专题02 空间向量的应用（期中真题汇编，黑吉蒙专用）高二数学上学期

专题02 空间向量的应用 1大高频考点概览 考点01 空间向量的应用 考点01 空间向量的应用 1．（25-26学年高二上·内蒙古自治区乌兰察布部分中学·期中）（多选）已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（       ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 2．（25-26学年高二上·内蒙古自治区赤峰·期中）已知平面的一个法向量为，是平面外一点，是平面内一点，则直线与平面所成角的正弦值为（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高二上·内蒙古期中学·期中）已知平面的一个法向量，点在平面内，若点到的距离为，则实数的值为（     ） A.  B.  C. 或 D. 或 4．（25-26学年高二上·内蒙古期中学·期中）（多选）在平面直角坐标系中，已知直线（不同时为0），到直线的距离为，为直线的法向量；推广，在空间直角坐标系中，已知平面（不同时为0），到平面的距离为，为平面的法向量.若平面，点，则（       ） A. 点 B. 若为原点，则 C. 点到平面的距离为 D. 若，则 5．（2026·黑龙江牡丹江东宁第一中学·联考）已知点在平面内，点在外，且的一个法向量，则点到平面的距离为（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高二上·吉林联盟校考试·期中）（多选）在正方体中，下列结论正确的有（       ） A. 是平面的一个法向量 B. 是平面的一个法向量 C.  D.  7．（25-26学年高二上·内蒙古赤峰喀喇沁旗锦山中学·期中）直三棱柱中，若，，则异面直线与所成的角等于 A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 8．（25-26学年高二上·内蒙古赤峰喀喇沁旗锦山中学·期中）空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面的方程为，经过的直线的方程为，则直线与平面所成角的余弦值为（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高二上·内蒙古鄂尔多斯·期中）在正三棱柱中，，点E是的中点，点F是上靠近点B的三等分点，则异面直线与所成角的余弦值是（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高二上·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知平面的一个法向量，是平面内一点，是平面外一点，则点到平面的距离是（       ） A.  B.  C.  D. 3 11．（25-26学年高二上·内蒙古自治区赤峰·期中）在直三棱柱中，为的重心，则点到平面ACD的距离为（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年高二上·内蒙古期中学·期中）在正方体中，E为的中点，则直线与所成角的正弦值为（     ） A. 1 B.  C.  D.  13．（25-26学年高二上·内蒙古期中学·期中）正四面体中，直线与平面所成角的余弦值为（     ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年高二上·内蒙古期中学·期中）已知空间三点，，，则点P到直线的距离是（     ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年高二上·内蒙古期中学·期中）（多选）如图，将正方形沿对角线折成直二面角，则下列四个结论中正确的是（       ） A.  B. 是等边三角形 C. 与所成的角为 D. 与平面所成的角为 16．（25-26学年高二上·黑龙江鸡西·期中）如图，在直三棱柱中，，，点为的中点，则异面直线与所成的角为（     ） A.  B.  C.  D.  17．（2026·内蒙古通辽部分学校·联考）已知正方体的棱长为1，下列四个结论中错误的是（     ） A. 直线与直线所成的角为 B. 直线与平面所成角的余弦值为 C. 平面 D. 点到平面的距离为 18．（25-26学年高二上·内蒙古期中学·期中）（多选）在棱长为1的正方体中，O为上底面的中心，则（     ） A. 平面 B.  C. 直线与的距离为 D. 直线与平面所成角的正弦值为 19．（2026·黑龙江牡丹江东宁第一中学·联考）（多选）如图，多面体是各棱长均为1的平行六面体截去三棱锥后剩下的几何体，若点是三角形的重心，，则下列说法正确的是（       ） A.  B. 异面直线所成角的余弦值为 C.  D. 若四点共面，则点是线段的中点 20．（25-26学年高二上·吉林联盟校考试·期中）如图所示，平面，底面是边长为1的正方形，点是上一点，且． （1）建立适当的坐标系并求点的坐标； （2）求证：． 21．（25-26学年高二上·吉林地区普通高中友好学校·期中）如图，在三棱锥中，，，为的中点．    （1）证明：平面ABC； （2）若点在线段BC上（异于点，），平面与平面的夹角为，求的值． 22．（25-26学年高二上·内蒙古期中学·期中）如图，正四棱锥每一个侧面都是边长为4的正三角形，为的中点，为底面的中心，则异面直线与所成角为　　　　　　　　　　. 23．（25-26学年高二上·吉林联盟校考试·期中）已知直线过点，它的一个方向向量为，则点到直线的距离为　　　　　　． 24．（25-26学年高二上·内蒙古赤峰喀喇沁旗锦山中学·期中）（多选）如图，在四棱台中，底面ABCD是正方形，，平面 （1）证明：平面 （2）求直线与平面所成角的正弦值. （3）棱BC上是否存在一点P，使得二面角的余弦值为若存在，求线段BP的长;若不存在，请说明理由. 25．（25-26学年高二上·内蒙古鄂尔多斯·期中）如图，三棱锥中，平面平面，是等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，，分别是，的中点，是上一点（不含端点）． （1）证明：平面； （2）若三棱锥的所有顶点都在球的球面上，且球的表面积为． （ⅰ）求三棱锥的体积； （ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 26．（25-26学年高二上·内蒙古自治区赤峰·期中）如图，在几何体中，，，，，，平面，则异面直线与所成角的余弦值为　　　　　　　　　　． 27．（25-26学年高二上·内蒙古期中学·期中）如图，在四棱锥中. 平面，，，. （1）求证：平面平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值. 28．（25-26学年高二上·黑龙江鸡西·期中）如图，在四棱锥中，底面是菱形，是等边三角形，且平面平面，点为棱的中点. （1）求证：； （2）若，求平面与平面的夹角的余弦值. 29．（2026·内蒙古通辽部分学校·联考）在长方体中，，分别是棱的中点，M是平面ABCD内一动点，若直线与平面EFG平行，则的最小值为　　　　　　. 30．（2026·内蒙古通辽部分学校·联考）如图所示，正四棱锥中，点是棱的中点．    （1）证明：平面； （2）已知异面直线与所成角的余弦值为， （i）求二面角的正弦值； （ii）在线段上是否存在点，使平面．若存在，求的值；若不存在，说明理由． 31．（25-26学年高二上·吉林地区普通高中友好学校·期中）如图所示，在直三棱柱中，分别为棱，的中点. （1）证明：平面平面； （2）求二面角的正弦值. 32．（25-26学年高二上·内蒙古期中学·期中）已知四棱柱的各棱长均为2，，，，.且三棱锥的体积为1，二面角的余弦值为. （1）证明：； （2）求的值及直线与平面所成的角的正弦值. 33．（2026·黑龙江牡丹江东宁第一中学·联考）如图所示的几何体是圆锥的一部分，其中是圆锥的高，是圆锥底面的一条直径，，，是的中点． （1）求直线与所成角的余弦值； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 34．（25-26学年高二上·吉林联盟校考试·期中）如图，在四棱锥中，底面四边形为直角梯形，，，，为的中点，，. （1）证明: 平面； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 35．（2026·吉林吉林·调研）如图，在四棱锥中，侧棱平面，，，，，点是的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 36．（2026·吉林吉林·调研）如图，在三棱柱中，平面平面为中点，，，． （1）求证：平面； （2）在线段上是否存在一点，使点到平面的距离为？若存在，请求出四面体FABC的体积；若不存在，请说明理由． 37．（25-26学年高二上·内蒙古鄂尔多斯·期中）如图，平面平面，四边形是正方形，． （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 38．（25-26学年高二上·内蒙古自治区赤峰·期中）如图，在圆台中，，分别为上、下底面圆的直径，，分别为上、下底面圆的圆心，，，，分别为上、下底面圆周上的动点，其中异于，，在下底面的射影为点. （1）设. （ⅰ）证明：. （ⅱ）求四棱锥的体积. （2）求二面角的正弦值的最小值. 39．（25-26学年高二上·内蒙古自治区乌兰察布部分中学·期中）如图，三棱锥中，面.    （1）求三棱锥的体积； （2）证明：； （3）求与平面所成角的正弦值. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 空间向量的应用 考点01 空间向量的应用 考点01 空间向量的应用 1．BCD 2．B 3．C 4．AD 5．B 6．ABD 7．C 8．D 9．B 10．C 11．A 12．B 13．B 14．C 15．ABC 16．B 17．D 18．ACD 19．BCD 20．【答案】（1）以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，      （2） 由（1）易得， 因，故.      【分析】 （1）由条件建系，求出相关点的坐标，利用进行向量的坐标运算，即可求得点的坐标； （2）求出的坐标，利用向量垂直的坐标公式证明即可. (1) 小问详解： 因平面，底面是边长为1的正方形，则两两互相垂直， 故可以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 如图，易得，，，. 设，则， 由代入坐标，可得， 解得，故点的坐标为. (2) 小问详解： 略 21．【答案】（1）连接， 因为，，所以， 由勾股定理逆定理得， 故， 因为，所以为等边三角形， 又为的中点， 所以⊥，且， 因为，所以， 由勾股定理逆定理得⊥， 因为，平面， 所以⊥平面；     （2）      【分析】 （1）作出辅助线，求出各边长，由勾股定理逆定理得到⊥，结合⊥，得到线面垂直； （2）建立空间直角坐标系，设，，求出平面的法向量，利用面面角的余弦值得到方程，求出，得到. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因为，为的中点， 所以⊥， 由（1）可知，两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，设，， 故， 设平面的法向量为， 则 ， 令，则，，故 平面的法向量为，    所以， 因为平面与平面的夹角为， 故，解得，负值舍去， 故. 22．【答案】 【分析】 取的中点，分别连接，求得为等边三角形，得到，进而求得异面直线与所成角. 【详解】 如图所示，取的中点，分别连接， 因为为正方形中心，可得， 又因为为的中点，可得且， 因为为的中点，可得， 所以为等边三角形，所以, 又因为，所以异面直线与所成角，即为直线与所成角， 所以异面直线与所成角为. 故答案为：. 23．【答案】 【分析】 借助空间向量中点到直线的距离公式计算即可得. 【详解】 ，则有， 即点到直线的距离为 故答案为：. 24．【答案】（1）证明：因为底面ABCD是正方形，所以 又因为平面ABCD，平面ABCD，所以 因为，且，平面， 所以平面     （2）     （3）存在，      【分析】 （1）由线面垂直得到，结合证明出结论； （2）证明出AB，AD，两两垂直，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的空间向量公式进行求解即可. （3）设点，其中，求出两平面的法向量，列出方程，求出，得到答案. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因为平面，平面， 所以，， 又底面ABCD是正方形，，故AB，AD，两两垂直， 以AB，AD，所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，， 设平面的法向量为， 则 ，解得，令，则， 故 设直线与平面所成的角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为 (3) 小问详解： 若存在点P满足题意，则可设点，其中， 则， 设平面的法向量为， 则 ， 令，则，故 易得平面的一个法向量为， 所以，解得或舍去， 故棱BC上存在一点P，当时，二面角的余弦值为 25．【答案】（1） 因为，分别是，的中点，所以． 因为平面平面，所以平面．     （2）（ⅰ）；（ⅱ）      【分析】 （1）要证明线面平行，可通过证明线线平行即可证明线面平行，即证明. （2）（i）先根据已知条件确定球的球心位置，然后根据球的表面积求出球的半径，最后可求出三棱锥的体积.（ii）先建立空间直角坐标系，然后利用向量的坐标、向量夹角的余弦公式即可求出线面角的正弦值的最大值. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： （ⅰ）如图，连接． 因为是以为斜边的等腰直角三角形，为中点， 所以点是外接圆的圆心． 因为是等边三角形，是中点，所以外接圆的圆心在上． 又平面平面，所以球的球心即为外接圆的圆心． 因为球的表面积，所以球的半径， 所以，，， 所以三棱锥的体积． （ⅱ）如图，以为原点，直线，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设，则． 设平面的一个法向量为， 则 ，令，得， 设直线与平面所成角为， 则. 令，则， 当时，， 当且仅当，即时取等号． 综上所述，直线与平面所成角的正弦值的最大值为． 26．【答案】 【分析】 建立空间直角坐标系，求出向量坐标，进而利用向量夹角的余弦公式求解． 【详解】 平面，平面，， 又，两两垂直， 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， ，，， 则， ， ， 异面直线与所成角的余弦值为． 故答案为：． 27．【答案】（1） 在中，，，， 因为，所以. 又底面，平面，所以， 平面，，所以平面. 又平面，所以平面平面.     （2）      【分析】 （1）先证平面，再根据线面垂直证明面面垂直. （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的三角函数值. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）可知两两垂直，所以可以为原点，建立如图空间直角坐标系， 则，，，. 则，. 设平面的法向量为， 则 ，取，可得. 再取平面的法向量为. 设平面与平面所成的夹角为， 则. 28．【答案】（1）证明：如图，取中点，连接，， 因为是中点，所以， 是菱形，则，所以， 又是等边三角形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又因为平面，所以， 因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以；      （2）．      【分析】 （1）取中点，证明，证明平面，由此得，从而再证得平面，最后得证结论成立； （2）以为原点，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，确定各点坐标，分别求出平面与平面的一个法向量，由法向量夹角的余弦值得二面角的余弦值． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ，则和都是等边三角形， 连接，则，， 以为原点，为轴建立空间直角坐标系，如图， 设，则，， 因此有，，，，， 是中点，则， ，，，， 设平面的一个法向量是，则 ，取得， 易知平面的一个法向量是，则 ，取，则， ， 所以平面与平面的夹角的余弦值为． 29．【答案】 【分析】 建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再根据空间数量积公式结合二次函数计算求出最值. 【详解】 如图，分别以方向为轴建立空间直角坐标系可得： ， ， 设平面的法向量，则 ，得 ， 令，即. 由于直线与平面平行，则，得：， 即：. ， ， 可知，由于，当时，取得最小值，最小值为. 故答案为：. 30．【答案】（1） 连接，，连接，    因为是中点，点是棱的中点， 则， 因为平面，平面，所以平面．     （2）（i）； （ii）存在，，理由如下： 设线段上存在点，且， 因为， 设，， 因为 ， 又因为， 所以， 所以 所以 ， 当 时， 平面，所以平面， 所以当时，平面；      【分析】 （1）根据中位线得出，从而可得平面； （2）设，根据向量法结合异面直线与所成角的余弦值为得出，进而求所成角的余弦值，最后应用同角三角函数关系计算求解； （3）假设存在点F，设，使平面，计算得出. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： （i）    因为平面，，所以两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设， 则， 所以，又异面直线与所成角的余弦值为， 所以， 解得，故， 所以， 设平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则 ，得 ，取，得． 设二面角的平面角为，观察图形可知为锐角， 所以，； （ii）略 31．【答案】（1） 如图以为坐标原点，、、分为、、轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，，，，， 设平面的法向量为，则 ，即 ，令则， 设平面的法向量为，则 ，即 ，令则， 因为，所以， 所以平面平面.      （2）      【分析】 （1）（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）知平面的法向量为， 显然平面的法向量可以为， 所以， 所以，所以二面角的正弦值为. 32．【答案】（1） 取中点，连接，， ，， 为正三角形. ，又，， ，平面，， 平面， 平面，；      （2），      【分析】 （1）取中点，连接、，由题设求证平面即可求证； （2）求证，以为坐标原点建立空间直角坐标系，分别求出两平面和平面的一个法向量，由二面角的向量法公式结合题设求出参数，再求出与平面的一个法向量即可由线面角的向量法公式计算求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 在四棱柱中，点在棱上， ，平面，平面， 平面，由（1）可知平面， ， ，即，，， 故可以为坐标原点，、、为一组正交基底建立空间直角坐标系， 则，，，，， ，， ，， ，， 设平面的一个法向量为， 则 ，令，则， 又平面的一个法向量为， 由二面角的余弦值为得， 即，或， 因为，所以. ，平面的一个法向量为， 设直线与平面所成的角为， 则， 直线与平面所成的角的正弦值为. 33．【答案】（1）     （2）．      【分析】 （1）以O为原点，建立空间直角坐标系，设直线与所成的角为，计算，,通过计算即可； （2）由（1）得，设直线与平面所成的角为，计算平面法向量，则通过计算即可. (1) 小问详解： 以为原点，的方向分别作为轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，． 设直线与所成的角为， 则， 即直线与所成角的余弦值是． (2) 小问详解： 由（1）知，，， 设平面的法向量为，则 取，得，所以平面的一个法向量． 设直线与平面所成的角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为． 34．【答案】（1）证明如下： 连接，，则， 在中，因为，则， 因为，，所以，， 所以，则， 又，、平面，所以平面      （2）      【分析】 （1）连接，可通过证明，，得平面； （2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量，通过向量的夹角公式可得答案. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：因为，为的中点，则，又平面， 以为原点，以、、方向为、、轴正方向建立空间直角坐标系， 则、、、、， 所以，，，， ，，， ， 设平面法向量为，则 ，令，即， 设平面法向量为，则 令，即， 设平面与平面所成锐二面角的平面角为， 所以． 35．【答案】（1）证明见解析     （2）．      【分析】 （1）取中点，连接．先证，再利用线面平行的判定定理，即可证得平面； （2）先证得两两垂直，以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的法向量，结合向量的夹角公式，即可求解. (1) 小问详解： 证明：取中点，连接． 分别为中点，，且． ，且，． 四边形为平行四边形，． 平面平面， 平面． (2) 小问详解： ，，． 又平面，，． 以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则， 依题意，是平面的一个法向量， ， 设平面的一个法向量为，则． 则 取，则， 平面的一个法向量为． 设平面与平面的夹角为，则 ， 即平面与平面夹角的余弦值为． 36．【答案】（1）证明见解析     （2）存在，      【分析】 （1）根据线面垂直的判定定理证明线面垂直. （2）以不同的方法建立空间直角坐标系，利用空间向量先确定点的位置，利用空间向量求点到平面的距离，再利用锥体的体积公式求锥体体积. (1) 小问详解： 取中点，连接，如图： ，． 又平面平面，平面平面平面， 平面． 又平面． 又与相交，且平面， 平面． (2) 小问详解： （法一）线段上存在点，使点到平面的距离为．取中点，连接． 由（1）知，平面平面． 又分别为中点，． 平面，．． 以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系． ，，，，， ，，． 设． 设平面的一个法向量为，则． 则 ，取，则 ． 设点到平面的距离， ，又． 即线段上存在点，当时，点到平面的距离为． ．点到平面的距离为 点到平面的距离为． 四面体的体积为． （法二）平面，而平面 ，，取的中点，中点． 又易知，四边形是平行四边形，． 又由（1）知，平面，则平面． 以为原点，所在直线分别为轴、轴，轴，如图建系． 则，，，， ，，， ，，． 设， ． 设平面的一个法向量为，则． 则 ，取，则． 设点到平面的距离， 即线段上存在点，当时，点到平面的距离为． 四面体的体积为． （法三）解题思路： 设点到平面的距离为， 利用等积法可求得，又，则，， 以下思路同法一． 37．【答案】（1）证明：因为，平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又平面， 所以．因为四边形是正方形， 所以，又，平面， 所以平面，又平面， 所以；     （2）      【分析】 （1）证明平面，证明，证明平面，证明； （2）证明平面，证明，证明，以所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，根据向量法即可求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）知平面， 又平面，所以， 又四边形是正方形，所以， 所以两两垂直． 以所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则， 所以， 设平面的法向量为， 则 令，得， 所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则 ， 令，得，， 所以平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则， 即平面与平面的夹角的余弦值为． 38．【答案】（1）（ⅰ）因为在下底面的射影为点，所以. 又，所以. 连接.因为上底面圆的直径为2，所以， 所以，则，即. 因为平面，平面，所以. 又，所以平面. 因为平面，所以. （ⅱ）4     （2）      【分析】 （1）（ⅰ）由投影的性质得，垂直于底面，所以，且，又，在中，利用勾股定理，求得；在中，，证得，在根据线面垂直的判定定理，证得平面，最终得到.（ⅱ）根据长度关系：，，，，所以，，三点共线，于点，为直径，所以于点，所以四边形的面积，四棱锥的体积，计算即可得出体积. （2）利用空间向量的方法，建立空间直角坐标系；由题意得：点在以为圆心，半径的圆上，根据三角函数的定义，假设，，，分别计算平面和平面的法向量，最终计算得出二面角正弦值的最小值. (1) 小问详解： （ⅰ）略 （ⅱ）连接.因为，，，所以，，三点共线. 又，所以四边形的面积， 则四棱锥的体积. (2) 小问详解： 以为坐标原点，，所在的直线分别为，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系.设，， 则，，， ， 设平面的法向量为， 则由 可得 令，得. 由图可知，平面的一个法向量为. . 设二面角的大小为， 则. 因为，所以， 则，则二面角的正弦值的最小值为. 39．【答案】（1）     （2） ， 故， 面平面， 平面.     （3）.      【分析】 （1）根据三棱锥的体积公式即可求出； （2）根据线面可证线线垂直； （3）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和直线的方向向量，利用向量的夹角公式，求解可得. (1) 小问详解： . (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 以为原点，如图建立空间直角坐标系， ， ， 设平面的法向量为， ，令，则， ， ， ∴直线与平面所成角的正弦值为. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 空间向量的应用 1大高频考点概览 考点01 空间向量的应用 考点01 空间向量的应用 1．（25-26学年高二上·内蒙古自治区乌兰察布部分中学·期中）（多选）已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（       ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【分析】 利用空间中线面和面面的位置关系逐项判断即可. 【详解】 对于A，线与平面平行，直线并不与平面内的每一条直线平行，A错误： 对于B，若直线与平面垂直，则直线与平面内的每一条直线都垂直，B正确； 对于C，由线面平行性质定理可知，C选项正确； 对于D，结合正方形模型及线面垂直定义可知D选项正确. 故选：BCD. 2．（25-26学年高二上·内蒙古自治区赤峰·期中）已知平面的一个法向量为，是平面外一点，是平面内一点，则直线与平面所成角的正弦值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用直线与平面所成角的向量公式即可求解. 【详解】 由题可得.因为平面的一个法向量为， 所以所求角的正弦值为. 故选：B 3．（25-26学年高二上·内蒙古期中学·期中）已知平面的一个法向量，点在平面内，若点到的距离为，则实数的值为（     ） A.  B.  C. 或 D. 或 【答案】C 【分析】 根据题意，求得，结合点到平面的距离公式，列出方程，即可求解. 【详解】 由点，，可得， 因为平面的一个法向量，且到平面的距离为， 可得，解得或. 故选：C. 4．（25-26学年高二上·内蒙古期中学·期中）（多选）在平面直角坐标系中，已知直线（不同时为0），到直线的距离为，为直线的法向量；推广，在空间直角坐标系中，已知平面（不同时为0），到平面的距离为，为平面的法向量.若平面，点，则（       ） A. 点 B. 若为原点，则 C. 点到平面的距离为 D. 若，则 【答案】AD 【分析】 把代入平面方程计算可判断A；求得平面法向量，可得与不共线判断B；利用点平面的距离公式求得点到平面的距离判断C；求得判断D. 【详解】 对于A，因为，所以点，故A正确； 对于B，由平面，可得平面的法向量为， 又，，所以，又， 所以与不共线，故不垂直于平面，故B错误； 对于C，由点到平面的距离公式可得点到平面的距离，故C错误； 对于D，由，，所以， 所以，所以， 又，所以，所以，故D正确. 故选：AD. 5．（2026·黑龙江牡丹江东宁第一中学·联考）已知点在平面内，点在外，且的一个法向量，则点到平面的距离为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由点到平面的距离的向量法公式直接计算求解即可. 【详解】 由点,得, 所以点到平面的距离为. 故选：B. 6．（25-26学年高二上·吉林联盟校考试·期中）（多选）在正方体中，下列结论正确的有（       ） A. 是平面的一个法向量 B. 是平面的一个法向量 C.  D.  【答案】ABD 【分析】 根据正方体的结构特征及线面位置关系求解即可. 【详解】 如图， 由正方体中的线面位置关系，可知平面，平面， 平面，所以ABD正确， 因为与所成的角为60°，所以C不正确， 故选：ABD 7．（25-26学年高二上·内蒙古赤峰喀喇沁旗锦山中学·期中）直三棱柱中，若，，则异面直线与所成的角等于 A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 【答案】C 【详解】本试题主要考查异面直线所成的角问题，考查空间想象与计算能力．延长B1A1到E，使A1E=A1B1，连结AE，EC1，则AE∥A1B，∠EAC1或其补角即为所求，由已知条件可得△AEC1为正三角形，∴∠EC1B为，故选C． 8．（25-26学年高二上·内蒙古赤峰喀喇沁旗锦山中学·期中）空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面的方程为，经过的直线的方程为，则直线与平面所成角的余弦值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据题设给出的材料可得平面的法向量和直线的方向向量，利用空间向量求线面夹角. 【详解】 因为平面的方程为，故其法向量为， 且直线的方程为，故其方向向量为， 设直线与平面所成角为， 则， 可得，所以直线与平面所成角的余弦值为. 故选：D. 9．（25-26学年高二上·内蒙古鄂尔多斯·期中）在正三棱柱中，，点E是的中点，点F是上靠近点B的三等分点，则异面直线与所成角的余弦值是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由题意，建立空间直角坐标系，根据向量数乘的坐标公式，求得点的坐标，写出直线的方向向量，结合向量夹角公式，可得答案. 【详解】 取的中点O，的中点，易知，，两两垂直， 以点O为坐标原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，不妨设，则， 所以，，，，， 则的中点， 由点F是上靠近点B的三等分点，则，设， 故，所以 解得,， 故，， 因为， 所以异面直线与所成角的余弦值是. 故选：B. 10．（25-26学年高二上·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知平面的一个法向量，是平面内一点，是平面外一点，则点到平面的距离是（       ） A.  B.  C.  D. 3 【答案】C 【分析】 根据空间向量点到面的距离公式直接进行求解即可. 【详解】 因为，，则， 点在平面内，点平面外， 平面的一个法向量， 所以点到平面的距离. 故选：C. 11．（25-26学年高二上·内蒙古自治区赤峰·期中）在直三棱柱中，为的重心，则点到平面ACD的距离为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 先建立空间直角坐标系，然后列出每个点的坐标，求出平面的法向量的坐标，进而根据向量的数量积进行求解即可. 【详解】 取的中点的中点，连接. 因为，所以，且. 以为坐标原点，以所在直线建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 所以，. 设平面的法向量为，则， 令，得，所以点到平面的距离为. 故选：A. 12．（25-26学年高二上·内蒙古期中学·期中）在正方体中，E为的中点，则直线与所成角的正弦值为（     ） A. 1 B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 作出直线与所成的角，解三角形求解即可. 【详解】 如图：    连接，根据正方体的性质，，所以即为异面直线与所成的角. 在中，不妨设，则，,, 因为，所以为直角三角形，所以. 故选：B 13．（25-26学年高二上·内蒙古期中学·期中）正四面体中，直线与平面所成角的余弦值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 通过作图推理得到直线与平面所成的角，解三角形求其余弦即可. 【详解】 如图，取中点，在线段上取点，使得，连接. 因为为正四面体，所以为正的重心，且平面， 所以即为直线与平面所成的角. 不妨设，则在中，，，， 所以. 故选：B 14．（25-26学年高二上·内蒙古期中学·期中）已知空间三点，，，则点P到直线的距离是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 先求，，再根据点到直线的距离计算可得. 【详解】 因为，，， 所以，, 则，，， 所以点到直线的距离. 故选：C 15．（25-26学年高二上·内蒙古期中学·期中）（多选）如图，将正方形沿对角线折成直二面角，则下列四个结论中正确的是（       ） A.  B. 是等边三角形 C. 与所成的角为 D. 与平面所成的角为 【答案】ABC 【分析】 对于A，根据等腰三角形的三线合一及线面垂直的判定定理，再利用线面垂直的性质定理即可求解； 对于B，根据直角三角形斜边的中线定理及面面垂直的性质定理，再利用线面垂直的性质定理及勾股定理即可求； 对于C,根据直角三角形斜边的中线定理及三角形的中位线定理，再结合异面直线所成角的定义即可求解； 对于D，根据B选项及线面角的定义，结合等腰直线三角形即可求解. 【详解】 如图所示 对于A，取的中点，连接，折叠后是等腰直角三角形， ，，又, 所以平面，平面，所以，故A项正确； 对于B，设折叠前正方形的边长为，则，， 由平面平面，因为是的中点，是等腰直角三角形， 所以，又平面平面，平面， 所以平面,平面，所以, 所以， 所以是等边三角形，故B项正确； 对于C，设折叠前正方形的边长为，则取的中点的中点，连接，， 所以 所以是直线与所成的角（或补角）， 在中，，所以是等边三角形，所以， 所以与所成的角为，故C项正确； 对于D，由B 选项知，平面,是直线在平面内的射影， 所以是直线与平面所成的角， 因为是的中点，是等腰直角三角形， 所以，，所以是等腰直角三角形；即， 所以与平面所成的角为，故项错误. 故选：ABC. 16．（25-26学年高二上·黑龙江鸡西·期中）如图，在直三棱柱中，，，点为的中点，则异面直线与所成的角为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 建立空间直角坐标系，利用异面直线所成角的向量法求解即可. 【详解】    因为， 所以， 因为三棱柱为直三棱柱， 所以以为原点，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 所以， ， 设直线与所成的角为， 所以， 因为， 所以. 故选：. 17．（2026·内蒙古通辽部分学校·联考）已知正方体的棱长为1，下列四个结论中错误的是（     ） A. 直线与直线所成的角为 B. 直线与平面所成角的余弦值为 C. 平面 D. 点到平面的距离为 【答案】D 【分析】 以正方体的棱建立空间直角坐标系，然后得到点的坐标，由向量与向量数量积为0得到线线垂直判断A；求出平面的法向量，由求出线面角的正弦值，然后得到线面角的余弦值判断B；由法向量与相等，证明平面可判断C；由点到平面距离的向量法可求得点到平面的距离可判断D. 【详解】 在正方体中，， 以为原点，分别为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以，所以， 所以，所以直线与直线所成的角为，故A正确； 又， 设平面的一个法向量为， 则 ，令，则， 所以平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则， 所以， 所以直线与平面所成角的余弦值为，故B正确； 因为，所以平面，故C正确； 点到平面的距离为，故D错误. 故选：D. 18．（25-26学年高二上·内蒙古期中学·期中）（多选）在棱长为1的正方体中，O为上底面的中心，则（     ） A. 平面 B.  C. 直线与的距离为 D. 直线与平面所成角的正弦值为 【答案】ACD 【分析】 建立空间直角坐标系，根据向量法判断线面平行、线线垂直判断A，B，运用异面直线向量距离公式求解判断C，根据向量法求解线面角判断D. 【详解】 如图，建立空间直角坐标系， 则， 所以，， 设平面的法向量为， 则 ，令，可得， 所以，即， 又因为平面，所以平面，故A正确； ，平面的法向量， 设直线BC与平面所成角为， 则， 所以直线BC与平面所成角的正弦值为，故D正确； ，， 则， 所以不成立，故B错误； 因为，设，， 则 ，令，则， 又因为，所以直线与的距离为，故C正确. 故选：ACD 19．（2026·黑龙江牡丹江东宁第一中学·联考）（多选）如图，多面体是各棱长均为1的平行六面体截去三棱锥后剩下的几何体，若点是三角形的重心，，则下列说法正确的是（       ） A.  B. 异面直线所成角的余弦值为 C.  D. 若四点共面，则点是线段的中点 【答案】BCD 【分析】 用基底表示，再结合数量积计算即可求解判断A；由基底法和向量夹角余弦公式计算，再结合异面直线所成角定义即可求解判断B；由基底法计算即可判断C；用基底表示，由共面定理求出即可得解. 【详解】 因为， 所以， 取FC中点为M，因为点是三角形的重心， 所以， 所以 ， 所以， 所以 ，所以，故A错误； 因为，所以异面直线所成角即为所成角， 因为， 所以， 所以所成角即异面直线所成角的余弦值为，故B正确； 因为 ， 所以，即，故C正确； ， 因为四点共面，所以， 所以，所以点是线段的中点，故D正确. 故选：BCD 20．（25-26学年高二上·吉林联盟校考试·期中）如图所示，平面，底面是边长为1的正方形，点是上一点，且． （1）建立适当的坐标系并求点的坐标； （2）求证：． 【答案】（1）以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，      （2） 由（1）易得， 因，故.      【分析】 （1）由条件建系，求出相关点的坐标，利用进行向量的坐标运算，即可求得点的坐标； （2）求出的坐标，利用向量垂直的坐标公式证明即可. (1) 小问详解： 因平面，底面是边长为1的正方形，则两两互相垂直， 故可以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 如图，易得，，，. 设，则， 由代入坐标，可得， 解得，故点的坐标为. (2) 小问详解： 略 21．（25-26学年高二上·吉林地区普通高中友好学校·期中）如图，在三棱锥中，，，为的中点．    （1）证明：平面ABC； （2）若点在线段BC上（异于点，），平面与平面的夹角为，求的值． 【答案】（1）连接， 因为，，所以， 由勾股定理逆定理得， 故， 因为，所以为等边三角形， 又为的中点， 所以⊥，且， 因为，所以， 由勾股定理逆定理得⊥， 因为，平面， 所以⊥平面；     （2）      【分析】 （1）作出辅助线，求出各边长，由勾股定理逆定理得到⊥，结合⊥，得到线面垂直； （2）建立空间直角坐标系，设，，求出平面的法向量，利用面面角的余弦值得到方程，求出，得到. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因为，为的中点， 所以⊥， 由（1）可知，两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，设，， 故， 设平面的法向量为， 则 ， 令，则，，故 平面的法向量为，    所以， 因为平面与平面的夹角为， 故，解得，负值舍去， 故. 22．（25-26学年高二上·内蒙古期中学·期中）如图，正四棱锥每一个侧面都是边长为4的正三角形，为的中点，为底面的中心，则异面直线与所成角为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 取的中点，分别连接，求得为等边三角形，得到，进而求得异面直线与所成角. 【详解】 如图所示，取的中点，分别连接， 因为为正方形中心，可得， 又因为为的中点，可得且， 因为为的中点，可得， 所以为等边三角形，所以, 又因为，所以异面直线与所成角，即为直线与所成角， 所以异面直线与所成角为. 故答案为：. 23．（25-26学年高二上·吉林联盟校考试·期中）已知直线过点，它的一个方向向量为，则点到直线的距离为　　　　　　． 【答案】 【分析】 借助空间向量中点到直线的距离公式计算即可得. 【详解】 ，则有， 即点到直线的距离为 故答案为：. 24．（25-26学年高二上·内蒙古赤峰喀喇沁旗锦山中学·期中）（多选）如图，在四棱台中，底面ABCD是正方形，，平面 （1）证明：平面 （2）求直线与平面所成角的正弦值. （3）棱BC上是否存在一点P，使得二面角的余弦值为若存在，求线段BP的长;若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明：因为底面ABCD是正方形，所以 又因为平面ABCD，平面ABCD，所以 因为，且，平面， 所以平面     （2）     （3）存在，      【分析】 （1）由线面垂直得到，结合证明出结论； （2）证明出AB，AD，两两垂直，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的空间向量公式进行求解即可. （3）设点，其中，求出两平面的法向量，列出方程，求出，得到答案. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因为平面，平面， 所以，， 又底面ABCD是正方形，，故AB，AD，两两垂直， 以AB，AD，所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，， 设平面的法向量为， 则 ，解得，令，则， 故 设直线与平面所成的角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为 (3) 小问详解： 若存在点P满足题意，则可设点，其中， 则， 设平面的法向量为， 则 ， 令，则，故 易得平面的一个法向量为， 所以，解得或舍去， 故棱BC上存在一点P，当时，二面角的余弦值为 25．（25-26学年高二上·内蒙古鄂尔多斯·期中）如图，三棱锥中，平面平面，是等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，，分别是，的中点，是上一点（不含端点）． （1）证明：平面； （2）若三棱锥的所有顶点都在球的球面上，且球的表面积为． （ⅰ）求三棱锥的体积； （ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 【答案】（1） 因为，分别是，的中点，所以． 因为平面平面，所以平面．     （2）（ⅰ）；（ⅱ）      【分析】 （1）要证明线面平行，可通过证明线线平行即可证明线面平行，即证明. （2）（i）先根据已知条件确定球的球心位置，然后根据球的表面积求出球的半径，最后可求出三棱锥的体积.（ii）先建立空间直角坐标系，然后利用向量的坐标、向量夹角的余弦公式即可求出线面角的正弦值的最大值. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： （ⅰ）如图，连接． 因为是以为斜边的等腰直角三角形，为中点， 所以点是外接圆的圆心． 因为是等边三角形，是中点，所以外接圆的圆心在上． 又平面平面，所以球的球心即为外接圆的圆心． 因为球的表面积，所以球的半径， 所以，，， 所以三棱锥的体积． （ⅱ）如图，以为原点，直线，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设，则． 设平面的一个法向量为， 则 ，令，得， 设直线与平面所成角为， 则. 令，则， 当时，， 当且仅当，即时取等号． 综上所述，直线与平面所成角的正弦值的最大值为． 26．（25-26学年高二上·内蒙古自治区赤峰·期中）如图，在几何体中，，，，，，平面，则异面直线与所成角的余弦值为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 建立空间直角坐标系，求出向量坐标，进而利用向量夹角的余弦公式求解． 【详解】 平面，平面，， 又，两两垂直， 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， ，，， 则， ， ， 异面直线与所成角的余弦值为． 故答案为：． 27．（25-26学年高二上·内蒙古期中学·期中）如图，在四棱锥中. 平面，，，. （1）求证：平面平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 在中，，，， 因为，所以. 又底面，平面，所以， 平面，，所以平面. 又平面，所以平面平面.     （2）      【分析】 （1）先证平面，再根据线面垂直证明面面垂直. （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的三角函数值. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）可知两两垂直，所以可以为原点，建立如图空间直角坐标系， 则，，，. 则，. 设平面的法向量为， 则 ，取，可得. 再取平面的法向量为. 设平面与平面所成的夹角为， 则. 28．（25-26学年高二上·黑龙江鸡西·期中）如图，在四棱锥中，底面是菱形，是等边三角形，且平面平面，点为棱的中点. （1）求证：； （2）若，求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明：如图，取中点，连接，， 因为是中点，所以， 是菱形，则，所以， 又是等边三角形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又因为平面，所以， 因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以；      （2）．      【分析】 （1）取中点，证明，证明平面，由此得，从而再证得平面，最后得证结论成立； （2）以为原点，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，确定各点坐标，分别求出平面与平面的一个法向量，由法向量夹角的余弦值得二面角的余弦值． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ，则和都是等边三角形， 连接，则，， 以为原点，为轴建立空间直角坐标系，如图， 设，则，， 因此有，，，，， 是中点，则， ，，，， 设平面的一个法向量是，则 ，取得， 易知平面的一个法向量是，则 ，取，则， ， 所以平面与平面的夹角的余弦值为． 29．（2026·内蒙古通辽部分学校·联考）在长方体中，，分别是棱的中点，M是平面ABCD内一动点，若直线与平面EFG平行，则的最小值为　　　　　　. 【答案】 【分析】 建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再根据空间数量积公式结合二次函数计算求出最值. 【详解】 如图，分别以方向为轴建立空间直角坐标系可得： ， ， 设平面的法向量，则 ，得 ， 令，即. 由于直线与平面平行，则，得：， 即：. ， ， 可知，由于，当时，取得最小值，最小值为. 故答案为：. 30．（2026·内蒙古通辽部分学校·联考）如图所示，正四棱锥中，点是棱的中点．    （1）证明：平面； （2）已知异面直线与所成角的余弦值为， （i）求二面角的正弦值； （ii）在线段上是否存在点，使平面．若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1） 连接，，连接，    因为是中点，点是棱的中点， 则， 因为平面，平面，所以平面．     （2）（i）； （ii）存在，，理由如下： 设线段上存在点，且， 因为， 设，， 因为 ， 又因为， 所以， 所以 所以 ， 当 时， 平面，所以平面， 所以当时，平面；      【分析】 （1）根据中位线得出，从而可得平面； （2）设，根据向量法结合异面直线与所成角的余弦值为得出，进而求所成角的余弦值，最后应用同角三角函数关系计算求解； （3）假设存在点F，设，使平面，计算得出. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： （i）    因为平面，，所以两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设， 则， 所以，又异面直线与所成角的余弦值为， 所以， 解得，故， 所以， 设平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则 ，得 ，取，得． 设二面角的平面角为，观察图形可知为锐角， 所以，； （ii）略 31．（25-26学年高二上·吉林地区普通高中友好学校·期中）如图所示，在直三棱柱中，分别为棱，的中点. （1）证明：平面平面； （2）求二面角的正弦值. 【答案】（1） 如图以为坐标原点，、、分为、、轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，，，，， 设平面的法向量为，则 ，即 ，令则， 设平面的法向量为，则 ，即 ，令则， 因为，所以， 所以平面平面.      （2）      【分析】 （1）（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）知平面的法向量为， 显然平面的法向量可以为， 所以， 所以，所以二面角的正弦值为. 32．（25-26学年高二上·内蒙古期中学·期中）已知四棱柱的各棱长均为2，，，，.且三棱锥的体积为1，二面角的余弦值为. （1）证明：； （2）求的值及直线与平面所成的角的正弦值. 【答案】（1） 取中点，连接，， ，， 为正三角形. ，又，， ，平面，， 平面， 平面，；      （2），      【分析】 （1）取中点，连接、，由题设求证平面即可求证； （2）求证，以为坐标原点建立空间直角坐标系，分别求出两平面和平面的一个法向量，由二面角的向量法公式结合题设求出参数，再求出与平面的一个法向量即可由线面角的向量法公式计算求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 在四棱柱中，点在棱上， ，平面，平面， 平面，由（1）可知平面， ， ，即，，， 故可以为坐标原点，、、为一组正交基底建立空间直角坐标系， 则，，，，， ，， ，， ，， 设平面的一个法向量为， 则 ，令，则， 又平面的一个法向量为， 由二面角的余弦值为得， 即，或， 因为，所以. ，平面的一个法向量为， 设直线与平面所成的角为， 则， 直线与平面所成的角的正弦值为. 33．（2026·黑龙江牡丹江东宁第一中学·联考）如图所示的几何体是圆锥的一部分，其中是圆锥的高，是圆锥底面的一条直径，，，是的中点． （1）求直线与所成角的余弦值； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）     （2）．      【分析】 （1）以O为原点，建立空间直角坐标系，设直线与所成的角为，计算，,通过计算即可； （2）由（1）得，设直线与平面所成的角为，计算平面法向量，则通过计算即可. (1) 小问详解： 以为原点，的方向分别作为轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，． 设直线与所成的角为， 则， 即直线与所成角的余弦值是． (2) 小问详解： 由（1）知，，， 设平面的法向量为，则 取，得，所以平面的一个法向量． 设直线与平面所成的角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为． 34．（25-26学年高二上·吉林联盟校考试·期中）如图，在四棱锥中，底面四边形为直角梯形，，，，为的中点，，. （1）证明: 平面； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 【答案】（1）证明如下： 连接，，则， 在中，因为，则， 因为，，所以，， 所以，则， 又，、平面，所以平面      （2）      【分析】 （1）连接，可通过证明，，得平面； （2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量，通过向量的夹角公式可得答案. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：因为，为的中点，则，又平面， 以为原点，以、、方向为、、轴正方向建立空间直角坐标系， 则、、、、， 所以，，，， ，，， ， 设平面法向量为，则 ，令，即， 设平面法向量为，则 令，即， 设平面与平面所成锐二面角的平面角为， 所以． 35．（2026·吉林吉林·调研）如图，在四棱锥中，侧棱平面，，，，，点是的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析     （2）．      【分析】 （1）取中点，连接．先证，再利用线面平行的判定定理，即可证得平面； （2）先证得两两垂直，以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的法向量，结合向量的夹角公式，即可求解. (1) 小问详解： 证明：取中点，连接． 分别为中点，，且． ，且，． 四边形为平行四边形，． 平面平面， 平面． (2) 小问详解： ，，． 又平面，，． 以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则， 依题意，是平面的一个法向量， ， 设平面的一个法向量为，则． 则 取，则， 平面的一个法向量为． 设平面与平面的夹角为，则 ， 即平面与平面夹角的余弦值为． 36．（2026·吉林吉林·调研）如图，在三棱柱中，平面平面为中点，，，． （1）求证：平面； （2）在线段上是否存在一点，使点到平面的距离为？若存在，请求出四面体FABC的体积；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析     （2）存在，      【分析】 （1）根据线面垂直的判定定理证明线面垂直. （2）以不同的方法建立空间直角坐标系，利用空间向量先确定点的位置，利用空间向量求点到平面的距离，再利用锥体的体积公式求锥体体积. (1) 小问详解： 取中点，连接，如图： ，． 又平面平面，平面平面平面， 平面． 又平面． 又与相交，且平面， 平面． (2) 小问详解： （法一）线段上存在点，使点到平面的距离为．取中点，连接． 由（1）知，平面平面． 又分别为中点，． 平面，．． 以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系． ，，，，， ，，． 设． 设平面的一个法向量为，则． 则 ，取，则 ． 设点到平面的距离， ，又． 即线段上存在点，当时，点到平面的距离为． ．点到平面的距离为 点到平面的距离为． 四面体的体积为． （法二）平面，而平面 ，，取的中点，中点． 又易知，四边形是平行四边形，． 又由（1）知，平面，则平面． 以为原点，所在直线分别为轴、轴，轴，如图建系． 则，，，， ，，， ，，． 设， ． 设平面的一个法向量为，则． 则 ，取，则． 设点到平面的距离， 即线段上存在点，当时，点到平面的距离为． 四面体的体积为． （法三）解题思路： 设点到平面的距离为， 利用等积法可求得，又，则，， 以下思路同法一． 37．（25-26学年高二上·内蒙古鄂尔多斯·期中）如图，平面平面，四边形是正方形，． （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明：因为，平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又平面， 所以．因为四边形是正方形， 所以，又，平面， 所以平面，又平面， 所以；     （2）      【分析】 （1）证明平面，证明，证明平面，证明； （2）证明平面，证明，证明，以所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，根据向量法即可求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）知平面， 又平面，所以， 又四边形是正方形，所以， 所以两两垂直． 以所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则， 所以， 设平面的法向量为， 则 令，得， 所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则 ， 令，得，， 所以平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则， 即平面与平面的夹角的余弦值为． 38．（25-26学年高二上·内蒙古自治区赤峰·期中）如图，在圆台中，，分别为上、下底面圆的直径，，分别为上、下底面圆的圆心，，，，分别为上、下底面圆周上的动点，其中异于，，在下底面的射影为点. （1）设. （ⅰ）证明：. （ⅱ）求四棱锥的体积. （2）求二面角的正弦值的最小值. 【答案】（1）（ⅰ）因为在下底面的射影为点，所以. 又，所以. 连接.因为上底面圆的直径为2，所以， 所以，则，即. 因为平面，平面，所以. 又，所以平面. 因为平面，所以. （ⅱ）4     （2）      【分析】 （1）（ⅰ）由投影的性质得，垂直于底面，所以，且，又，在中，利用勾股定理，求得；在中，，证得，在根据线面垂直的判定定理，证得平面，最终得到.（ⅱ）根据长度关系：，，，，所以，，三点共线，于点，为直径，所以于点，所以四边形的面积，四棱锥的体积，计算即可得出体积. （2）利用空间向量的方法，建立空间直角坐标系；由题意得：点在以为圆心，半径的圆上，根据三角函数的定义，假设，，，分别计算平面和平面的法向量，最终计算得出二面角正弦值的最小值. (1) 小问详解： （ⅰ）略 （ⅱ）连接.因为，，，所以，，三点共线. 又，所以四边形的面积， 则四棱锥的体积. (2) 小问详解： 以为坐标原点，，所在的直线分别为，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系.设，， 则，，， ， 设平面的法向量为， 则由 可得 令，得. 由图可知，平面的一个法向量为. . 设二面角的大小为， 则. 因为，所以， 则，则二面角的正弦值的最小值为. 39．（25-26学年高二上·内蒙古自治区乌兰察布部分中学·期中）如图，三棱锥中，面.    （1）求三棱锥的体积； （2）证明：； （3）求与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）     （2） ， 故， 面平面， 平面.     （3）.      【分析】 （1）根据三棱锥的体积公式即可求出； （2）根据线面可证线线垂直； （3）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和直线的方向向量，利用向量的夹角公式，求解可得. (1) 小问详解： . (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 以为原点，如图建立空间直角坐标系， ， ， 设平面的法向量为， ，令，则， ， ， ∴直线与平面所成角的正弦值为. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $