第二章 一元二次函数、方程和不等式 单元测试--2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高一数学人教A版必修第一册第二章单元卷，以天平称重、物流分组等实际情境为载体，覆盖不等式求解、基本不等式等核心知识，适配单元复习，培养数学眼光与思维。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8题/40分|不等式解集（第1题）、基本不等式求最值（第3题）|基础巩固与简单应用结合| |多选|3题/18分|不等式性质（第9题）、二次不等式解集（第11题）|注重推理意识考查| |填空|3题/15分|基本不等式最小值（第12题）、恒成立问题（第13题）|强化运算能力| |解答|5题/77分|集合与不等式（15题）、糖水不等式证明（17题）、靓点创新题（19题）|综合应用与创新探究，体现数学语言表达现实世界|

高一数学必修第一册秋季同步培优专项讲义 第二章一元二次函数、方程和不等式 注意事项： 1.测试范围：高一数学人教A版必修第一册第二章。 2.考试时间：120分钟试卷满分：150分。 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合要求的) x-4 1.不等式x-≤2的解集是() A.-2sxsi B.d-2≤x<1y c.x>1 D.dx≤-2或x>1 2.不等式x2-x-2<0的解集是() A.{-1<x<2} B.x<-1或x>2 c.x<-2或x> D.{纠-2<x< 3.已知a>0,b>0,且ab=a+b+3,则a+b的最小值是() A.1 B.3 C.6 D.9 4.已知命题D:x-l2L2-2x+a<0 真命题，则的取值范围为() A.[-3,+o) B.（-3,+o) C.(-0,-3) D.(-00,-3] 5.小明同学用一架两臂不等长的天平称20克药剂，他先将10克的砝码放在天平左盘中， 取出一些药剂放在天平右盘中使天平平衡；再将10克的砝码放在天平右盘中，再取出一些 药剂放在天平左盘中使天平平衡：最后将两次称得的药剂装入烧杯.你认为小明装入烧杯 中药剂的剂量() 1/5 高一数学必修第一册秋季同步培优专项讲义 A.小于20克 B.等于20克 C.大于20克 D.不能判 断 6.某物流公司有7件快递，按顺序重量分别为：6,3,8,2,5,4,7（百公斤），现按 原有顺序分成3组，分别装入3辆货车.设每辆货车装载的快递总重量为该车的“负荷”， 那么，这3辆货车中的最大负荷的最小值是() A.12 B.13 c.14 D.15 x-4 7.不等式x22的解集是（） {x-2≤x≤1} A {dx≤-2} B. c.-2≤x< 0 {xx>1} y+1 8.已知正数x,y,2满足3x+y+2=1,则z的最小值为() A.25 8.45 c85 D.16V5 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求的。全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。) 9.(多选)已知a>b>c>0,则下列不等式一定成立的有() A.d b c.c b。b+c B.aa+c C.a-e>b-g b2c2.a2 a b D.atb+c<atbte 10.(多选)已知a,b,c,deR,下列结论正确的是() A.若4>bd,则a>b B.若a>b,c>d,则ac>bd b+1、b C.若a>b>0,则a+1a 1、1、1 D.若a>b>c且ac>0,则a>b>e 2/5 高一数学必修第一册秋季同步培优专项讲义 11.(多选)已知关于x的一元二次不等式ar+bx+c>0的解集为M,则下列说法正确的 是() A.若M=0,则a<0且b2-4ac≤0 ab c B.若a6。,则关于x的不等式a2+bx+c>0的解集也为M C.若M=-1<x<2,则关于x的不等式a(r++b(x-+c<2m 的解集为 N={x|x<0x>3} 或 a+2b+4c D.若M={xx≠，为常数}，且a<b,则b-a的最小值为8 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。） 1+1=1 12.若x>0,y>0,且2x+1x+y,则2x+y的最小值为 13.已知>0，)y>0,若不等式+少≥(+刃恒成立，则实数长的最大值是 14,设>0，函数)=-2a-2x+3-a,若过'辅上-定点P00) 的任意直线 与（④的交点个数不可能为3个，则'的取值范围为 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 己知集合A=[9,13],B=[m+1,2m-1. ()若ACB,求实数m的取值范围： (2)若B二A,求实数m的取值范围. 16.(本小题满分15分) 已知集合4=到r-2x-3≤0yB=xa-1≤x≤3-a 3/5 高一数学必修第一册秋季同步培优专项讲义 若a=l,求1UB及(4nB (2)若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数a的取值范围， 17.(本小题满分15分) 己知b克糖水中有a克糖(b>a>0),往糖水中加入m克糖(m>0),（假设全部溶解)糖水 更甜了这就是著名的“糖水不等式” (1)请将上述事实表示为一个不等式，并证明该不等式成立； 20252026 (2)利用(1)的结论比较M= N=20252023 20272028' 20272025的大小. 18.(本小题满分17分) 已知函数 )-x-@a+d)x+daER) ()当a=-2时，解不等式f,<0: (2)当a>0时，解不等式f()≥0. 19.(本小题满分17分) 我们的定：在平面直角坐标系中，当点任八的坐标满足+y=时，称点伍儿为“视 点”，请你根据该约定，解答下列问题： 若点P(刀为“脱点”，则点2-x2- 是否为“靓点”？请作出你的判断并给出 证明： (2)当k>0时，求证：关于x的函数y=a+m(k,m为常数)的图象上总存在两个不同的 “靓点”； B1已知关于产的二次函数'=-4r+4如+2“为常数)的图象上存在三个不同的“靓 4/5 高一数学必修第一册秋季同步培优专项讲义 点”：），（，），(，)，且满足听++=++写，求“的值 5/5高一数学必修第一册秋季同步培优专项讲义 第二章 一元二次函数、方程和不等式 注意事项： 1．测试范围：高一数学人教A版必修第一册第二章。 2．考试时间：120分钟 试卷满分：150分。 1、 单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1．不等式的解集是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【详解】将不等式移项通分：， 两边同乘，不等号方向改变：，等价于，且， 解得或. 所以原不等式的解集为或. 2．不等式的解集是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】A 【详解】，， 即不等式的解集为. 3．已知，，且，则的最小值是（   ） A．1 B．3 C．6 D．9 【答案】C 【详解】∵ ，，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立. 又，代入上述不等式可得 设（），整理得， ∵ ，∴解得，当且仅当时等号成立，故的最小值为6. 4．已知命题为真命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为命题为真命题，故恒成立， 故恒成立， 设，此函数在上单调递增，在上单调递减， 且，故在上的最小值为， 故. 5．小明同学用一架两臂不等长的天平称20克药剂，他先将10克的砝码放在天平左盘中，取出一些药剂放在天平右盘中使天平平衡；再将10克的砝码放在天平右盘中，再取出一些药剂放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的药剂装入烧杯．你认为小明装入烧杯中药剂的剂量（    ） A．小于20克 B．等于20克 C．大于20克 D．不能判断 【答案】C 【详解】设天平左臂长为，右臂长为，且， 设第一次操作（药剂在右盘）称得的药剂为克， 第二次操作（药剂在左盘）称得的药剂为克， 则，解得， ， 当且仅当时，取等号，而，所以. 6．某物流公司有7件快递，按顺序重量分别为：6，3，8，2，5，4，7（百公斤）．现按原有顺序分成3组，分别装入3辆货车．设每辆货车装载的快递总重量为该车的“负荷”．那么，这3辆货车中的最大负荷的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】选项A：按顺序分组，若每组重量不超过，第一组最多装， 第二组最多装，剩余，不符合， 同理，其它分组方式总有一组大于12，故A错误； 选项B：按顺序分组，若每组重量不超过，第一组最多装， 第二组最多装，剩余，不符合； 另一种装法：第一组装6，第二组装，剩余， 不符合，同理，其它分组方式总有一组大于13，故B错误； 选项C：按顺序分组，若每组重量不超过，第一组最多装， 第二组最多装，剩余，不符合； 另一种装法：第一组装6，第二组装，剩余， 不符合，同理，其它分组方式总有一组大于14，故C错误； 选项D：按顺序分组，若每组重量不超过，第一组最多装， 第二组最多装，第三组，符合要求，故D正确． 7．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由可得， 即，解得， 所以不等式的解集为 8．已知正数，，满足，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用，结合基本不等式对进行放缩，得到关于的不等式，将目标式转化为只关于的单变量函数，对单变量函数求最值，可利用基本不等式求解，同时验证等号成立条件. 【详解】根据基本不等式，结合已知得， 整理得，当且仅当时等号成立. 把的上界代入目标式，可得， 对正数，由基本不等式，当且仅当即时等号成立， 代入得，当时，由和， 解得，均为正数，满足所有约束条件，等号成立，因此原式最小值为 . 2、 多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。） 9．（多选）已知，则下列不等式一定成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】对于A，由题意得 因为，所以， 所以，则，故A正确； 对于B，若，则，此时，故B错误； 对于C，因为，所以， 由A可知，所以，故C正确； 对于D，若，则，， 此时，故D错误. 10．（多选）已知，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，且，则 【答案】AC 【详解】对于选项A： ∵ ，可知，即，不等式两边同时除以正数，不等号方向不变. ∴ ，故A正确. 对于选项B： 取反例：，，，，满足，， 此时，，，不满足，故B错误. 对于选项C： 作差得. ∵ ，∴ ，. ∴ ，即，故C正确. 对于选项D： 取反例：，，，满足且， 此时，，，即，不满足. 故D错误. 11．（多选）已知关于的一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的是（     ） A．若，则且 B．若，则关于的不等式的解集也为 C．若，则关于的不等式的解集为或 D．若为常数，且，则的最小值为8 【答案】ACD 【分析】A项，利用二次函数的图象可知A正确；B项，令()，当时，不等式的解集不为，B不正确；C项，根据将用表示，代入所求不等式求出解集，可知C正确；D项，根据得到，代入所求式，然后换元利用基本不等式可求出最小值可得. 【详解】A选项，若，即一元二次不等式无解，则一元二次不等式恒成立，且，A正确； B选项，令，则、、， ∴不等式可转化为，当时，得，其解集不等于原来的，故B错误； C选项，若，则，且和是一元二次方程的两根,且，， 所以，, 把代入可得， 因为,所以不等式的解集为或，C正确； D选项，因为，所以开口向上且，即， 又，得,把代入得, 令，则， ，当且仅当等号成立， 所以的最小值为，D正确. 3、 填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。） 12．若，且，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】换元可得，，利用基本不等式“1”的妙用进行求解 【详解】令，则，， 则， 其中， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以， 所以的最小值为. 13．已知，若不等式恒成立，则实数的最大值是______． 【答案】 【分析】代数变形后利用基本不等式可求最大值. 【详解】因为，故， 因为，故， 而，故，当且仅当时等号成立， 故的最小值为，故，故实数的最大值是. 14．设，函数，若过轴上一定点的任意直线与的交点个数不可能为3个，则的取值范围为__________． 【答案】或 【分析】先将绝对值函数写成以为分界的两段二次函数，两段图象交于．若一条直线与整个图象有个不同交点，则要么经过拼接点，要么与其中一段抛物线相切且与另一段有两个交点．分别求出这两类直线在轴上的截距范围，即可得到存在“三交点直线”时的范围，再取补集． 【详解】当时， 当时， 两段图象在处相接． 竖直直线与图象只有一个交点，因此若出现个不同交点，只需考虑斜率存在的直线． 先考虑直线经过． 此时直线为 令． 在的一段上，交点满足除外还有一个的交点，当且仅当． 在的一段上，交点满足除外还有一个的交点，当且仅当． 因此，经过的直线有个不同交点，当且仅当 设直线不经过，记直线在处与图象的纵坐标差为． 若，两段开口向上的抛物线从向两侧延伸时各与直线恰有一个交点，总数只能为； 若，每一段与直线的交点数只能为、，或在相切时为． 因此要有个不同交点，只可能是直线与其中一段抛物线相切，并与另一段有两个交点． 若与右段抛物线在（）处相切，则切线在轴上的截距为 要使该切线与左段抛物线有两个交点， 将该切线与左段函数联立，令，则交点横坐标满足， 这个关于的二次方程的判别式为． 要有两个不同实根，需；结合，得． 又两根之和为，两根之积为， 所以两根均小于0，确为左段上的两个交点．于是 若与左段抛物线在（）处相切，则切线在轴上的截距为 要使该切线与右段抛物线有两个交点， 将该切线与右段函数联立，令，则交点横坐标满足， 这个关于的二次方程的判别式为 要有两个不同实根，需；结合，得． 又两根之和为，两根之积为，所以两根均大于0，确为右段上的两个交点，于是， 综上，存在过的直线与图象有个不同交点，当且仅当 所以或. 4、 解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15． （本小题满分13分） 已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先确定集合B非空，再根据子集定义列不等式组求解m的取值范围；（2）分集合B为空集、非空集两种情况，结合子集定义分别求解后取并集得到m的取值范围. 【详解】（1）由于为非空集合，若，则必为非空集合，因此首先满足，解得， 又，所以且 ，得，结合，得实数的取值范围为. （2）若，，首先满足，即， 又，所以且，解得且，两个不等式无公共解，因此无解， 所以不存在实数，使得. 16．（本小题满分15分） 已知集合，. (1)若，求及. (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先分别求出集合与，再根据交并补的运算性质求出及即可；（2）由是的充分不必要条件，则，列出不等关系求出的取值范围即可. 【详解】（1）由题可得，则或， 当时，，所以，； （2）若是的充分不必要条件，则，又，所以，则，即， 所以，当时，且等号不能同时取到，解得，所以， 当时，，不合题意，所以的取值范围为. 17．（本小题满分15分） 已知克糖水中有克糖，往糖水中加入克糖，假设全部溶解糖水更甜了.这就是著名的“糖水不等式” (1)请将上述事实表示为一个不等式，并证明该不等式成立； (2)利用（1）的结论比较的大小. 【答案】(1)，证明如下： ， 因为，，所以，， 所以，即； (2) 【分析】（1）结合不等式的性质即可求解； （2）利用（1）的结论即可求解与的大小. 【详解】（1）略 （2）由题可知：，因为，， 由（1）可知，即. 18．（本小题满分17分） 已知函数（）. (1)当时，解不等式； (2)当时，解不等式. 【答案】(1) (2)当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为 【分析】（1）代入参数，因式分解二次不等式，利用开口方向直接写出解集； （2）先因式分解找到两根，再比较两个根与的大小，分三类讨论求解集. 【详解】（1）当时，不等式为， 即，所以 所以不等式的解集为； （2）方程的两个实数根是，， 当①即时，不等式的解为或； ②即时，不等式恒成立； ③即时，不等式的解为或. 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 19．（本小题满分17分） 我们约定：在平面直角坐标系中，当点的坐标满足时，称点为“靓点”．请你根据该约定，解答下列问题： (1)若点为“靓点”，则点是否为“靓点”？请作出你的判断并给出证明； (2)当时，求证：关于的函数（，为常数）的图象上总存在两个不同的“靓点”； (3)已知关于的二次函数（为常数）的图象上存在三个不同的“靓点”：，，，且满足，求的值． 【答案】(1)点是“靓点”，证明如下： 点为“靓点”， ， ，， 将代入上式，得， ， 点是“靓点”． (2)证明：将代入，得， 整理得， ， 判别式 ， ，， ， 该一元二次方程有两个不相等的实数根， 将代入方程左边，得， 方程的两个根都不等于1，即对应的点均满足“靓点”定义， 又，两个不同的对应两个不同的， 函数的图象上总存在两个不同的“靓点”． (3) 【分析】（1）根据“靓点”的定义，直接计算坐标的和与积，把代入并验证，满足定义证明结论； （2）把代入靓点公式，整理得出一元二次方程，计算判别式，得出方程有两个不等实根，补充验证进而证明结论； （3）把二次函数代入靓点公式，因式分解得出，利用靓点个数得出二次方程有两个不等实根，利用韦达定理结合靓点变形建立关于的方程，解方程求出． 【详解】（1）略 （2）略 （3）将代入得，， 整理得， 关于的二次函数（为常数）的图象上存在三个不同的“靓点”， 令，则方程有两个不相等的实数根，， ， 或， 将代入得， ， ， ， 方程有两个不相等的实数根，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 整理得， （不符合题意，舍去）或， 的值为． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $