第二章 直线与圆的方程限时训练卷02-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册
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摘要：
**基本信息**
直线与圆的方程单元卷，覆盖直线平行条件、圆的切线、轨迹方程等核心知识点，梯度设计合理，适配新授课基础巩固与数学思维提升。
**题型特征**
|题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色|
|----|-----------|----------|----------|
|单选|8/40|直线平行条件（第1题）、光线反射路程（第2题）|结合数学眼光，通过几何直观考查概念辨析|
|多选|3/18|直线定点与垂直（第9题）、圆上点距离最值（第10题）|体现数学思维，注重逻辑推理与多解分析|
|填空|3/15|点到直线最大距离（第12题）、线段和最小值（第13题）|运用数学语言，简化实际问题为数学模型|
|解答|5/77|圆的切线方程（第17题）、轨迹方程与面积最值（第18题）|综合数学思维与语言，考查问题解决与创新应用|
内容正文：
第二章 直线与圆的方程限时训练卷02
（限时120分钟，分值：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（25-26高二上·浙江·期中）“”是“直线与直线互相平行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】根据两条直线平行求解参数.
【详解】因为两条直线平行，所以.
所以“”是直线与直线互相平行的既不充分也不必要.
故选：D.
2．（25-26高二上·安徽芜湖·期中）已知直线，从点射出的光线经直线反射后经过点，则光线从到的路程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求点关于直线的对称点为的坐标，再求的距离即可.
【详解】设点关于直线的对称点为，
则有，解得，即
因为光线从A到的路程即的长，而.
所以光线从A到的路程为.
故选：D.
3．（25-26高二上·广东东莞·期中）已知点，，若过点的直线与线段相交，则该直线斜率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】求得直线和的斜率，再结合图象即可求解.
【详解】记为点，直线的斜率，直线的斜率，
因为直线l过点，且与线段相交，
结合图象，可得直线的斜率的取值范围是．
故选：B．
4．（25-26高二下·广东深圳·期中）如果实数满足等式，那么的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将其看作为过原点的直线的斜率，数形结合进行求解.
【详解】中，解得，
由题意可得设过原点的直线的斜率为，即直线方程为，
同一坐标系内画出草图，
由图可得当直线与圆相切时，斜率最小或最大，圆心为，半径为，
则，解得或，
所以的最小值是.
5．（2026·海南海口·模拟预测）在平面直角坐标系中，圆：，过点且斜率存在的直线与圆相交于，两点，若，则圆心到直线的距离为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】A
【详解】因为，所以点在线段垂直平分线上.
又因为圆心也在线段垂直平分线上，所以直线就是的垂直平分线.
因为，所以，
因为，
所以.
由题意得直线过点，那么直线为，一般形式为.
那么.
6．（2026·陕西榆林·模拟预测）当直线与圆相交所得弦长最短时，实数的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】求出直线过定点，求出圆的圆心和半径，当时，直线与圆相交所得弦长最短，根据斜率得到方程，求出答案.
【详解】直线过定点，
圆的标准方程为，则圆心为，半径为.
定点在圆内，当时，直线与圆相交所得弦长最短.
因为，所以直线的斜率为1，故，解得.
7．（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）已知直线（k为常数）与圆相离，P是l上的动点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B．若，则（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【详解】由题可知，圆的半径为3．
设，由题可知，．设与交于点．
由，可得，则，
因为取最小值的充要条件是取最小值，的最小值为圆心到的距离，即，
所以，解得，此时满足与圆相离．
8．（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）已知点，且点在直线上，则下列说法错误的是（ ）
A．存在点，使得
B．存在点，使得
C．（为坐标原点）的最小值为
D．的最小值为3
【答案】D
【分析】根据向量垂直的坐标关系，即可求解A，根据两点距离公式即可求解B，根据点到直线的距离即可求解C，利用对称即可求解D.
【详解】因为点在直线上，所以设.
对于A，因为点，
所以直线的方向向量分别为，.
若，则，即，化简得.
因为，所以此方程有两个不相等的实数根，
所以存在点，使得，故A正确.
对于B，由，，
得，化简得.
因为，所以此方程有两个不相等的实数根，
所以存在点，使得，故B正确.
对于C，的最小值为点到直线的距离，由题意得，故C正确.
对于D，因为点，所以线段的方程为，.
在中，令，解得，
所以点不在线段上，即点在直线的同侧.
设点关于直线的对称点为，
则当点为线段与直线的交点时，取得最小值，最小值为.
由题意，得，解得，
所以，即的最小值为，故D错误，
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（25-26高二上·贵州遵义·期末）已知直线，，则下列说法正确的是（ ）
A．过定点 B．若，则
C．若，则 D．若与的纵截距相等，则
【答案】ABC
【分析】对于A，由即可求解判断；对于B，通过即可判断；对于C，由，并验证是否重合即可判断；对于D，由截距概念列出等式求解即可判断.
【详解】对于A，由直线，得，
由解得，，即过定点，正确；
对于B，当时，直线，，
则，故，则，正确；
对于C，若，可得，解得或，
又当时，直线，重合，舍去，
当时，直线，，平行，
综上，正确；
对于D，若与的纵截距相等，则，
对于直线，令得，
对于直线，令得，
由，解得，错误；
故选：ABC
10．（25-26高一下·重庆·期末）已知点是圆上一动点，点，点，则（ ）
A．圆心的坐标为
B．点到直线的距离的最小值为
C．面积的最大值为
D．若点满足，则的最大值为
【答案】ABD
【分析】将圆方程配方得到圆心坐标，选项A直接判断；选项B先求出直线 的方程，圆心到直线距离减去半径即得圆上点到直线距离的最小值；选项C以 为底，最大高为圆心到直线距离加半径，计算面积后与选项值比较；选项D由 得点 的轨迹圆，再求两圆上点距离的最大值（圆心距加两半径之和），与选项数值核对即可．
【详解】对于A选项，将圆化为标准方程，故圆心为，所以A正确；
对于B选项，直线的方程为，所以圆心到直线距离，半径，故点到直线的距离最小值，所以B正确；
对于C选项，，点到距离最大值为，
所以面积最大为，不是，所以C错误；
对于D选项，由，设， 所以
整理得，所以
所以点的轨迹是圆心为，半径的圆，
因为在圆上，在圆上，
两圆圆心距，两圆半径分别为，，
所以最大距离为：，所以D正确．
11．（25-26高一下·陕西西安·期末）已知点在圆：上运动.则下列结论正确的是（ ）
A．的最大值为
B．的最小值为
C．若过点且斜率为的直线与轴交于点，则线段长度的取值范围为
D．若，，则的最小值为
【答案】ACD
【分析】先由圆的方程可得圆心坐标及半径，对A转化为直线与圆有交点时斜率最大值可得；对B转化为直线与圆有公共点时的最小值；对C设出直线方程求得点坐标，再用两点距离公式并结合圆点坐标范围可得；对D直接转化圆上的点到原点的距离的最小值问题可得.
【详解】对原圆方程配方得，圆心，半径
对A选项，令表示点与原点连线的斜率，即直线与圆有交点.
所以圆心到直线的距离，即，
平方整理得： ， 解得，
故最大值为，A正确.
对B选项，设，即，即直线与圆有公共点，
所以圆心到直线距离 ，即，
解得， 所以的最小值为，不是，故B错误；
对C选项，过斜率为的直线为，
令，得， ，
因为在圆上，所以，因此，故C正确；
对D选项，设，，，
所以，
因为，所以
，
所以，故D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（2026高三·全国·专题练习）点到直线的最大距离是______．
【答案】
【分析】分析直线恒过定点，进而利用几何关系结合两点间距离公式求解最大距离.
【详解】由，得，对任意，
当时，恒成立，即直线恒过定点.
设点到直线的距离，满足：，
当且仅当直线时，等号成立，即最大距离为.
，
因此点到直线的最大距离为.
13．（25-26高二上·安徽芜湖·期末）已知点、，是直线上的动点，则的最小值为______．
【答案】
【分析】求出点关于直线的对称点的坐标，可得出，于是得出，利用当点为线段与直线的交点时，取最小值即可得解.
【详解】如图所示，设点关于直线的对称点为，
则，即，解得，即，
所以，
当且仅当点为线段与直线的交点时，等号成立，
故的最小值为.
故答案为：.
14．（25-26高一下·河北·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，，点在内部（含边界）一点，且满足，则的最小值为________．
【答案】．
【分析】根据题意化简可得点在以为圆心，半径为1的圆及其内部，同时点是内部（含边界），化简，可将问题转化为求的最小值，结合图形分析即可求解.
【详解】设，则,
由，
即，
所以点在以为圆心，半径为1的圆及其内部，同时点在内部（含边界），的边界为，
由于，
且的最小值，即求的最小值，
令，则，所以当与圆相切时，取得最值，
则，
解得：，
结合点是内部（含边界），取时，取得最小值，
最小值为
四、解答题：本大题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（25-26高二上·重庆·期中）求经过直线：，：的交点，且满足下列条件的直线的方程：
(1)倾斜角为的直线；
(2)与直线平行的直线；
(3)与直线垂直的直线．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）求得直线l1与l2的交点，根据直线的点斜式方程求得直线的方程，并转化为一般式方程；
（2）根据平行求出直线l4的斜率，直接写出其点斜式方程，并转化为一般式方程；
（3）根据垂直求出直线l5的斜率，直接写出其点斜式方程，并转化为一般式方程.
【详解】（1）联立直线方程得解得：，∴交点
∵直线的倾斜角为，∴
∴直线的点斜式方程为：，化为一般式：.
（2）∵直线与直线平行，∴
∴直线的点斜式方程为：，化为一般式：.
（3）∵直线与直线垂直，∴，∴
∴直线的点斜式方程为：，化为一般式：.
16．（2026高三·全国·专题练习）一元二次方程有两个根，一个根在区间内，另一个根在区间内，求：
(1)点对应的区域的面积；
(2)的取值范围；
(3)的值域．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由方程根的情况得到关于的不等式组，在坐标系中作出不等式组表示的区域，即表示的区域即可求面积.
（2）利用表示的是点和连线的斜率，算出，即可得到取值范围.
（3）表示区域内的点与定点之间距离的平方，再算出，，即可得到范围.
【详解】（1）方程的两根在区间和上的几何意义分别是：函数与轴的两个交点的横坐标分别在区间和内，
由此可得不等式组．
由，解得．
由，解得．
由，解得．
∴如图所示的坐标平面内，满足约束条件的点对应的平面区域为（不包括边界）．
设为到轴的距离，则．
（2）的几何意义是点和连线的斜率．
，，
由图可知，
，即．
（3）表示区域内的点与定点之间距离的平方，
又，，，
．
17．（25-26高二上·云南曲靖·期末）已知圆及直线．
(1)求过点的圆的切线方程；
(2)找出不论取什么实数时直线恒经过的点，并证明：直线与圆恒相交；
(3)求直线被圆截得的最短弦的长．
【答案】(1)和
(2)，证明如下：
可变形为，
令，解得，所以直线恒经过点，
因为，所以点在圆内部，
所以直线l与圆C恒相交.
(3)
【分析】（1）考虑切线斜率是否存在，结合圆心到直线的距离等于半径求解；
（2）将直线方程重新整理为然后求得定点，由点和圆的位置关系判断点在圆内得出直线和圆相交；
（3）由几何关系，当直线垂直于定点和圆心的连线时弦长最短.
【详解】（1）由题意圆的方程为：，
所以圆心，则，点在圆外，
当切线斜率不存在时，其方程为，满足题意，
当切线有斜率时，设切线斜率为，则切线方程为，
则圆心到直线的距离为，
所以直线方程为，即．
综上可得：切线方程为和
（2）略
（3）当直线l被圆C截得的弦长最短时，此弦与过圆心和点所在的直线垂直，
设弦的斜率为，则，
弦方程为，即，
所以圆心到直线的距离为，
所以弦长为.
18．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知圆，点在圆上运动，且为动线段的中点.
(1)求点的轨迹的方程；
(2)已知点，求过点且与（1）中曲线相切的直线方程；
(3)过定点的动直线与（1）中曲线交于两点且三点不共线，求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)和
(3)
【分析】（1）设点在圆上，，根据中点坐标公式用表示，代入方程整理即可得解；
（2）分类讨论过点的直线方程斜率存不存在，设出直线方程，根据直线与圆相切的判定，即可得出答案；
（3）根据弦长公式和弦心距公式求出的面积，结合二次函数的性质求面积的最大值即可.
【详解】（1）设点在圆上，
因为，为的中点，由中点坐标公式可得，，
解得，，
因为在圆上，代入得，
整理得.
所以轨迹的方程为 .
（2）由（1）可得曲线是圆心为，半径的圆，
当斜率存在时，设切线方程为，即，
圆心到直线的距离，
解得，此时切线方程为 ；
斜率不存在时：直线到圆心的距离为 ，等于半径，故也圆的是切线；
综上所求切线方程为和.
（3）设圆心到直线的距离为，
则弦长，面积，
因为直线过定点，所以,，
令，则，，
易知在单调递增，所以，
所以，即面积最大值为.
19．（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知圆心为的圆经过，两点，且圆心在直线上．
(1)求圆的标准方程．
(2)过直线：上的点作圆的切线，，切点分别为，．
①求四边形面积的最小值；
②当四边形的面积最小时，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）设圆心和半径得出标准方程，再利用已知两点在圆上及圆心所在直线列方程组，求出圆心坐标及半径，进而求出圆的方程；
（2）利用圆的几何性质，结合点到直线的距离公式及直线与圆的位置关系求出面积最小值；当四边形面积最小是，求出所在直线方程，进而求出点坐标，从而求出为直径的圆的方程，联立两圆方程求出交点所在直线方程．
【详解】（1）设圆的圆心为，半径为，则圆的标准方程为（），
圆心为的圆经过，两点，且圆心在直线上，
，解得
圆的标准方程为．
（2）
①圆心到直线的距离，
由（1）可知圆的半径，则，
四边形的面积，
四边形面积的最小值为；
②当四边形的面积最小时，直线的方程为，
由，得，即的坐标为，
，，，在以为直径的圆上，
，，
设为直径的圆的圆心为，半径为，则标准方程为，
，
为直径的圆的方程为，
，在圆上，
直线的方程为，即．
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第二章 直线与圆的方程限时训练卷02
（限时120分钟，分值：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（25-26高二上·浙江·期中）“”是“直线与直线互相平行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（25-26高二上·安徽芜湖·期中）已知直线，从点射出的光线经直线反射后经过点，则光线从到的路程为（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26高二上·广东东莞·期中）已知点，，若过点的直线与线段相交，则该直线斜率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．（25-26高二下·广东深圳·期中）如果实数满足等式，那么的最小值是（ ）
A． B． C． D．
5．（2026·海南海口·模拟预测）在平面直角坐标系中，圆：，过点且斜率存在的直线与圆相交于，两点，若，则圆心到直线的距离为（ ）
A．1 B．2 C． D．
6．（2026·陕西榆林·模拟预测）当直线与圆相交所得弦长最短时，实数的值为（ ）
A．1 B． C． D．
7．（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）已知直线（k为常数）与圆相离，P是l上的动点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B．若，则（ ）
A． B． C．1 D．
8．（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）已知点，且点在直线上，则下列说法错误的是（ ）
A．存在点，使得
B．存在点，使得
C．（为坐标原点）的最小值为
D．的最小值为3
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（25-26高二上·贵州遵义·期末）已知直线，，则下列说法正确的是（ ）
A．过定点 B．若，则
C．若，则 D．若与的纵截距相等，则
10．（25-26高一下·重庆·期末）已知点是圆上一动点，点，点，则（ ）
A．圆心的坐标为
B．点到直线的距离的最小值为
C．面积的最大值为
D．若点满足，则的最大值为
11．（25-26高一下·陕西西安·期末）已知点在圆：上运动.则下列结论正确的是（ ）
A．的最大值为
B．的最小值为
C．若过点且斜率为的直线与轴交于点，则线段长度的取值范围为
D．若，，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（2026高三·全国·专题练习）点到直线的最大距离是______．
13．（25-26高二上·安徽芜湖·期末）已知点、，是直线上的动点，则的最小值为______．
14．（25-26高一下·河北·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，，点在内部（含边界）一点，且满足，则的最小值为________．
四、解答题：本大题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（25-26高二上·重庆·期中）求经过直线：，：的交点，且满足下列条件的直线的方程：
(1)倾斜角为的直线；
(2)与直线平行的直线；
(3)与直线垂直的直线．
16．（2026高三·全国·专题练习）一元二次方程有两个根，一个根在区间内，另一个根在区间内，求：
(1)点对应的区域的面积；
(2)的取值范围；
(3)的值域．
17．（25-26高二上·云南曲靖·期末）已知圆及直线．
(1)求过点的圆的切线方程；
(2)找出不论取什么实数时直线恒经过的点，并证明：直线与圆恒相交；
(3)求直线被圆截得的最短弦的长．
18．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知圆，点在圆上运动，且为动线段的中点.
(1)求点的轨迹的方程；
(2)已知点，求过点且与（1）中曲线相切的直线方程；
(3)过定点的动直线与（1）中曲线交于两点且三点不共线，求面积的最大值.
19．（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知圆心为的圆经过，两点，且圆心在直线上．
(1)求圆的标准方程．
(2)过直线：上的点作圆的切线，，切点分别为，．
①求四边形面积的最小值；
②当四边形的面积最小时，求直线的方程．
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