精品解析：广东湛江市赤坎区 湛江第一中学2025-2026学年第一学期第二次综合素养评价（期中）九年级级数学科试卷

湛江第一中学2025-2026学年第一学期第二次综合素养评价 初三级数学科试卷 时间：120分钟；满分：120分 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 以下是小宇同学利用AI设计工具，体验在线智能绘画快速出图服务时，绘制的四个平面图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 2. 平面直角坐标系中的下列各点，在反比例函数的图象上的是（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解一元二次方程时，应在方程两边同时加上（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 4. 已知的半径为，点P到圆心O的距离为，则点P与的位置关系是（ ） A. 点P在圆上 B. 点P在圆内 C. 点P在圆外 D. 无法确定 5. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 其图像的开口向上 B. 其图像的对称轴为直线 C. 其最小值为5 D. 当时，y随x的增大而增大 6. 二维码成为广大民众生活中不可或缺的一部分．飞飞将二维码打印在面积为的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（　　）． A. 160 B. 240 C. 120 D. 7. 今年10月25日是首个法定的台湾光复纪念日．数据显示，2023年大陆赴台游客为22.6万人次，预计2025年全年将达到165万人次．设这两年大陆赴台游客人次的平均增长率为，则下列方程中，能刻画这一情境中的等量关系的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，D，E分别是和上的点，，若，，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 9. 图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为了一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2．已知其底部宽度为，高度为，则离地面处的水平宽度（即的长）为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正六边形的边长为3，分别以点A，D为圆心，以的长为半径画弧，则图中阴影部分的面积为（ ）． A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 现有四张完全相同的刮刮卡，涂层下面的文字分别是“我”、“爱”、“名”、“中”．小明从中随机抽取1张并刮开，则这张刮刮卡上的文字恰好是“中”的概率是______． 12. 两个相似三角形的相似比为，则它们的面积之比为________． 13. 如图，将三角形AOB绕点O按逆时针方向旋转55°后得到三角形，若，则____________度． 14. 圆锥的底面半径为，高为，那么这个圆锥的侧面积是_____． 15. 如图，菱形的边在轴的正半轴上，反比例函数的图象经过对角线的中点和顶点，则菱形的面积为______． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 已知，是一元二次方程的两根． （1）若，，求m，n的值； （2）若，，求的值． 17. 如图，在四边形中，，，求证：． 18. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，且点的横坐标为． （1）求反比例函数的解析式； （2）请直接写出当且时，的取值范围． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 第十五届全国运动会在广东广州隆重开幕，这是首次由粤港澳三地联合举办的全国运动会，各项比赛备受社会各界关注．某校为组织观赛活动，随机抽取部分学生开展了赛事项目选择调查，提供选项：A游泳，B田径，C羽毛球，D乒乓球，每名学生只能选择一项，并将调查结果绘制成了统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）此次共调查了_____人，补全条形统计图； （2）扇形统计图中C类对应的圆心角的度数为_____° （3）小明和小强打算利用课余时间到比赛现场观赛，两名同学分别从上述四类比赛项目中随机抽取一类，请用列表法或树状图的方法，求两人选择到同一类比赛项目的概率． 20. 某校开辟了一块矩形菜地作为劳动教育基地，如图所示，已知矩形菜地的一面靠墙，墙的最大可用长度为26米，其余用长为49米的篱笆围成，菜地靠前的边上预留了一个宽为1米的小门(小门不用篱笆) （1）设菜地的宽为x米，则___________米(用含x的代数式表示)； （2）当x为何值时，围成的菜地面积为200平方米？ （3）能围成的菜地最大面积是多少？ 21. 如图，是的外接圆，，点D是上一点，，连接，过点C作交的延长线于点E． （1）求证：为的切线； （2）若的半径为2，且，求的长． 五、解答题（三）（本大题共2小题，共27分） 22. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）如图，点在第四象限的抛物线上运动，过点作于点，过点作轴交于点，点的横坐标为． ①用含的代数式表示的长； ②求的最大值及此时点的坐标； （3）将该抛物线在间的部分记为图象，将图象在直线下方的部分沿直线翻折，其余部分保持不变，得到一个新的函数的图象，记这个函数的最大值为，最小值为，若，请直接写出的取值范围． 23. 阅读与思考 请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务． 阿基米德是伟大的古希腊数学家、哲学家物理学家，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．他的著作《阿基米德全集》的《引理集》中记述了有关圆的15个引理，其中第三个引理是：如图1，是的弦，点在上，于点，点在弦上且，在上取一点，使，连接，则．小明思考后，给出如下证明： 如图2，连接、、、． ∵， ∴（依据1） ∴ ∵ ∴（依据2） … 图1 图2 任务： （1）写出小明证明过程中的依据： 依据1：________ 依据2：________ （2）请你将小明的证明过程补充完整； （3）小亮想到了不同的证明方法：如图3，连接、、、．请你按照小亮的证明思路，写出证明过程； （4）结论应用：如图4，将材料中的“弦”改为“直径”，作直线与相切于点，过点作于点，其余条件不变，若，且是的中点，则________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湛江第一中学2025-2026学年第一学期第二次综合素养评价 初三级数学科试卷 时间：120分钟；满分：120分 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 以下是小宇同学利用AI设计工具，体验在线智能绘画快速出图服务时，绘制的四个平面图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据中心对称和轴对称的定义，进行判断即可． 【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； 故选C． 2. 平面直角坐标系中的下列各点，在反比例函数的图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定满足此函数的解析式是解答此题的关键．把各选项代入反比例函数，求出k的值，再根据判断即可． 【详解】解：A.把点代入得，故A选项不符合题意； B.把点代入得，故B选项不符合题意； C.把点代入得，故C选项符合题意； D.把点代入得，故D选项不符合题意． 故选：C． 3. 用配方法解一元二次方程时，应在方程两边同时加上（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查配方法，熟练掌握配方法是解题的关键；此题可根据配方法，在方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行求解即可． 【详解】解：由题意得：方程两边同时加上1； 故选：A． 4. 已知的半径为，点P到圆心O的距离为，则点P与的位置关系是（ ） A. 点P在圆上 B. 点P在圆内 C. 点P在圆外 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内．据此解答即可． 【详解】解：∵的半径为，点P到圆心O的距离为， ∴， ∴点P与的位置关系是：P在内． 故选：B． 5. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 其图像的开口向上 B. 其图像的对称轴为直线 C. 其最小值为5 D. 当时，y随x的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解决此题的关键．根据题目中的函数解析式，可以写出该函数图象的开口方向、对称轴、最值和顶点坐标，从而可以判断哪个选项是符合题意的． 【详解】解：∵，， ∴该函数的图象开口向下，故选项A不符合题意； 对称轴是直线，故选项B不符合题意； 当时y取得最大值，故选项C不符合题意； 当时，y随x的增大而增大，故选项D符合题意； 故选：D． 6. 二维码成为广大民众生活中不可或缺的一部分．飞飞将二维码打印在面积为的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（　　）． A. 160 B. 240 C. 120 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，理解在大量反复试验下频率的稳定值即为概率值是解题的关键．根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到点落在黑色阴影的概率为，即黑色阴影的面积占整个面积的，据此求解即可． 【详解】解：∵经过大量重复试验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右， ∴点落在黑色阴影的概率为， ∴估计此二维码中黑色阴影的面积为， 故选：C． 7. 今年10月25日是首个法定的台湾光复纪念日．数据显示，2023年大陆赴台游客为22.6万人次，预计2025年全年将达到165万人次．设这两年大陆赴台游客人次的平均增长率为，则下列方程中，能刻画这一情境中的等量关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，涉及平均增长率问题，根据平均增长率的定义，每年增长比率相同，故两年后数量为初始值乘以的平方，由此列出一元二次方程即可，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：设这两年大陆赴台游客人次的平均增长率为，则2024年游客人次为万人次，2025年游客人次为万人次， ∵2025年预计为165万人次， ∴， 故选：A． 8. 如图，在中，D，E分别是和上的点，，若，，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定与性质即可求出答案． 【详解】解：， ， ， ，，， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型． 9. 图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为了一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2．已知其底部宽度为，高度为，则离地面处的水平宽度（即的长）为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，正确地求出函数解析式是解题的关键．先建立直角坐标系，再根据题意设抛物线的解析式，然后根据点在抛物线上，可求出抛物线的解析式，最后将代入求出x的值，即可得的长． 【详解】解：以底部所在的直线为x轴，以线段的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系， ， 设抛物线的解析式为， 将代入， 得， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 将代入得：， 解得：， ， 故选：A． 10. 如图，正六边形的边长为3，分别以点A，D为圆心，以的长为半径画弧，则图中阴影部分的面积为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正多边形和圆的有关计算，解题关键是熟练运用扇形面积公式和等边三角形的性质． 根据题意和图形可知阴影部分的面积是正六边形的面积减去两个扇形的面积，从而可以解答本题． 【详解】解：∵正六边形的边长为3，连接，把六边形分成6个全等的等边三角形，等边三角形的边长为3， 过点O作，如图所示： ∴， ∴， ∴每个等边三角形的面积为：， ∴正六边形的面积是：，， ∴图中阴影部分的面积是：， 故选：B． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 现有四张完全相同的刮刮卡，涂层下面的文字分别是“我”、“爱”、“名”、“中”．小明从中随机抽取1张并刮开，则这张刮刮卡上的文字恰好是“中”的概率是______． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】本题考查概率公式，根据题意直接计算即可． 【详解】解：总共有4张刮刮卡，每张卡被抽到的可能性相同，因此总共有4种等可能的结果，其中，刮刮卡上的文字恰好是“中”的结果有1种， 所以概率为 ， 故答案为 ． 12. 两个相似三角形的相似比为，则它们的面积之比为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，三角形面积的面积之比等于相似比的平方，据此求解即可． 【详解】解：∵两个相似三角形的相似比为， ∴它们的面积之比为， 故答案为：． 13. 如图，将三角形AOB绕点O按逆时针方向旋转55°后得到三角形，若，则____________度． 【答案】40 【解析】 【分析】根据旋转的性质得∠BOB′＝55°，然后利用∠AOB′＝∠BOB′﹣∠AOB进行计算即可． 【详解】解：∵△AOB绕点O按逆时针方向旋转55°后得到△A′OB′， ∴∠BOB′＝55°， ∴∠AOB′＝∠BOB′﹣∠AOB＝55°﹣15°＝40°． 故答案为：40 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，熟练掌握“对应点与旋转中心连线的夹角是旋转角”是解题的关键． 14. 圆锥的底面半径为，高为，那么这个圆锥的侧面积是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆锥的底面周长、母线长和侧面积的计算，熟练掌握相关公式是解题的关键．先根据圆锥的底面半径和高，利用勾股定理求出母线长，再根据圆锥侧面积公式求解即可． 【详解】解：如图， 底面半径为，高为，则底面周长等于， 由勾股定理得，母线长， 那么侧面面积， 故答案为：． 15. 如图，菱形的边在轴的正半轴上，反比例函数的图象经过对角线的中点和顶点，则菱形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数系数的几何意义、反比例函数的性质、菱形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 根据题意，可以设出点和点的坐标，然后利用反比例函数的性质和菱形的性质即可求得，然后利用菱形的面积公式求得即可． 【详解】解：设点的坐标为，点的坐标为， 对角线的中点的坐标为， 点在反比例函数的图象上， ， ， 菱形的面积． 故答案为：． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 已知，是一元二次方程的两根． （1）若，，求m，n的值； （2）若，，求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系进行解答即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系进行解答即可． 【小问1详解】 解：，是一元二次方程的两根， ， ，， 解得：，； 【小问2详解】 若，， 则原式为， ， ． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关于一元二次方程的两个根，，则满足，． 17. 如图，在四边形中，，，求证：． 【答案】 证明：， ，， ， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 通过，，得到，即可求解． 【详解】略 18. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，且点的横坐标为． （1）求反比例函数的解析式； （2）请直接写出当且时，的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合的思想，熟练掌握数形结合思想是解本题的关键． （1）将点的横坐标代入正比例解析式中求出点的纵坐标，确定出点坐标，代入反比例解析式求出的值，即可确定出反比例解析式； （2）根据正比例函数和反比例函数图象的对称性，可直接得到点的坐标，观察图象即可求出自变量的取值范围． 【小问1详解】 解：把代入，得， 点． 在反比例函数的图象上， ，即， 反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：．理由如下： 根据正比例函数和反比例函数均关于坐标原点对称，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，， ， 观察图象可知，当且时，的取值范围为． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 第十五届全国运动会在广东广州隆重开幕，这是首次由粤港澳三地联合举办的全国运动会，各项比赛备受社会各界关注．某校为组织观赛活动，随机抽取部分学生开展了赛事项目选择调查，提供选项：A游泳，B田径，C羽毛球，D乒乓球，每名学生只能选择一项，并将调查结果绘制成了统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）此次共调查了_____人，补全条形统计图； （2）扇形统计图中C类对应的圆心角的度数为_____° （3）小明和小强打算利用课余时间到比赛现场观赛，两名同学分别从上述四类比赛项目中随机抽取一类，请用列表法或树状图的方法，求两人选择到同一类比赛项目的概率． 【答案】（1） 500人；补全条形统计图： （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图，求圆心角，补全条形统计图，用列表法或树状图的方法求概率，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先观察条形统计图与扇形统计图数据，运用A类的人数除以它对应的百分数，即可求出总人数，再列式计算，得出D类的人数，最后补全条形统计图，即可作答． （2）运用C类的人数除以总人数再乘上，求出C类对应的圆心角的度数，即可作答． （3）先理解题意，运用列树状图法进行分析，得出共有16种等可能的结果，其中两人选择同一类比赛项目的有4种，再求出概率，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，（人）， D类的人数：（人）． 【小问2详解】 解：依题意，， 即扇形统计图中C类对应的圆心角的度数为； 【小问3详解】 解：依题意，树状图如图所示： 小明 小强 A B C D A B C D ∴共有16种等可能的结果，其中两人选择同一类比赛项目的有4种， ∴两人选择到同一类比赛项目的概率． 20. 某校开辟了一块矩形菜地作为劳动教育基地，如图所示，已知矩形菜地的一面靠墙，墙的最大可用长度为26米，其余用长为49米的篱笆围成，菜地靠前的边上预留了一个宽为1米的小门(小门不用篱笆) （1）设菜地的宽为x米，则___________米(用含x的代数式表示)； （2）当x为何值时，围成的菜地面积为200平方米？ （3）能围成的菜地最大面积是多少？ 【答案】（1） （2） （3）平方米 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，配方法的实际应用，列代数式，正确理解题意是解题的关键． （1）根据，结合篱笆总长为39米列式求解即可； （2）根据矩形面积计算公式建立方程求解即可； （3）设围成的菜地的面积为S平方米，根据矩形面积计算公式用含x的式子表示出S，再利用配方法求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，米； 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意得，， 整理得， 解得或， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； ∴， 答：当时，围成的菜地面积为200平方米； 【小问3详解】 解：设围成的菜地的面积为S平方米， 由题意得， ， ∵， ∴， ∴， 当且仅当，即时等号成立， 当时，，符合题意， ∴当时，S有最大值，最大值为， 答：能围成的菜地的最大面积为平方米． 21. 如图，是的外接圆，，点D是上一点，，连接，过点C作交的延长线于点E． （1）求证：为的切线； （2）若的半径为2，且，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， ， ， ， ， ， ， 是的直径， ， ， ， ， 是的半径， 为的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接并延长，根据圆心角、弧、弦的关系、圆周角定理得到，根据是直径，证明，根据平行线的性质得到，由，得到，根据切线的判定定理证明； （2）求出，根据弧长公式计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， ， ， 又， ， 即是等边三角形， ， ， 的长． 【点睛】本题考查了圆的综合，圆心角定理，圆周角定理，切线的判定定理，全等三角形判定和性质，等边三角形的判定和性质，弧长的计算，熟记经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键． 五、解答题（三）（本大题共2小题，共27分） 22. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）如图，点在第四象限的抛物线上运动，过点作于点，过点作轴交于点，点的横坐标为． ①用含的代数式表示的长； ②求的最大值及此时点的坐标； （3）将该抛物线在间的部分记为图象，将图象在直线下方的部分沿直线翻折，其余部分保持不变，得到一个新的函数的图象，记这个函数的最大值为，最小值为，若，请直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）①； ②，； （3） 【解析】 【分析】（1）将，代入，解方程组即可求解； （2）①设直线为，代入点，用表示两点的坐标，再将纵坐标相减即可求解；②证明，得 ，进而得，可得，利用二次函数的性质即可求解； （3）结合图象，分两种情况：①当新的函数的图象的最高点是点B时，最低点是，②当新的函数的图象的最高点是点时，最低点是，分别求解即可得出取值范围． 【小问1详解】 解：将，代入， 得， 解得， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：①设直线为，代入， 得，， 解得，， ， 点的横坐标为，轴， ，， ； ②，， ，， ， ， 轴， ， ， ， ， ， ， ， 时，， ， ； 【小问3详解】 解：当时，，当时，， 在间的部分记为图象，如图所示： 图象的最低点为顶点，最高点为， ， 将点沿直线向上翻折，对应点， ①当新的函数的图象的最高点是点B时，最低点是，如图所示： 这个函数的最大值为，最小值为， ， ， ， ②当新的函数的图象的最高点是点时，最低点是，如图所示： 这个函数的最大值为，最小值为， ， ， ， 综上所述，当时，． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，掌握二次函数解析式的求法，利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度是解题的关键． 23. 阅读与思考 请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务． 阿基米德是伟大的古希腊数学家、哲学家物理学家，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．他的著作《阿基米德全集》的《引理集》中记述了有关圆的15个引理，其中第三个引理是：如图1，是的弦，点在上，于点，点在弦上且，在上取一点，使，连接，则．小明思考后，给出如下证明： 如图2，连接、、、． ∵， ∴（依据1） ∴ ∵ ∴（依据2） … 图1 图2 任务： （1）写出小明证明过程中的依据： 依据1：________ 依据2：________ （2）请你将小明的证明过程补充完整； （3）小亮想到了不同的证明方法：如图3，连接、、、．请你按照小亮的证明思路，写出证明过程； （4）结论应用：如图4，将材料中的“弦”改为“直径”，作直线与相切于点，过点作于点，其余条件不变，若，且是的中点，则________． 【答案】（1）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；等弧所对的圆周角相等 （2）见解析 （3）见解析 （4） 【解析】 【分析】（1）依据线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等和等弧所对的圆周角相等来作答； （2）结合小明的证明思路，利用四边形是⊙的内接四边形得到，再结合，即有，又因为，则有，即可证得； （3）根据小亮的作图，，，即有继而得到再根据=得，推出，则有，根据四边形是⊙的内接四边形有即，又根据，即可得，则有； （4）根据题条件易求得AB、BD的长度，则利用结论有BQ=BD可求BQ，根据直线l是圆的切线以及BM⊥l，可得∠BMQ=∠QBM+∠BMQ=90°，则有，继而得∠MBQ=∠OQB，∠MBQ=∠OQB=∠OBQ，则可证得，即有，在Rt△AQB中，利用勾股定理求出，即可求出． 【小问1详解】 依据1：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； 依据2：等弧所对的圆周角相等； 【小问2详解】 ∵四边形是⊙的内接四边形 ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 ∵， ∴ ∴ ∵=， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是⊙的内接四边形 ∴ 即， ∵， ∴， ∴； 【小问4详解】 QM=， 理由如下： 如图，连接AQ， ∵直径AB=4， ∴半径OA=OQ=OB=2，∠AQB=90°， ∴∠OQA=∠OAQ，∠OQB=∠OBQ， ∵D为OA中点， ∴AD=DO=1， ∴BD=BO+OD=3， 则利用结论有BQ=BD=3， ∵直线l是⊙O的切线， ∴OQ⊥l， ∴∠OQM=∠OQB+∠BQM=90°， ∵BM⊥l， ∴∠BMQ=∠QBM+∠BMQ=90°， ∴， ∴∠MBQ=∠OQB， ∴∠MBQ=∠OQB=∠OBQ， 再结合∠AQB=90°=∠BMQ，有， ∴， 在Rt△AQB中，， ∴由， 得． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $