湖北襄阳市第四中学2026-2027学年高一卓越班上学期数学晚自习测试（二）

襄阳四中2026级卓越班高一数学晚自习测试（二） 一、单选题 1．已知命题：，，则的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 2．设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（   ） A． B． C． D．1 3．已知函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，，则（   ） A．1 B．0 C． D． 4．若，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 5．已知正数，，满足，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 6．已知，若，，，则（   ） A． B． C． D． 7．已知奇函数的定义域为，且对任何实数，都有，则可以是（     ）． A．4 B．2 C．1 D． 8．在中，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知函数，若将的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的值可能是（   ） A．8 B．4 C．3 D．2 10．在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，且，则下列结论正确的是（     ） A． B． C．周长取值范围为 D．若O是外接圆的圆心，则和面积之差的取值范围为 11．已知中满足，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．已知，，，当的最小值为1时，在上的投影向量为________． 13．若单位圆的内接四边形有一组对角相等，则四边形周长的取值范围为______. 14．在圆内接六边形中，，则圆的半径为_________． 四、解答题 15．已知向量，，函数. (1)求的周期和单调递增区间； (2)若对任意，方程都有解，求实数的取值范围； (3)设，若对任意，总存在，使成立，求实数的取值范围． 16．如图所示，正三角形的边长为1，，分别为射线，上的点． (1)当，且为锐角三角形时，求的周长的取值范围； (2)当的周长为2时，求的面积的取值范围． 17．已知锐角的内角，，所对的边分别为，，，且，． (1)求； (2)已知为的垂心，求面积的取值范围． 18．在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且，点D是线段AB的中点，点E在线段BC上，且，线段CD与线段AE交于点M (1)求角B (2)若，，求 (3)①若为锐角三角形且，求中AC边上的高线的取值范围． ②过点M的动直线交的边AB和BC分别交于点P、Q，，请用适当的方法探究出角α与的边a，b，c和角A，B，C之间的一个等量关系并写出，无需证明． 19．已知函数，，，对任意，恒成立. (1)求的值及的解析式； (2)若，，，求的值； (3)已知，且以为边能够组成三角形，对于任意满足上述条件的，若以为边也能够组成三角形，求的最大值. （参考公式：，） 试卷第1页（共3页） 《襄阳四中2026级卓越班高一数学晚自习测试（二）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D C C C A C A AD ABD 题号 11 答案 ABD 12． 13． 14． 15．(1)的周期为，单调增区间为， (2) (3) 【详解】（1）由题意可得： 所以，，． 由正弦曲线的单调区间为，， 可知，， 解得：，. 综上，的周期为，单调增区间为，. （2）当时，， 故，即． 令，于是方程在有解， 可转化为在有解． 当时，取得最小值； 当或时，取得最大值2． 故的取值范围为． （3）因为对任意，总存在，使成立， 所以有 由（1）可知，显然， 下面求的最大值， ． 令，则． 当时，在处取得最大值：， 由，得； 当时，在处取得最大值：， 由，得． 综上，的取值范围为. 16．(1) (2) 【详解】（1）设，则， 因为为锐角三角形，所以，解得， 由正弦定理得， 所以，， 所以周长．    因为，可得，则， 所以，即， 所以的周长的取值范围为. （2）设，，且，， 由余弦定理得，即， 又因为的周长为，所以周长， 即，平方后化简得，即， 因为的面积， 因为，所以， 设，可得， 所以． 又因为在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以，所以，即的面积的取值范围. 17．(1) (2) 【详解】（1）由余弦定理得：，代入 得：，化简得：， 又因为，所以，解得：， 又因为是锐角三角形，所以. （2）设的外接圆半径为，由正弦定理得：，得：， 因为为的垂心，所以，. 由于为的垂心，则，，所以， 在中，由正弦定理得： 所以，而，， 所以，所以， 同理得，则，， 所以， 已知，所以，，因为是锐角三角形， 所以满足条件：，，解得：， 所以 利用二倍角公式代入合并得：， 由辅助角公式得：， ，则，，所以，即： 面积的取值范围是. 18．(1) (2)(3)①；②（答案不唯一） 【详解】（1）在中， ，则， 而，代入上式： 则，而， 故，即， 所以，结合， 得； （2）以B为原点，BC为x轴，过点B作垂线为y轴，如图，建立平面直角坐标系， 则，即， D是线段AB的中点，则，由，可知E为靠近C的三等分点， 则， 则直线的方程为，即 直线的方程为，即， 联立，解得，即， 则，， ， 故. （3）①作交于，则N为的中点，且, 而，故，则≌，则， 故， 故，由知， 故， 又，故，， 而，则 故， 由正弦定理知，得， 由为锐角三角形，得,解得， 故 ， ，故，则， 故； ②由题意得 ， 因为共线，故，即； 在中，，即， 即，代入，得， 故一个等量关系可以为. 19．(1)， (2)(3) 【详解】（1）化简得. 因为，所以， 令得 则，故， ∵，故，则 即，则， 即，则，故 （2）因为，， 即，， 故. 由得，故， 同理，则 所以. 所以 所以. （3）当时，，不能构成三角形，故， （i）当，取，可作为一个三角形的三边长， 但不能作为任何一个三角形的三边长，不符合题意； （ii）当时，对任意三角形的三边，若 ①当时，，同理， ∴，故，， 同理可证， ∴可作为某个三角形的三边长 ②当时，即， （i）当时，由得，故； （ii）时，则，故， 综上（*） 由，得 故，即（#） 由（*）式乘以（#）式得 即 同理得：;，即能构成三角形 综上，的最大值为. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $