第一章直线与圆单元测试卷-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

直线与圆单元测试卷 （考试时间 120 分钟　满分 150 分） 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．直线的一个方向向量为（　　） A． B． C． D． 2．已知圆与直线相切，则实数（　　） A． B．0 C． D．0或 3．已知圆的圆心在第二象限，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 4．已知圆与圆交于、两点，则（　　） A． B． C． D． 5．已知实数满足方程，求的最大值和最小值（　　） A． B． C． D． 6．已知点在圆内，则直线与圆（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上均有可能 7．已知直线：被圆截得的弦长为，则直线的斜率为（　　） A． B． C． D． 8．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则下列说法正确的是（　　） A．点的轨迹是一条线段 B．的最大值为2 C．的最大值为4 D．点到直线的距离的最大值为 二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。 9．已知直线，圆，则下列说法正确的是（　　）. A．直线过定点 B．圆心到直线距离的最大值是 C．直线被圆截得的弦长最小值为 D．若点在圆上，则的取值范围为 10．已知圆：与圆：，则以下结论正确的是（　　） A．若过点与圆相切的直线有且只有条，则 B．若直线过点，且平分圆的周长，则的方程为： C．若圆与圆有且只有2条公切线，则 D．若，则圆与圆的公共弦长为 11．瑞士数学家欧拉1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心､重心､垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点､，其欧拉线方程为，则顶点的坐标可以是（　　） A． B． C． D． 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12．已知两条直线和相交于点，则过两点，的直线的方程为________. 13．若直线与直线的夹角为，实数m的值为 _____ ． 14．已知圆C：，点在直线上运动.若C上存在点Q，使，则的取值范围是___________. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知点满足，求：（13分） (1)的最大值与最小值；(2)的最小值． 16．已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为．(1)求顶点的坐标；(2)若点为边上一点，且的面积为求点的坐标.（15分） 17．已知圆的圆心在直线上，且与轴相切于点．（15分） (1)求圆的方程；(2)过点的直线与圆相切，一个切点为，求切线长； (3)已知过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程． 18．已知圆过与两点，且关于直线对称．（17分） (1)求圆的方程；(2)过点作圆的切线，求的方程； (3)过点的直线与圆交于E，F两点，且为线段AF的中点，求的斜率． 19．在平面直角坐标系中，已知点和，动点P满足（且）．（17分） (1)证明动点P的轨迹为圆，并指出圆心坐标及半径．(2)设时，动点P的轨迹为圆C，过点作直线，其中与圆C交于点D，F，与圆C交于点E，G． （i）若的面积为，求直线的方程；（ii）若，求四边形DEFG的面积S的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 直线与圆单元测试卷（解析版） （考试时间 120 分钟　满分 150 分） 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．直线的一个方向向量为 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 由 的一个方向向量是 ， 取直线 的方向向量为 ，即 。 因为 ，与 反向共线，所以 也是直线的一个方向向量； 而 、、 均与 不共线。故选 B。 2．已知圆与直线相切，则实数 A． B．0 C． D．0或 【答案】D 【解析】 圆 的圆心为 ，半径 。 直线 与圆相切，故圆心到 的距离等于半径： 。 两边平方得 ，整理得 ，解得 或 。 两个值都满足原方程（ 恒大于 ，平方不会产生增根），故选 D。 3．已知圆的圆心在第二象限，则实数的取值范围为 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 配方得 ， 故圆心为 ，半径的平方为 。 圆心在第二象限，横坐标 自动满足，只需纵坐标 ； 又该方程表示圆，需 ，即 ，分解得 ，解得 。 取交集得 。故选 B。 4．已知圆与圆交于、两点，则 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 圆 的圆心为 ，半径 。 两圆方程相减（ 的方程减 的方程）得 ， 即 ，这就是公共弦 所在直线的方程。 圆心 到该直线的距离 。 由垂径定理得 。故选 A。 5．已知实数满足方程，求的最大值和最小值 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 方程化为 ，表示以 为圆心、 为半径的圆。 的几何意义是圆上一点与原点 连线的斜率。设 ，即 ， 当直线 与圆相切时 取得最值，此时圆心到直线的距离等于半径：。 两边平方得 ，解得 。 所以 的最大值为 ，最小值为 。故选 C。 6．已知点在圆内，则直线与圆 A．相交 B．相切 C．相离 D．以上均有可能 【答案】C 【解析】 点 在圆 内，故 。 圆心 到直线 （即 ）的距离 。 因为 ，所以 ，即 ，直线与圆相离。故选 C。 7．已知直线：被圆截得的弦长为，则直线的斜率为 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 圆 的圆心为 ，半径 。 弦长为 ，故弦心距 。 又 ， 所以 ，即 。 与 联立解得 ，。 由 得 。 因 ，所以 ，直线的斜率存在，， ，故 。故选 B。 8．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则下列说法正确的是 A．点的轨迹是一条线段 B．的最大值为2 C．的最大值为4 D．点到直线的距离的最大值为 【答案】C 【解析】 在 中取 恒成立，故它恒过定点 ； 化为 ，恒过定点 。 两直线的方向向量分别为 与 ，而 ， 故两直线始终垂直，即 °，所以点 在以 为直径的圆上（轨迹是圆而不是线段），A 错误。 由 ： 选项B：，最大值为 ，B 错误。 选项C：，当 时取等号， 此时点 满足条件（在圆上可取得），故 的最大值为 ，C 正确。 选项D：点 所在圆的圆心是 的中点 ，半径为 ，且这个圆心就在直线 上， 故点 到直线 的距离的最大值等于半径 ，D 错误。故选 C。 二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。 9．已知直线，圆，则下列说法正确的是 A．直线过定点 B．圆心到直线距离的最大值是 C．直线被圆截得的弦长最小值为 D．若点在圆上，则的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 圆 的圆心为 ，半径 。 选项A： 的方程即 ，由 且 得 ， 即直线 恒过定点 ，A 正确。 选项B：设圆心 到 的距离为 。因 过定点 ，所以 ， 而 ，当 时取到等号， 故 的最大值为 ，B 错误。 选项C：弦长 ， 最大时弦长最小， 故弦长的最小值为 ，C 正确。 选项D： 在圆 上，则 ， 而 ，所以 ，D 正确。故选 ACD。 10．已知圆：与圆：，则以下结论正确的是 A．若过点与圆相切的直线有且只有条，则 B．若直线过点，且平分圆的周长，则的方程为： C．若圆与圆有且只有2条公切线，则 D．若，则圆与圆的公共弦长为 【答案】BC 【解析】 圆 即 ，圆心 ，半径 ； 圆 的圆心为 ，半径 。 选项A：过点 作圆 的切线，因 ， 点 在圆 外部，过它可作圆 的 条切线，不可能有且只有 条，A 错误。 选项B：直线 平分圆 的周长，即 过圆心 ； 又 过 ，故其斜率 ，方程为 ，即 ，B 正确。 选项C：两圆有且只有 条公切线，等价于两圆相交，即 ， 也就是 ，解得 ；又 ，所以 ，C 正确。 选项D： 时 ，即 ， 与 相减得公共弦所在直线 。 圆心 到该直线的距离 ，， 故公共弦长为 ，D 错误。故选 BC。 11．瑞士数学家欧拉1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心､重心､垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点､，其欧拉线方程为，则顶点的坐标可以是 A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】 的中点为 ，， 故 的垂直平分线斜率为 ，方程为 ，即 。 外心在欧拉线 上，联立 与 ， 解得外心 。 外接圆半径 ， 所以外接圆方程为 。 设 ，则 △ABC 的重心为 。 重心在欧拉线上，故 ，整理得 。 又 在外接圆上，把 代入得 ， 展开整理得 ，即 ，解得 或 。 所以 或 ，即顶点 的坐标可以是 或 。故选 AD。 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12．已知两条直线和相交于点，则过两点，的直线的方程为________. 【答案】 【解析】 两条直线都过点 ，所以 ，， 即 （）。 把 、 的坐标代入 都得到 ， 即两点都在直线 上。两点确定一条直线，故所求直线方程为 。 故答案为 。 13．若直线与直线的夹角为，实数m的值为 _____ ． 【答案】0 【解析】 直线 的法向量为 ，直线 的法向量为 。 设两直线夹角为 ，则 。 由 得 ，故 ，即 。 展开得 ，解得 。 检验： 时直线为 ，它与 的夹角确为 ，符合题意。 故答案为 0。 14．已知圆C：，点在直线上运动.若C上存在点Q，使，则的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 圆 的圆心为 ，半径 。 点 到圆心 的距离 ，故 恒在圆外，过 的切线存在。 设 在圆上，作 于 ，则 。 在 Rt△PCH 中 ，当 与圆相切时 最大， 所以圆上存在点 使 °，等价于最大角不小于 °，即 ，得 。 点 在直线 上，故 ， 。 由 得 ，即 ，解得 。 故 的取值范围是 。 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知点满足，求：（13分） (1)的最大值与最小值；(2)的最小值． 【答案】（1） 的最大值为 ，最小值为 ；（2） 【解析】 （1） 表示以 为圆心、 为半径的圆。 设 ，则直线 与圆有公共点，圆心到它的距离不超过半径： ，即 ，解得 。 所以 的最大值为 ，最小值为 。 （2） 的几何意义是圆上点 到定点 的距离的平方。 因 ，故 的最小值为 ， 所以 的最小值为 。 16．已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为．(1)求顶点的坐标；(2)若点为边上一点，且的面积为求点的坐标.（15分） 【答案】（1），；（2） 【解析】 （1）设 。 在边 上的高 上，故 ； 的中点 在边 上的中线 上， 故 。联立解得 ，，即 。 设 。 在边 的中线 上，故 ； 又 与 边上的高 垂直，故 ，即 。 联立解得 ，，即 。 （2）由 、 得 ， 直线 的方程为 ，即 。 由 △ABM 的面积为 ，即 ，得 到直线 的距离 。 直线 的方程为 ，即 ，且 在线段 上，故 。 设 ，由 得 或 。 与 联立：前者解得 ，点不在线段 上，舍去； 后者解得 ，，满足条件。所以 。 17．已知圆的圆心在直线上，且与轴相切于点．（15分） (1)求圆的方程；(2)过点的直线与圆相切，一个切点为，求切线长； (3)已知过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程． 【答案】（1）；（2）；（3） 或 【解析】 （1）圆 与 轴相切于点 ，说明圆心在 轴上，设圆心为 ，半径 。 圆心在直线 上，故 ，得 ，即 ，， 所以圆 的方程为 。 （2）设切点为 ，则 ，。 又 ， 所以 。 （3）圆半径为 ，弦长为 ，故弦心距 。 当直线 的斜率不存在时，，圆心 到它的距离为 ，符合题意； 当直线 的斜率存在时，设 ，即 ， 则 ，平方得 ， 解得 ，此时 。 综上，直线 的方程为 或 。 18．已知圆过与两点，且关于直线对称．（17分） (1)求圆的方程；(2)过点作圆的切线，求的方程； (3)过点的直线与圆交于E，F两点，且为线段AF的中点，求的斜率． 【答案】（1）；（2） 或 ；（3） 或 【解析】 （1）圆 关于直线 对称，故圆心在 上； 圆 过 、 两点，故圆心也在这两点连线的垂直平分线上。 这两点连线的斜率 ，中点为 ， 故垂直平分线方程为 ，即 。 联立 与 解得圆心 ， 半径 ， 所以圆 的方程为 ，即 。 （2）当切线 的斜率不存在时，，圆心 到它的距离为 ，恰好与圆相切，符合； 当切线 的斜率存在时，设 ，即 ， 则 ，平方得 ， 解得 ，此时 。 综上， 的方程为 或 。 （3）设弦 的中点为 ，则 。因为 是 的中点、 是 的中点， 所以 ，从而 。记 ，，则 。 在 Rt△CNE 中 ；在 Rt△CNA 中 ， 而 ，故 。 两式相减得 ，即 ，所以 ，， 即圆心 到直线 的距离为 。 直线 过 ，设 ，即 ， 则 ，平方得 ， 整理得 ，解得 或 。 所以直线 的斜率为 或 。 19．在平面直角坐标系中，已知点和，动点P满足（且）．（17分） (1)证明动点P的轨迹为圆，并指出圆心坐标及半径．(2)设时，动点P的轨迹为圆C，过点作直线，其中与圆C交于点D，F，与圆C交于点E，G． （i）若的面积为，求直线的方程；（ii）若，求四边形DEFG的面积S的最小值． 【答案】（1）动点 的轨迹是圆，圆心为 ，半径为 ；（2）（i）；（ii） 【解析】 （1）设 ，则 ，。 由 得 ， 展开整理得 。 因为 且 ，两边同除以 并配方，得 。 因为 ，所以动点 的轨迹是圆， 圆心坐标为 ，半径为 。 （2）当 时，圆心为 ，半径 ， 所以圆 ，圆心 ，半径 。 （i）因 ，点 在圆 内。 设圆心 到直线 的距离为 ，则 ， 以 为底、圆心到 的距离 为高，得 ， 两边平方得 ，解得 或 。 因为过点 的直线到圆心的距离不超过 ，所以 舍去，取 。 此时垂足恰为 ，即 ；而 与 轴平行，所以 轴， 又 过 ，故 的方程为 。 （ii）因为 ，四边形 的两条对角线 与 互相垂直， 所以 。设圆心 到 、 的距离分别为 、， 由 且都过点 ，得 。 于是 。 记 ，则 ，， 。 当 或 时 取最小值 ，即有一条直线与 重合时， 取最小值 。所以四边形 面积的最小值为 。 学科网（北京）股份有限公司 $