： + 2024+ (2)计算： 2026; 25/33 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)请用含自然数 (n≥1) 的代数式把上述规律表示出来. 2.(25-26八年级下·江西赣州期末)先来看一个有趣的现象： 2. 23=3V3=1 里根号里 的因数2经过适当的演变，竟“跑”到了根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，具有这一性质 3.3 4 的数还有许多，如： V3=3，V45=45等等 (1)猜想： V°24=-，并验证你的猜想； (2)你能只用一个正整数n(122)来表示含有上述规律的等式吗？ (3)证明你找到的规律； (4)请你另外再写出1个具有“穿墙”性质的数. 3.(25-26七年级下·全国·单元测试)观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： V1×3+1=V4=2 ① ②2x4+1=v5=3 ③3x5+1=vi6=4 ④V4x6+1=V25=5 ①观察算式规律，计算V5x7+1=, V26×28+1= (2)用含正整数n的代数式表示上述算式的规律： 3)计算： V3×5+1-V5×7+1+√7×9+1-√9×11+1+…+√2023×2025+1-√2025×2027+1 26/33 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 验成果 综合达标检测 ©基础达标 一、单选题 1（25-26八年级上：全国课后作业)如图，数轴上表示实数5 的点可能是() a b 20 A.点a B.点b C.点c D.点d 2.(2526八年级下广西玉林阶段练习)有下列各式：08，②N6:③Nm,④，O12,其 中一定是二次根式的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 八年级上四川成都开学考试)下列实数：气，3,2二6.34： 1.010010001.…(每相邻两个1之间0的个数依次增加1)，其中无理数有()个 A.3 B.4 c.5 D.6 4.(25-26八年级上全国期中)下列计算正确的是() A.V2+V3=V5 B.2+V5=3V5 e.i55xw5=得3=5= 15 D.1+V3)2-√5)=1-3=-2 5.(2526八年级上甘肃张披期中)已知b<0,则V0b化简后为《) A.avb B.-avb C.avb D.-avb 6. (2026七年级下·广东佛山竞赛)有一个数值转换器，流程如下： 27/33 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 输入x 取算术平方根是无理数输出少 是有理数 当输入的x为256时，输出的'是() A.② B.3 C.22 D.4 二、填空题 7.（25-26八年级上宁夏银川期中)-27 √16 的立方根为一 的平方根为一 5的倒数为一 8.(2026八年级上全国专题练习)比较大小（填“>”“<”或“=”）： 3 (1)2 2； 阿 (2)3 9,(25:25八年级上全国课后作业)若是5的小数部分，则代数式(x+2) 的值为 10,(25:26八年级上全国课后作业)若最简二次根式a与-b 与 可以合并，则Q+b的值是】 心。(25-26八年级上四川成都阶段练习)用“”定义新运算，对于任意实数ab,都有△6=Y6+凸 la-b, 7△4=V4+117 例如： 7-43,那么-1△7= 12.(25-26八年级下天津阶段练习)若直角三角形的两边长为a、b,且满足V2a-6+b-4-0,则该 直角三角形的第三边长为 三、解答题 13.(25-26八年级下·山东烟台期末)计算： 0a5-5x+w 28/33 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 e-v 2-2+48)8-45 4 14.(25-26八年级上·全国·单元测试)下面是小星同学解答题目的过程，请认真阅读并完成相应任务. 计算： 25+wi- 解：原式25÷4-35 …第一步 2-35 2 …第二步 .…第三步 (1)任务一：以上步骤中，从第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 (2)任务二：请写出正确的计算过程. 22 15.(25-26七年级下福建莆田期中)把下列各数填在相应的表示集合的大括号内：-3，-0.4，-7， -V6 1.7, 5,0,4.262262226…(两个6之间一次增加一个“2”). 整数{ }； 负分数{ : 无理数{ }. 16.(25-26七年级下·全国·单元测试)如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬行3个单位长度到达点B,点 A表示 -v2 ,设点B所表示的数为m B -2N-1 0 12→ (1)求m的值： 2求m-2+(5+3列+m的值. 17.(25-26七年级下·湖北荆州期中)已知一个正数m的两个不相等的平方根是a+6与2a-9. (1)求a的值： 29/33 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)求这个正数L: (3)求关于x的方程ax2-16=0的解. 18.(25-26八年级上：重庆开学考试)已知2a-4的算术平方根是2,3a+b-1的立方根等于本身，且 3a+b-1>0,V15 的小数部分为c (1)求出a,b,c的值： 2求a-2b-c+5 的平方根， 19.(25-26八年级下·安徽阜阳阶段练习)观察与思考： 。.2 3 ，4 4 02+2V5,@+838,V4+54i5… 2+ (1)根据上述等式的规律，直接写出第④个等式： (2)试用含n(n为自然数，且n>1)的等式表示这一规律，并加以验证. 20.(25-26八年级下·广东惠州期中)阅读下列材料，并回答问题 √2-1 2-1=2-1 2+1(W2+12-1(2-1: 5-2 ,W3-2 3+2W3+25-2)(-(2 =V3-√2 √4-V3 N4-5 4+54+4-)(④-(5 =4-5 1 ()填空：√7+6 1 (2)观察上述算式，请写出算式Vn+1+Vn(n是正整数)的结果； 试比较五-而与而-0的大小， 30/33 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 1 1 1 ④计算：72+5+5+4+52025+2024（提示：45=2025）. 能力进阶 、 单选题 1.(25-26八年级下黑龙江齐齐哈尔期末)如图，在数轴上，点A、B表示的数分别为0、2，BC1AB 于点B,且BC=L,连接AC,在AC上截取CD=BC,以点A为圆心，AD的长为半径画弧，交线段AB 于点E,则点E表示的实数是() D 0 E 2 A3-1 B.1 c.5-5 D.5-1 2.(2526七年级下辽宁盘锦期未)定义：对于任意的实数“，b,当0≥b时，有a8h=V匠+6，当 a<b时，a®b=a+F,则-H)®(-8)=（) A.-7 B.1 C.7 D.-1 二、填空题 3.(26-27九年级上全国课后作业)对于任意的正数a、b,定义一种新的运算“★”， a★b=Vab-Va3★4=V3x4-V3=V3 ；如： 计算249 的结果为一 4.(25:26七年级下湖南娄底期末)对于实数“，我们规定：用符号回表示不大于6的最大整数，称 「a 【回为口的根整数，例如：[可]=3，【而]=3.如图所示，数精上表示1和5的对应点分别为4、B, 31/33 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点1是BC的中点，0为原点，设C点表示的数为x,则x-+1-2]= O C A B 三、解答题 5.(25-26八年级下新疆阿克苏期末)若两个含有二次根式的代数式M,N满足MN=1(M,N表示 M和N的积)，其中t是有理数，则称M与N是互为“t相关代数式”. ①若M与 是互为“12相关代数式”，则M= ②若M=a-5“是有理数) N=8+25,且M与N是互为。‘相关代数式”，求“和'的值. 6.(25-26八年级下·福建厦门期中)小兵在学习二次根式的时候，发现一些含根号的式子可以化成另一 个式子的平方，如： 5+26=(3+2)+23x2=(5+2+2×(5)x(2)=(3+2: 7-43=(4+3)-2x2x5=2+(5-2x2×)=(2-5」 【类比归纳】 (仿照上面的方法，若将7+20化成a+b,其中a>b,则a=一，b= (2②)请你仿照上面的方法化简：V6-4W2」 6)若a+2下=-(Vm+,其中m>n,且a,m,n均为正整数，求a+m+n的值. 7.(2526八年级下江西新余期末)阅读材料：像5+55-)=2，后后=(a≥0)， (万+1川6-=b-16≥0)…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式 互为有理化因式.例如5与5,5+1与5-1.3+35与3-35 等都是互为有理化因式. 在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号. 例如：1=55.2+1(2+1)月 =3+2√2 252W3x5=6’2-1(W2-1V2+可 32/33 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解答下列问题： 1 (1)化简：2+1 一； √100-√99 √99-V98 (2)比较大小： (填“>”，“<”或“=”)： 1 1 1 1 6)i计算：V2+1+5+V2+4+V5+…+2026+N2025 十 33/33