15.1.2线段的垂直平分线（第一课时 线段垂直平分线的判定与性质）（教学课件）数学新教材人教版八年级上册

15.1.2线段的垂直平分线 第一课时 线段垂直平分线的判定与性质 第十五章 轴对称 人教版（新教材）·八年级上册 学 习 目 标 1 2 3 1. 理解并掌握线段垂直平分线的性质定理与判定定理，能正确用几何符号语言表述两者； 2. 能运用性质定理进行线段相等的转化，解决线段相等的证明与三角形周长的计算问题； 3. 了解原命题、逆命题、互逆命题与互逆定理的含义，能说出一个简单命题的逆命题，并举例判断其是否成立。 1. 经历“情境观察—操作猜想—逻辑证明—符号表征—应用迁移”的完整探究过程，体会从特殊到一般、由具体到抽象的研究方法； 2. 通过与角平分线的性质、判定进行类比，体会互逆命题的结构，初步学会“交换题设与结论构造新命题”的逆向思维方法。 1. 从“瓷片复原”等真实情境中感受轴对称的应用价值与数学美，激发探究兴趣； 2. 在“猜想必须经过证明”“逆命题不一定成立”的学习体验中养成严谨求实的科学态度； 教学重难点 重点 难点 线段垂直平分线的性质定理与判定定理的探究、证明及初步应用；性质与判定的文字语言与几何符号语言的规范表述。 1.性质与判定的区别与正确选用（题设与结论的互换）； 2.判定一条直线是线段的垂直平分线时需要“两个点、两组线段相等”这一关键； 3.原命题与逆命题的辨析以及逆命题真假的判断。 情景导入 《瓷片中的中垂线秘密》 新知探究 探究 如图，直线垂直平分线段，点， ， ，…在上，分别比较点， ， ，…与点的距离和这些点与点的距离，你有什么发现? 猜想: 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 探究一、垂直平分线的性质 新知探究 已知:如图,直线垂直且平分线段,垂足是. 是上的任意一点. 求证:． 证明 ∵， ∴,. 在和中 ∴≌(). ∴. 探究一、垂直平分线的性质 新知探究 线段垂直平分线性质： 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 几何语言： ∵直线垂直且平分线段,在直线上 (或， )， ∴ 探究一、垂直平分线的性质 新知探究 探究一应用 1.如图所示，在中，边的垂直平分线分别交于点,交于点, 的周长为,且,则=______。 (2)若,,则的周长_________. 2.如图，的垂直平分线交于, (1)若的周长为，则=_____ (2)若，则=_____,=______. 新知探究 探究一、应用 3.如图，在中，，C的角平分线交于点，如果垂直平分，则=_______． 4.如图，中，为的中垂线，为的角平分线．若，则= . 5.如图,在中,,分别是边、的垂直平分线,,则= . A B C D E 新知探究 反过来，如果，那么点是否在线段的垂直平分线上？ 结论：点在线段的垂直平分线上． 已知：如图，． 求证：点在线段的垂直平分线上． 法一、证明取的中点，连接 ∵是，∴ ∵，∴ 在和中，∴≌(). ∴ ∵∴ ∵是, ∴是的垂直平分线，即点在线段的垂直平分线上 探究二、垂直平分线的判定 新知探究 已知：如图，． 求证：点在线段的垂直平分线上． 法二、过点作于点， ∴. 在和中， ∴≌(). ∴， ∴垂直平分，即点在线段的垂直平分线上. 探究二、垂直平分线的判定 新知探究 线段垂直平分线的判定： 到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 几何符号表示为： ∵， ∴点在的垂直平分线上． 探究二、垂直平分线的判定 新知探究 1.如图，判断下列各结论的正误: (1)若，则垂直平分. ( ) (2)若，则点在线段的垂直平分线上（ ） (3)若，,则垂直平分. （ ） 探究二、应用 √ √ 方法总结:线段垂直平分线的判定方法： (1)由点P到线段AB两端的距离相等，得出点P在线段AB的垂直平分线上； (2)由点O到线段AB两端的距离相等，得出点O在线段AB的垂直平分线上； (3)由两点确定一条直线，得出直线OP是线段AB的垂直平分线. 简而言之，若两个点在线段的垂直平分线上，则经过这两点的直线是线段的垂直平分线.证明某条直线是垂直平分线需要两组线段相等 2.如图，,，点在直线上. 求证：. 证明：∵，， ∴直线是线段的垂直平分线. ∵点在直线上， ∴. 新知探究 探究二、应用 新知探究 探究三、原命题与逆命题 分析上面关于线段的垂直平分线的两个命题，它们的题设和结论有什么关系？ 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 题设 题设 结论 结论 这两个命题的题设、结论正好相反. 我们把具有这种关系的两个命题叫作互逆命题，如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题. 新知探究 探究三、原命题与逆命题 问：你还学习过其他具有类似关系的命题吗？ 角平分线上的点到角两边的距离相等； 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上 问：如果原命题成立，那么它的逆命题也成立吗？（可举例说明） 原命题：两直线平行，同位角相等（成立） 逆命题：同位角相等，两直线平行（成立） 原命题：对顶角相等 （成立） 逆命题：相等的角是对顶角 （不成立） 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理. 新知探究 探究三、应用 1.下列定理中，没有逆定理的是( ) A.两直线平行，内错角相等 B.直角三角形两锐角互余 C.对顶角相等 D.同位角相等，两直线平行 2.下列命题中，其逆命题不成立的是（ ） A.两条直线平行，同位角相等 B.全等三角形的对应边相等 C.若a=b,则a²=b² D.线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 C C 典例分析 例1.如图，已知比长，的垂直平分线交于，交于，的周长是，求和的长。 解：的垂直平分线交于点， ∴， ∵的周长是, ∴,即, 则 解得，,. 规律与方法： 利用线段的垂直平分线的性质求三角形周长的方法： (1)将封闭的三角形在某个顶点处“剪”开； (2)利用线段垂直平分线的性质转化其中一条边的位置，使其与另一边拼接在一起； (3)将三角形的周长转化为两条线段的和 典例分析 例2.如图，在中，边，的垂直平分线相交于点，连接，，. （1）求证. （2）点是否也在边的垂直平分线上？请说明理由. 证明(1)：∵点在，的垂直平分线上， ∴，. ∴. 解(2)：点也在边的垂直平分线上. 理由如下：由（1），得. ∴点在边的垂直平分线上. 典例分析 例3.说出下列命题的逆命题，这些逆命题成立吗？ (1)两条直线平行，内错角相等； (2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等； (3)全等三角形的对应角相等； 解(1)逆命题：内错角相等，两直线平行，成立； (2)逆命题：如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等，不成立； (3)逆命题：三个角对应相等的三角形全等，不成立； 1.如图，在中，，是的垂直平分线，连接，，求的度数 解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴. 变式训练 2.如图，，的垂直平分线交于点D． (1)若，求的度数； 解（1）：∵， ∴， ∵， ∴， ∵的垂直平分线交于点D， ∴， ∴， ∴； 变式训练 2.如图，，的垂直平分线交于点D． (2)若，，求的周长． 解（2）：∵，，， ∴． ∵， ∴ ， 即的周长为． 变式训练 3.如图，是的角平分线，分别是和的高，连接交于点． (1)求证：垂直平分． 证明(1)：是的角平分线， ， ，分别是和的高， ， ， ∴， ，， 、D都在线段的垂直平分线上， 垂直平分 变式训练 (2)若，求证：． 证明(2)：∵平分，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 变式训练 知 识 梳 理 课堂小结 线段的垂直平分线 性质 判定 原命题和逆命题 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 ∵直线垂直且平分线段,在直线上 (或， )， ∴ 到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． ∵， ∴点在的垂直平分线上． 课堂练习 1.下列命题的逆命题是真命题的是（     ） A．对顶角相等 B．全等三角形的面积相等 C．如果，那么 D．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 2.如图，四边形中，垂直平分，垂足为，下列结论不一定成立的是（ ） A. B.平分 C. D. ≌ 课堂练习 3.如图，的边的垂直平分线交于点，连接.若，，则= . 4.如图，在中，，，线段的垂直平分线交于点，交于点，则= . 课堂练习 5. 如图，在中，所在直线是的垂直平分线，交于点，交于点，连接. 若的周长为，的周长为，求的长. 解：∵垂直平分，∴，. ∵的周长为， ∴. 又的周长为， ∴. ∴. 课堂练习 6.如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，，的垂直平分线分别交，于点， (1)若，求的周长. 解(1)∵，分别垂直平分，， ∴，. ∴的周长为 . 课堂练习 6.如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，，的垂直平分线分别交，于点， (2)设直线，相交于点，连接，. ①试判断点是否在的垂直平分线上，并说明理由； ②若，则的度数为 　 　. 解(2)：①点在的垂直平分线上.理由如下： 如图，连接. ∵，分别垂直平分，， ∴，. ∴. ∴点在的垂直平分线上. 布置作业 必做：教材P67练习1、2、3 谢谢聆听 $