专题04 直线与圆、圆与圆的位置关系（期中真题汇编，黑吉蒙专用）高二数学上学期

专题04 直线与圆、圆与圆的位置关系 1大高频考点概览 考点01 直线与圆、圆与圆的位置关系 考点01 直线与圆、圆与圆的位置关系 1．（25-26学年高二上·黑龙江伊春嘉荫县第一中学·期中）已知圆与圆交于A，B两点，则直线AB的一般式方程为（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高二上·内蒙古期中学·期中）（多选）已知圆和圆相切，则实数的值可以是（       ） A.  B.  C. 0 D.  3．（2026·吉林吉林·调研）圆与圆的公切线的条数是（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4．（25-26学年高二上·内蒙古赤峰喀喇沁旗锦山中学·期中）若圆上恰有三点到直线的距离为2，则的值为（　　） A.  B.  C.  D. 2 5．（25-26学年高二上·内蒙古期中学·期中）已知直线：与圆：交于两点，则当弦最短时，圆与圆：的位置关系是（     ） A. 内切 B. 外离 C. 外切 D. 相交 6．（25-26学年高二上·黑龙江鸡西·期中）（多选）已知圆与直线，点在圆上，点在直线上，则（       ） A.  B. 直线与圆相离 C. 从点向圆引切线，切线长的最小值是 D. 过点的直线被圆截得的弦长的最小值为 7．（25-26学年高二上·黑龙江鸡西·期中）曲线与直线有两个不同的交点时实数的范围是（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高二上·黑龙江伊春嘉荫县第一中学·期中）已知圆关于直线对称，则的最小值是（       ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 4 9．（25-26学年高二上·黑龙江伊春嘉荫县第一中学·期中）（多选）已知直线和圆相交于M，N两点，则下列说法正确的是（       ） A. 直线过定点 B. 的最小值为3 C. 的最小值为 D. 圆上到直线的距离为的点恰好有三个，则 10．（2026·内蒙古通辽部分学校·联考）已知是圆上任意一点，则的最小值为（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年高二上·吉林地区普通高中友好学校·期中）已知直线：和圆：，若点在圆上运动，则其到直线的最短距离为（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年高二上·内蒙古期中学·期中）过点的直线与曲线有两个交点，则直线斜率的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年高二上·黑龙江龙东十校联·期中）已知圆与圆相离，且直线被圆截得的弦长为，则实数的取值范围是（          ） A.  B.  C.  D.  14．（2026·黑龙江牡丹江东宁第一中学·联考）已知圆，点在圆上，点，为的中点，为坐标原点，则的最大值为（       ） A.  B.  C.  D.  15．（2026·黑龙江牡丹江东宁第一中学·联考）（多选）已知⨀：，⨀：，，，则下列说法正确的是（       ） A. 若分别是⨀与⨀上的点，则的最大值是 B. 当时，⨀与⨀相交弦所在的直线方程为 C. 当时，若⨀上有且只有3个点到直线的距离为1，则 D. 若⨀与⨀有3条公切线，则的最大值为4 16．（25-26学年高二上·内蒙古赤峰喀喇沁旗锦山中学·期中）（多选）已知圆，直线，点P在直线l上运动，直线，分别切圆C于点A，B.则下列说法正确的是（   ） A. 最短时，弦直线方程为 B. 最短时，弦长为 C. M为圆C上一动点，则最小值为 D. 四边形的面积最小值为 17．（25-26学年高二上·内蒙古期中学·期中）（多选）数学中有许多形状优美的曲线，曲线C：就是其中之一，其形状酷似数学符号“”，设为曲线C上任意一动点，则（     ） A. 曲线C与直线有3个公共点 B. 曲线C上任意两点距离最大值为4 C. 的最大值为 D. 曲线C所围成图形面积为 18．（25-26学年高二上·黑龙江龙东十校联·期中）（多选）已知平面上两点，则所有满足的点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中两点，，点满足，设点所构成的曲线为，则（        ） A. 曲线的方程为 B. 曲线上的点的到直线的最小距离为 C. 曲线上任意点，则的最大值为 D. 曲线上任意点，则的取值范围为 19．（2026·吉林吉林·调研）过点作圆的切线，则切线方程为　　　　　　. 20．（25-26学年高二上·黑龙江哈尔滨道外区·期中）已知圆关于直线对称，且过点 （1）求圆的圆心坐标和半径； （2）若直线过点，且与圆交于，两点，满足，求直线的方程． 21．（25-26学年高二上·吉林地区普通高中友好学校·期中）已知点P(-1，4)，Q(3，2). （1）求以PQ为直径的圆N的标准方程； （2）过点M(0，2)作直线l与（1）中的圆N相交于A，B两点，若，求直线l的方程. 22．（25-26学年高二上·内蒙古赤峰喀喇沁旗锦山中学·期中）已知圆，直线过点. （1）若直线与圆相切，求直线的方程； （2）若直线与圆交于两点，，求直线的方程. 23．（25-26学年高二上·内蒙古期中学·期中）已知圆心为C的圆经过点和，且圆心C在直线上. （1）求圆C的标准方程； （2）直线过点与圆C交于P，Q两点，，求直线的方程. 24．（25-26学年高二上·内蒙古期中学·期中）古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定点的距离之比值为常数的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼斯圆.已知点P到的距离是点P到的距离的2倍. （1）求点P的轨迹的方程； （2）过点B作直线，交轨迹于P，Q两点，P，Q不在y轴上. （i）过点B作与直线垂直的直线，交轨迹于E，F两点，记四边形的面积为S，求S的最大值； （ii）设轨迹与y轴正半轴的交点为C，直线，相交于点N，试证明点N在定直线上，求出该直线方程. 25．（25-26学年高二上·黑龙江鸡西·期中）已知圆C的方程为：． （1）若直线与圆C相交于A、B两点，且，求实数a的值； （2）过点作圆C的切线，求切线方程． 26．（25-26学年高二上·黑龙江伊春嘉荫县第一中学·期中）已知以点为圆心的圆被直线：截得的弦长为. （1）求圆的标准方程； （2）求过与圆相切的直线方程； 27．（25-26学年高二上·黑龙江伊春嘉荫县第一中学·期中）已知圆上的点到直线的距离的最大值是，最小值是，则　　　　　. 28．（2026·内蒙古通辽部分学校·联考）已知直线，半径为的圆与相切，圆心在轴的正半轴上. （1）求圆的方程； （2）设过点的直线与圆交于两点（在轴上方），在轴正半轴上是否存在定点，使得轴平分？若存在，求的坐标；若不存在，说明理由. 29．（25-26学年高二上·内蒙古期中学·期中）已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆上运动，M是线段AB的中点， （1）求点M的轨迹方程； （2）记（1）中所求轨迹为曲线C，过定点的直线l与曲线C交于P，Q两点，曲线C的中心记为点C，求面积的最大值，并求此时直线l的方程． 30．（25-26学年高二上·内蒙古期中学·期中）在平面直角坐标系中，圆的方程为，斜率为的直线过点且与圆相交于，两点.若，则所有满足条件的直线的斜率之积为　　　　　　　　　　. 31．（25-26学年高二上·黑龙江龙东十校联·期中）已知直线，动直线被圆截得弦长的最小值为　　　　　　． 32．（2026·黑龙江牡丹江东宁第一中学·联考）已知圆. （1）若点是圆上的一点，求的取值范围； （2）过点的直线与圆交于两点，且，求直线的方程. 33．（25-26学年高二上·吉林联盟校考试·期中）已知圆：，圆：. （1）证明：圆与圆相交； （2）若圆与圆相交于A，B两点，求. 34．（2026·吉林吉林·调研）已知圆M经过点，，且_______． （1）求圆M的标准方程； （2）若直线与圆M相交于P，Q两点，求． 要求：从①过点，②圆心M在直线上这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并给出解答．如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 35．（2026·黑龙江牡丹江东宁第一中学·联考）已知圆，圆的圆心在直线上，且过点． （1）求圆的标准方程； （2）已知第二象限内的点在圆上，过点作圆的切线恰好与圆相切，求的斜率； （3）判断是否存在斜率为1的直线与圆交于点P，Q，与圆交于点M，N，且，若存在，求出；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 直线与圆、圆与圆的位置关系 考点01 直线与圆、圆与圆的位置关系 考点01 直线与圆、圆与圆的位置关系 1．D 2．ACD 3．A 4．C 5．D 6．ABC 7．A 8．D 9．AC 10．B 11．A 12．B 13．D 14．A 15．AD 16．ABD 17．BC 18．ACD 19．【答案】 【分析】 求出切点与圆心连线的斜率后可得切线方程. 【详解】 因为点在圆上，故切线必垂直于切点与圆心连线， 而切点与圆心连线的斜率为，故切线的斜率为， 故切线方程为：即. 故答案为：. 20．【答案】（1）圆心坐标为，半径为     （2）或      【分析】 （1）根据圆心在直线上和点在圆上，列方程可求，进而可得圆的圆心和半径. （2）利用几何法，根据弦长可求圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式，可求直线的斜率，进而得到的方程. (1) 小问详解： 由题意： . 所以圆：. 所以圆的圆心为，半径. (2) 小问详解： 因为，所以圆心到直线的距离为：. 设直线的点斜式方程为：，即. 由或. 所以直线的方程为：或. 21．【答案】（1）；（2）或. 【详解】（1）圆心N为线段PQ的中点，求出圆N的半径即可写出圆的标准方程；（2）当直线斜率不存在时求出，符合条件；当直线斜率存在时设直线方程为，利用勾股定理求出圆心到直线的距离d，再利用点到直线的距离公式即可求得斜率k，从而写出直线方程. 【详解】 （1）方法1：以PQ为直径的圆方程为， 化解得：， 则圆N的标准方程为：. 方法2：圆心N的坐标(1，3)，直径， 则圆N的标准方程为：. （2）①当直线斜率不存在时，方程为，解得，，符合条件； ②当斜率存在时，设直线方程为， 设圆心到直线距离为d，由，则，得， 又，解得，此时直线方程为. 所以直线方程为或. 22．【答案】（1）或     （2）或      【分析】 （1）考虑直线的斜率是否存在，结合直线和圆相切时的性质求解，即得答案； （2）设直线的方程，利用直线和圆相交时的弦长公式，即可求得答案. (1) 小问详解： 若直线的斜率不存在，则直线的方程为， 此时圆心到直线的距离为2，所以直线与圆相切，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即， 解得. 所以直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. (2) 小问详解： 由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 圆心到直线的距离. 所以， 解得，或. 所以直线的方程为或，即或. 23．【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）先求直线的垂直平分线，与直线的交点为圆心，又求半径，进而得圆的标准方程. （2）先确定圆心到直线的距离，再分直线有无斜率，根据点到直线的距离公式列式求值. (1) 小问详解： 线段的垂直平分线为：，即， 由 ，即圆心. 圆的半径. 所以圆的标准方程为：. (2) 小问详解： 如图： 因为弦，所以圆心到直线的距离为. 若直线无斜率，则其方程为，圆心到的距离为3，满足题意； 若直线有斜率，可设方程为：，即， 由， 所以的方程为：，即. 综上，所求直线方程为：或. 24．【答案】（1）     （2）（i）28 （ii），设，， 联立 消得， 则，， 所以直线的方程为，直线的方程为， 联立 解得， 则， 所以， 所以点在定直线上.      【分析】 （1）设，根据两点距离公式建立方程，整理即可求解； （2）易知直线的斜率存在，设直线方程为，利用点到直线的距离公式和几何法求弦长表示. （i）结合点线距公式、基本不等式和三角形面积公式，分类讨论当、时S的取值范围即可； （ii）设，，直线方程联立圆方程，利用韦达定理表示，同时表示和的方程，求出交点N的坐标即可证明. (1) 小问详解： 设点，由题意可得， 即，化简得， 所以点的轨迹的方程为. (2) 小问详解： 由题直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离， 所以， （i）若，则直线的斜率不存在， 得，，则； 若，则直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离， 所以， 则 ， 当且仅当即时，取等号， 综上所述，因为，所以S的最大值为28. （ii）略 25．【答案】（1）或；     （2）或．      【分析】 （1）根据已知条件，结合点到直线的距离公式，以及垂径定理，即可求解； （2）结合切线的定义和点到直线的距离公式，即可分类讨论思想，即可求解． (1) 小问详解： 圆的方程为：， 则圆的圆心为，半径为2， 直线与圆相交于、两点，且， 则，解得或； (2) 小问详解： 当切线的斜率不存在时，直线，与圆相切， 切线的斜率存在时，可设切线为，即， 由切线的定义可知，，解得， 故切线方程为， 综上所述，切线方程为或． 26．【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）根据圆心到直线的距离，半弦长、半径构成直角三角形，求解即可； （2）利用圆心到直线的距离等于半径求解． (1) 小问详解： 圆心到直线的距离为， 设圆的半径为，则， 圆为． (2) 小问详解： 显然过与圆相切的直线的斜率一定存在， 设过点的切线方程为，即， 圆心到直线的距离为， 解得或， 所以过点的切线方程为或． 27．【答案】 【分析】 求出圆心到直线的距离，根据直线与圆的位置关系可得的值. 【详解】 可化为，圆心，半径， 圆心到直线的距离， 则直线与圆相离， 故，，则. 故答案为： 28．【答案】（1）     （2）存在，.      【分析】 （1）由已知可设圆心，根据直线与圆相切可列方程求得的值即可； （2）由题知直线的斜率不为，可设直线的方程为，联立圆的方程，结合韦达定理有① ，进一步由题意有，结合两式并化简即可得解. (1) 小问详解： 由已知可设圆心，则 解得或（舍） 所以圆； (2) 小问详解： 由题知直线的斜率不为，可设直线的方程为 ， 由 .化简得 显然成立， 所以① ， 若轴平分，则， 故，即， 整理得 将① 代入上式得，整理得对任意的恒成立，则. ∴存在点为时，使得轴平分. 29．【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）设点，根据题意得到，代入圆，即可求解； （2）根据题意，设直线，求得圆心到直线的距离为，得到，结合基本不等式，求得最小值，进而求得直线的方程. (1) 小问详解： 解：设点，由点的坐标为，且是线段的中点， 则 ，可得，即， 因为点在圆上运动，所以点点坐标满足圆的方程， 即，整理得， 所以点的轨迹方程为. (2) 小问详解： 解：过点定点的直线与曲线交于两点，则直线的斜率一定存在且不为， 设直线，即， 则圆心到直线的距离为， 又因为， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以时，取得最大值，此时，解得或， 所以取得最大值，此时直线的方程为或. 30．【答案】 【分析】 由题结合，可得，圆心到直线的距离为，设直线的方程为，由点到直线距离公式并化简后可得，然后由韦达定理可得答案. 【详解】 如图，由题意得，圆心，半径， 由，且， ，即， 设圆心到直线的距离为，由垂径定理可得，即， 由题意知直线的方程为，即， 所以圆心到直线的距离， 化简整理得，则， 所以设方程的两根分别为，则. 故答案为：. 31．【答案】 【分析】 先由圆的方程确定圆心和半径，由直线方程确定直线过定点；再利用直线与圆的位置关系判断过点且与垂直的弦的弦长最短；最后结合弦长公式即可求解. 【详解】 由圆可得：圆心，半径. 由直线可得：直线过定点. 因为 所以点在圆内，直线与圆相交， 则过点且与垂直的弦的弦长最短，且弦长的最小值为. 故答案为： 32．【答案】（1）     （2）或.      【分析】 （1）设，由直线与圆有公共点，借助直线与圆的位置关系求解即可； （2）利用圆的弦长公式求出，分类讨论利用点到直线的距离，求出直线的方程即可. (1) 小问详解： 由圆，可得圆心，半径为. 设，则直线与圆有公共点，所以， 解得，所以的取值范围是. (2) 小问详解： 由圆，可得圆心，半径为. 设点到直线的距离为， 因为，所以，解得， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 即， 所以点到直线的距离为， 解得，所以直线的方程为. 综上，直线的方程为或. 33．【答案】（1）证明：圆的标准方程为，圆心为，半径为2， 圆的标准方程为，圆心为，半径为， ∴圆和圆的圆心之间的距离为， 由，可知：圆和圆相交，得证.     （2）.      【分析】 （1）写出两圆的标准方程，进而确定圆心坐标、半径，判断圆心距离与两圆半径之间的关系即可证结论. （2）根据（1）的结论，将两圆方程做差求相交弦方程，再应用弦心距、半径与弦长关系求即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）结论，将圆与圆作差，得：直线AB的方程为， 圆的圆心到直线AB的距离为， ∴. 34．【答案】（1）     （2）4      【分析】 （1）选① ，设出圆的标准方程或一般方程，根据已知条件列方程，由此求得圆的标准方程.选② ，先求得线段垂直平分线的方程，通过联立方程组求得圆心的坐标，进而求得圆的半径，从而求得圆的标准方程. （2）利用点到直线的距离公式以及圆的弦长公式求得.或通过联立方程组的方法，求得两点的坐标，进而求得. (1) 小问详解： 选① （法一）: 设圆的标准方程为． 由题意可得 解得 圆的标准方程为． （法二）: 设圆的一般方程为． 由题意可得 解得 圆的一般方程为， 即圆的标准方程为． 选② （法一）: 由题意可得中点为， 线段的垂直平分线为，即． 圆心在直线上，联立 解得 即圆心． 圆的半径， 圆的标准方程为． （法二）: 设圆心，， 整理得圆心． 圆的标准方程为． (2) 小问详解： （法一） 由（1）知，圆心到直线的距离． 圆的半径，． （法二） 联立直线方程与圆的方程，解得 和 ， 所以，由两点间距离公式得． 35．【答案】（1）     （2）     （3） 不存在斜率为1的直线与圆交于点P，Q，与圆交于点M，N，且，理由如下： 设的方程为， 由题意得，圆心到的距离，解得， 圆心到的距离，解得， 故， 由垂径定理得， 解得或，均不满足要求， 故不存在斜率为1的直线与圆交于点P，Q，与圆交于点M，N，且.      【分析】 （1）设出圆心，由得到方程，求出，得到圆心，进而求出半径，得到圆的标准方程； （2）设，则，设出切线方程，由到切线的距离为1得到方程，又，化简得到，解得，代入切线方程，化简得到，根据到的距离得到或，联立，求出，舍去不合要求的解，求出，故的斜率为； （3）设的方程为，由直线与两圆的位置关系得到不等式，求出，由垂径定理和，解得或，均不满足要求，故不存在斜率为1的直线与圆交于点P，Q，与圆交于点M，N，且. (1) 小问详解： 设圆的圆心为，由得 ，解得， 故圆心为，半径为， 故圆的标准方程为； (2) 小问详解： 设，则， 显然过点的切线斜率存在， 过点的切线方程设为， 圆心到切线的距离为1，即， 即， 又，故，即，解得， 故，即，即， 圆心到的距离为2，即， 故或，解得或， 若，联立，解得，与矛盾，舍去， 若，联立，解得或0（舍去）， 故，所以， 故的斜率为； (3) 小问详解： 略 【点睛】 过圆上一点的切线方程为：， 过圆外一点的切点弦方程为：. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 直线与圆、圆与圆的位置关系 1大高频考点概览 考点01 直线与圆、圆与圆的位置关系 考点01 直线与圆、圆与圆的位置关系 1．（25-26学年高二上·黑龙江伊春嘉荫县第一中学·期中）已知圆与圆交于A，B两点，则直线AB的一般式方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据公共弦直线方程的求解方式，用两圆联立相减即可. 【详解】 联立 两式相减可得. 故选：D. 2．（25-26学年高二上·内蒙古期中学·期中）（多选）已知圆和圆相切，则实数的值可以是（       ） A.  B.  C. 0 D.  【答案】ACD 【分析】 由圆的标准方程得两圆的圆心与半径，分两圆外切与内切两种情况讨论，利用圆心距与半径的关系列式求解即可． 【详解】 圆，圆心为，半径为1， 圆，圆心为，半径为5， 两圆心距离为， 当两圆外切时，有，解得； 当两圆内切时，有，解得. 综上所述，实数的值可以是或0. 故选：ACD. 3．（2026·吉林吉林·调研）圆与圆的公切线的条数是（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【分析】 先判断两个圆的位置关系，再求解公切线条数即可. 【详解】 设的半径为，的半径为， 由题意得，，，， 则， 可得两圆内切，即两圆的公切线条数为，故A正确. 故选：A 4．（25-26学年高二上·内蒙古赤峰喀喇沁旗锦山中学·期中）若圆上恰有三点到直线的距离为2，则的值为（　　） A.  B.  C.  D. 2 【答案】C 【分析】 圆的圆心，半径，由圆上恰有三点到直线的距离为2，得到圆心到直线的距离为1，由此能出的值． 【详解】 由得，所以圆心，半径， 因为圆上恰有三点到直线的距离为2， 所以圆心到直线的距离为1， 即，解得， 故选：C． 5．（25-26学年高二上·内蒙古期中学·期中）已知直线：与圆：交于两点，则当弦最短时，圆与圆：的位置关系是（     ） A. 内切 B. 外离 C. 外切 D. 相交 【答案】D 【分析】 先根据弦最短求的值，再根据圆心距判断两圆的位置关系. 【详解】 如图： 因为圆的方程为，所以，半径为5. 因为直线的方程可化为，所以直线过定点. 当弦最短时，有. 此时，因为，所以，即. 所以圆：，圆心为，半径为3. 因为， 因为，所以圆与圆相交. 故选：D 6．（25-26学年高二上·黑龙江鸡西·期中）（多选）已知圆与直线，点在圆上，点在直线上，则（       ） A.  B. 直线与圆相离 C. 从点向圆引切线，切线长的最小值是 D. 过点的直线被圆截得的弦长的最小值为 【答案】ABC 【分析】 对A，先求出圆心到直线的距离，再利用圆的性质，即可判断A；对B，根据直线与圆的位置关系的判断方法，即可求解；对C，利用切线长为，从而求出的最小值，即可求解；对D，根据条件得点在圆内，从而可得当过点的直线与垂直时，该直线被圆截得的弦长最短，即可求解. 【详解】 由，得到，所以圆心为，半径为， 对于A，因为圆心到直线的距离为， 所以，故A正确， 对于B，由选项A知圆心到直线的距离为， 所以直线与圆相离，故B正确， 对于C，从点向圆引切线，切线长为， 所以当时，切线长最小，最小值是，故C正确， 对于D，因为，所以在圆内， 当过点的直线与垂直时，该直线被圆截得的弦长最短， 又因为和圆心的距离为， 所以最短弦长为，故D错误. 故选：ABC． 7．（25-26学年高二上·黑龙江鸡西·期中）曲线与直线有两个不同的交点时实数的范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 作出表示的曲线，而表示经过定点的一条动直线，利用斜率数形结合可得结果. 【详解】 由题意得，即，其表示以为圆心，为半径的圆的上半部分，而表示经过定点的一条动直线，如下图所示，当直线与半圆相切于点时，由得，又点，则，由图可知，即. 故选：A. 8．（25-26学年高二上·黑龙江伊春嘉荫县第一中学·期中）已知圆关于直线对称，则的最小值是（       ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 4 【答案】D 【分析】 转化为直线过圆心即，再利用基本不等式可得答案. 【详解】 因为圆关于直线对称， 所以直线过圆心，即， 则 因为，且，所以， 所以， 当且仅当即等号成立， 则的最小值是4. 故选：D. 9．（25-26学年高二上·黑龙江伊春嘉荫县第一中学·期中）（多选）已知直线和圆相交于M，N两点，则下列说法正确的是（       ） A. 直线过定点 B. 的最小值为3 C. 的最小值为 D. 圆上到直线的距离为的点恰好有三个，则 【答案】AC 【分析】 根据直线的定点、圆的相乘、向量数量积运算、直线和圆的位置关系等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】 对于A，直线，即， 由 解得，所以定点坐标为，A正确， 对于B，圆的圆心为，半径为， 点与圆心的距离为， 所以的最小值为，此时直线垂直于轴，故此时无最小值， 故B错误， 对于C，设，则， 当，即直线方程为时， 取得最小值为，所以C正确， 对于D，若圆上到直线的距离为的点恰好有三个， 则圆心到直线的距离为， 所以， 整理得，所以D错误. 故选：AC 10．（2026·内蒙古通辽部分学校·联考）已知是圆上任意一点，则的最小值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 的几何意义为圆上的点与点确定直线的斜率，再根据直线与圆得交点即可得出答案. 【详解】 设，变形可得， 则的几何意义为为圆上的点与点确定直线的斜率， 方程化为，圆心坐标为，半径， 因为是圆上任意一点，则直线与圆相交或相切， 故，解得，所以的最小值为. 故选：B 11．（25-26学年高二上·吉林地区普通高中友好学校·期中）已知直线：和圆：，若点在圆上运动，则其到直线的最短距离为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 先求出点到直线：的距离为，点在圆上运动，则其到直线的最短距离为，求解即可. 【详解】 圆：的圆心， 所以点到直线：的距离为， 所以点在圆上运动，则其到直线的最短距离为：. 故选：A. 12．（25-26学年高二上·内蒙古期中学·期中）过点的直线与曲线有两个交点，则直线斜率的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由题知曲线是以为圆心，1为半径的半圆，结合图形，利用过两点直线的斜率和直线与圆的位置关系，即可求解. 【详解】 由题意易知直线的斜率存在且不为0，设直线， 曲线是以为圆心，1为半径的半圆（如图所示）， 设曲线的下端点为，要使与曲线有两个交点，则应位于直线和切线之间，所以， 因为，易知， 又与曲线相切，由，解得，所以， 所以直线斜率的取值范围为. 故选：B. 13．（25-26学年高二上·黑龙江龙东十校联·期中）已知圆与圆相离，且直线被圆截得的弦长为，则实数的取值范围是（          ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由直线和圆的位置关系求得，再根据两圆相离得或，解得答案. 【详解】 圆心到距离为，弦长，解得， 又，由两圆相离知，两圆内含或外离，由或， 所以实数的取值范围是. 故选：D. 14．（2026·黑龙江牡丹江东宁第一中学·联考）已知圆，点在圆上，点，为的中点，为坐标原点，则的最大值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据中点坐标公式结合相关点法可得的轨迹方程为，即可根据相切求解最值. 【详解】 由题意知圆的方程为，设，， 则 ,所以 ,又在圆上，所以， 即，即的轨迹方程为.如图所示， 当与圆相切时，取得最大值， 此时，，所以的最大值为. 故选:A 15．（2026·黑龙江牡丹江东宁第一中学·联考）（多选）已知⨀：，⨀：，，，则下列说法正确的是（       ） A. 若分别是⨀与⨀上的点，则的最大值是 B. 当时，⨀与⨀相交弦所在的直线方程为 C. 当时，若⨀上有且只有3个点到直线的距离为1，则 D. 若⨀与⨀有3条公切线，则的最大值为4 【答案】AD 【分析】 A选项，求出圆心距，得到的最大值；B选项，先得到两圆相交，两圆相减得到相交弦方程；C选项，先得到点到直线的距离为1，由点到直线距离公式得到方程，求出答案；D选项，⨀与⨀外切，从而得到，利用基本不等式求出答案. 【详解】 A选项，由题意可知，，所以， 又，分别是⨀与⨀上的点， 所以的最大值是，A正确； B选项，当，时， ⨀：，⨀：， 由于圆心距为，而，故两圆相交， 两圆方程相减得， 故相交弦所在的直线方程为，B错误； C选项，当时， 若⨀上有且只有3个点到直线的距离为1， 则点到直线的距离为1， 所以，解得，C错误； D选项，若⨀与⨀有3条公切线， 则⨀与⨀外切，即， 所以，当且仅当时等号成立，D正确． 故选：AD． 16．（25-26学年高二上·内蒙古赤峰喀喇沁旗锦山中学·期中）（多选）已知圆，直线，点P在直线l上运动，直线，分别切圆C于点A，B.则下列说法正确的是（   ） A. 最短时，弦直线方程为 B. 最短时，弦长为 C. M为圆C上一动点，则最小值为 D. 四边形的面积最小值为 【答案】ABD 【分析】 根据已知，结合图形，利用直角三角形、圆的性质、直线方程以及点到直线的距离公式、勾股定理计算求解. 【详解】 对于A，由题意可知点与点，在以为直径的圆上，设， 其圆的方程为：， 化简为，与方程相减可得：， 则直线的方程为，当最短时，， 则，解得， 故直线的方程为，故A正确， 对于B，当最短时，圆心到直线的距离， 所以弦长为，故B正确.， 对于C，因为，所以最小值为，故C错误， 对于D，由切线长定理可得，又因为，所以， 所以四边形的面积为， 因为，当时，取最小值， 且， 所以四边形的面积的最小值为， 故D正确， 故选：ABD     17．（25-26学年高二上·内蒙古期中学·期中）（多选）数学中有许多形状优美的曲线，曲线C：就是其中之一，其形状酷似数学符号“”，设为曲线C上任意一动点，则（     ） A. 曲线C与直线有3个公共点 B. 曲线C上任意两点距离最大值为4 C. 的最大值为 D. 曲线C所围成图形面积为 【答案】BC 【分析】 联立曲线C与直线的方程，根据公共解的个数判断A选项；求出曲线C与轴的交点坐标，数形结合可判断B选项；利用圆的参数方程结合三角函数的有界性可判断C选项；求出曲线C在第一象限的圆弧与轴围成区域的面积，结合对称性可计算判断D选项. 【详解】 曲线C的方程可化为， 当，时，曲线C的方程可化为， 在曲线C上任取一点，则该点关于轴的对称点为， 因为，即点也在曲线C上， 所以，曲线C关于轴对称，同理可知，曲线C关于轴、原点对称， 对于A选项，由 ，得， 所以，即，可得或（舍去）， 故，所以曲线C与直线只有个公共点，A错； 对于B选项，在曲线C的方程中，令，可得，解得或， 所以，曲线C交轴于点、、， 结合图形可知，曲线C上任意两点距离最大值为，B对； 对于C选项，当取最大值，结合图形及对称性不妨，， 此时点必在第一象限或两坐标轴正半轴上， 设，，其中， 由 可得 ，所以， 所以 ，其中， 因为，所以， 因为，则，故， 故当时， 取到最大值为，C对； 对于D选项，设圆的圆心为，该圆的半径为， 因为，故是边长为2的等边三角形， 所以圆在第一象限的圆弧与轴围成区域的面积为， 所以曲线C所围成图形面积为，D错.    故选：BC. 18．（25-26学年高二上·黑龙江龙东十校联·期中）（多选）已知平面上两点，则所有满足的点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中两点，，点满足，设点所构成的曲线为，则（        ） A. 曲线的方程为 B. 曲线上的点的到直线的最小距离为 C. 曲线上任意点，则的最大值为 D. 曲线上任意点，则的取值范围为 【答案】ACD 【分析】 对于A设，由，利用两点间距离公式化简即可判断，对于B利用点到直线的距离公式即可判断，对于C设，利用点到直线的距离即可判断，对于D根据表示圆上点到原点距离的平方，利用点到圆心距离与半径的关系求解. 【详解】 对于A： 设，则 ，整理可得，故A正确； 对于B： 圆圆心，半径，圆心到直线的距离， 所以圆上点到直线最小距离为，故B错误； 对于C：设，则，解得，所以的最大值为，故C正确； 对于D：因为，，， 所以， 所以则的取值范围为，故D正确. 故选：ACD. 19．（2026·吉林吉林·调研）过点作圆的切线，则切线方程为　　　　　　. 【答案】 【分析】 求出切点与圆心连线的斜率后可得切线方程. 【详解】 因为点在圆上，故切线必垂直于切点与圆心连线， 而切点与圆心连线的斜率为，故切线的斜率为， 故切线方程为：即. 故答案为：. 20．（25-26学年高二上·黑龙江哈尔滨道外区·期中）已知圆关于直线对称，且过点 （1）求圆的圆心坐标和半径； （2）若直线过点，且与圆交于，两点，满足，求直线的方程． 【答案】（1）圆心坐标为，半径为     （2）或      【分析】 （1）根据圆心在直线上和点在圆上，列方程可求，进而可得圆的圆心和半径. （2）利用几何法，根据弦长可求圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式，可求直线的斜率，进而得到的方程. (1) 小问详解： 由题意： . 所以圆：. 所以圆的圆心为，半径. (2) 小问详解： 因为，所以圆心到直线的距离为：. 设直线的点斜式方程为：，即. 由或. 所以直线的方程为：或. 21．（25-26学年高二上·吉林地区普通高中友好学校·期中）已知点P(-1，4)，Q(3，2). （1）求以PQ为直径的圆N的标准方程； （2）过点M(0，2)作直线l与（1）中的圆N相交于A，B两点，若，求直线l的方程. 【答案】（1）；（2）或. 【详解】（1）圆心N为线段PQ的中点，求出圆N的半径即可写出圆的标准方程；（2）当直线斜率不存在时求出，符合条件；当直线斜率存在时设直线方程为，利用勾股定理求出圆心到直线的距离d，再利用点到直线的距离公式即可求得斜率k，从而写出直线方程. 【详解】 （1）方法1：以PQ为直径的圆方程为， 化解得：， 则圆N的标准方程为：. 方法2：圆心N的坐标(1，3)，直径， 则圆N的标准方程为：. （2）①当直线斜率不存在时，方程为，解得，，符合条件； ②当斜率存在时，设直线方程为， 设圆心到直线距离为d，由，则，得， 又，解得，此时直线方程为. 所以直线方程为或. 22．（25-26学年高二上·内蒙古赤峰喀喇沁旗锦山中学·期中）已知圆，直线过点. （1）若直线与圆相切，求直线的方程； （2）若直线与圆交于两点，，求直线的方程. 【答案】（1）或     （2）或      【分析】 （1）考虑直线的斜率是否存在，结合直线和圆相切时的性质求解，即得答案； （2）设直线的方程，利用直线和圆相交时的弦长公式，即可求得答案. (1) 小问详解： 若直线的斜率不存在，则直线的方程为， 此时圆心到直线的距离为2，所以直线与圆相切，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即， 解得. 所以直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. (2) 小问详解： 由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 圆心到直线的距离. 所以， 解得，或. 所以直线的方程为或，即或. 23．（25-26学年高二上·内蒙古期中学·期中）已知圆心为C的圆经过点和，且圆心C在直线上. （1）求圆C的标准方程； （2）直线过点与圆C交于P，Q两点，，求直线的方程. 【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）先求直线的垂直平分线，与直线的交点为圆心，又求半径，进而得圆的标准方程. （2）先确定圆心到直线的距离，再分直线有无斜率，根据点到直线的距离公式列式求值. (1) 小问详解： 线段的垂直平分线为：，即， 由 ，即圆心. 圆的半径. 所以圆的标准方程为：. (2) 小问详解： 如图： 因为弦，所以圆心到直线的距离为. 若直线无斜率，则其方程为，圆心到的距离为3，满足题意； 若直线有斜率，可设方程为：，即， 由， 所以的方程为：，即. 综上，所求直线方程为：或. 24．（25-26学年高二上·内蒙古期中学·期中）古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定点的距离之比值为常数的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼斯圆.已知点P到的距离是点P到的距离的2倍. （1）求点P的轨迹的方程； （2）过点B作直线，交轨迹于P，Q两点，P，Q不在y轴上. （i）过点B作与直线垂直的直线，交轨迹于E，F两点，记四边形的面积为S，求S的最大值； （ii）设轨迹与y轴正半轴的交点为C，直线，相交于点N，试证明点N在定直线上，求出该直线方程. 【答案】（1）     （2）（i）28 （ii），设，， 联立 消得， 则，， 所以直线的方程为，直线的方程为， 联立 解得， 则， 所以， 所以点在定直线上.      【分析】 （1）设，根据两点距离公式建立方程，整理即可求解； （2）易知直线的斜率存在，设直线方程为，利用点到直线的距离公式和几何法求弦长表示. （i）结合点线距公式、基本不等式和三角形面积公式，分类讨论当、时S的取值范围即可； （ii）设，，直线方程联立圆方程，利用韦达定理表示，同时表示和的方程，求出交点N的坐标即可证明. (1) 小问详解： 设点，由题意可得， 即，化简得， 所以点的轨迹的方程为. (2) 小问详解： 由题直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离， 所以， （i）若，则直线的斜率不存在， 得，，则； 若，则直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离， 所以， 则 ， 当且仅当即时，取等号， 综上所述，因为，所以S的最大值为28. （ii）略 25．（25-26学年高二上·黑龙江鸡西·期中）已知圆C的方程为：． （1）若直线与圆C相交于A、B两点，且，求实数a的值； （2）过点作圆C的切线，求切线方程． 【答案】（1）或；     （2）或．      【分析】 （1）根据已知条件，结合点到直线的距离公式，以及垂径定理，即可求解； （2）结合切线的定义和点到直线的距离公式，即可分类讨论思想，即可求解． (1) 小问详解： 圆的方程为：， 则圆的圆心为，半径为2， 直线与圆相交于、两点，且， 则，解得或； (2) 小问详解： 当切线的斜率不存在时，直线，与圆相切， 切线的斜率存在时，可设切线为，即， 由切线的定义可知，，解得， 故切线方程为， 综上所述，切线方程为或． 26．（25-26学年高二上·黑龙江伊春嘉荫县第一中学·期中）已知以点为圆心的圆被直线：截得的弦长为. （1）求圆的标准方程； （2）求过与圆相切的直线方程； 【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）根据圆心到直线的距离，半弦长、半径构成直角三角形，求解即可； （2）利用圆心到直线的距离等于半径求解． (1) 小问详解： 圆心到直线的距离为， 设圆的半径为，则， 圆为． (2) 小问详解： 显然过与圆相切的直线的斜率一定存在， 设过点的切线方程为，即， 圆心到直线的距离为， 解得或， 所以过点的切线方程为或． 27．（25-26学年高二上·黑龙江伊春嘉荫县第一中学·期中）已知圆上的点到直线的距离的最大值是，最小值是，则　　　　　. 【答案】 【分析】 求出圆心到直线的距离，根据直线与圆的位置关系可得的值. 【详解】 可化为，圆心，半径， 圆心到直线的距离， 则直线与圆相离， 故，，则. 故答案为： 28．（2026·内蒙古通辽部分学校·联考）已知直线，半径为的圆与相切，圆心在轴的正半轴上. （1）求圆的方程； （2）设过点的直线与圆交于两点（在轴上方），在轴正半轴上是否存在定点，使得轴平分？若存在，求的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】（1）     （2）存在，.      【分析】 （1）由已知可设圆心，根据直线与圆相切可列方程求得的值即可； （2）由题知直线的斜率不为，可设直线的方程为，联立圆的方程，结合韦达定理有① ，进一步由题意有，结合两式并化简即可得解. (1) 小问详解： 由已知可设圆心，则 解得或（舍） 所以圆； (2) 小问详解： 由题知直线的斜率不为，可设直线的方程为 ， 由 .化简得 显然成立， 所以① ， 若轴平分，则， 故，即， 整理得 将① 代入上式得，整理得对任意的恒成立，则. ∴存在点为时，使得轴平分. 29．（25-26学年高二上·内蒙古期中学·期中）已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆上运动，M是线段AB的中点， （1）求点M的轨迹方程； （2）记（1）中所求轨迹为曲线C，过定点的直线l与曲线C交于P，Q两点，曲线C的中心记为点C，求面积的最大值，并求此时直线l的方程． 【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）设点，根据题意得到，代入圆，即可求解； （2）根据题意，设直线，求得圆心到直线的距离为，得到，结合基本不等式，求得最小值，进而求得直线的方程. (1) 小问详解： 解：设点，由点的坐标为，且是线段的中点， 则 ，可得，即， 因为点在圆上运动，所以点点坐标满足圆的方程， 即，整理得， 所以点的轨迹方程为. (2) 小问详解： 解：过点定点的直线与曲线交于两点，则直线的斜率一定存在且不为， 设直线，即， 则圆心到直线的距离为， 又因为， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以时，取得最大值，此时，解得或， 所以取得最大值，此时直线的方程为或. 30．（25-26学年高二上·内蒙古期中学·期中）在平面直角坐标系中，圆的方程为，斜率为的直线过点且与圆相交于，两点.若，则所有满足条件的直线的斜率之积为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 由题结合，可得，圆心到直线的距离为，设直线的方程为，由点到直线距离公式并化简后可得，然后由韦达定理可得答案. 【详解】 如图，由题意得，圆心，半径， 由，且， ，即， 设圆心到直线的距离为，由垂径定理可得，即， 由题意知直线的方程为，即， 所以圆心到直线的距离， 化简整理得，则， 所以设方程的两根分别为，则. 故答案为：. 31．（25-26学年高二上·黑龙江龙东十校联·期中）已知直线，动直线被圆截得弦长的最小值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 先由圆的方程确定圆心和半径，由直线方程确定直线过定点；再利用直线与圆的位置关系判断过点且与垂直的弦的弦长最短；最后结合弦长公式即可求解. 【详解】 由圆可得：圆心，半径. 由直线可得：直线过定点. 因为 所以点在圆内，直线与圆相交， 则过点且与垂直的弦的弦长最短，且弦长的最小值为. 故答案为： 32．（2026·黑龙江牡丹江东宁第一中学·联考）已知圆. （1）若点是圆上的一点，求的取值范围； （2）过点的直线与圆交于两点，且，求直线的方程. 【答案】（1）     （2）或.      【分析】 （1）设，由直线与圆有公共点，借助直线与圆的位置关系求解即可； （2）利用圆的弦长公式求出，分类讨论利用点到直线的距离，求出直线的方程即可. (1) 小问详解： 由圆，可得圆心，半径为. 设，则直线与圆有公共点，所以， 解得，所以的取值范围是. (2) 小问详解： 由圆，可得圆心，半径为. 设点到直线的距离为， 因为，所以，解得， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 即， 所以点到直线的距离为， 解得，所以直线的方程为. 综上，直线的方程为或. 33．（25-26学年高二上·吉林联盟校考试·期中）已知圆：，圆：. （1）证明：圆与圆相交； （2）若圆与圆相交于A，B两点，求. 【答案】（1）证明：圆的标准方程为，圆心为，半径为2， 圆的标准方程为，圆心为，半径为， ∴圆和圆的圆心之间的距离为， 由，可知：圆和圆相交，得证.     （2）.      【分析】 （1）写出两圆的标准方程，进而确定圆心坐标、半径，判断圆心距离与两圆半径之间的关系即可证结论. （2）根据（1）的结论，将两圆方程做差求相交弦方程，再应用弦心距、半径与弦长关系求即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）结论，将圆与圆作差，得：直线AB的方程为， 圆的圆心到直线AB的距离为， ∴. 34．（2026·吉林吉林·调研）已知圆M经过点，，且_______． （1）求圆M的标准方程； （2）若直线与圆M相交于P，Q两点，求． 要求：从①过点，②圆心M在直线上这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并给出解答．如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1）     （2）4      【分析】 （1）选① ，设出圆的标准方程或一般方程，根据已知条件列方程，由此求得圆的标准方程.选② ，先求得线段垂直平分线的方程，通过联立方程组求得圆心的坐标，进而求得圆的半径，从而求得圆的标准方程. （2）利用点到直线的距离公式以及圆的弦长公式求得.或通过联立方程组的方法，求得两点的坐标，进而求得. (1) 小问详解： 选① （法一）: 设圆的标准方程为． 由题意可得 解得 圆的标准方程为． （法二）: 设圆的一般方程为． 由题意可得 解得 圆的一般方程为， 即圆的标准方程为． 选② （法一）: 由题意可得中点为， 线段的垂直平分线为，即． 圆心在直线上，联立 解得 即圆心． 圆的半径， 圆的标准方程为． （法二）: 设圆心，， 整理得圆心． 圆的标准方程为． (2) 小问详解： （法一） 由（1）知，圆心到直线的距离． 圆的半径，． （法二） 联立直线方程与圆的方程，解得 和 ， 所以，由两点间距离公式得． 35．（2026·黑龙江牡丹江东宁第一中学·联考）已知圆，圆的圆心在直线上，且过点． （1）求圆的标准方程； （2）已知第二象限内的点在圆上，过点作圆的切线恰好与圆相切，求的斜率； （3）判断是否存在斜率为1的直线与圆交于点P，Q，与圆交于点M，N，且，若存在，求出；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）     （2）     （3） 不存在斜率为1的直线与圆交于点P，Q，与圆交于点M，N，且，理由如下： 设的方程为， 由题意得，圆心到的距离，解得， 圆心到的距离，解得， 故， 由垂径定理得， 解得或，均不满足要求， 故不存在斜率为1的直线与圆交于点P，Q，与圆交于点M，N，且.      【分析】 （1）设出圆心，由得到方程，求出，得到圆心，进而求出半径，得到圆的标准方程； （2）设，则，设出切线方程，由到切线的距离为1得到方程，又，化简得到，解得，代入切线方程，化简得到，根据到的距离得到或，联立，求出，舍去不合要求的解，求出，故的斜率为； （3）设的方程为，由直线与两圆的位置关系得到不等式，求出，由垂径定理和，解得或，均不满足要求，故不存在斜率为1的直线与圆交于点P，Q，与圆交于点M，N，且. (1) 小问详解： 设圆的圆心为，由得 ，解得， 故圆心为，半径为， 故圆的标准方程为； (2) 小问详解： 设，则， 显然过点的切线斜率存在， 过点的切线方程设为， 圆心到切线的距离为1，即， 即， 又，故，即，解得， 故，即，即， 圆心到的距离为2，即， 故或，解得或， 若，联立，解得，与矛盾，舍去， 若，联立，解得或0（舍去）， 故，所以， 故的斜率为； (3) 小问详解： 略 【点睛】 过圆上一点的切线方程为：， 过圆外一点的切点弦方程为：. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $