专题01 二次函数（期中真题汇编，广东专用）九年级数学上学期

专题01 二次函数 4大高频考点概览 考点01 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 考点02 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 考点03 二次函数与一元二次方程 考点04 实际问题与二次函数 考点01 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 1．（25-26九年级上·广东潮州·期中）二次函数的图象开口方向是________． 2．（25-26九年级上·广东潮州·期中）已知抛物线顶点坐标为，则抛物线的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·广东惠州仲恺区·期中）将抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后的抛物线的表达式为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·广东惠州仲恺区·期中）点、、均在二次函数的图象上，则、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·广东惠州仲恺区·期中）二次函数 的图象的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·广东东莞·期中）抛物线顶点坐标是（    ）． A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·广东东莞·期中）若，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·广东东莞·期中）将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度所得的抛物线解析式为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26九年级上·广东广州花都区·期中）将抛物线向左平移3个单位，再向下平移1个单位，所得新抛物线的解析式是_______． 10．（25-26九年级上·广东广州花都区·期中）已知二次函数，下列说法中正确的是（　　） A．抛物线的开口向上 B．当时，y随x的增大而增大 C．对称轴是直线 D．当时，y有最小值为5 11．（25-26九年级上·广东江门恩平·期中）已知抛物线如图1所示，现将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象其余部分不变，得到一个新图象如图2．当直线与新图象有四个交点时，m的取值范围是 _____． 12．（25-26九年级上·广东江门恩平·期中）要得到抛物线，可以将抛物线：（    ） A．向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度 B．向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度 C．向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度 D．向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度 13．（25-26九年级上·广东江门恩平·期中）对于抛物线，下列结论正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴为直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而增大 14．（25-26九年级上·广东广州增城区·期中）将抛物线向上平移个单位长度，得到的抛物线是（ ） A． B． C． D． 15．（25-26九年级上·广东广州增城区·期中）对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．当时，随的增大而减小 D．顶点坐标为 16．（25-26九年级上·广东云浮罗定·期中）若，两点在二次函数的图象上，则，的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 17．（25-26九年级上·广东云浮罗定·期中）将抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到的抛物线解析式为（　　） A． B． C． D． 考点02 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 1．（25-26九年级上·广东潮州·期中）已知函数是二次函数． (1)求的值，并写出这个二次函数图象的对称轴和顶点坐标； (2)当时，求的取值范围． 2．（25-26九年级上·广东潮州·期中）已知点A（﹣1，y1），B（4，y2），C（1，y3）均在抛物线y＝﹣x2+4x+m上，下列说法中正确的是（　　） A．y3＜y2＜y1 B．y2＜y1＜y3 C．y2＜y3＜y1 D．y1＜y2＜y3 3．（25-26九年级上·广东潮州·期中）（多选）如图，直线交轴于A点，交轴于B点，过A、B两点的抛物线的顶点坐标(1，4)． （1）求的值和抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上求一点P，使得PAB的周长最小，并求出最小值； （3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由． 4．（25-26九年级上·广东惠州仲恺区·期中）抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的函数解析式和直线的解析式； (2)如图，点在线段上方的抛物线上运动（不与重合），过点作，垂足为，交于点．若点的横坐标为，请用的式子表示，并求的最大值； (3)如图，点是抛物线的对称轴上的一个动点，抛物线上存在一点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形，请求写出所有符合条件的点的坐标． 5．（25-26九年级上·广东惠州仲恺区·期中）已知二次函数的图象L如图所示，点O是坐标系的原点，点P是图象L对称轴上的动点，图象L与y轴交于点C，则周长的最小值是______． 6．（25-26九年级上·广东惠州仲恺区·期中）抛物线的对称轴是直线，且过点，顶点位于第二象限，其部分图像如图所示，给出以下判断：①且；②；③；④；⑤直线与抛物线两个交点的横坐标分别为、，则，其中正确的个数有（    ） A．5个 B．1个 C．3个 D．2个 7．（25-26九年级上·广东东莞·期中）定义：已知平面直角坐标系中有，两点（点在点左侧），，且轴，若抛物线经过，两点，则称抛物线是线段的“共弦抛物线”． (1)若，，线段的一条“共弦抛物线”的顶点的纵坐标为，求这个抛物线的解析式； (2)在（）的条件下，抛物线与轴相交于，两点，求的面积； (3)若，线段的“共弦抛物线”和的顶点分别为点，，且点，距线段的距离之和为，求的值． 8．（25-26九年级上·广东东莞·期中）二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，对下列说法：①；②；③；④，其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（25-26九年级上·广东东莞·期中）在平面直角坐标系中，已知二次函数的解析式为．请观察表格完成下面题目． x … 0 1 2 3 4 5 … y … 4 11 … (1)抛物线的对称轴是直线______； (2)若，则y的取值范围是______； (3)若，则x的取值范围是______． 10．（25-26九年级上·广东广州花都区·期中）已知二次函数． (1)求二次函数图象的顶点坐标； (2)在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象； (3)当时，结合函数图象，直接写出y 的取值范围． 11．（25-26九年级上·广东广州花都区·期中）已知，，在二次函数图象上，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 12．（25-26九年级上·广东广州花都区·期中）已知二次函数的对称轴是直线，与x轴的一个交点坐标是，则另一个交点坐标为________ 13．（25-26九年级上·广东广州花都区·期中）匹克球是一项结合了羽毛球、乒乓球和网球的新兴运动，近年来吸引了大量参与者．某校数学小组开展以“匹克球飞行路线”为主题的综合实践活动． 【研究背景】研究匹克球飞行路线所在的平面与球网垂直时，匹克球飞行高度与它距发球点水平距离的关系． 【收集数据】某次匹克球飞行的高度（单位：）与它距发球点的水平距离（单位：）的对应值如表（不考虑空气阻力）． 水平距离 高度 【探索发现】数学小组建立平面直角坐标系、描点、连线（如图），发现匹克球飞行路线是抛物线的一部分． 【建立模型及应用】 (1)当时， ，这个值表示的实际意义是 ； (2)求与的函数解析式（不要求写自变量取值范围）； (3)匹克球在此次飞行过程中，飞行的高度能否达到？请说明理由． 14．（25-26九年级上·广东广州花都区·期中）如图，已知二次函数（）与轴的一个交点为，其对称轴为直线，下列四个结论：①，②；③；④直线与该二次函数一定有交点．其中正确的结论有_______（写序号）． 15．（25-26九年级上·广东广州花都区·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点B． (1) ； (2)若点P在抛物线上，且，求点P的坐标； (3)若点M是直线上一动点（点M不与A、B重合），过点M作线段（点N在直线下方），已知，若线段与抛物线有交点，请直接写出点M的横坐标的取值范围． 16．（25-26九年级上·广东江门恩平·期中）点均在二次函数的图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 17．（25-26九年级上·广东江门恩平·期中）函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 18．（25-26九年级上·广东江门恩平·期中）综合与探究： 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点，点是抛物线上点与点之间的动点（不包括点，点）． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，动点在抛物线上，且在直线上方，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)如图，过原点作直线交抛物线于、两点，点的横坐标为，点的横坐标为．求证：是一个定值． 19．（25-26九年级上·广东江门恩平·期中）请写出一个二次函数的解析式，使其图象的开口向下，且对称轴为直线．这个函数解析式可以是___________． 20．（25-26九年级上·广东广州增城区·期中）已知二次函数的图象，当时，有最小值为_________． 21．（25-26九年级上·广东广州增城区·期中）6月中旬，荔枝相继成熟，果农们迎来了繁忙的采摘销售季．为了解荔枝的收益情况，从第1天销售开始，小明对自己家的两处荔枝园连续15天的销售情况进行了统计与分析： A荔枝园 第x天的单价、销售量与x的关系如下表： 单价（元/箱） 销售量（箱） 第1天 50 20 第2天 48 30 第3天 46 40 第4天 44 50 ．．． ．．． ．．． 第x天 已知A荔枝园每天的固定成本为745元． B荔枝园 第x天的利润（元）与x的关系可以近似地用二次函数刻画，其图象如图：    (1)求A荔枝园第1天的利润； (2)求B荔枝园第x天的利润（元）与x（天）的函数关系式； (3)设两处荔枝园的利润之和为w，求第几天w有最大值，最大值是多少元？ 22．（25-26九年级上·广东广州增城区·期中）我们不妨约定：若某函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则把该函数称为“函数”，其图象上这一点，称为“点”．例如：“函数”，其“点”为． (1)在下列关于的函数中， （请填写对应序号）是“函数”． ①；②；③． (2)若点，点是“函数”（其中0）上的“点”，且，求的取值范围； (3)若“函数”的图象上存在唯一的一个“点”，且当时，的最小值为，求的值． 23．（25-26九年级上·广东广州增城区·期中）已知抛物线． ．．． ．．． ．．． ．．． (1)该抛物线的对称轴是 ，顶点坐标是 ； (2)选取适当的数据填入表中，并在如图的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象； (3)若该抛物线上两点，的横坐标满足，试比较，的大小． 24．（25-26九年级上·广东广州增城区·期中）已知二次函数的图象如图所示，有下列个结论，其中正确的结论是（    ） A． B． C． D． 25．（25-26九年级上·广东广州增城区·期中）已知抛物线经过两点，求这条抛物线的解析式 26．（25-26九年级上·广东深圳龙岗区·期中）某数学兴趣小组的同学在学完一元二次方程后，发现一元二次方程根的判别式除了可以判断一元二次方程根的情况，还可以解决其他问题．下面是该学习小组收集的素材，请根据素材帮助他们完成相应地任务： 关于根的判别式的探究 素材 对于一个关于的二次三项式，利用根的判别式可以求该多项式的最值． 比如：求的最小值， 令，得， 则，解得， 所以的最小值为4． 这种利用判别式求二次三项式最值的方法称为判别式法． 问题解决 任务1 感受新知：用判别式法求的最小值； 任务2 探索新知．若关于的二次三项式（为常数）的最小值为，求的值； 任务3 应用新知：如图，有一老板打算利用一些篱笆，一面利用墙，围成中间隔有两道篱笆的长方形花圃，若要围成面积为400平方米的花圃， ①设需要用的篱笆是米，米，用含和的代数式表示的长为______米； ②需要用的篱笆最少是多少米？ 27．（25-26九年级上·广东云浮罗定·期中）下表给出了二次函数（）的自变量与函数的一些对应值，则下列说法正确的是（   ） … 0 1 2 … … 0 3 4 3 … A．对称轴为直线 B．当时， C．当时，随的增大而增大 D．此函数有最小值4 28．（25-26九年级上·广东云浮罗定·期中）二次函数的最小值为1，则__________. 29．（25-26九年级上·广东云浮罗定·期中）如图，已知抛物线经过，两点． (1)求抛物线的解析式和顶点坐标； (2)根据图像写出当时，求的取值范围． 30．（25-26九年级上·广东云浮罗定·期中）已知：如图，抛物线与轴交于点，． (1)试确定该抛物线的函数表达式； (2)观察图象，当时，y的取值范围为________； (3)已知点是该抛物线的顶点，若点是线段上的一动点，求的最小值． 考点03 二次函数与一元二次方程 1．（25-26九年级上·广东潮州·期中）二次函数与x轴的交点个数是（      ） A．只有一个交点 B．有两个交点 C．没有交点 D．无法确定 2．（25-26九年级上·广东潮州·期中）二次函数的部分图象如图所示，不等式的解集是________． 3．（25-26九年级上·广东茂名·期中）观察下列表格，估计一元二次方程的一个解的大致范围是（   ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 0.11 0.24 0.39 0.56 0.74 0.96 1.19 1.44 1.71 A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·广东惠州仲恺区·期中）如图是二次函数的部分图象，则不等式的解集是_____． 5．（25-26九年级上·广东广州花都区·期中）如图，是二次函数与一次函数的图象，当时，x的取值范围是（　　） A． B． C． D．或 6．（25-26九年级上·广东广州增城区·期中）在平面直角坐标系中，抛物线如图所示，则关于x的方程的根的情况为（    ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有实数根 7．（25-26九年级上·广东云浮罗定·期中）如图，已知抛物线与直线交于，两点．则关于的不等式的解集是________． 8．（25-26九年级上·广东云浮罗定·期中）二次函数与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是（   ） A．且 B． C． D． 考点04 实际问题与二次函数 1．（25-26九年级上·广东潮州·期中）综合与实践：制定商品定价策略 【素材】某班计划在校园义卖中出售手工编织手链，所有收入将捐赠给环保项目．已知每只手链的成本为元，初始定价为元时，预计每天可售出只．若定价每提高元，销量会减少只；每降低元，销量增加只．为最大化公益收益，班级需制定科学定价策略． 【问题解决】 任务：设手链定价为元（），销量为________只（用的代数式表示）． 任务：①若班级希望每天利润为元，那么这手链的定价为多少元？ ②当手链定价为多少元时，每天利润有最大值，并求出利润的最大值为多少元． 2．（25-26九年级上·广东惠州仲恺区·期中）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商销售某名牌头盔，进价为40元/个．测算在市场中，当售价为50元/个时，月销售量为500个，若在此基础上每上涨1元/个，则月销售量将减少10个． (1)设售价在50元/个的基础上涨价元，则月销售量将减少_____个，则月销售量为（_____）个，每个头盔的利润是（_____）元；（用的代数式表示） (2)该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个时，获得的利润最大，最大利润为多少元？ 3．（25-26九年级上·广东惠州仲恺区·期中）如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度为10m时，桥洞与水面的最大距离是5m． （1）经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如图），你选择的方案是　 （填方案一，方案二，或方案三），则B点坐标是　 　，求出你所选方案中的抛物线的表达式； （2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为6m，求水面上涨的高度．    4．（25-26九年级上·广东东莞·期中）运动会上，某运动员掷铅球时，所掷的铅球的高与水平的距离之间的函数关系式为，则该运动员的成绩是________米 5．（25-26九年级上·广东东莞·期中）如图，Rt△ABO的直角边OB在x轴上，OB＝2，AB＝1，将Rt△ABO绕点O顺时针旋转90°得到Rt△CDO，抛物线y＝﹣+bx+c经过A，C两点． （1）求点A，C的坐标； （2）求二次函数的解析式； （3）连接AC，点P是抛物线上一点，直线OP把△AOC的周长分成相等的两部分，求点P的坐标． 6．（25-26九年级上·广东江门恩平·期中）图1是一个瓷碗，图2是其截面图，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽，此时面汤最大深度．当面汤的深度为时，求此时汤面的直径的长．    7．（25-26九年级上·广东深圳龙华区·期中）如图，某建筑队在一边靠墙处，计划用15米长的铁栅栏围成一个长方形仓库，仓库总面积为平方米，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设米，则关于的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·广东广州增城区·期中）如图1是某城市广场音乐喷泉，出水口处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度（）与水平距离（）之间的关系如图2所示，点为该水流的最高点，点为该水流的落地点，且，垂足为点，．若，，则的长为______． 9．（25-26九年级上·广东深圳龙岗区·期中）某水果批发商店经销一种高档水果，进货价为10元/千克，若按15元/千克批发，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若批发价每千克每涨价1元，日销售量将减少10千克， (1)当某水果批发价每千克涨价2元时，每天销售量为___________千克，每天共盈利___________元； (2)现该商店要保证每天盈利4500元，同时又要使顾客得到实惠，那么水果批发价每千克应涨价多少元？ 10．（25-26九年级上·广东云浮罗定·期中）2025年东盟博览会聚焦“AI赋能，共创未来”主题，南宁国际会展中心外设置了一台由AI智能控制的艺术喷水装置，喷射出的水流可近似看成抛物线．如图，喷水装置置于平面直角坐标系的原点O处，喷水口的高度（喷水口距地面的距离）为米，当喷射出的水流距离喷水口水平距离为10米时，达到最大高度6米． (1)求水流运行轨迹的函数解析式； (2)若在距喷水装置15米处有一棵融入AI科技元素的4米高的景观树，水流是否会碰到这棵景观树？请通过计算说明． 11．（25-26九年级上·广东云浮罗定·期中）某超市销售一种品牌糕点，每盒进价为50元，超市规定每盒售价不得低于60元．根据以往销售经验发现：当每盒售价定为60元时，每天卖出600盒；每盒售价每提高1元，每天少卖20盒．设超市每盒售价定为x（元），每天卖出y（盒）． (1)求y关于x的函数表达式； (2)当每盒售价定为多少元时，超市销售该糕点的日均毛利润最大？最大日均毛利润是多少？ 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二次函数 考点01 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 考点02 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 考点03 二次函数与一元二次方程 考点04 实际问题与二次函数 考点01 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 1．【答案】向下 【分析】根据二次系数即可解答． 【详解】解：∵二次函数中，， ∴二次函数图像的开口方向是向下． 故答案为：向下． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 2．D 3．A 4．【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象性质．先根据，得二次函数开口向下，对称轴为直线，根据各点横坐标与对称轴的距离比较函数值大小，即可作答． 【详解】解：∵ 二次函数 中的 ∴函数的图象开口向下，且对称轴为直线， 点 到对称轴的距离为， 点 到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ∵ 开口向下， ∴距离对称轴越远，函数值越小， ∵点、、均在二次函数的图象上， ∴ ， 故选：C． 5．【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据抛物线的顶点式，可确定抛物线的开口方向，顶点坐标（对称轴），最大（最小）值，增减性等． 因为是二次函数的顶点式，根据顶点式可直接写出顶点坐标． 【详解】∵抛物线解析式为， ∴二次函数图象的顶点坐标是． 选：B． 6．【答案】D 【分析】本题考查的是顶点式顶点坐标为．已知抛物线为顶点式，根据顶点式的坐标特点写出顶点坐标即可． 【详解】解：因为抛物线是抛物线的顶点式， 由顶点式的坐标特点可知顶点坐标为：， 故选：D． 7．【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的性质．由二次函数解析式可得函数对称轴和增减性，再根据离对称轴的远近的点的纵坐标的大小比较，即可得出，，的大小关系． 【详解】解：二次函数的图象开口向下，对称轴为， ∴正好是抛物线的顶点坐标， ∴是二次函数的最大值， ∵在对称轴左侧，随的增大而增大， 又∵， ∴． 故选：A． 8．A 9． 10．【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，对于二次函数(a，h，k为常数，)，当时，抛物线开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，此时函数有最小值；当时，抛物线开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小，此时函数有最大值．其顶点坐标是，对称轴为直线． 根据二次函数的性质逐项分析即可． 【详解】解：A、由抛物线可看出，故开口向下，故错误，此选项不符合题意； B、当时，y随x的增大而增大，故正确，此选项符合题意； C、对称轴是直线，故错误，此选项不符合题意； D、当时有最大值是5，故错误，此选项不符合题意． 故选：B． 11． 12．【答案】D 【分析】根据抛物线的平移规则：左加右减，上加下减，进行判断即可； 【详解】解：将抛物线先向右平移4个单位，再向下平移1个单位，即可得到抛物线； 故选D． 【点睛】本题考查抛物线的平移．熟练掌握抛物线的平移规则：左加右减，上加下减，是解题的关键． 13．C 14．【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象的平移规律，根据“上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：抛物线向上平移个单位长度，， 故选：A． 15．D 16．【答案】A 【分析】本题考查的是二次函数的性质，二次函数开口向下，对称轴为，比较点A和点B与对称轴的距离，距离越大函数值越小，进一步可求解. 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数开口向下，对称轴为直线， ∵点和点在图象上， 点A到对称轴的距离为，点B到对称轴的距离为， ∴点A距离对称轴更远， ∵开口向下， ∴函数值随距离增大而减小， ∴. 故选：A 17．【答案】C 【分析】根据抛物线在平面直角坐标系中平移的规律：左加右减，上加下减，即可得到答案． 【详解】解：∵将抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位， ∴平移后得到的抛物线的解析式为：； 故选C． 【点睛】此题考查了二次函数图像的平移，熟练掌握抛物线在平面直角坐标系中平移的规律是解答此题的关键． 考点02 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 1．(1)，对称轴为直线，顶点坐标为 (2) 2．D 3．【答案】（1）k=3，抛物线的解析式为；（2）△PAB周长的最小值为，点P坐标为（1，2）；（3）存在，点Q坐标分别为Q1（1，），Q2（1，），Q3（1，0），Q4（1，1）． 【分析】（1）令x=0，可得点B坐标，根据顶点坐标可设设抛物线解析式为，把点B坐标代入可求出a值，即可得抛物线解析式，令y=0可得点A坐标，代入即可得k值； （2）如图连接BC，交对称轴于P，根据抛物线解析式可得对称轴为直线x=1，点C坐标为（3，0），根据二次函数得对称性可得PA=PC，即可得出PA+PB=BC，可得△PAB得周长的最小值为BC+AB，利用勾股定理即可得△PAB周长的最小值，根据点B、C坐标，利用待定系数法可得直线BC解析式，令x=1即可得点P坐标； （3）设点Q坐标为（1，m），分QA=AB，QB=AB，QA=QB，三种情况，根据两点间距离公式求出m的值即可得答案． 【详解】（1）当x=0时，y=3， ∴点B坐标为（0，3）， ∵过A、B两点的抛物线的顶点坐标(1，4)， ∴设抛物线的解析式为， ∴， 解得：, ∴抛物线的解析式为，即， 当y=0时，， 解得：，， ∵点A在x轴负半轴， ∴A（-1，0），C（3，0）， 把A（-1，0）代入得：-k+3=0， 解得：k=3． （2）如图，连接BC，交对称轴于点P， ∵抛物线的解析式为， ∴对称轴为直线x=， ∵抛物线与x轴交于点A、C， ∴A、C关于对称轴对称， ∴PA=PC， ∴PA+PB=PB+PC=BC， ∴△PAB的周长的最小值为AB+BC， ∵A（-1，0），B（0，3），C（3，0）， ∴OA=1，OB=3，OC=3， ∴AB+BC==， 设直线BC的解析式为y=kx+b， ∴， 解得：k=-1， ∴直线BC的解析式为y=-x+3， 当x=1时，y=-1+3=2， ∴点P坐标为（1，2）． ∴△PAB周长的最小值为，点P坐标为（1，2）． （3）设点Q坐标为（1，m）， ∵A（-1，0），B（0，3）， ∴AB==，QA==，QB==， ①当QA=AB时， ∴=， 解得：m=， ∴Q1（1，），Q2（1，）， ②当QB=AB时， ∴=， 解得：m=6或m=0， ∵直线AB的解析式为y=3x+3， ∴x=1时，y=6， ∴点（1，6）在直线AB上，与A、B不能构成三角形， ∴Q3（1，0）， ③当QA=QB时， ∴=， 解得：m=1， ∴Q4（1，1）， 综上所述：存在点Q，使ABQ是等腰三角形，点Q坐标分别为Q1（1，），Q2（1，），Q3（1，0），Q4（1，1）． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合，熟练掌握待定系数法求函数解析式、二次函数得对称性并灵活运用分类讨论得思想是解题关键． 4．(1)， (2)；最大值为 (3)或或 5．【答案】## 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴交点，二次函数图象与性质，求最短路径，解题的关键是：熟练掌握二次函数的图象性质． 把代入，求出解析式，作点关于直线的对称点，计算的长，即可求解． 【详解】解：把代入，则， 解得：， 二次函数解析式为：， 令，则， 故， ∵抛物线的对称轴为直线， 如图，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，则， ， ∴此时的值最小， ∴此时周长有最小值， ， ∴周长的最小值为， 故答案为：． 6．【答案】C 【分析】首先由对称轴得到，得到，然后结合抛物线经过点，得到，然后由开口方向得到，得到，可判断①；由抛物线的对称性得到和关于对称轴对称，然后得到时，，即可判断②；同理得到时，，得到，然后代入即可判断③；联立直线与抛物线，然后根据根与系数的关系得到，，进而可判断⑤． 【详解】∵抛物线对称轴，经过点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴且，故①错误， ∵抛物线对称轴，经过， ∴和关于对称轴对称， ∴时，， ∴，故②正确， ∵抛物线与x轴交于， ∴时，， ∴， ∵， ∴，即，故③错误， ∵，， ∴，故④正确， ∵直线与抛物线两个交点的横坐标分别为， ∴方程的两个根分别为、， ∴，， ∴，故⑤正确， 综上所述，正确的个数为3个． 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数与系数的关系，二次函数与x轴的交点问题，二次函数图像上的点的特征，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 7．【答案】(1)抛物线解析式为； (2)的面积为； (3)的值为或． 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，解一元二次方程，二次函数图象与性质，待定系数法求解析式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据，，线段的一条“共弦抛物线”，顶点的纵坐标为，则顶点坐标为，然后代入，求出的值即可； （）由（）得，这个抛物线的解析式为：，顶点坐标为，当时，，求出，，然后利用的面积为求解即可； （）由线段的“共弦抛物线”和，则对称轴为直线 ，故有，，抛物线的顶点坐标为，所以抛物线的顶点距线段线段的距离为，点距线段的距离为，从而得到抛物线的顶点为或，然后分当顶点为时，当顶点为时两种情况分析即可． 【详解】（1）解：∵，，线段的一条“共弦抛物线”， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵顶点的纵坐标为， ∴顶点坐标为， 设抛物线解析式为：，且过点， ∴，解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：如图， 由（）得，这个抛物线的解析式为：，顶点坐标为， 当时，， 解得：，， ∴，， ∴， ∴的面积为； （3）解：∵线段的“共弦抛物线”和， ∴对称轴为直线， ∵， ∴，，抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的顶点距线段线段的距离为， ∴点距线段的距离为， ∴抛物线的顶点为或， 当顶点为时，， 将代入得，， 解得：， 当顶点为时，， 将代入得，， 解得：， ∴的值为或． 8．B 9．(1) (2)； (3)或 10．【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象、二次函数图象上点的坐标特征，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键． （1）根据配方法将函数解析式化为顶点式，即可得到该函数的顶点坐标； （2）根据函数解析式，可以写出该函数的顶点坐标和图象上的几个点的坐标，从而可以画出相应的函数图象； （3）根据函数图象中的数据，可以写出y的取值范围． 【详解】（1）解：∵， ∴二次函数图象的顶点坐标为； （2）解：列表， 如图： （3）解：根据图象可知：在时， 当时，有最小值；当时，有最大值， ∴当时，的取值范围为． 11．【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，通过直接计算各点的函数值，比较大小即可. 【详解】解：∵二次函数为， ∴对于点，， 对于点，， 对于点，， ∴，，， ∴， 故选：D． 12． 13．(1)，匹克球从发球点飞出时的初始高度是米； (2)； (3) 解：由（）得：， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， ∵， ∴匹克球在此次飞行过程中，飞行的高度能达到． 14．【答案】①②④ 【分析】本题主要考查的是二次函数的图像与系数的关系，可借助数形结合思想进行分析解答；由抛物线的开口方向，对称轴以及与轴的交点即可判断①；根据抛物线与轴的交点即可判断②；由时，即可判断③；利用抛物线的对称性可知抛物线过，即可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下，交轴的正半轴， ∴，， ∵， ∴， ∴，故①是正确的； ∵抛物线与轴有两个交点， ∴有两个不相等的实数根， ∴，故②是正确的； ∵当时，， ∴，故③是错误的； ∵二次函数（）与轴的一个交点为，其对称轴为直线， ∴与轴的另一个交点为， ∵直线（）经过点， ∴直线与该二次函数一定有交点，故④是正确的； 故答案为：①②④． 15．(1) (2)或或或 (3)或 16．【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系．由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，进而求解． 【详解】解：， 抛物线对称轴为直线，抛物线开口向下， 时，随增大而减小， ， 故选：C． 17．【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象，一次函数图象等知识．熟练掌握二次函数图象，一次函数图象是解题的关键．分别确定各选项中一次函数的的取值范围，然后判断各选项中对应的二次函数图象的正误即可． 【详解】解：A中的，此时的图象应该开口向下，此时矛盾，故不符合要求； B中的，此时的图象应该开口向上，对称轴，故符合要求； C中的，此时的图象应该开口向上，此时矛盾，故不符合要求； D中的，此时的图象应该开口向下，对称轴，此时矛盾，故不符合要求； 故选：B． 18．【答案】(1)； (2)，； (3)见解析． 【分析】利用待定系数法把点和点的坐标代入，得到，解方程组求出、的值，可得抛物线的解析式； 过点作轴，交于点，把分成和，可得的面积为，配方可得，从而可知当时，的面积有最大值，此时的坐标为； 设直线的解析式为，因为、是抛物线与直线的交点，可得方程，整理得，根据一元二次方程根与系数的关系可证是一个定值． 【详解】（1）解：把点和点的坐标代入， 得到：， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：如下图所示，过点作轴，交于点， 设直线的解析式为， 把点和点的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 设点的横坐标为，则点的纵坐标为， 点的横坐标为，点的纵坐标为， ， ， 整理得：， 可知当时，的面积有最大值，最大值是， 当时，， 此时点的坐标为； （3）证明：设直线的解析式为， 解方程组， 可得：， 整理得：， 一元二次方程中， ， 一元二次方程有两个不相等的实数根， 这两个不相等的实数根分别为、， 则有， 是一个定值． 【点睛】本题考查二次函数与几何的综合，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质． 19．【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次函数的性质，用到的知识点：二次函数的对称轴是直线；当时，抛物线开口向上，当时，抛物线开口向下；二次函数与轴交于点．由题意可知：写出的函数解析式满足，，由此举例得出答案即可． 【详解】解：设所求二次函数的解析式为． 图象的开口向下， ，可取， 对称轴是直线， ，得， 可取任意数， 函数解析式可以为：（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 20． 21．(1) (2) (3)第天有最大值，最大值为 22．【答案】(1)②③； (2)； (3)的值为或． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解一元二次方程，根的判别式及根与系数的关系等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据题意令，解方程判断即可； （2）设，由题意知，整理得，根据根的判别式及根与系数的关系得到，即可求解； （3）由题意得，整理得，求解，分三种情况讨论即可得出答案． 【详解】（1）解：①令，即，方程无解， 不是“函数”； ②令，即， 解得：， 是“函数”； ③令，即， 解得：或， 是“函数”． 故答案为：②③； （2）解：设， 点，点是“函数”（其中）上的“点”， ， 整理得：， ， ， ， ， 解得：， 的取值范围为； （3）解：“函数”的图象上存在唯一的一个“点”， ， 整理得：， ， 解得：， 关于的二次函数图象开口向上，对称轴为直线； ， 分以下三种情况讨论： ①当，即时，当时有最小值， 即， 解得：（舍去）； ②当，即时，当时有最小值， 即， 解得：或（舍去）； ③当，即时，当时有最小值， 即， 解得：； 综上，的值为或． 23．(1)； (2) 依次描点、连线如图所示， (3) 24．C 25．【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，将两点代入即可求解； 【详解】解：将两点代入得： ，解得：， ∴这条抛物线的解析式为：； 26．【答案】任务1：最小值为；任务2：；任务3：①，②需要用的篱笆最少是80米． 【分析】本题主要考查了根的判别式、二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能利用根的判别式进行判断是关键． 任务1：依据题意，令，从而，再由判别式可以判断得解； 任务2：依据题意，令，故，再由判别式，进而可以判断得解； 任务3：①根据总长度减去个垂直于墙的篱笆得出的长；②根据矩形的面积公式列出关于的方程，再根据判别式求出的最小值． 【详解】解：任务1：令 得， 则， 解得 所以的最小值为， 任务2：令， 得， 则， 解得， 因为的最小值为， 所以， 解得 任务3：①， ②依题意得， 整理得， ，而． ， 需要用的篱笆最少是80米． 27．C 28．10 29．【答案】(1)抛物线的解析式为，顶点坐标为 (2)或 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的图像与性质、二次函数与不等式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，即可求出顶点坐标； （2）观察抛物线与轴交点的位置，即可确定不等式的解集． 【详解】（1）解：代入，得，， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴顶点坐标为； （2）解：由图像得，当或时，， ∴当时，的取值范围为或． 30．【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了用待定系数法求解析式以及二次函数图象的性质，垂线段最短，勾股定理，熟练掌握用待定系数法求解析式是解题关键． （1）将点与点坐标代入抛物线解析式得到关于的方程组，由此求出的值，从而进一步得出解析式即可； （2）由得出开口方向向下，对称轴为直线，再根据越远离对称轴的自变量所对应的函数值越小，以及结合进行分析，即可作答． （3）根据垂线段最短可知当时，最小，据此进一步利用三角形的面积公式求出即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：由（1）得， ∴开口方向向下，对称轴为直线， 在时，有最大值，且，越远离对称轴的自变量所对应的函数值越小， ∵， ∴把代入，得， ∴观察图象，当时，y的取值范围为． （3）解：当是边上的高时，的值最小， 由（2）得对称轴为直线，有最大值，且 ∵点是的顶点， 即， ∵，， ∴，，点到轴的距离为， ∴， ∴， ∴的最小值是． 考点03 二次函数与一元二次方程 1．【答案】A 【分析】根据判别式Δ=0，判断二次函数与x轴只有一个交点． 【详解】解：根据题意，令， 则， ∴Δ=b24ac=（6）24×1×9=3636=0， ∴二次函数y=x26x+9与x轴只有一个交点， 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数与x轴的交点，关键是通过判别式Δ来判断二次函数与x轴交点的个数． 2． 3．【答案】C 【分析】本题考查估算一元二次方程近似解，根据表中数据可直接得出答案． 【详解】解：由表可知，时，随x的增大而增大， 当时，，当时，， 因此估计一元二次方程的一个解的大致范围是， 故选C． 4．【答案】或 【分析】本题考查了利用二次函数图象解不等式，会利用二次函数图象解不等式是解题的关键． 由二次函数的图象的对称性得抛物线与轴的一个交点为，由轴的下方的图象对应的函数值小于，即可求解． 【详解】解：由图像得，对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点为， ∴抛物线与轴的一个交点为， ∴轴的下方的图像对应的函数值小于， ∴当或时，； ∴不等式的解集是或， 故答案为：或． 5．B 6．【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．由题意可把方程看作是二次函数与直线的交点问题，根据图象可得答案． 【详解】二次函数与直线的交点即为方程的解， 根据图象可知：二次函数与直线有两个交点， 方程的根的情况为：有两个不相等的实数根， 故选：C． 7．或##或 8．【答案】B 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，一元二次方程根的判别式，根据题意得到，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数与x轴有两个不同的交点， ∴， ∴， 故选：B． 考点04 实际问题与二次函数 1．【答案】任务：；任务：①元或元，②当手链定价为元时，利润最大为元 【分析】任务：根据题意列出代数式即可； 任务：①根据题意列出方程，解方程即可求解；②设利润为元，求出与之间的函数关系，再根据二次函数的性质解答即可求解； 本题考查了列代数式，一元二次方程的应用，二次函数的应用，根据题意列出方程和函数解析式是解题的关键． 【详解】解：任务：当时，销量为只；当时，销量为只， 综上，销量为只， 故答案为：； 任务：①解：由题意得，， 整理得，， 解得，， 答：若要每天获利元，这条手链的定价为元或元； ②设利润为元， 由题意得，， ∵， ∴ 当手链定价为元时，利润最大为元． 2．(1)，， (2)售价定为70元/个时，利润最大，最大利润为9000元 3．【答案】（1）方案一；；；（2）. 【分析】（1）根据抛物线在坐标系的位置，可用待定系数法求抛物线的解析式． （2）把x=3代入抛物线的解析式，即可得到结论． 【详解】解：（1）方案一；点B的坐标为（5，0）， 设抛物线的解析式为：． 由题意可以得到抛物线的顶点为（0，5）， 代入解析式可得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）由题意：把代入， 解得：=3.2， ∴水面上涨的高度为3.2m． 4．【答案】10 【分析】本题主要考查二次函数的应用，理解投掷铅球的成绩就是求抛物线与x轴交点的横坐标是解题的关键．令，求出抛物线与x轴的交点坐标，即可得出答案． 【详解】解：令，得， 解得，（舍）． 所以改运动员此次投掷铅球得成绩是10米． 故答案为：10． 5．（1）A(﹣2，1)，C(1，2)；（2）y＝--x+；（3）(4，﹣12)或(﹣1，3) 6．汤面的直径的长为 7．【答案】B 【分析】本题主要考查了列函数关系式．根据题意先求出平行于墙的一边长为米，再根据长方形面积计算公式求解即可． 【详解】解：由题意得，平行于墙的一边长为米， ∴， 故选：B． 8． 9．【答案】(1)480、3360； (2)水果在原售价的基础上应涨价5元． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）利用每天的销售量某水果批发价每千克涨价的钱数，可求出每天的销售量，利用总利润每千克的销售利润日销售量，即可求出每天销售该种水果获得的总利润； （2）设水果批发价每千克涨价元，则每千克的销售利润为元，每天的销售量为千克，利用总利润每千克的销售利润日销售量，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合要使顾客得到实惠，即可确定结论． 【详解】（1）解：根据题意得：当某水果批发价每千克涨价2元时，则每千克的销售利润为（元，每天的销售量为（千克）， 每天共盈利（元） 故答案为：480，3360； （2）解：设水果批发价每千克涨价元，则每千克的销售利润为元，每天的销售量为千克， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 又要使顾客得到实惠， ． 答：水果批发价每千克应涨价5元． 10．【答案】(1) (2) 解：水流不会碰到这棵景观树，理由如下： 当时，， ∴水流不会碰到这棵景观树． 【分析】本题主要考查了二次函数在实际问题中的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设抛物线的解析式为，用待定系数法求解即可； （2）将代入（1）中的解析式，再与4进行比较即可． 【详解】（1）解：根据题意得：水流运行轨迹的最高点的坐标为，过点， 设水流运行轨迹的函数解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴水流运行轨迹的函数解析式为； （2）略 11．【答案】(1)； (2)当每盒售价定为70元时，超市销售该糕点的最大日均毛利润为8000元． 【分析】本题考查了二次函数的销售盈利问题，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据当每盒售价定为60元时，每天卖出600盒；每盒售价每提高1元，每天少卖20盒．设超市每盒售价定为x（元），每天卖出y（盒），列式，去括号合并同类项，即； （2）根据总利润等于单件利润乘上销量，列式，运用二次函数的性质进行作答即可． 【详解】（1）解：∵当每盒售价定为60元时，每天卖出600盒；每盒售价每提高1元，每天少卖20盒．设超市每盒售价定为x（元），每天卖出y（盒）， ∴， ． （2）解：设每盒售价定为x（元）时，超市销售该糕点的日均毛利润为W（元）， 则： 即， ∵ ∴开口向下，在时，有最大值，且为， 答：当每盒售价定为70元时，超市销售该糕点的最大日均毛利润为8000元． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二次函数 4大高频考点概览 考点01 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 考点02 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 考点03 二次函数与一元二次方程 考点04 实际问题与二次函数 考点01 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 1．（25-26九年级上·广东潮州·期中）二次函数的图象开口方向是________． 【答案】向下 【分析】根据二次系数即可解答． 【详解】解：∵二次函数中，， ∴二次函数图像的开口方向是向下． 故答案为：向下． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 2．（25-26九年级上·广东潮州·期中）已知抛物线顶点坐标为，则抛物线的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据顶点式的顶点坐标为，逐一判断即可． 【详解】解：A：，顶点坐标为；错误 B：；顶点坐标为；错误 C：；顶点坐标为；错误 D：；顶点坐标为；正确 故选D 【点睛】本题考查了二次函数顶点式的顶点坐标，熟悉顶点式的特征是解题关键． 3．（25-26九年级上·广东惠州仲恺区·期中）将抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后的抛物线的表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的平移规律．根据抛物线平移规律“左加右减，上加下减”直接计算，即可作答． 【详解】解：∵将抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度， 则平移后的抛物线的表达式为． 故选：A． 4．（25-26九年级上·广东惠州仲恺区·期中）点、、均在二次函数的图象上，则、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象性质．先根据，得二次函数开口向下，对称轴为直线，根据各点横坐标与对称轴的距离比较函数值大小，即可作答． 【详解】解：∵ 二次函数 中的 ∴函数的图象开口向下，且对称轴为直线， 点 到对称轴的距离为， 点 到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ∵ 开口向下， ∴距离对称轴越远，函数值越小， ∵点、、均在二次函数的图象上， ∴ ， 故选：C． 5．（25-26九年级上·广东惠州仲恺区·期中）二次函数 的图象的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据抛物线的顶点式，可确定抛物线的开口方向，顶点坐标（对称轴），最大（最小）值，增减性等． 因为是二次函数的顶点式，根据顶点式可直接写出顶点坐标． 【详解】∵抛物线解析式为， ∴二次函数图象的顶点坐标是． 选：B． 6．（25-26九年级上·广东东莞·期中）抛物线顶点坐标是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是顶点式顶点坐标为．已知抛物线为顶点式，根据顶点式的坐标特点写出顶点坐标即可． 【详解】解：因为抛物线是抛物线的顶点式， 由顶点式的坐标特点可知顶点坐标为：， 故选：D． 7．（25-26九年级上·广东东莞·期中）若，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的性质．由二次函数解析式可得函数对称轴和增减性，再根据离对称轴的远近的点的纵坐标的大小比较，即可得出，，的大小关系． 【详解】解：二次函数的图象开口向下，对称轴为， ∴正好是抛物线的顶点坐标， ∴是二次函数的最大值， ∵在对称轴左侧，随的增大而增大， 又∵， ∴． 故选：A． 8．（25-26九年级上·广东东莞·期中）将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度所得的抛物线解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了二次函数图象的平移．利用二次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案． 【详解】解：抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度， 平移后的解析式为， 故选：． 9．（25-26九年级上·广东广州花都区·期中）将抛物线向左平移3个单位，再向下平移1个单位，所得新抛物线的解析式是_______． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图像的平移，熟练掌握平移的规律是解决问题关键；根据二次函数图像平移规律，“左加右减，上加下减”进行变换． 【详解】解：将抛物线向左平移3个单位，得； 再向下平移1个单位，得； 故答案为． 10．（25-26九年级上·广东广州花都区·期中）已知二次函数，下列说法中正确的是（　　） A．抛物线的开口向上 B．当时，y随x的增大而增大 C．对称轴是直线 D．当时，y有最小值为5 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，对于二次函数(a，h，k为常数，)，当时，抛物线开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，此时函数有最小值；当时，抛物线开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小，此时函数有最大值．其顶点坐标是，对称轴为直线． 根据二次函数的性质逐项分析即可． 【详解】解：A、由抛物线可看出，故开口向下，故错误，此选项不符合题意； B、当时，y随x的增大而增大，故正确，此选项符合题意； C、对称轴是直线，故错误，此选项不符合题意； D、当时有最大值是5，故错误，此选项不符合题意． 故选：B． 11．（25-26九年级上·广东江门恩平·期中）已知抛物线如图1所示，现将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象其余部分不变，得到一个新图象如图2．当直线与新图象有四个交点时，m的取值范围是 _____． 【答案】 【分析】先求出翻折部分的解析式，再根据图象确定直线与图象恰有四个公共点时m的取值范围即可． 【详解】解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为， 令，则， 解得：，， ∴，， 根据翻折变换，关于x轴的对称点为， ∴曲线所对应的函数解析式为， 当直线与图象2恰有四个公共点时，如图所示： ①当直线与x轴重合，即时与图象②有两个公共点， 所以当时与图象②有四个公共点； ②当时，直线与有三个公共点， 所以当时，直线与新图象有四个交点． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，根据题意画出图象，找出新图象与直线有四个不同公共点的条件是解题的关键． 12．（25-26九年级上·广东江门恩平·期中）要得到抛物线，可以将抛物线：（    ） A．向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度 B．向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度 C．向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度 D．向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度 【答案】D 【分析】根据抛物线的平移规则：左加右减，上加下减，进行判断即可； 【详解】解：将抛物线先向右平移4个单位，再向下平移1个单位，即可得到抛物线； 故选D． 【点睛】本题考查抛物线的平移．熟练掌握抛物线的平移规则：左加右减，上加下减，是解题的关键． 13．（25-26九年级上·广东江门恩平·期中）对于抛物线，下列结论正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴为直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而增大 【答案】C 【分析】本题主要考查抛物线的图像和性质，熟练掌握抛物线的图像是解题的关键．根据抛物线的图像和性质依次进行判断即可． 【详解】解：， 故开口向下，选项A错误； 对称轴为直线，选项B错误； 顶点坐标为，选项C正确； 当时，随的增大而减小，选项D错误． 故选C． 14．（25-26九年级上·广东广州增城区·期中）将抛物线向上平移个单位长度，得到的抛物线是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象的平移规律，根据“上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：抛物线向上平移个单位长度，， 故选：A． 15．（25-26九年级上·广东广州增城区·期中）对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．当时，随的增大而减小 D．顶点坐标为 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质，包括开口方向、对称轴、增减性和顶点坐标，解决本题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 根据二次函数的性质判断选项即可． 【详解】解：二次函数中，，开口向上，A正确； 对称轴为，B正确； ，且对称轴，当时，y随x的增大而减小，C正确； 顶点坐标为，而非，D不正确． 故选：D． 16．（25-26九年级上·广东云浮罗定·期中）若，两点在二次函数的图象上，则，的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查的是二次函数的性质，二次函数开口向下，对称轴为，比较点A和点B与对称轴的距离，距离越大函数值越小，进一步可求解. 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数开口向下，对称轴为直线， ∵点和点在图象上， 点A到对称轴的距离为，点B到对称轴的距离为， ∴点A距离对称轴更远， ∵开口向下， ∴函数值随距离增大而减小， ∴. 故选：A 17．（25-26九年级上·广东云浮罗定·期中）将抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到的抛物线解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线在平面直角坐标系中平移的规律：左加右减，上加下减，即可得到答案． 【详解】解：∵将抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位， ∴平移后得到的抛物线的解析式为：； 故选C． 【点睛】此题考查了二次函数图像的平移，熟练掌握抛物线在平面直角坐标系中平移的规律是解答此题的关键． 考点02 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 1．（25-26九年级上·广东潮州·期中）已知函数是二次函数． (1)求的值，并写出这个二次函数图象的对称轴和顶点坐标； (2)当时，求的取值范围． 【答案】(1)，对称轴为直线，顶点坐标为 (2) 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键； （1）根据二次函数的定义，得到，求出的值，进而写出函数解析式，化为顶点式求出对称轴和顶点坐标即可； （2）根据增减性，求出时，函数的最大值和最小值即可． 【详解】（1）解：由题意，， 解得； ∴， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为； （2）∵， ∴抛物线开口向下， ∴抛物线上的点离对称轴越远函数值越小， ∵， ∴当时，函数值最大为； 当时，函数值最小为； ∴． 2．（25-26九年级上·广东潮州·期中）已知点A（﹣1，y1），B（4，y2），C（1，y3）均在抛物线y＝﹣x2+4x+m上，下列说法中正确的是（　　） A．y3＜y2＜y1 B．y2＜y1＜y3 C．y2＜y3＜y1 D．y1＜y2＜y3 【答案】D 【分析】由抛物线解析式可知，该抛物线开口向下，且对称轴为x=2，故点与对称轴之间距离越小，对应函数值越大． 【详解】由y＝﹣x2+4x+m可知a<0，对称轴x=， ∵，， ， ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数性质，由抛物线解析式判断出抛物线的特征，再根据性质依次比较即可． 3．（25-26九年级上·广东潮州·期中）（多选）如图，直线交轴于A点，交轴于B点，过A、B两点的抛物线的顶点坐标(1，4)． （1）求的值和抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上求一点P，使得PAB的周长最小，并求出最小值； （3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）k=3，抛物线的解析式为；（2）△PAB周长的最小值为，点P坐标为（1，2）；（3）存在，点Q坐标分别为Q1（1，），Q2（1，），Q3（1，0），Q4（1，1）． 【分析】（1）令x=0，可得点B坐标，根据顶点坐标可设设抛物线解析式为，把点B坐标代入可求出a值，即可得抛物线解析式，令y=0可得点A坐标，代入即可得k值； （2）如图连接BC，交对称轴于P，根据抛物线解析式可得对称轴为直线x=1，点C坐标为（3，0），根据二次函数得对称性可得PA=PC，即可得出PA+PB=BC，可得△PAB得周长的最小值为BC+AB，利用勾股定理即可得△PAB周长的最小值，根据点B、C坐标，利用待定系数法可得直线BC解析式，令x=1即可得点P坐标； （3）设点Q坐标为（1，m），分QA=AB，QB=AB，QA=QB，三种情况，根据两点间距离公式求出m的值即可得答案． 【详解】（1）当x=0时，y=3， ∴点B坐标为（0，3）， ∵过A、B两点的抛物线的顶点坐标(1，4)， ∴设抛物线的解析式为， ∴， 解得：, ∴抛物线的解析式为，即， 当y=0时，， 解得：，， ∵点A在x轴负半轴， ∴A（-1，0），C（3，0）， 把A（-1，0）代入得：-k+3=0， 解得：k=3． （2）如图，连接BC，交对称轴于点P， ∵抛物线的解析式为， ∴对称轴为直线x=， ∵抛物线与x轴交于点A、C， ∴A、C关于对称轴对称， ∴PA=PC， ∴PA+PB=PB+PC=BC， ∴△PAB的周长的最小值为AB+BC， ∵A（-1，0），B（0，3），C（3，0）， ∴OA=1，OB=3，OC=3， ∴AB+BC==， 设直线BC的解析式为y=kx+b， ∴， 解得：k=-1， ∴直线BC的解析式为y=-x+3， 当x=1时，y=-1+3=2， ∴点P坐标为（1，2）． ∴△PAB周长的最小值为，点P坐标为（1，2）． （3）设点Q坐标为（1，m）， ∵A（-1，0），B（0，3）， ∴AB==，QA==，QB==， ①当QA=AB时， ∴=， 解得：m=， ∴Q1（1，），Q2（1，）， ②当QB=AB时， ∴=， 解得：m=6或m=0， ∵直线AB的解析式为y=3x+3， ∴x=1时，y=6， ∴点（1，6）在直线AB上，与A、B不能构成三角形， ∴Q3（1，0）， ③当QA=QB时， ∴=， 解得：m=1， ∴Q4（1，1）， 综上所述：存在点Q，使ABQ是等腰三角形，点Q坐标分别为Q1（1，），Q2（1，），Q3（1，0），Q4（1，1）． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合，熟练掌握待定系数法求函数解析式、二次函数得对称性并灵活运用分类讨论得思想是解题关键． 4．（25-26九年级上·广东惠州仲恺区·期中）抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的函数解析式和直线的解析式； (2)如图，点在线段上方的抛物线上运动（不与重合），过点作，垂足为，交于点．若点的横坐标为，请用的式子表示，并求的最大值； (3)如图，点是抛物线的对称轴上的一个动点，抛物线上存在一点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形，请求写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1)， (2)；最大值为 (3)或或 【分析】（）利用待定系数法解答即可求解； （）由题意可知，，，进而可得，再根据二次函数的性质解答即可求解； （）分为平行四边形的边和对角线两种情况，分别画出图形，利用平行四边形的性质解答即可求解； 本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的几何应用，平行四边形的性质，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：把和代入得， ， 解得， ∴抛物线的函数解析式为， 设直线的解析式为，把和代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：若点的横坐标为，则，， ∴， ∵， ∴当时，取最大值，最大值为； （3）解：①当为平行四边形的边，点在对称轴右侧时，如图，则有，且，过点作对称轴的垂线，垂足为，设交对称轴于点， 则， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴点到对称轴的距离为， 又∵， ∴抛物线对称轴为直线， 设点，则， 解得 或（不合，舍去）， 当时，， ∴， ∴； ②当为平行四边形的边，点在对称轴左侧时，如图，则有，且，过点作对称轴的垂线，垂足为，设交对称轴于点， 同理①可证， ∴，， ∴点到对称轴的距离为， 设点，则， 解得或（不合，舍去）， 当时，， ∴， ∴ ③当为平行四边形的对角线时，如图，设的中点为， ∵，， ∴， ∵点在对称轴上， ∴点的横坐标为， 设点的横坐标为，根据中点公式得， ∴， 把代入，得， ∴， ∵， ∴点在轴上， ∴； 综上所述，点的坐标为或或． 5．（25-26九年级上·广东惠州仲恺区·期中）已知二次函数的图象L如图所示，点O是坐标系的原点，点P是图象L对称轴上的动点，图象L与y轴交于点C，则周长的最小值是______． 【答案】## 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴交点，二次函数图象与性质，求最短路径，解题的关键是：熟练掌握二次函数的图象性质． 把代入，求出解析式，作点关于直线的对称点，计算的长，即可求解． 【详解】解：把代入，则， 解得：， 二次函数解析式为：， 令，则， 故， ∵抛物线的对称轴为直线， 如图，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，则， ， ∴此时的值最小， ∴此时周长有最小值， ， ∴周长的最小值为， 故答案为：． 6．（25-26九年级上·广东惠州仲恺区·期中）抛物线的对称轴是直线，且过点，顶点位于第二象限，其部分图像如图所示，给出以下判断：①且；②；③；④；⑤直线与抛物线两个交点的横坐标分别为、，则，其中正确的个数有（    ） A．5个 B．1个 C．3个 D．2个 【答案】C 【分析】首先由对称轴得到，得到，然后结合抛物线经过点，得到，然后由开口方向得到，得到，可判断①；由抛物线的对称性得到和关于对称轴对称，然后得到时，，即可判断②；同理得到时，，得到，然后代入即可判断③；联立直线与抛物线，然后根据根与系数的关系得到，，进而可判断⑤． 【详解】∵抛物线对称轴，经过点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴且，故①错误， ∵抛物线对称轴，经过， ∴和关于对称轴对称， ∴时，， ∴，故②正确， ∵抛物线与x轴交于， ∴时，， ∴， ∵， ∴，即，故③错误， ∵，， ∴，故④正确， ∵直线与抛物线两个交点的横坐标分别为， ∴方程的两个根分别为、， ∴，， ∴，故⑤正确， 综上所述，正确的个数为3个． 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数与系数的关系，二次函数与x轴的交点问题，二次函数图像上的点的特征，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 7．（25-26九年级上·广东东莞·期中）定义：已知平面直角坐标系中有，两点（点在点左侧），，且轴，若抛物线经过，两点，则称抛物线是线段的“共弦抛物线”． (1)若，，线段的一条“共弦抛物线”的顶点的纵坐标为，求这个抛物线的解析式； (2)在（）的条件下，抛物线与轴相交于，两点，求的面积； (3)若，线段的“共弦抛物线”和的顶点分别为点，，且点，距线段的距离之和为，求的值． 【答案】(1)抛物线解析式为； (2)的面积为； (3)的值为或． 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，解一元二次方程，二次函数图象与性质，待定系数法求解析式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据，，线段的一条“共弦抛物线”，顶点的纵坐标为，则顶点坐标为，然后代入，求出的值即可； （）由（）得，这个抛物线的解析式为：，顶点坐标为，当时，，求出，，然后利用的面积为求解即可； （）由线段的“共弦抛物线”和，则对称轴为直线 ，故有，，抛物线的顶点坐标为，所以抛物线的顶点距线段线段的距离为，点距线段的距离为，从而得到抛物线的顶点为或，然后分当顶点为时，当顶点为时两种情况分析即可． 【详解】（1）解：∵，，线段的一条“共弦抛物线”， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵顶点的纵坐标为， ∴顶点坐标为， 设抛物线解析式为：，且过点， ∴，解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：如图， 由（）得，这个抛物线的解析式为：，顶点坐标为， 当时，， 解得：，， ∴，， ∴， ∴的面积为； （3）解：∵线段的“共弦抛物线”和， ∴对称轴为直线， ∵， ∴，，抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的顶点距线段线段的距离为， ∴点距线段的距离为， ∴抛物线的顶点为或， 当顶点为时，， 将代入得，， 解得：， 当顶点为时，， 将代入得，， 解得：， ∴的值为或． 8．（25-26九年级上·广东东莞·期中）二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，对下列说法：①；②；③；④，其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，主要考查学生的理解能力和辨析能力．根据图象得出，，，结合图象上的点和与x轴交点个数即可逐项判断． 【详解】解：∵二次函数的图象的开口向下， ∴， ∵二次函数的图象与y轴的交点在y轴的正半轴上， ∴， ∵二次函数图象的对称轴是直线， ∴， ∴，故①错误； ∵二次函数图象的对称轴是直线， ∴， ∴，故②正确； ∵二次函数图象与x轴有两交点， ∴方程有2个不相等的实数根， ∴，即，故③错误； 由图象可得，当时，， ∵， ∴， ， ，故④正确； 综上所述，正确的个数是2个， 故选：B． 9．（25-26九年级上·广东东莞·期中）在平面直角坐标系中，已知二次函数的解析式为．请观察表格完成下面题目． x … 0 1 2 3 4 5 … y … 4 11 … (1)抛物线的对称轴是直线______； (2)若，则y的取值范围是______； (3)若，则x的取值范围是______． 【答案】(1) (2)； (3)或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先用待定系数法求出函数解析式为，化为顶点式即可作答．． （2）因为，对称轴，且开口方向向上，所以当时，有最小值，且，则越远离对称轴的所对应的函数值越大，因为，则的取值范围是，即可作答． （3）依题意，令，结合开口方向向上以及对称轴，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，把分别代入， 则， ∴， ∴二次函数的解析式为， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线； 故答案为：； （2）解：∵，对称轴，且开口方向向上， ∴当时，有最小值，且， 则越远离对称轴直线的所对应的函数值越大， ∵， ∴当时，有最大值，且， 当，则的取值范围是． 故答案为：． （3）解：∵，， ∴， 即， 令， ∵， ∴开口方向向上，且对称轴， 当时，则， 解得或， ∵开口方向向上， ∴时， 则或． 故答案为：或． 10．（25-26九年级上·广东广州花都区·期中）已知二次函数． (1)求二次函数图象的顶点坐标； (2)在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象； (3)当时，结合函数图象，直接写出y 的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象、二次函数图象上点的坐标特征，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键． （1）根据配方法将函数解析式化为顶点式，即可得到该函数的顶点坐标； （2）根据函数解析式，可以写出该函数的顶点坐标和图象上的几个点的坐标，从而可以画出相应的函数图象； （3）根据函数图象中的数据，可以写出y的取值范围． 【详解】（1）解：∵， ∴二次函数图象的顶点坐标为； （2）解：列表， 如图： （3）解：根据图象可知：在时， 当时，有最小值；当时，有最大值， ∴当时，的取值范围为． 11．（25-26九年级上·广东广州花都区·期中）已知，，在二次函数图象上，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，通过直接计算各点的函数值，比较大小即可. 【详解】解：∵二次函数为， ∴对于点，， 对于点，， 对于点，， ∴，，， ∴， 故选：D． 12．（25-26九年级上·广东广州花都区·期中）已知二次函数的对称轴是直线，与x轴的一个交点坐标是，则另一个交点坐标为________ 【答案】 【分析】本题考查二次函数的对称性，掌握相关知识是解决问题的关键．根据二次函数的对称性，抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称． 【详解】解：设另一个交点的横坐标为 ， ∵抛物线对称轴是直线 ，与x轴的一个交点为 ，且抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称， ∴， 解得， ∴另一个交点坐标为 ． 故答案为： ． 13．（25-26九年级上·广东广州花都区·期中）匹克球是一项结合了羽毛球、乒乓球和网球的新兴运动，近年来吸引了大量参与者．某校数学小组开展以“匹克球飞行路线”为主题的综合实践活动． 【研究背景】研究匹克球飞行路线所在的平面与球网垂直时，匹克球飞行高度与它距发球点水平距离的关系． 【收集数据】某次匹克球飞行的高度（单位：）与它距发球点的水平距离（单位：）的对应值如表（不考虑空气阻力）． 水平距离 高度 【探索发现】数学小组建立平面直角坐标系、描点、连线（如图），发现匹克球飞行路线是抛物线的一部分． 【建立模型及应用】 (1)当时， ，这个值表示的实际意义是 ； (2)求与的函数解析式（不要求写自变量取值范围）； (3)匹克球在此次飞行过程中，飞行的高度能否达到？请说明理由． 【答案】(1)，匹克球从发球点飞出时的初始高度是米； (2)； (3) 解：由（）得：， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， ∵， ∴匹克球在此次飞行过程中，飞行的高度能达到． 【分析】本题考查了实际问题与二次函数——投球问题，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键． （）根据表格可以得出答案； （）把，代入，用待定系数法求出函数解析式； （）结合（）根据函数的性质求出最大值与比较即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴这个值表示的实际意义是匹克球从发球点飞出时的初始高度是米； 故答案为：，匹克球从发球点飞出时的初始高度是米； （2）解：把，代入， 得， ∴； ∴； （3）略 14．（25-26九年级上·广东广州花都区·期中）如图，已知二次函数（）与轴的一个交点为，其对称轴为直线，下列四个结论：①，②；③；④直线与该二次函数一定有交点．其中正确的结论有_______（写序号）． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查的是二次函数的图像与系数的关系，可借助数形结合思想进行分析解答；由抛物线的开口方向，对称轴以及与轴的交点即可判断①；根据抛物线与轴的交点即可判断②；由时，即可判断③；利用抛物线的对称性可知抛物线过，即可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下，交轴的正半轴， ∴，， ∵， ∴， ∴，故①是正确的； ∵抛物线与轴有两个交点， ∴有两个不相等的实数根， ∴，故②是正确的； ∵当时，， ∴，故③是错误的； ∵二次函数（）与轴的一个交点为，其对称轴为直线， ∴与轴的另一个交点为， ∵直线（）经过点， ∴直线与该二次函数一定有交点，故④是正确的； 故答案为：①②④． 15．（25-26九年级上·广东广州花都区·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点B． (1) ； (2)若点P在抛物线上，且，求点P的坐标； (3)若点M是直线上一动点（点M不与A、B重合），过点M作线段（点N在直线下方），已知，若线段与抛物线有交点，请直接写出点M的横坐标的取值范围． 【答案】(1) (2)或或或 (3)或 【分析】（1）将点B坐标代入即可得解； （2）先求出面积，可得面积，进而可得，据此求解即可； （3）当点N落在抛物线上时，则为临界值，求出t的值，据此求解即可． 【详解】（1）解：将代入得： ，解得， 故答案为：； （2）解：由（1）知， ∴抛物线解析式为， 令，得， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，即， 解得或4， 此时点P的坐标为或； 当时，即， 整理得， 解得， 此时点P的坐标为或； 综上，点P的坐标为或或或； （3）解：设直线解析式为， 把点，代入得： ，解得： ∴直线解析式为， 设，则， 当点N落在抛物线上时，则， ∴， ∴当时，则， 解得t或， ∵线段与抛物线有交点， ∴或， 即点M的横坐标的取值范围为或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键． 16．（25-26九年级上·广东江门恩平·期中）点均在二次函数的图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系．由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，进而求解． 【详解】解：， 抛物线对称轴为直线，抛物线开口向下， 时，随增大而减小， ， 故选：C． 17．（25-26九年级上·广东江门恩平·期中）函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象，一次函数图象等知识．熟练掌握二次函数图象，一次函数图象是解题的关键．分别确定各选项中一次函数的的取值范围，然后判断各选项中对应的二次函数图象的正误即可． 【详解】解：A中的，此时的图象应该开口向下，此时矛盾，故不符合要求； B中的，此时的图象应该开口向上，对称轴，故符合要求； C中的，此时的图象应该开口向上，此时矛盾，故不符合要求； D中的，此时的图象应该开口向下，对称轴，此时矛盾，故不符合要求； 故选：B． 18．（25-26九年级上·广东江门恩平·期中）综合与探究： 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点，点是抛物线上点与点之间的动点（不包括点，点）． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，动点在抛物线上，且在直线上方，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)如图，过原点作直线交抛物线于、两点，点的横坐标为，点的横坐标为．求证：是一个定值． 【答案】(1)； (2)，； (3)见解析． 【分析】利用待定系数法把点和点的坐标代入，得到，解方程组求出、的值，可得抛物线的解析式； 过点作轴，交于点，把分成和，可得的面积为，配方可得，从而可知当时，的面积有最大值，此时的坐标为； 设直线的解析式为，因为、是抛物线与直线的交点，可得方程，整理得，根据一元二次方程根与系数的关系可证是一个定值． 【详解】（1）解：把点和点的坐标代入， 得到：， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：如下图所示，过点作轴，交于点， 设直线的解析式为， 把点和点的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 设点的横坐标为，则点的纵坐标为， 点的横坐标为，点的纵坐标为， ， ， 整理得：， 可知当时，的面积有最大值，最大值是， 当时，， 此时点的坐标为； （3）证明：设直线的解析式为， 解方程组， 可得：， 整理得：， 一元二次方程中， ， 一元二次方程有两个不相等的实数根， 这两个不相等的实数根分别为、， 则有， 是一个定值． 【点睛】本题考查二次函数与几何的综合，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质． 19．（25-26九年级上·广东江门恩平·期中）请写出一个二次函数的解析式，使其图象的开口向下，且对称轴为直线．这个函数解析式可以是___________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次函数的性质，用到的知识点：二次函数的对称轴是直线；当时，抛物线开口向上，当时，抛物线开口向下；二次函数与轴交于点．由题意可知：写出的函数解析式满足，，由此举例得出答案即可． 【详解】解：设所求二次函数的解析式为． 图象的开口向下， ，可取， 对称轴是直线， ，得， 可取任意数， 函数解析式可以为：（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 20．（25-26九年级上·广东广州增城区·期中）已知二次函数的图象，当时，有最小值为_________． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质，包括二次函数的对称轴、顶点坐标以及函数在给定区间内的最值问题．关键在于准确确定对称轴，结合函数的开口方向和给定取值范围判断函数的最值情况． 【详解】该二次函数为正数，开口向上，由二次函数顶点公式，得顶点横坐标 ， 在取值范围内，故当时，函数取最小值．所以代入函数得 ． 故答案为 ． 21．（25-26九年级上·广东广州增城区·期中）6月中旬，荔枝相继成熟，果农们迎来了繁忙的采摘销售季．为了解荔枝的收益情况，从第1天销售开始，小明对自己家的两处荔枝园连续15天的销售情况进行了统计与分析： A荔枝园 第x天的单价、销售量与x的关系如下表： 单价（元/箱） 销售量（箱） 第1天 50 20 第2天 48 30 第3天 46 40 第4天 44 50 ．．． ．．． ．．． 第x天 已知A荔枝园每天的固定成本为745元． B荔枝园 第x天的利润（元）与x的关系可以近似地用二次函数刻画，其图象如图：    (1)求A荔枝园第1天的利润； (2)求B荔枝园第x天的利润（元）与x（天）的函数关系式； (3)设两处荔枝园的利润之和为w，求第几天w有最大值，最大值是多少元？ 【答案】(1) (2) (3)第天有最大值，最大值为 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，并考查了待定系数法求解二次函数表达式，二次函数最值问题求解，实际问题中运用函数关系正确表示利润是解答的关键． （1）根据利润销量单价成本，化简表达式即可得到函数解析式，然后代入即可求解得到第一天的利润； （2）根据待定系数法，将根据，代入方程，求得的值，进而得到二次函数的表达式； （3）根据前面所求求出的结果，再利用二次函数的性质，在顶点处取得最大值，进而完成求解． 【详解】（1）解：由题意知，， 第一天的利润（元）． 答：荔枝园第天的利润为元． （2）解：把，代入得， ， 解得， ∴． 答：函数关系式为． （3）解：∵，， ∴利润之和， ∴， ∴， ∵（为正整数）， ∴当时，取得最大值，最大值为， 答：第天有最大值，最大值为． 22．（25-26九年级上·广东广州增城区·期中）我们不妨约定：若某函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则把该函数称为“函数”，其图象上这一点，称为“点”．例如：“函数”，其“点”为． (1)在下列关于的函数中， （请填写对应序号）是“函数”． ①；②；③． (2)若点，点是“函数”（其中0）上的“点”，且，求的取值范围； (3)若“函数”的图象上存在唯一的一个“点”，且当时，的最小值为，求的值． 【答案】(1)②③； (2)； (3)的值为或． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解一元二次方程，根的判别式及根与系数的关系等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据题意令，解方程判断即可； （2）设，由题意知，整理得，根据根的判别式及根与系数的关系得到，即可求解； （3）由题意得，整理得，求解，分三种情况讨论即可得出答案． 【详解】（1）解：①令，即，方程无解， 不是“函数”； ②令，即， 解得：， 是“函数”； ③令，即， 解得：或， 是“函数”． 故答案为：②③； （2）解：设， 点，点是“函数”（其中）上的“点”， ， 整理得：， ， ， ， ， 解得：， 的取值范围为； （3）解：“函数”的图象上存在唯一的一个“点”， ， 整理得：， ， 解得：， 关于的二次函数图象开口向上，对称轴为直线； ， 分以下三种情况讨论： ①当，即时，当时有最小值， 即， 解得：（舍去）； ②当，即时，当时有最小值， 即， 解得：或（舍去）； ③当，即时，当时有最小值， 即， 解得：； 综上，的值为或． 23．（25-26九年级上·广东广州增城区·期中）已知抛物线． ．．． ．．． ．．． ．．． (1)该抛物线的对称轴是 ，顶点坐标是 ； (2)选取适当的数据填入表中，并在如图的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象； (3)若该抛物线上两点，的横坐标满足，试比较，的大小． 【答案】(1)； (2) 依次描点、连线如图所示， (3) 【分析】本题主要考查二次函数的综合知识，二次函数中对称轴的计算方法，顶点的计算方法和绘图的方法，熟知二次函数图像的性质是解题的关键． （1）将抛物线变为顶点式即可求解顶点坐标； （2）根据抛物线自变量的取值范围，适当选取自变量的值，计算函数值，并在平面直角坐标系中描点，连线即可； （3）根据函数图像的性质即可求解． 【详解】（1）解： ， ∴抛物线的对称轴是，顶点坐标是， 故答案为：，； （2）解：当时，， 当时， 或 解得， 当时， ， 综上所述，可选取 （3）解：∵， ∴由图可得． 24．（25-26九年级上·广东广州增城区·期中）已知二次函数的图象如图所示，有下列个结论，其中正确的结论是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．根据二次函数图象的开口方向、对称轴、与轴的交点位置，即可得到、、的正负性，从而判断A选项；把代入二次函数解析式中，即可判断B选项；根据二次函数图象的对称轴可判断C选项的正确性；根据二次函数图象与轴有个交点，从而判断D选项． 【详解】解：二次函数图象开口向下， ， 对称轴， ，，故C选项正确； 二次函数图象与轴的交点在轴上方， ， ，故A选项错误； 当时，， ，即，故B选项错误； 二次函数图象与轴有个交点， ，故D选项错误； 故选：C ． 25．（25-26九年级上·广东广州增城区·期中）已知抛物线经过两点，求这条抛物线的解析式 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，将两点代入即可求解； 【详解】解：将两点代入得： ，解得：， ∴这条抛物线的解析式为：； 26．（25-26九年级上·广东深圳龙岗区·期中）某数学兴趣小组的同学在学完一元二次方程后，发现一元二次方程根的判别式除了可以判断一元二次方程根的情况，还可以解决其他问题．下面是该学习小组收集的素材，请根据素材帮助他们完成相应地任务： 关于根的判别式的探究 素材 对于一个关于的二次三项式，利用根的判别式可以求该多项式的最值． 比如：求的最小值， 令，得， 则，解得， 所以的最小值为4． 这种利用判别式求二次三项式最值的方法称为判别式法． 问题解决 任务1 感受新知：用判别式法求的最小值； 任务2 探索新知．若关于的二次三项式（为常数）的最小值为，求的值； 任务3 应用新知：如图，有一老板打算利用一些篱笆，一面利用墙，围成中间隔有两道篱笆的长方形花圃，若要围成面积为400平方米的花圃， ①设需要用的篱笆是米，米，用含和的代数式表示的长为______米； ②需要用的篱笆最少是多少米？ 【答案】任务1：最小值为；任务2：；任务3：①，②需要用的篱笆最少是80米． 【分析】本题主要考查了根的判别式、二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能利用根的判别式进行判断是关键． 任务1：依据题意，令，从而，再由判别式可以判断得解； 任务2：依据题意，令，故，再由判别式，进而可以判断得解； 任务3：①根据总长度减去个垂直于墙的篱笆得出的长；②根据矩形的面积公式列出关于的方程，再根据判别式求出的最小值． 【详解】解：任务1：令 得， 则， 解得 所以的最小值为， 任务2：令， 得， 则， 解得， 因为的最小值为， 所以， 解得 任务3：①， ②依题意得， 整理得， ，而． ， 需要用的篱笆最少是80米． 27．（25-26九年级上·广东云浮罗定·期中）下表给出了二次函数（）的自变量与函数的一些对应值，则下列说法正确的是（   ） … 0 1 2 … … 0 3 4 3 … A．对称轴为直线 B．当时， C．当时，随的增大而增大 D．此函数有最小值4 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．根据题意可得函数的对称轴为：直线，从而得到抛物线开口向下，当时，y随x的增大而增大，函数有最大值4，即可求解． 【详解】解：由表格数据可得：当和2时，对应y的值相等， ∴函数的对称轴为：直线，故A错误； ∵，当时，， ∴当时，，故B错误； ∵数据从到1对应的y值不断增大， ∴抛物线开口向下，当时，y随x的增大而增大， ∴当时，随的增大而增大，故C正确； ∴函数有最大值4，故D错误． 故选：C． 28．（25-26九年级上·广东云浮罗定·期中）二次函数的最小值为1，则__________. 【答案】10 【分析】本题考查的是二次函数的最值问题，利用二次函数的顶点公式求出最小值对应的x值，再代入函数表达式，根据最小值为1列出方程求解m． 【详解】解：二次函数的顶点横坐标为 ， 当时，函数取得最小值， 代入得 ， 由题意，最小值为1，即 ， 解得 ． 故答案为：10． 29．（25-26九年级上·广东云浮罗定·期中）如图，已知抛物线经过，两点． (1)求抛物线的解析式和顶点坐标； (2)根据图像写出当时，求的取值范围． 【答案】(1)抛物线的解析式为，顶点坐标为 (2)或 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的图像与性质、二次函数与不等式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，即可求出顶点坐标； （2）观察抛物线与轴交点的位置，即可确定不等式的解集． 【详解】（1）解：代入，得，， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴顶点坐标为； （2）解：由图像得，当或时，， ∴当时，的取值范围为或． 30．（25-26九年级上·广东云浮罗定·期中）已知：如图，抛物线与轴交于点，． (1)试确定该抛物线的函数表达式； (2)观察图象，当时，y的取值范围为________； (3)已知点是该抛物线的顶点，若点是线段上的一动点，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了用待定系数法求解析式以及二次函数图象的性质，垂线段最短，勾股定理，熟练掌握用待定系数法求解析式是解题关键． （1）将点与点坐标代入抛物线解析式得到关于的方程组，由此求出的值，从而进一步得出解析式即可； （2）由得出开口方向向下，对称轴为直线，再根据越远离对称轴的自变量所对应的函数值越小，以及结合进行分析，即可作答． （3）根据垂线段最短可知当时，最小，据此进一步利用三角形的面积公式求出即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：由（1）得， ∴开口方向向下，对称轴为直线， 在时，有最大值，且，越远离对称轴的自变量所对应的函数值越小， ∵， ∴把代入，得， ∴观察图象，当时，y的取值范围为． （3）解：当是边上的高时，的值最小， 由（2）得对称轴为直线，有最大值，且 ∵点是的顶点， 即， ∵，， ∴，，点到轴的距离为， ∴， ∴， ∴的最小值是． 考点03 二次函数与一元二次方程 1．（25-26九年级上·广东潮州·期中）二次函数与x轴的交点个数是（      ） A．只有一个交点 B．有两个交点 C．没有交点 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据判别式Δ=0，判断二次函数与x轴只有一个交点． 【详解】解：根据题意，令， 则， ∴Δ=b24ac=（6）24×1×9=3636=0， ∴二次函数y=x26x+9与x轴只有一个交点， 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数与x轴的交点，关键是通过判别式Δ来判断二次函数与x轴交点的个数． 2．（25-26九年级上·广东潮州·期中）二次函数的部分图象如图所示，不等式的解集是________． 【答案】 【分析】本题考查了根据抛物线与轴的交点求不等式的解集．观察图象可知对称轴为直线，则另一个交点为，根据图象与轴的交点，即可求解． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为，与轴的交点为， ∴二次函数图象与轴的另一个交点为， ∴不等式的解集是， 故答案为：． 3．（25-26九年级上·广东茂名·期中）观察下列表格，估计一元二次方程的一个解的大致范围是（   ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 0.11 0.24 0.39 0.56 0.74 0.96 1.19 1.44 1.71 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查估算一元二次方程近似解，根据表中数据可直接得出答案． 【详解】解：由表可知，时，随x的增大而增大， 当时，，当时，， 因此估计一元二次方程的一个解的大致范围是， 故选C． 4．（25-26九年级上·广东惠州仲恺区·期中）如图是二次函数的部分图象，则不等式的解集是_____． 【答案】或 【分析】本题考查了利用二次函数图象解不等式，会利用二次函数图象解不等式是解题的关键． 由二次函数的图象的对称性得抛物线与轴的一个交点为，由轴的下方的图象对应的函数值小于，即可求解． 【详解】解：由图像得，对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点为， ∴抛物线与轴的一个交点为， ∴轴的下方的图像对应的函数值小于， ∴当或时，； ∴不等式的解集是或， 故答案为：或． 5．（25-26九年级上·广东广州花都区·期中）如图，是二次函数与一次函数的图象，当时，x的取值范围是（　　） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据图象可以直接回答，使得的自变量的取值范围就是二次函数落在直线的图象上方的部分对应的自变量的取值范围． 【详解】解：∵， ∴一次函数的图象在抛物线的下方， 由图象可知，当时，直线在抛物线的下方， ∴当时，， 故选：B． 6．（25-26九年级上·广东广州增城区·期中）在平面直角坐标系中，抛物线如图所示，则关于x的方程的根的情况为（    ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有实数根 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．由题意可把方程看作是二次函数与直线的交点问题，根据图象可得答案． 【详解】二次函数与直线的交点即为方程的解， 根据图象可知：二次函数与直线有两个交点， 方程的根的情况为：有两个不相等的实数根， 故选：C． 7．（25-26九年级上·广东云浮罗定·期中）如图，已知抛物线与直线交于，两点．则关于的不等式的解集是________． 【答案】或##或 【分析】根据图象，写出抛物线在直线下方部分的x的取值范围即可． 【详解】解：∵抛物线与直线交于、， ∴不等式的解集是或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式的关系，主要利用了数形结合的思想，解题关键在于对图象的理解，题目中的不等式的含义为：二次函数的图象在一次函数图象下方时，自变量x的取值范围． 8．（25-26九年级上·广东云浮罗定·期中）二次函数与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是（   ） A．且 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，一元二次方程根的判别式，根据题意得到，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数与x轴有两个不同的交点， ∴， ∴， 故选：B． 考点04 实际问题与二次函数 1．（25-26九年级上·广东潮州·期中）综合与实践：制定商品定价策略 【素材】某班计划在校园义卖中出售手工编织手链，所有收入将捐赠给环保项目．已知每只手链的成本为元，初始定价为元时，预计每天可售出只．若定价每提高元，销量会减少只；每降低元，销量增加只．为最大化公益收益，班级需制定科学定价策略． 【问题解决】 任务：设手链定价为元（），销量为________只（用的代数式表示）． 任务：①若班级希望每天利润为元，那么这手链的定价为多少元？ ②当手链定价为多少元时，每天利润有最大值，并求出利润的最大值为多少元． 【答案】任务：；任务：①元或元，②当手链定价为元时，利润最大为元 【分析】任务：根据题意列出代数式即可； 任务：①根据题意列出方程，解方程即可求解；②设利润为元，求出与之间的函数关系，再根据二次函数的性质解答即可求解； 本题考查了列代数式，一元二次方程的应用，二次函数的应用，根据题意列出方程和函数解析式是解题的关键． 【详解】解：任务：当时，销量为只；当时，销量为只， 综上，销量为只， 故答案为：； 任务：①解：由题意得，， 整理得，， 解得，， 答：若要每天获利元，这条手链的定价为元或元； ②设利润为元， 由题意得，， ∵， ∴ 当手链定价为元时，利润最大为元． 2．（25-26九年级上·广东惠州仲恺区·期中）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商销售某名牌头盔，进价为40元/个．测算在市场中，当售价为50元/个时，月销售量为500个，若在此基础上每上涨1元/个，则月销售量将减少10个． (1)设售价在50元/个的基础上涨价元，则月销售量将减少_____个，则月销售量为（_____）个，每个头盔的利润是（_____）元；（用的代数式表示） (2)该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个时，获得的利润最大，最大利润为多少元？ 【答案】(1)，， (2)售价定为70元/个时，利润最大，最大利润为9000元 【分析】本题考查了列代数式，二次函数的图象性质，二次函数的销售应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题意，售价在50元/个的基础上涨价元，则月销售量将减少个，月销售量为个，每个头盔的利润是元，即可作答． （2）总利润为，涨价元，结合总利润等于单件利润乘数量进行列式，得，再根据二次函数的图象性质，进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：∵售价在50元/个的基础上涨价元，在此基础上每上涨1元/个，则月销售量将减少10个 ∴月销售量将减少个， ∵月销售量为500个， ∴涨价元后的月销售量为个， 则 即涨价元后的每个头盔的利润是元； （2）解：设总利润为，涨价元， 与（1）同理得涨价元后的月销售量为个，每个头盔的利润是元； 依题意， 整理得， ∵， ∴开口方向向下，在对称轴时，有最大值， 故把代入， 得， 此时售价为（元） ∴售价定为70元/个时，利润最大，最大利润为9000元 3．（25-26九年级上·广东惠州仲恺区·期中）如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度为10m时，桥洞与水面的最大距离是5m． （1）经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如图），你选择的方案是　 （填方案一，方案二，或方案三），则B点坐标是　 　，求出你所选方案中的抛物线的表达式； （2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为6m，求水面上涨的高度．    【答案】（1）方案一；；；（2）. 【分析】（1）根据抛物线在坐标系的位置，可用待定系数法求抛物线的解析式． （2）把x=3代入抛物线的解析式，即可得到结论． 【详解】解：（1）方案一；点B的坐标为（5，0）， 设抛物线的解析式为：． 由题意可以得到抛物线的顶点为（0，5）， 代入解析式可得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）由题意：把代入， 解得：=3.2， ∴水面上涨的高度为3.2m． 4．（25-26九年级上·广东东莞·期中）运动会上，某运动员掷铅球时，所掷的铅球的高与水平的距离之间的函数关系式为，则该运动员的成绩是________米 【答案】10 【分析】本题主要考查二次函数的应用，理解投掷铅球的成绩就是求抛物线与x轴交点的横坐标是解题的关键．令，求出抛物线与x轴的交点坐标，即可得出答案． 【详解】解：令，得， 解得，（舍）． 所以改运动员此次投掷铅球得成绩是10米． 故答案为：10． 5．（25-26九年级上·广东东莞·期中）如图，Rt△ABO的直角边OB在x轴上，OB＝2，AB＝1，将Rt△ABO绕点O顺时针旋转90°得到Rt△CDO，抛物线y＝﹣+bx+c经过A，C两点． （1）求点A，C的坐标； （2）求二次函数的解析式； （3）连接AC，点P是抛物线上一点，直线OP把△AOC的周长分成相等的两部分，求点P的坐标． 【答案】（1）A(﹣2，1)，C(1，2)；（2）y＝--x+；（3）(4，﹣12)或(﹣1，3) 【分析】（1）根据线段OB、AB的长度易得点A的坐标，根据旋转的性质求得C点的坐标； （2）根据待定系数法即可求得； （3）由直线OP把△AOC的周长分成相等的两部分且OA＝OC，知AQ＝CQ，即点Q为AC的中点，从而得出点Q坐标，求得直线OP解析式，联立方程可得点P坐标． 【详解】解：（1）∵OB＝2，AB＝1， ∴A（﹣2，1）， 将Rt△ABO绕点O顺时针旋转90°得到Rt△CDO， ∴C（1，2）， （2）∵抛物线y＝﹣+bx+c经过A，C两点， ∴，解得 ∴二次函数的解析式为y＝﹣﹣x+； （3）设OP与AC交于点Q， ∵OP将△AOC的周长分成相等的两部分，又OA＝OC，OQ＝OQ， ∴AQ＝CQ，即Q为AC的中点， ∴Q（﹣，）． 设直线OP的解析式为y＝kx，把Q（﹣，）代入y＝kx，得＝﹣k， ∴k＝﹣3． ∴直线OP的解析式为y＝﹣3x． 由，得，， ∴P1（4，﹣12），P2（﹣1，3）． 【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查待定系数求函数解析式及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据周长相等得出点Q的坐标是解题的关键． 6．（25-26九年级上·广东江门恩平·期中）图1是一个瓷碗，图2是其截面图，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽，此时面汤最大深度．当面汤的深度为时，求此时汤面的直径的长．    【答案】汤面的直径的长为 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质．建立合适的平面直角坐标系是解题的关键． 以抛物线顶点为原点，轴为对称轴建立平面直角坐标系，把碗口端点转化为坐标，简化抛物线解析式的求解，再用待定系数法求出抛物线，再代入汤面深度对应的，求出的取值，最后根据的值计算汤面的水平距离，得到直径的长度． 【详解】解：如图，以抛物线的顶点为原点，轴为对称轴建立平面直角坐标系， 设抛物线的解析式为：， 由题意得：抛物线上点的坐标为， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为， 当时，， 解得，， ∴． 答：汤面的直径的长为．    7．（25-26九年级上·广东深圳龙华区·期中）如图，某建筑队在一边靠墙处，计划用15米长的铁栅栏围成一个长方形仓库，仓库总面积为平方米，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设米，则关于的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了列函数关系式．根据题意先求出平行于墙的一边长为米，再根据长方形面积计算公式求解即可． 【详解】解：由题意得，平行于墙的一边长为米， ∴， 故选：B． 8．（25-26九年级上·广东广州增城区·期中）如图1是某城市广场音乐喷泉，出水口处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度（）与水平距离（）之间的关系如图2所示，点为该水流的最高点，点为该水流的落地点，且，垂足为点，．若，，则的长为______． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式． 根据题意可得点，设抛物线的解析式为，把点代入，可求出抛物线的解析式，然后令，即可求解． 【详解】解：∵，，，， ∴点， 设抛物线的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 当时，， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴点C的坐标为， ∴， 即的长为． 故答案为： 9．（25-26九年级上·广东深圳龙岗区·期中）某水果批发商店经销一种高档水果，进货价为10元/千克，若按15元/千克批发，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若批发价每千克每涨价1元，日销售量将减少10千克， (1)当某水果批发价每千克涨价2元时，每天销售量为___________千克，每天共盈利___________元； (2)现该商店要保证每天盈利4500元，同时又要使顾客得到实惠，那么水果批发价每千克应涨价多少元？ 【答案】(1)480、3360； (2)水果在原售价的基础上应涨价5元． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）利用每天的销售量某水果批发价每千克涨价的钱数，可求出每天的销售量，利用总利润每千克的销售利润日销售量，即可求出每天销售该种水果获得的总利润； （2）设水果批发价每千克涨价元，则每千克的销售利润为元，每天的销售量为千克，利用总利润每千克的销售利润日销售量，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合要使顾客得到实惠，即可确定结论． 【详解】（1）解：根据题意得：当某水果批发价每千克涨价2元时，则每千克的销售利润为（元，每天的销售量为（千克）， 每天共盈利（元） 故答案为：480，3360； （2）解：设水果批发价每千克涨价元，则每千克的销售利润为元，每天的销售量为千克， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 又要使顾客得到实惠， ． 答：水果批发价每千克应涨价5元． 10．（25-26九年级上·广东云浮罗定·期中）2025年东盟博览会聚焦“AI赋能，共创未来”主题，南宁国际会展中心外设置了一台由AI智能控制的艺术喷水装置，喷射出的水流可近似看成抛物线．如图，喷水装置置于平面直角坐标系的原点O处，喷水口的高度（喷水口距地面的距离）为米，当喷射出的水流距离喷水口水平距离为10米时，达到最大高度6米． (1)求水流运行轨迹的函数解析式； (2)若在距喷水装置15米处有一棵融入AI科技元素的4米高的景观树，水流是否会碰到这棵景观树？请通过计算说明． 【答案】(1) (2) 解：水流不会碰到这棵景观树，理由如下： 当时，， ∴水流不会碰到这棵景观树． 【分析】本题主要考查了二次函数在实际问题中的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设抛物线的解析式为，用待定系数法求解即可； （2）将代入（1）中的解析式，再与4进行比较即可． 【详解】（1）解：根据题意得：水流运行轨迹的最高点的坐标为，过点， 设水流运行轨迹的函数解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴水流运行轨迹的函数解析式为； （2）略 11．（25-26九年级上·广东云浮罗定·期中）某超市销售一种品牌糕点，每盒进价为50元，超市规定每盒售价不得低于60元．根据以往销售经验发现：当每盒售价定为60元时，每天卖出600盒；每盒售价每提高1元，每天少卖20盒．设超市每盒售价定为x（元），每天卖出y（盒）． (1)求y关于x的函数表达式； (2)当每盒售价定为多少元时，超市销售该糕点的日均毛利润最大？最大日均毛利润是多少？ 【答案】(1)； (2)当每盒售价定为70元时，超市销售该糕点的最大日均毛利润为8000元． 【分析】本题考查了二次函数的销售盈利问题，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据当每盒售价定为60元时，每天卖出600盒；每盒售价每提高1元，每天少卖20盒．设超市每盒售价定为x（元），每天卖出y（盒），列式，去括号合并同类项，即； （2）根据总利润等于单件利润乘上销量，列式，运用二次函数的性质进行作答即可． 【详解】（1）解：∵当每盒售价定为60元时，每天卖出600盒；每盒售价每提高1元，每天少卖20盒．设超市每盒售价定为x（元），每天卖出y（盒）， ∴， ． （2）解：设每盒售价定为x（元）时，超市销售该糕点的日均毛利润为W（元）， 则： 即， ∵ ∴开口向下，在时，有最大值，且为， 答：当每盒售价定为70元时，超市销售该糕点的最大日均毛利润为8000元． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $