精品解析：湖北省襄阳市第四中学2025-2026学年高一上学期期末数学试题

湖北省襄阳市第四中学2025-2026学年高一上学期期末数学试题 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知自然数集和集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知幂函数与坐标轴有公共点，则值为（ ） A. B. C. 或 D. 3. “”的充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则在下列区间内一定有零点的是（ ）. A. B. C. D. 5. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A. B. C. D. 6. 已知角的终边过点，将角的终边按顺时针方向继续旋转到点，则OQ终边与单位圆交点的横坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在区间内单调，则的范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若方程有四个不同的解，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求） 9. 下列选项正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 10. 下列命题正确的是（ ） A. 一扇形弧长为4，圆心角为，则该扇形的面积为 B. 函数的单调递减区间为 C. 函数的值域为 D. 已知定义在上的函数是偶函数，则关于对称 11. 若实数满足，则的大小关系可能的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 函数的图像恒过定点___________ 13. 已知定义在上的偶函数在上单调递增，则不等式的解集为___________． 14. 已知函数且，若，则的最小值___________． 四、解答题：（本大题共5大题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. （1）若，用a，b表示； （2）化简 16. 已知集合，． （1）求； （2）若，求实数的取值范围． 17. 已知函数，其中的部分图象如图所示： （1）求的解析式； （2）将曲线向右平移个单位长度后，再将曲线上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到曲线，求函数的单调递减区间和对称轴方程； 18. 已知函数为奇函数. （1）判断函数的单调性，并用定义证明； （2）若存在实数，使得成立，求实数的取值范围； （3）若的解集为R，求实数的取值范围． 19. 已知函数，定义集合. （1）若，，求的值; （2）若，，求; （3）已知，若集合中含有唯一的整数，求满足条件的的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖北省襄阳市第四中学2025-2026学年高一上学期期末数学试题 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知自然数集和集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求解集合中不等式的解集，再根据自然数集的定义求与的交集. 【详解】解不等式，即，解得，即集合， 自然数集，结合集合的范围中满足自然数条件的元素为，因此. 故选：B. 2. 已知幂函数与坐标轴有公共点，则值为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据幂函数的定义确定的可能值，再结合幂函数与坐标轴有公共点的条件筛选出符合要求的值. 【详解】依题意得，解得或， 当时，，其图象是平行于轴且过点的直线（除去点），其图象与x轴和y轴均无公共点，不符合要求；  当时，，其图象是过原点的直线，与坐标轴有公共点（原点），符合要求. 故选：B. 3. “”的充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用充分条件和必要条件的概念进行求解. 【详解】对于A选项，若，不一定有， 而，则一定有， 所以是的必要不充分条件，A选项错误； 对于B选项，若，则一定有， 反之，若，也一定有， 所以是的充要条件，B选项错误； 对于C选项，若，则不一定有， 但时，一定有， 所以是的必要不充分条件，C选项错误； 对于D选项，若，则一定有， 但当时，不一定有， 所以是的充分不必要条件，D选项正确. 故选：D 4. 已知，则在下列区间内一定有零点的是（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由函数零点存在定理即可求解. 【详解】， 所以，，,,, 根据零点存在定理可得在区间内一定存在零点. 故选：C 5. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据抽象函数定义域结合分式和根式的意义列式求解即可. 【详解】令，解得， 所以函数的定义域为. 故选：B. 6. 已知角的终边过点，将角的终边按顺时针方向继续旋转到点，则OQ终边与单位圆交点的横坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数定义及两角和与差的余弦公式即可求出． 【详解】由题可知， 角的终边按顺时针旋转到点，因此OQ对应的角为， 所以． 故选：A． 7. 已知函数在区间内单调，则的范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先由三角恒等变换公式化简函数解析式，由周期求出的大致范围，再由的范围求出的范围，从而求出左端点的范围，结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可. 【详解】因为， 又函数在区间内单调且， 所以，解得， 由，所以， 又，所以， 所以或， 解得或， 所以的范围为. 故选：C 8. 已知函数，若方程有四个不同的解，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题先画出分段函数图像，然后利用数形结合，结合韦达定理分析解答。 【详解】 ，即，由韦达定理知，即，则，则，由图形可知，又在单调递增，故范围为。 故选：D 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求） 9. 下列选项正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质可判断AD选项，利用特殊值法可判断B选项，利用作差法可判断C选项. 【详解】对于A选项，若，则，由不等式的基本性质得，A对； 对于B选项，若，不妨取，，则，B错； 对于C选项，若，，则， 故，C对； 对于D选项，若，，由不等式的基本性质得，D对. 故选：ACD. 10. 下列命题正确的是（ ） A. 一扇形弧长为4，圆心角为，则该扇形的面积为 B. 函数的单调递减区间为 C. 函数的值域为 D. 已知定义在上的函数是偶函数，则关于对称 【答案】AC 【解析】 【分析】根据扇形的弧长和面积公式运算求解A，求出函数的定义域即可判断B，换元令，可得，结合二次函数单调性分析求解C，根据偶函数的性质求出函数的对称轴，即可判断D. 【详解】对于A：圆心角，又扇形弧长为， 所以扇形的半径，所以扇形的面积，故A正确； 对于B：对于函数，令，解得， 所以函数的定义域为，则单调递减区间不可能为，故B错误； 对于C：设，则，可得， 因为在上单调递增，且当时，， 可得，所以函数的值域为，故C正确； 对于D：定义在上的函数是偶函数， 则，所以关于对称，故D错误. 故选：AC 11. 若实数满足，则的大小关系可能的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】令，用表示出，然后在同一坐标系下画出关于的函数表达式的图像，结合图像进行判断. 【详解】令， 得，，， 在同一坐标系内作出函数，，的图象， 则，，分别是函数，，，的图象与直线（）交点的纵坐标， 观察图象得，当时，；当时，；当时，， 因此B，C，D都可能，A不可能. 故选：BCD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 函数的图像恒过定点___________ 【答案】 【解析】 【分析】 根据指数函数过定点,结合函数图像平移变换,即可得过的定点. 【详解】因为指数函数（,且）过定点 是将向左平移2个单位得到 所以过定点. 故答案为：. 13. 已知定义在上的偶函数在上单调递增，则不等式的解集为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据偶函数及单调性列不等式求解即可． 【详解】由偶函数知，由单调性知，解得， 所以解集为． 故答案为：． 14. 已知函数且，若，则的最小值___________． 【答案】9 【解析】 【分析】先对因式分解化简不等式，再根据两函数单调性与零点关系得，最后用均值不等式求的最小值. 【详解】， 又，所以成立等价于， 又在定义域上单调递增且零点为， 在定义域上单调递增且零点为2a， 所以函数与函数在定义域内函数值符号相同且零点相同， 则应满足，即， 所以，当且仅当等号成立. 故答案为：9. 四、解答题：（本大题共5大题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. （1）若，用a，b表示； （2）化简 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用指数与对数的互化及换底公式进行化简. （2）利用诱导公式化简. 【详解】（1）， . （2）. 16. 已知集合，． （1）求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由结合一元二次不等式求解，再结合对数函数单调性，得到，再由分式不等式求解得到，结合集合补集、交集运算即可求解； （2）由，得到，由和两类情况讨论求解即可. 【小问1详解】 由题知 即，即 得，得即 不等式可化为，所以， 所以， 所以； 【小问2详解】 因为，则 当时，即，满足； 当时， 要使，则，解得：； 综上：实数的取值范围为： 17. 已知函数，其中的部分图象如图所示： （1）求的解析式； （2）将曲线向右平移个单位长度后，再将曲线上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到曲线，求函数的单调递减区间和对称轴方程； 【答案】（1）； （2）单调递减区间为 ；对称轴. 【解析】 【分析】（1）根据函数的最大值及最小值可得A及b的值，再结合周期可得的值； （2）先通过平移可得，再通过整体代换可得单调区间及对称轴. 【小问1详解】 因为，所以，解得, 设的周期为，则， 当时，，又． 【小问2详解】 由（1）知，,, 令得：. 的单调递减区间为.令 的对称轴方程为. 18. 已知函数为奇函数. （1）判断函数的单调性，并用定义证明； （2）若存在实数，使得成立，求实数的取值范围； （3）若的解集为R，求实数的取值范围． 【答案】（1）单调递增，证明见解析； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）先由为奇函数解得参数，再利用作差法证明函数单调性即可； （2）由函数的奇偶性与单调性，将转化为，再运用换元法令（），得，再利用二次函数的单调性求出的最小值，即可得解； （3）运用换元法，令，因此可转化为，再分类讨论的符号，即可得解. 【小问1详解】 因为函数为奇函数，定义域为， 所以，即， 此时，则，满足题意， 所以. 判断在R上单调递增， 证明：， 任取，且， 则 因为，则， 故， 即，所以在R上单调递增. 【小问2详解】 由，即， 因为函数在上单调递增，所以，即， 由题意，存在实数，使得成立，则， 令（），则， 因为，所以，当时，， 即，所以k的取值范围为. 【小问3详解】 令，的值域为， 不等式变为，因式分解得， 所以，当时，不等式恒成立， 若，不等式解为，需，则， 若，不等式解为，需，所以 ， 若，不等式为，不成立. 综上，的取值范围为. 19. 已知函数，定义集合. （1）若，，求的值; （2）若，，求; （3）已知，若集合中含有唯一的整数，求满足条件的的取值范围. 【答案】（1）2 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将代入解不等式，由解集可确定； （2）根据三角函数单调性及其值域可得出； （3）对的取值分类讨论，求出不等式，再对的取值分类讨论并根据集合中含有唯一的整数，即可求得的取值范围. 【小问1详解】 由得等价于， 又， ． 【小问2详解】 易知， 又，， 令， 当时，所以； 当时，所以； 综上可得. 【小问3详解】 易知， 所以可得； 易知图象如下： 令，解得或或； 因此等价于 ①时，式的解集为 又中只含一个整数，； ②时，式的解集为 满足题意； ③时，式式的解集为 又中只含一个整数，； ④，式的解集为不合题意，舍去； ⑤，式的解集为 又 中只含一个整数， ； ⑥时，式的解集为满足题意； ⑦时，式的解集为 又中只含一个整数，故. 综上所述：的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $