专题01 空间向量的基本运算（期中真题汇编，黑吉蒙专用）高二数学上学期

函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题01空间向量的基本运算 考点01空间向量及其运算 考点02空间向量基本定理 考点03空间向量及其运算的坐标表示 ①考点01空间向量及其运算 1.D 2.A 3.A 4.A 5.c 6.D 7.B 8.C g【路11)0M=oi+日o8+o,od= 2 6 6 a, 【分析】 ①首先根据空间向量的线性运算得到0M=OA+0B+10C,再求其模长即可 6 6 (2根拼0M-AB-传0A+08+0-08-0A民开求解即可 72 6 6 (1)小问详解： 因为点M是线段AG的中点，点G是△OBC的重心， oo0c00B 232 6 6 因为0A-0B=08-0C=0A-0C=2×2×c0s60=2 o-o7-o宋oi+0c+0ioi0oG洁0mod 6 18 118 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 =1×4+1×4+ 1×4+ 1x2+1×2+1×2=2, 4 36 36 66 18 loM=g (2)小问详解： OM.AB-0A+10B+0C(0B-0A) 2 6 6 -0A0B-0床+0g+208-oC-0A-0C-号×2-号×4+日×4+片×2日x2= 2 6 6 6 2 6 6 6 23 10.【管110p-07+20B+z0, (2)18; (3) 12 【分析】 (1)利用中线向量公式，结合向量的线性运算即可求解： (2)利用基底表示向量，先求基底的数量积，问题即可求解： (3)利用基底的数量积运算即可求向量的模， (1)小问详解： 因为P是AN的中点，所以OP=号OA+ON, 又因为N为线段OM上靠近O的三等分点，所以ON=二OM, 又因为M是BC的中点，所以OM=OB+1O元， 则o-号oa+号0N-号0A+特oi-号oa+20B+zo心， 6 2 (2)小问详解： 因为0A=9,OB=OC=6,∠AOB=∠AOC=∠B0C= 3 所以0A·0B=27,0A.0C=27,0B0C=18, o应-o-2on+号o0}oa+b0i+b0-+9+投+2+8+8-18 12 4242442424 所以0M:0P=18 218 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3)小问详解： 6-}om+20n+z0d-a受加 11.【答案】- 2a+1+ 3 22 【分析】 利用向量的三角形法则，平行四边形法则进行求解 【详解】 :点N为BC的中点，ON=|OB+OC, :o亚-号0A.MN=-0i+0N-号oA+2oB+oc-号a+号6+小-号+6+吃 3 故答案为：一 ++ 3 2 2【14把如 【分析】 作出轴影线，根搭半面的基本性质得到MC,-号AC,并求出AC,-=AB+AD+A,半方后，由的 量数量积公式得到AC?=24:AC=2口，从而得到答案 【详解】 根据题意，连接AC,BD交于点H,连接A1H与AC1交于点O, 在r六作中，△oAHa0CA:品光-克A0-0C。 根据平面的基本性质可知点M与点O重合，故MC,=号AC,其中AC,=AB+AD+AA, 3 故AC2=AB+AD+AA}=AB+AD+AA+2AB·AD+2AB·AA1+2AD·AA 4+4+4+2×2×2×分+222×+2×2×2×=24. 所TG=2门.所c,M-号AC号*2岛 318 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 故答案为： 4V▣ 13.【答案】V回 【分析】 由AC,=AB+BC+CC,=AB+AD+AA,借助模长公式得出AC,的长 【详解】 因为AC,=AB+BC+CC,=AB+AD+AA 6215 好2 所以AC,=AB+AD+AA,=AB2+AD+AA+2AB·AD+2ABAA1+2AD:AA, =1+1+9+2×0+2×1x3×号+2×1×3×217即ACl= 故答案为：V叵 14.【答案】(1)a·b=2: (2)1. 【分析】 (1)利用向量数量积的运算律化简条件等式计算即得： (2)利用两向量的夹角公式计算即得 (1)小问详解： 因d=2,=1 则a-36.a+i=(2-2ai-3(6)2=-3 可得d·i=2: (2)小问详解： 因a-=如； 418 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 aà-6=2-a6=4-2=2 设向量a与a-b的夹角为0， 则cos0= aa-别 2 lalx a-b 2x11: 考点02空间向量基本定理 1.D 2.A 3.ABD 4.BC 5.【答案】(1)AA1=-2à-b (2)口 【分析】 (1)根据空间向量线性运算法则结合图象求解即可： (2)根据向量线性运算可得AC,=AB+AD+AA,:两边平方，结合数量积的性质化简可求结论： ()小问详解： AD=AB+BD=a+b' XAC=AC+CC=AB+AD+AA 所以AA,=AC1-AB-AD=c-a-(a+i)=c-2a-i (2)小问详解： 由题意可知，AB=AD=AA=a, 由(1)得AC=AB+AD+AA 两 边 平 方 可 得 AC=(AB+AD+AAP=AB2+AD+AA2+2AB·AD+2AB·AA1+2AD·AA1 518 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 所以+a++212+21a-2+2da18 即6la=18'解得a-口 故平行六面体ABCD-A1B,C1D1的棱长为叵 》 考点03空间向量及其运算的坐标表示 1.C 2.D 3.C 4.AD 5.D 6.C 7.A 8.C 9.D 10.A 11.B 12.B 13.【答案】月 (2)c=(4,2,-4)或-4，-2,4) 【分析】 1)问题转化为a+k6=0'求K (2)根据向量的模的计算和向量共线，求c的坐标 (1)小问详解： 由题知a=AB=-1,-1,0'6=AC=1,0,-2 所以a+k6=k-1,-1,-2k 因为a+k61' 所以ā+k5列-6=-0→k-1+4k=0→k=号 618 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)小问详解： 因为：∥BC' BC=2,1,-2° 所以：=λB元=2入，入，-2”1∈R 因为=6所以2+2+-2=92=36解得λ=±2， 所以=4,2，-4或-4，-2,4」 14.【答案】▣ 【分析】 利用数量积公式求X,再利用数量积的坐标表示求模 【详解】 因为a⊥b,所以-8+2+3x=0,解得x=2 所以a-6=6,-1,1少la-=口 故答案为：▣ 15.【答案】(1)-▣ (2)/▣ 【分析】 (1)根据空间向量数量积与模长的坐标表示可得向量夹角余弦值： (2)根据夹角余弦值可得正弦值，进而可得三角形面积 1)小问详解： 由A2,0,1,B2,-4,3,C1,1,1, 则AB=0,-4,2AC=-1,1,0:|AB=200'AC=□ 所以cos(AB,AC=0-4+0 2啊石 (2)小问详解： 由(1D得csA=cosAB,AC=-9, 则sinA-g 718 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 所以S△ABC= s咖A2 16.【答案】-1 【分析】 根据空间向量垂直的坐标表示求解即可. 【详解】 由m⊥n,m=3,1,5,n=2-2,λ，2， .成i=3入-6++10=0：解得，=-1 故答案为：-1. 17. 【答案10.5 【分析】 由共线定义计算即可得. 【详解】 由题意可相站经-音架有子y1 故答案为：2 818 专题01 空间向量的基本运算 3大高频考点概览 考点01 空间向量及其运算 考点02 空间向量基本定理 考点03 空间向量及其运算的坐标表示 考点01 空间向量及其运算 1．（25-26学年高二上·内蒙古鄂尔多斯·期中）工厂对某车间某一天生产的产品采用随机抽样的方法抽到一个容量为40的样本数据，分组后，各组的频数如下表： 分组 频数 4 6 10 4 已知样本数据在范围内的频率为，则样本数据在范围内的频率为（     ） A. 0.70 B. 0.50 C. 0.25 D. 0.20 【答案】D 【分析】 本题根据频数与频率的概念计算，即可求解. 【详解】 由题意得，解得， 所以， 所以样本数据在范围内的频率为. 故选：D. 2．（25-26学年高二上·吉林联盟校考试·期中）在空间四边形PABC中，（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据空间向量的加法、减法法则即可得到答案. 【详解】 ． 故选：A. 3．（25-26学年高二上·内蒙古自治区赤峰·期中）若，，三点共线，则（     ） A. 169 B. 144 C.  D.  【答案】A 【分析】 利用空间向量共线的坐标表示求出即得. 【详解】 依题意，，，由，，三点共线， 得，则，解得，，所以. 故选：A 4．（25-26学年高二上·内蒙古自治区赤峰·期中）已知空间四点，，，，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据向量的三角形法则和平行四边形法则，根据起点相同的原则，首先计算，再计算，即可得出正确答案. 【详解】 ； 故选：. 5．（25-26学年高二上·内蒙古自治区乌兰察布部分中学·期中）在如图所示的方格里，向量与均为单位向量，则向量（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据给定方格图，利用向量的加减法计算即得. 【详解】 如图所示，    . 故选：C 6．（25-26学年高二上·黑龙江绥化·期中）抛一枚硬币100次，有49次正面朝上，则事件“正面朝上”的概率和频率分别是（       ） A. 0.5，0.5 B. 0.51，0.51 C. 0.49，0.49 D. 0.5，0.49 【答案】D 【分析】 根据频率的计算方法以及概率的含义，即可求得答案. 【详解】 抛一枚硬币100次，有49次正面朝上， 故“正面朝上”的频率为， 每次抛掷硬币时，正面和反面向上的机会均等，故“正面朝上”的概率为0.5. 故选：D 7．（25-26学年高二上·内蒙古期中学·期中）已知四棱柱的底面是边长为6的菱形，平面，，，点满足，其中，，，则（     ） A. 当为底面中心时， B. 当时，长度的最小值为 C. 当时，长度的最大值为8 D. 当时，长度为定值. 【答案】B 【分析】 根据题意及各项的前提条件，应用数形结合、空间向量进行逐项进行分析求解判断. 【详解】 当为底面的中心时，由，则 故，A错误； 当时， ， 当且仅当，取最小值为， 当时，，则点在及内部， 而是以为球心，以为半径的球面被平面所截图形在四棱柱及内的部分， 当或时，得最大值为， 综上，B正确，C、D错误. 故选：B 8．（2026·黑龙江牡丹江东宁第一中学·联考）在正三棱锥中，，点为空间中的一点，则的最小值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 记的重心为，点是的中点，点是的中点，进而求得，利用空间向量加减、数乘的几何意义，将化为，数形结合求最小值. 【详解】 记的重心为，点是的中点，点是的中点，    在正三棱锥中，所以， 平面，又平面，所以，则. 又， 所以 ， 所以当与重合时，取最小值0， 此时有最小值. 故选：C 9．（25-26学年高二上·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知正四面体的棱长为2，点G是的重心，点M是线段的中点. （1）用，，表示，并求出； （2）求. 【答案】（1），     （2）      【分析】 （1）首先根据空间向量的线性运算得到，再求其模长即可. （2）根据展开求解即可. (1) 小问详解： 因为点M是线段的中点，点G是的重心， 所以， 因为， 所以 ， ∴. (2) 小问详解： . 10．（25-26学年高二上·内蒙古自治区赤峰·期中）如图，在三棱锥中，，，，是的中点，为线段上靠近的三等分点，是的中点.    （1）用向量，，表示向量； （2）求； （3）求. 【答案】（1）；     （2）；     （3）.      【分析】 （1）利用中线向量公式，结合向量的线性运算即可求解； （2）利用基底表示向量，先求基底的数量积，问题即可求解； （3）利用基底的数量积运算即可求向量的模. (1) 小问详解： 因为是的中点，所以， 又因为为线段上靠近的三等分点，所以， 又因为是的中点，所以， 则； (2) 小问详解： 因为，，， 所以， ， 所以 (3) 小问详解： 11．（25-26学年高二上·内蒙古赤峰喀喇沁旗锦山中学·期中）空间四边形中，，点在上，，点为的中点，若向量用向量表示，则　　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 利用向量的三角形法则，平行四边形法则进行求解. 【详解】 点为的中点，， ，. 故答案为：. 12．（25-26学年高二上·内蒙古鄂尔多斯·期中）在平行六面体中，，且交平面于点，则　　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 作出辅助线，根据平面的基本性质得到，并求出，平方后，由向量数量积公式得到，，从而得到答案. 【详解】 根据题意，连接交于点，连接与交于点， 在平行六面体中，∽，则，故， 根据平面的基本性质可知点与点重合，故，其中， 故 ， 所以，所以. 故答案为： 13．（25-26学年高二上·内蒙古期中学·期中）如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，若，且，则的长为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 由，借助模长公式得出的长. 【详解】 因为 所以 即 故答案为： 14．（25-26学年高二上·内蒙古自治区乌兰察布部分中学·期中）已知平面向量，且.求： （1）的值； （2）向量与夹角的余弦值. 【答案】（1）；     （2）1.      【分析】 （1）利用向量数量积的运算律化简条件等式计算即得； （2）利用两向量的夹角公式计算即得. (1) 小问详解： 因 则 可得； (2) 小问详解： 因， ， 设向量与的夹角为， 则. 考点02 空间向量基本定理 1．（25-26学年高二上·内蒙古鄂尔多斯·期中）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（       ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【分析】 根据空间向量共面定理逐项判断即可. 【详解】 对于A，因为，所以，，共面； 对于B，因为，所以，，共面； 对于C，因为，所以，，共面； 对于D，假设三个向量共面，则存在实数，使得成立， 则 方程组无解，所以，，不共面； 故选：D 2．（25-26学年高二上·吉林联盟校考试·期中）如图，在正三棱锥中，点G为的重心，点M是线段上的一点，且，记，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 利用空间向量基本定理求解. 【详解】 如图，在正三棱锥中，因为点G为的重心，连接并延长交于点, 所以， 又点M是线段上的一点，且， 所以， ， 故选：A. 3．（2026·吉林吉林·调研）（多选）如图，在平行六面体中，设，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】ABD 【分析】 由空间向量的加法的平行四边形法则和三角形法则分别表示出向量即可． 【详解】 因为， 所以由， 故A选项正确， 由, 故B选项正确， 由， 故C选项不正确， 由， 故D选项正确， 故选：ABD. 4．（25-26学年高二上·内蒙古自治区赤峰·期中）（多选）在正四面体中，为棱的中点，则（       ） A.  B.  C. 在上的投影向量为 D. 当时， 【答案】BC 【分析】 求证即可判断A；B利用向量的运算化简即可；C利用基底和数量积的运算律求出，，最后利用公式化简即可；D利用基底表示，再利用数量积的运算律和定义化简即可. 【详解】 连接，因为正四面体，则均为等边三角形， 又为棱的中点，则，则与不可能垂直，故A错误； ，故B正确； 设正四面体的棱长为， 则， ， 在上的投影向量为，故C正确； 因为，则为线段的中点， 则， 则 故D错误.    故选：BC 5．（2026·内蒙古通辽部分学校·联考）如图，已知平行六面体的所有棱长均相等，，记，，.    （1）用向量，，表示； （2）若，求平行六面体的棱长. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据空间向量线性运算法则结合图象求解即可； （2）根据向量线性运算可得，两边平方，结合数量积的性质化简可求结论； (1) 小问详解： ， 又， 所以. (2) 小问详解： 由题意可知，， 由（1）得， 两边平方可得， 所以 即，解得 故平行六面体的棱长为. 考点03 空间向量及其运算的坐标表示 1．（25-26学年高二上·内蒙古鄂尔多斯·期中）在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 在空间直角坐标系中，一个点关于平面对称的点的坐标为，据此即可得到答案． 【详解】 由空间直角坐标系，可得点关于平面对称的点的坐标为. 故选：C 2．（25-26学年高二上·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知，若，则（       ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 14 【答案】D 【分析】 由已知条件把的坐标求出来，再利用两个向量共线解出的值，进而得到答案. 【详解】 ，因为，所以，使 ，解得 ，所以. 故选：D. 3．（25-26学年高二上·黑龙江鸡西·期中）若向量，向量，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据向量的加减法法则求解即可. 【详解】 因为向量，向量， 所以. 故选：C 4．（25-26学年高二上·吉林地区普通高中友好学校·期中）（多选）已知向量，，则下列结论正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】AD 【分析】 利用向量坐标运算法则求解即可． 【详解】 因为向量，， 所以，故A正确； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确． 故选：AD 5．（25-26学年高二上·吉林地区普通高中友好学校·期中）在空间直角坐标系中，，，若∥，则x的值为（       ） A. 3 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】D 【分析】 依题意可得，即可得到方程组，解得即可； 【详解】 解：依题意，即，所以 ，解得 故选：D 6．（25-26学年高二上·内蒙古期中学·期中）空间中，若向量，，共面，则（     ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【分析】 根据，，共面，所以存在，使得，列出方程组，可求的值. 【详解】 因为，，共面，所以存在，使得， 所以 . 故选：C 7．（25-26学年高二上·内蒙古期中学·期中）已知向量，，则向量在向量上的投影向量（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据投影向量的概念求解. 【详解】 因为，， 所以向量在向量上的投影向量. 故选：A 8．（25-26学年高二上·内蒙古期中学·期中）若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则实数的值是（     ） A. 1 B. 5 C.  D.  【答案】C 【分析】 根据题意，得到，列出方程，即可求解. 【详解】 由直线的方向向量为，平面的法向量为， 因为，则，所以，解得. 故选：C. 9．（2026·吉林吉林·调研）已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据投影向量的定义即可求解. 【详解】 向量在向量上的投影向量为， 故选：D. 10．（25-26学年高二上·内蒙古赤峰喀喇沁旗锦山中学·期中）已知，则在上的投影向量坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 应用投影向量公式结合数量积公式及模长公式计算求解. 【详解】 由题意可得． 故选：A. 11．（2026·内蒙古通辽部分学校·联考）已知，，，则点A到直线BC的距离为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用向量的模，向量的夹角及三角函数即可求出点到直线的距离. 【详解】 由题意有：， 所以， 所以点A到直线BC的距离为. 故选：B. 12．（25-26学年高二上·吉林联盟校考试·期中）已知，，，与的夹角为，则（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 首先求出向量，的坐标，及向量与的模，再利用空间向量的夹角余弦公式列方程求解即可． 【详解】 因为，，， 所以，， 故， 所以，， ， 所以， 因为与的夹角为， 所以， 解得， 经检验，不合题意，舍去，所以． 故选：B． 13．（25-26学年高二上·内蒙古期中学·期中）已知空间中三点，，，设，. （1）已知，求的值； （2）若，且∥，求的坐标. 【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）问题转化为，求. （2）根据向量的模的计算和向量共线，求的坐标. (1) 小问详解： 由题知，， 所以， 因为， 所以. (2) 小问详解： 因为∥， ， 所以，， 因为，所以，解得 ， 所以或. 14．（25-26学年高二上·吉林地区普通高中友好学校·期中）已知，，且，则　　　　　． 【答案】 【分析】 利用数量积公式求，再利用数量积的坐标表示求模. 【详解】 因为，所以，解得 所以，. 故答案为： 15．（25-26学年高二上·内蒙古期中学·期中）已知空间三点，，． （1）求向量与夹角的余弦值； （2）求的面积. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据空间向量数量积与模长的坐标表示可得向量夹角余弦值； （2）根据夹角余弦值可得正弦值，进而可得三角形面积. (1) 小问详解： 由，，， 则，，，， 所以； (2) 小问详解： 由（1）得， 则， 所以. 16．（2026·黑龙江牡丹江东宁第一中学·联考）已知向量，若，则　　　　　. 【答案】 【分析】 根据空间向量垂直的坐标表示求解即可． 【详解】 由， ，解得． 故答案为：． 17．（2026·吉林吉林·调研）若，，且与共线，则　　　　　　　． 【答案】 【分析】 由共线定义计算即可得. 【详解】 由题意可得，解得，， 则. 故答案为：. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 空间向量的基本运算 3大高频考点概览 考点01 空间向量及其运算 考点02 空间向量基本定理 考点03 空间向量及其运算的坐标表示 考点01 空间向量及其运算 1．（25-26学年高二上·内蒙古鄂尔多斯·期中）工厂对某车间某一天生产的产品采用随机抽样的方法抽到一个容量为40的样本数据，分组后，各组的频数如下表： 分组 频数 4 6 10 4 已知样本数据在范围内的频率为，则样本数据在范围内的频率为（     ） A. 0.70 B. 0.50 C. 0.25 D. 0.20 2．（25-26学年高二上·吉林联盟校考试·期中）在空间四边形PABC中，（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高二上·内蒙古自治区赤峰·期中）若，，三点共线，则（     ） A. 169 B. 144 C.  D.  4．（25-26学年高二上·内蒙古自治区赤峰·期中）已知空间四点，，，，则（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高二上·内蒙古自治区乌兰察布部分中学·期中）在如图所示的方格里，向量与均为单位向量，则向量（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高二上·黑龙江绥化·期中）抛一枚硬币100次，有49次正面朝上，则事件“正面朝上”的概率和频率分别是（       ） A. 0.5，0.5 B. 0.51，0.51 C. 0.49，0.49 D. 0.5，0.49 7．（25-26学年高二上·内蒙古期中学·期中）已知四棱柱的底面是边长为6的菱形，平面，，，点满足，其中，，，则（     ） A. 当为底面中心时， B. 当时，长度的最小值为 C. 当时，长度的最大值为8 D. 当时，长度为定值. 8．（2026·黑龙江牡丹江东宁第一中学·联考）在正三棱锥中，，点为空间中的一点，则的最小值为（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高二上·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知正四面体的棱长为2，点G是的重心，点M是线段的中点. （1）用，，表示，并求出； （2）求. 10．（25-26学年高二上·内蒙古自治区赤峰·期中）如图，在三棱锥中，，，，是的中点，为线段上靠近的三等分点，是的中点.    （1）用向量，，表示向量； （2）求； （3）求. 11．（25-26学年高二上·内蒙古赤峰喀喇沁旗锦山中学·期中）空间四边形中，，点在上，，点为的中点，若向量用向量表示，则　　　　　　　　　　　. 12．（25-26学年高二上·内蒙古鄂尔多斯·期中）在平行六面体中，，且交平面于点，则　　　　　　　　　　　. 13．（25-26学年高二上·内蒙古期中学·期中）如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，若，且，则的长为　　　　　　　　　　. 14．（25-26学年高二上·内蒙古自治区乌兰察布部分中学·期中）已知平面向量，且.求： （1）的值； （2）向量与夹角的余弦值. 考点02 空间向量基本定理 1．（25-26学年高二上·内蒙古鄂尔多斯·期中）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（       ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 2．（25-26学年高二上·吉林联盟校考试·期中）如图，在正三棱锥中，点G为的重心，点M是线段上的一点，且，记，则（     ） A.  B.  C.  D.  3．（2026·吉林吉林·调研）（多选）如图，在平行六面体中，设，则（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高二上·内蒙古自治区赤峰·期中）（多选）在正四面体中，为棱的中点，则（       ） A.  B.  C. 在上的投影向量为 D. 当时， 5．（2026·内蒙古通辽部分学校·联考）如图，已知平行六面体的所有棱长均相等，，记，，.    （1）用向量，，表示； （2）若，求平行六面体的棱长. 考点03 空间向量及其运算的坐标表示 1．（25-26学年高二上·内蒙古鄂尔多斯·期中）在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高二上·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知，若，则（       ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 14 3．（25-26学年高二上·黑龙江鸡西·期中）若向量，向量，则（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高二上·吉林地区普通高中友好学校·期中）（多选）已知向量，，则下列结论正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高二上·吉林地区普通高中友好学校·期中）在空间直角坐标系中，，，若∥，则x的值为（       ） A. 3 B. 6 C. 5 D. 4 6．（25-26学年高二上·内蒙古期中学·期中）空间中，若向量，，共面，则（     ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7．（25-26学年高二上·内蒙古期中学·期中）已知向量，，则向量在向量上的投影向量（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高二上·内蒙古期中学·期中）若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则实数的值是（     ） A. 1 B. 5 C.  D.  9．（2026·吉林吉林·调研）已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高二上·内蒙古赤峰喀喇沁旗锦山中学·期中）已知，则在上的投影向量坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  11．（2026·内蒙古通辽部分学校·联考）已知，，，则点A到直线BC的距离为（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年高二上·吉林联盟校考试·期中）已知，，，与的夹角为，则（　　） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年高二上·内蒙古期中学·期中）已知空间中三点，，，设，. （1）已知，求的值； （2）若，且∥，求的坐标. 14．（25-26学年高二上·吉林地区普通高中友好学校·期中）已知，，且，则　　　　　． 15．（25-26学年高二上·内蒙古期中学·期中）已知空间三点，，． （1）求向量与夹角的余弦值； （2）求的面积. 16．（2026·黑龙江牡丹江东宁第一中学·联考）已知向量，若，则　　　　　. 17．（2026·吉林吉林·调研）若，，且与共线，则　　　　　　　． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $