专题06 相似（期中真题汇编，广东专用）九年级数学上学期

专题06 相似 6大高频考点概览 考点01 图形的相似 考点02 平行线分线段成比例 考点03 三角形相似的判定 考点04 相似三角形的性质 考点05 相似三角形的应用 考点06 位似 考点01 图形的相似 1．（25-26九年级上·广东河源部分学校·期中）若，则__________． 2．（25-26九年级上·广东河源部分学校·期中）若线段a，b，c，d是成比例线段，且，，，则d是（    ） A．8 B．0.5 C．2 D．20 3．（25-26九年级上·广东茂名·期中）已知，则下列比例式正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·广东梅州梅县区·期中）已知，若，则______． 5．（25-26九年级上·广东清远清城区·期中）宽与长的比是（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD、BC的中点E、F，连接EF：以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（　　） A．矩形ABFE B．矩形EFCD C．矩形EFGH D．矩形DCGH 6．（25-26九年级上·广东清远清城区·期中）若，则下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·广东茂名高州·期中）已知，那么______． 8．（25-26九年级上·广东茂名高州·期中）某物质的分子结构如图所示，所有六边形都是正六边形，用放大镜观察该分子结构，则保持不变的是（   ） A．的长度 B．六边形的周长 C．六边形的面积 D． 9．（25-26九年级上·广东茂名高州·期中）若，则下列比例式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 10．（25-26九年级上·广东深圳龙华区·期中）若，则______． 11．（25-26九年级上·广东深圳龙华区·期中）黄金分割率被视为最美丽的几何学比率，广泛地应用于建筑和艺术中．如图，已知点是笛子的黄金分割点（），若笛子长，则长为（    ） A． B． C． D． 12．（25-26九年级上·广东普宁·期中）已知，则的值是________． 13．（25-26九年级上·广东深圳宝安区区·期中）黄金分割率被视为最美丽的几何学比率，广泛地应用于建筑和艺术中．如图，已知是线段的黄金分割点，若线段长，则长为（    ） A． B． C． D． 14．（25-26九年级上·广东深圳宝安区区·期中）若，则______． 15．（25-26九年级上·广东深圳龙岗区·期中）若，则下列结论一定正确的是（　　） A． B． C． D． 16．（25-26九年级上·广东深圳龙岗区·期中）黄金分割广泛存在于艺术、自然、建筑等领域，树叶的叶脉也蕴含着黄金分割（黄金比为）．如图，为的黄金分割点的长为，则的长为______．（用根号表示） 17．（25-26九年级上·广东佛山南海区·期中）若，则的值是____________． 18．（25-26九年级上·广东佛山南海区·期中）黄金分割在数学中有非常广泛的应用，已知顶角为的等腰三角形成为黄金三角形，它的底与腰之比为，如图正五边形的对角线恰好围成一个“五角星”（即阴影部分），已知，则的长为______． 考点02 平行线分线段成比例 1．（25-26九年级上·广东茂名·期中）折叠花架因设计巧妙、充分利用空间、灵活收纳等功能受到人们的喜爱．图是一个三层折叠花架，已知，若，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·广东梅州梅县区·期中）如图，已知直线m，n被一组平行线所截，交点分别为A，B，C和D，E，F，则下列结论中不正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·广东茂名高州·期中）如图，在中，，．求的长． 4．（25-26九年级上·广东普宁·期中）如图，E是菱形的边上的一点，交的延长线于F，连接，交于G点，求证：．    5．（25-26九年级上·广东深圳宝安区区·期中）如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点都在横格线上．若线段，则线段长为（    ） A．12 B．16 C．18 D．2 6．（25-26九年级上·广东佛山南海区·期中）如图是一架人字梯及其侧面示意图，已知，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 考点03 三角形相似的判定 1．（25-26九年级上·广东河源部分学校·期中）如图，将沿方向平移得到，与重叠部分（图中阴影部分）的面积是的面积的，已知，则平移的距离为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·广东河源部分学校·期中）海螺有一定的数学形态美，我们把它抽象出来变成数学中的一个小模型：如图1，若点在的边上，且满足（或），则称满足这样条件的点为边上的“海螺点”．如图2，直角坐标系中，点，，，在轴上存在点使点为边的“海螺点”，则点的坐标为______． 3．（25-26九年级上·广东河源部分学校·期中）如图，反比例函数图象经过正方形的顶点A，边与y轴交于点D，若正方形的面积为12，，则k的值为（   ） A．3 B． C． D． 4．（25-26九年级上·广东茂名·期中）如图，点、在线段上，△是等边三角形，． (1)证明：； (2)线段、、之间有怎样的数量关系？请说明理由． 5．（25-26九年级上·广东梅州梅县区·期中）材料：对于一个关于的二次三项式（），除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外，爱思考的小宁同学还想到了利用根的判别式的方法，如下例： 例：求的最小值； 解：令 ，的最小值为． 请利用上述方法解决下列问题： 题一：如图1，在中，，高，矩形的一边在边上，、两点分别在、上，交于点．设． ①用含的代数式表示的长为________； ②求矩形的面积最大值． 题二：如图2，有一老板打算利用一些篱笆，一面利用墙，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．若要围成面积为平方米的花圃，需要用的篱笆最少是多少米？ 6．（25-26九年级上·广东清远清城区·期中）如图，一张锐角三角形纸片，点D、E分别在边、上，，沿的平行线将剪成两部分，则的值为________． 7．（25-26九年级上·广东清远清城区·期中）如图，已知，，． (1)实践与操作：用尺规作图在内部作，射线交线段于点D． (2)应用与证明：在（1）的条件下，求的长． 8．（25-26九年级上·广东茂名高州·期中）中，P为上的一点．下列四个条件：①：②：③；④等，其中能判断的有（    ） A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③ 9．（25-26九年级上·广东茂名高州·期中）如图，中，D、E分别是、的点，要使，需添加一个条件是______．（只要写一个条件） 10．（25-26九年级上·广东深圳龙华区·期中）如图，，，，，五个点均在边长为1的小正方形组成的网格线的格点上，若于点，则的长为________． 11．（25-26九年级上·广东深圳龙华区·期中）如图，等腰梯形纸片中，，，，且点在上，．以为折线将点向左折后，点恰落在上，如图所示．，，则图的与的长度比为何？（   ） A． B． C． D． 12．（25-26九年级上·广东深圳龙华区·期中）综合与实践： 综合与实践课上，老师带领同学们，以“特殊四边形旋转”为主题，开展数学活动． 【问题发现】 如图1，在矩形中，，点在对角线上，过点分别作和的垂线，垂足为，，则四边形为矩形．请问线段与的数量关系为______； 【拓展探究】 如图2，将图1中的矩形绕点逆时针旋转，记旋转角为，当时，连接，，在旋转的过程中，与的数量关系是否仍然成立？请利用图2进行证明． 【解决问题】 如图3，当矩形的边时，点为直线上异于，的一点，以为边作正方形，点H为正方形的中心，连接，若，，直接写出的长． 13．（25-26九年级上·广东普宁·期中）【情境再现】 （1）如图1，在正方形中，点E、F分别在边、上，且，求证：． 【迁移应用】 （2）如图2，在矩形中，（k为常数），点E、F、G、H分别在矩形的边上，且，求证：． 【拓展延伸】 （3）如图3，在四边形中，，，，点E、F分别在边、上，且，，求的长． 14．（25-26九年级上·广东普宁·期中）在中，，，，以为圆心，为半径作弧，与交于点，再分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和点，作直线，分别交于点，交于点，则的长度为（    ） A． B．2 C． D．3 15．（25-26九年级上·广东普宁·期中）问题提出： （1）如图1，已知在矩形中，，若点E、F分别在边上，，，则_________    问题解决 （2）如图2，已知在矩形中，，F是的中点，延长至E，且满足，连接，则的长为多少？ 问题探究 （3）如图3，已知在矩形中，，点E是边上一动点，连接，作，并且满足，则在点E运动过程中，是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由．    16．（25-26九年级上·广东普宁·期中）如图在矩形中，，，，是线段上的点，且，．连接，并延长，两线相交于点，则点到的距离是________． 17．（25-26九年级上·广东普宁·期中）如图，是的中位线，是的中位线，连接、、．已知，，，．则的长度为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 18．（25-26九年级上·广东深圳宝安区区·期中）【定义】连接三角形的一个顶点与对边上任意一点的线段，把这个三角形分割成两个三角形，其中一个是等腰三角形，另一个与原三角形相似，就称这条线段是该三角形的完美分割线． 【应用】 (1)如图1，中，，，，是上一点，，求证：是的完美分割线； (2)如图2，菱形中，，点是边的中点，点是边上一点，连接交线段于，若是的完美分割线，且，求的长； (3)如图3，矩形中，点是的中点，为射线上的动点，连接并延长交射线于，是射线上一点，，若是的完美分割线，请直接写出的值． 19．（25-26九年级上·广东深圳宝安区区·期中）如图，正方形中，点、是、边上的点，连接、分别交、的延长线于点、，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 20．（25-26九年级上·广东深圳宝安区区·期中）如图，中，，，点是线段上一点，将沿折叠，使点落在边上的点处，若，则______． 21．（25-26九年级上·广东深圳龙岗区·期中）综合与实践：如何拍出大长腿的效果？ 【数学眼光】如图，低角度拍摄，并结合仰拍技巧，可以有效地拉长腿部线条． 【数学思维】（1）针孔相机的成像原理：如图，由于光的直射，人的足部与头部通过小孔的成像分别在处，线段的像是线段上点的像是点．若，求证：； 【数学语言】（2）如图，小美站立在处，摄影师给小美仰拍．小美的身高的像为，腿部的像为．试说明能拍出大长腿效果的理由． 22．（25-26九年级上·广东深圳龙岗区·期中）【阅读】“关联”是解决数学问题的重要思维方式，角平分线的有关联想就有很多…… (1)【问题提出】如图，是的角平分线，求证：； 小明思路：关联“平行线、等腰三角形”，过点作交的延长线于点，利用“三角形相似”； 小红思路：关联“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，过点分别作交于点，作交于点，利用“等面积法”； 请根据小明或小红的思路，选择其中一种并完成证明． (2)【理解应用】填空：如图，平行四边形中，平分交于点，则的长度为______； (3)【深度思考】如图（c），矩形中，点是对角线上一点，连接，将沿所在直线折叠，点恰好落在边上的点处．若，求的长； (4)【拓展升华】如图（d），正方形中，为上一点，连接，将沿过点的直线折叠，使点的对应点落在上，折痕与交于点，与的延长线交于点．若，求的长． 23．（25-26九年级上·广东深圳龙岗区·期中）如图，线段是菱形的对角线，，点分别是边上的动点，连接，将沿折叠，使点的对应点始终落在上，当为直角三角形时，线段的长为_______． 24．（25-26九年级上·广东佛山南海区·期中）由边长相等的小正方形组成的网格，以下各图中点A、B、C、D都在格点上． (1)在图1中，______； (2)利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法． ①如图2，在上找点P，使得； ②如图3，在上找点P，使得． 25．（25-26九年级上·广东佛山南海区·期中）如图，△ABC中，点D是AB上一点，补充下列条件后，仍不能判定△ADC∽△ACB的是（　　） A．∠ADC＝∠ACB B．∠ACD＝∠ABC C．＝ D．＝ 考点04 相似三角形的性质 1．（25-26九年级上·广东茂名·期中）如图，，若，，那么________． 2．（25-26九年级上·广东梅州梅县区·期中）若两个相似三角形的面积比为1：9，则它们周长的比为（    ） A．1：2 B．1：3 C．1：6 D．1：9 3．（25-26九年级上·广东清远清城区·期中）如图，在平面直角坐标系中，，其中点A的坐标为，点C的坐标为，则与的面积比是（　　） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·广东茂名高州·期中）如图，在中，动点P从点B出发以速度向点C移动，同时动点Q从点C出发以的速度向点A移动，设它们的运动时间为t秒． (1)根据题意知： （用含t的代数式表示） (2)当t为何值时，的面积等于面积的？ (3)当运动几秒时，与相似？ 5．（25-26九年级上·广东普宁·期中）如图1，在矩形中，点在上，，点从点出发，沿的路径匀速运动到点停止，作于点，设点运动的路程为，长为，若与之间的函数关系图象如图2所示，当时，的值是（    ） A．2 B． C． D．1 考点05 相似三角形的应用 1．（25-26九年级上·广东河源部分学校·期中）身高1.6m的小刚在阳光下的影长是1.2m，在同一时刻，阳光下旗杆的影长是l5m，则旗杆高为（    ） A．14米 B．16米 C．18米 D．20米 2．（25-26九年级上·广东河源部分学校·期中）根据背景素材，探究解决问题． 测算旗杆的高度 背景素材：如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧；入射角等于反射角，这就是光的反射定律． 问题解决1：如图2，小雅同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜，手电筒的灯泡在点处，距离地面的高度，到平面镜的水平距离，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，墙到木板的水平距离为，已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点在同一水平面上． 任务1：求灯光反射到墙面上的高度． 问题解决2：某学校要测量校园中旗杆的高度（旗杆垂直于地面），携带的测量工具有皮尺，标杆（标杆比人高）、平面镜． 任务2：假如你是该校的学生，请你适当选用给出的工具，设计一种测量旗杆的高度的方案（不能攀登旗杆），画出测量示意图（不必写出测量过程），写出测量数据（线段长度用、、…表示，在示意图上标注），并根据你的测量方案，计算出旗杆的高度（结果用含、、…的式子表示）． 3．（25-26九年级上·广东梅州梅县区·期中）如图是小明设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．在地面上点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端C处，已知，且测得，那么该古城墙的高度是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·广东梅州梅县区·期中）【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内：反射光线和入射光线分别位于法线两侧；入射角等于反射角．这就是光的反射定律． 【问题解决】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点处，灯泡到地面的高度，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为．图中在同一条直线上． (1)求的长； (2)求点到地面的高度． 5．（25-26九年级上·广东深圳龙华区·期中）如图，路灯下，广告标杆AB的影子是BC，小明（用线段DE表示）的影子是EF，在M处有一棵树，它的影子是MN． （1）请在图中画出表示树高的线段．（不写作法，保留作图痕迹） （2）若已知点N、F到路灯的底部距离相等，小明身高1.6米，影长EF为1.8米，树的影长MN是6米，请计算树的高度． 6．（25-26九年级上·广东深圳宝安区区·期中）在小孔成像问题中，根据如图所示，蜡烛长，若到的距离是，到的距离是，则像的长是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·广东深圳宝安区区·期中）在一次综合实践课上，小华测得旗杆的影子长为12米，同时测得旗杆顶端到其影子顶端的距离为13米，如果此时附近一座纪念塔的影子长为60米，那么这座纪念塔的高度为______米． 8．（25-26九年级上·广东深圳龙岗区·期中）如图是装满了液体的高脚杯示意图（左侧图）（数据如图），用去一部分液体后如右侧图所示，此时液面的宽度是（　　） A． B． C． D． 考点06 位似 1．（25-26九年级上·广东梅州梅县区·期中）如图，平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为 ，，． (1)画出关于轴对称的图形，并直接写出点坐标； (2)以原点为位似中心，位似比为，在轴的左侧，画出放大后的图形，并直接写出点坐标； 2．（25-26九年级上·广东深圳龙华区·期中）如图，和是以点O为位似中心的位似图形，若，则和的面积比是______．    3．（25-26九年级上·广东深圳宝安区区·期中）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的顶点都在格点上，点、的坐标分别为、．请按要求完成下列问题： (1)以点为位似中心，在网格内画出，使与位似，且相似比为1：2； (2)的面积为 ； (3)点是边上的格点（不与顶点重合），若与相似，则点的坐标为 ． 4．（25-26九年级上·广东深圳龙岗区·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是（　　） A． B． C．或 D．或 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 相似 考点01 图形的相似 考点02 平行线分线段成比例 考点03 三角形相似的判定 考点04 相似三角形的性质 考点05 相似三角形的应用 考点06 位似 考点01 图形的相似 1．【答案】## 【分析】本题主要考查了比例的性质，用表示出是解题的关键． 先根据已知条件得到，再把代入所求式子中求解即可． 【详解】解：∵， ， ， 故答案为：． 2．C 3．B 4． 5．【答案】D 【分析】先根据正方形的性质以及勾股定理，求得DF的长，再根据DF=GF求得CG的长，最后根据CG与CD的比值为黄金比，判断矩形DCGH为黄金矩形． 【详解】解：设正方形的边长为2，则CD=2，CF=1 在直角三角形DCF中， ∴矩形DCGH为黄金矩形 故选：D． 【点睛】本题主要考查了黄金分割，解决问题的关键是掌握黄金矩形的概念．解题时注意，宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，图中的矩形ABGH也为黄金矩形． 6．【答案】B 【分析】本题考查比例的基本性质． 根据比例的基本性质，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．由可得，不符合已知条件，原式子不正确，不符合题意； B．由可得，符合已知条件，原式子正确，符合题意； C．由可得，不符合已知条件，原式子不正确，不符合题意； D．由可得，即，不符合已知条件，原式子不正确，不符合题意． 故选：B． 7． 8．D 9．B 10．【答案】 【分析】根据比例的性质，即可． 【详解】∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查比例的知识，解题法关键是掌握比例的性质． 11．【答案】A 【分析】本题考查黄金分割． 根据黄金分割点的定义，计算即可． 【详解】解：∵点是笛子的黄金分割点，， ∴， ∵笛子长， ∴， ∴长为． 故选：A． 12．【答案】1或 【分析】本题主要考查比例的性质，根据等比性质即可得出结论． 【详解】解：，，， ∴，，， 将三式相加，得。 若，则 ； 若，则，即，解得． 故答案为：1或． 13．C 14．【答案】 【分析】该题考查了比例的基本性质，由已知等式变形，求解即可． 【详解】解：由，两边同时除以（其中），得：， 简化得：， 所以． 故答案为：． 15．D 16． 17．【答案】#.5 【分析】直接利用已知条件设出相应未知数即设a＝x，b＝2x，c＝y，d＝2y，进而代入化简即可． 【详解】解：∵（b+d≠0）， ∴设a＝x，b＝2x，c＝y，d＝2y， ∴＝＝＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是正确设出未知数是解题关键． 18．【答案】## 【分析】先根据多边形内角和定理与正多边形的性质得出为黄金三角形，再根据黄金三角形的底与腰之比求出，即可得出结果．本题考查了黄金三角形、正五边形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识；熟练掌握正五边形的性质得出为黄金三角形是解题的关键． 【详解】解：∵如图正五边形的对角线恰好围成一个“五角星”（即阴影部分）， ∴设 ∵黄金三角形的底与腰之比为， ∴在中， 即， 解得， 即， 五边形是正五边形， ，正五边形内角和， ， ∴， ， 则， ， 则， ∴为黄金三角形， 黄金三角形的底与腰之比为， 即， ∴， 故答案为：． 考点02 平行线分线段成比例 1．D 2．【答案】D 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理．根据平行线分线段成比例定理得到，，，得不到，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴，，， 但不能得到，即选项D不正确． 故选：D 3．【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得出，代入数据求出，即可求出． 【详解】解：∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴． 4． 证明：∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 5．A 6．A 考点03 三角形相似的判定 1．【答案】A 【分析】本题考查了平移的性质，相似三角形的判定与性质，由平移性质可得，所以，故有，则，然后代入即可求解，熟练掌握平移的性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：∵沿方向平移得到， ∴， ∴， ∵与重叠部分（图中阴影部分）的面积是的面积的， ∴， ∴， ∴， 故选：． 2．【答案】或 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，理解题意，掌握相似三角形的判定和性质，数形结合分析，分类讨论是解题的关键． 根据题意，分类讨论：当时；当时，设；结合图形，由相似三角形的判定和性质即可求解． 【详解】解：已知，，， ∴，， 如图所示， 当时， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， ∴； 当时，设， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得，， ∴； 综上所述，点的坐标为或， 故答案为：或 ． 3．B 4．(1) 证明：∵是等边三角形， ∴，， ∴； ∵，即：， ∴，， ∴，, ∴； (2) 结论：．证明： ∵， ∴； ∵， ∴，， 又∵， ∴ 5．【答案】题一：①；②最大值为；题二：米 【分析】题一：①运用矩形的性质，证明△AEF∽△ABC，用相似三角形的相似比等于对应高的比列式计算即可； ②设矩形的面积为S，建立等式，转化为给出的方法计算即可． 题二：设的长为米，则米，需要用的篱笆长为米，则，转化为给出的方法计算即可． 【详解】（1）∵四边形EFPQ是矩形, ∴EQ=DH=PF，EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵四边形EFPQ是矩形, ∴EQ=DH=PF，EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC， ∴， ∴， ∴， ， ， ， ， 有最大值，最大值为． 题二：设的长为米，则米，需要用的篱笆长为米， ， 整理，得， ， ， ∴ ， 需要用的篱笆最少是米． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，相似三角形的判定与性质，能准确理解新方法，并运用新方法是解题的关键． 6．【答案】 【分析】此题考查了相似三角形的性质和判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 如图所示，由证明出，得到，即可作答． 【详解】解：∵， 则， ∵沿的平行线将剪成两部分， ∴， ∴， ∴， 则， 故答案为： 7．【答案】(1) 为所求： (2) 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题意，按照要求在内部作，射线交线段于点D，即可作答． （2）根据（1）中的，再结合，证明，再代入数值到进行计算，即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 8．【答案】D 【分析】由相似三角形的判定依次判断可求解． 【详解】解：①，，可证，故①符合题意； ②，，可证，故②符合题意； ③，，可证，故③符合题意； ④，，不能证明，故④不符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，灵活运用相似三角形的判定是本题的关键． 9．或或 10．【答案】## 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定及性质．利用勾股定理求得，再证得，进而可得，进而可求解． 【详解】解：由图可知， 在中，由勾股定理得：， ， ， 又， ， ，即， 解得：， 故答案为：． 11．B 12．【答案】问题发现：； 拓展探究：仍然成立．理由如下： 图1中，，， ∴， ∴， 图2中，由旋转可得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 解决问题：或 【分析】问题发现：先证，推出，利用等比的性质可得； 拓展探究：由旋转的性质可得，进而证明，利用相似三角形对应边成比例即可求解； 解决问题：分“点在线段上”和“点在线段延长线上”两种情况，证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】问题发现 解：矩形中，， ， ，， ， 又， ， ， ， ，即， , 故答案为：； 拓展探究：略 解决问题 解：①如图3，当点在线段上时，连接、， ∵四边形，四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②如图4，当点在线段延长线上时，连接、， ∵四边形，四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质．解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题． 13．【答案】（1）证明：∵四边形为正方形， ， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：过点D作交于点M，过点A作交于点N， ∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， 同理可得， 由（1）同理可得， ∴， ∴， ∴； （3） 【分析】（1）由“”可证，可得； （2）过点D作交于点M，过点A作交于点N，通过证明，可得结论； （3）过点D作交的延长线于点G，过点C作于点H，由相似三角形的性质和直角三角形的性质分别求出，的长，即可求解． 【详解】（1） 略 （2） 略 （3）解：过点D作交的延长线于点G，过点C作于点H． ∵，， ∴， 又∵， ∴四边形为矩形， 由（2）同理可得：， ∵， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 14．【答案】C 【分析】本题考查作图-基本作图，线段垂直平分线、相似三角形的判定与性质．由题意得，，直线为线段的垂直平分线，得到，证明，据此求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 由题意得：，直线为线段的垂直平分线， ∴，， ，， ， ∴， ， ， 故选：C． 15．（1）；（2）；（3）存在， 16．【答案】5 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的性质和判定，掌握相关知识是解决问题的关键．因为，所以，利用相似三角形对应高的比等于相似比，可得，据此列方程求解即可． 【详解】解：作交于M，交于N， ∵ ∴设 到 的距离为 ，则 到的距离为 ． ∵， ∴ ∴ ， ∴ 即 ∵，，， ∴ 故答案为：5． 17．A 18．【答案】(1)见解析 (2) (3)的值为1或或． 【分析】（1）证，得，即可得解； （2）易得是的完美分割线，，进而可得，再证，进而设参建立方程求解即可； （3）由题意分三种情况讨论，画出图形，进而求解． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， ∵， ∴． ∵，，， ∴． ∴是的完美分割线； （2）解：∵菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的完美分割线，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴设，则，， ∴； ∴，即； （3）解：①或时，如图， 则四边形是正方形； ∴； ②时，如图： 此时可设， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 由，可得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴； ③时，如图， 此时， 同理可得， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴平分， ∴； 设，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上，的值为1或或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 19．【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，同角的余角相等，由四边形是正方形，得，，，然后证明，则，再通过同角的余角相等得，证明，所以，从而求出，则，又，则，由性质可得，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 20．【答案】 【分析】本题考查直角三角形的性质、相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 设，则，，根据垂直和折叠的性质证得、 和，过点作于点，证得是等腰直角三角形，设，则，证得，根据相似三角形的性质和勾股定理进行计算求解即可． 【详解】解：设，则， ， ， 由折叠的性质得 过点作于点， 是等腰直角三角形 设 ， ， 在中，由勾股定理得， 故答案为：． 21． （1）证明：如图， ， ，， ， ． ； （2）解：若照片中的腿部与上半身的比值大于它们实际的比值（即，则能拍出大长腿的效果． 理由：过点作交于点，连接交于点， 摄影师仰拍， 是△的外角． ． 过点作的平行线交线段于点． ， 由（1）得． ， ， ， ， ． 22．(1) 解：小明思路：过点作，交的延长线于点， ，， 是△的角平分线， ， ， ， ， ， ； 小红思路：过点作交于点，作交于点，过点作交于点， 是△的角平分线， ， ， ， ． (2)4； (3)； (4)． 23．【答案】或 【分析】连接与交于点，根据四边形是菱形，，得出，勾股定理求出，根据折叠得出，设，则，分两种情况：当时，如图，证明，列方程求解即可；当时，如图，证明，列方程求解即可； 【详解】解：连接与交于点， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∵将沿折叠，使点的对应点始终落在上， ∴， 设， 则， 当时，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 即； 当时，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 即； 综上，当为直角三角形时，线段的长为或． 故答案为：或． 【点睛】该题考查了菱形的性质，勾股定理，折叠的性质，相似三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点，用分类讨论思想解答． 24．(1) (2)①如图中，点P即为所求； ②如图中，点P即为所求； 25．【答案】D 【分析】根据三角形相似的判定方法一一判断即可． 【详解】解：A、根据题意可知：∠CAD＝∠BAC，∠ADC＝∠ACB，由两角对应相等两三角形相似．本选项不符合题意． B、根据题意可知：∠CAD＝∠BAC，∠ACD＝∠ABC，由两角对应相等两三角形相似．本选项不符合题意． C、根据题意可知：∠CAD＝∠BAC，＝，根据两边成比例夹角相等两三角形相似，本选项不符合题意． D、根据题意可知：由条件无法判断两三角形相似．本选项符合题意， 故选：D． 【点睛】相似三角形的判定： （1）两角对应相等，两三角形相似； （2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； （3）三边对应成比例，两三角形相似； （4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似． 考点04 相似三角形的性质 1．【答案】#K度 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，三角形内角和定理，熟知相似三角形的对应角相等是解题的关键．根据相似三角形的性质求出，再根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴. 故答案为：． 2．B 3．A 4．【答案】(1) (2)或秒 (3)或秒 【分析】本题考查了一元二次方程的实际运用，动点问题，相似三角形的判定和性质，三角形的面积，掌握相似三角形的性质是解决问题的关键；特别是（3）注意分类讨论． （1）结合题意，直接得出答案即可； （2）根据三角形的面积列方程即可求出结果； （3）设经过t秒后两三角形相似，则可分下列两种情况进行求解：①若，②若，然后列方程求解． 【详解】（1）解：根据题意得：经过t秒后，； （2）解：根据题意得：经过t秒后，，则； 当的面积等于面积的时， 即， 解得；或； 答：经过或秒后，的面积等于面积的； （3）解：设经过t秒后两三角形相似，则可分下列两种情况进行求解， ①若则，即，解得； ②若则，即，解得； 由P点在BC边上的运动速度为，Q点在边上的速度为，可求出t的取值范围应该为， 验证可知①②两种情况下所求的t均满足条件． 答：当运动的时间为或秒时，与相似． 5．【答案】B 【分析】由图象可知：AE＝3，BE＝4，根据勾股定理可得AB=5，当x=6时，点P在BE上，设此时的PQ为，先求出的长，再根据，求出 的长，即PQ的长． 【详解】解：由图象可知： AE＝3，BE＝4，， ∴AB= 当x=6时,点 P 在 BE 上,设此时的PQ为如图 此时=4-(7-x)=x-3=6-3=3 ∵ABCD是矩形, ∴AB // CD ∴   ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 即 故选：B． 【点睛】本题考查的是动点问题函数图象，涉及到三角形相似，勾股定理和矩形的性质，解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义,理解动点的完整运动过程． 考点05 相似三角形的应用 1．D 2．任务1：灯光反射到墙面上的高度为 任务2： 如图， 旗杆的高度 3．【答案】C 【分析】由题意知：，可得：，再由，代入即可求得答案． 【详解】由题意知：， ∴ ∴ ∵，， ∴ ∴ 故选：C 【点睛】本题主要考查了相似三角形的实际应用问题，熟练地掌握相似三角形的判定和性质、并正确的列出相似比的关系式是解题的关键，属于基础应用题型． 4．【答案】(1) (2) 【分析】本题考查相似三角形的应用，理解题意，利用相似三角形的性质求解是解答的关键． （1）证明，利用相似三角形的性质求解即可； （2）证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得，经检验，符合题意； （2）解：由题意，，， ∴， ∴，即， ∴． 5．【答案】 （1）如图所示： （2） 【分析】（1）根据中心投影的特点可知，连接物体和它影子的顶端所形成的直线必定经过点光源．所以分别把AB和DE的顶端和影子的顶端连接并延长可交于一点，即点光源的位置，从而可确定大树高的线段MP． （2）根据题意得出△PMN∽△DEF，再根据相似三角形的对应边成比例即可得出MP的长． 【详解】解：（1）略 （2）∵点N、F到路灯的底部距离相等， ∴∠N＝∠F， ∵PM⊥NF，DE⊥NF， ∴∠PMN＝∠DEF＝90°， ∴△PMN∽△DEF， ∵小明身高1.6米，影长EF为1.8米，树的影长MN是6米， ∴，即，解得PM＝（米）． 【点睛】此题主要考查相似三角形的应用，解题的关键是根据图形的特点利用相似三角形的性质进行求解. 6．【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的对应高的比等于相似比是解题的关键．作于，的延长线交于，结合可得，由相似三角形的性质可得，即可获得答案． 【详解】解：如图，作于，的延长线交于， ∵， ∴，， 根据题意，可得，， ∴，即 ∴． 故选：C． 7．25 8．【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的应用，解本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．高脚杯前后的两个三角形相似．根据相似三角形的判定和性质即可得出结果． 【详解】解：如图：过O作，垂足为M，过O作，垂足为N， ∵， ∴ ∴， 即相似比为， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 考点06 位似 1．【答案】(1) 如图，即为所求，由图可得点的坐标为． (2) 如图，即为所求，由图可得，点的坐标为． 【分析】（）根据关于对称的点的坐标特征：纵坐标相同，横坐标互为相反数，得到对称点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，顺次连接点，得到，即为所求； （）根据位似图形的性质，分别找到点的位置，顺次连接，得到，即为所求，由图可得到点的坐标； 本题考查了作轴对称图形和位似图形，掌握轴对称图形和位似图形的性质是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）略 2．【答案】 【分析】本题考查求两个位似图形的相似比，利用相似三角形的性质求解． 根据已知可得和的相似比，由相似三角形的性质，即可得和的面积比． 【详解】解：∵， ∴， ∵和是以点O为位似中心的位似图形， ∴，， ∴， ∴， ∴和的面积比是． 故答案为：． 3．(1) 如图，即为所求； (2)； (3)． 4．C 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 相似 6大高频考点概览 考点01 图形的相似 考点02 平行线分线段成比例 考点03 三角形相似的判定 考点04 相似三角形的性质 考点05 相似三角形的应用 考点06 位似 考点01 图形的相似 1．（25-26九年级上·广东河源部分学校·期中）若，则__________． 【答案】## 【分析】本题主要考查了比例的性质，用表示出是解题的关键． 先根据已知条件得到，再把代入所求式子中求解即可． 【详解】解：∵， ， ， 故答案为：． 2．（25-26九年级上·广东河源部分学校·期中）若线段a，b，c，d是成比例线段，且，，，则d是（    ） A．8 B．0.5 C．2 D．20 【答案】C 【分析】本题考查了比例线段，四条线段a、b、c、d， 若，这四条线段叫成比例的线段．正确理解成比例线段的定义是解决问题的关键． 利用成比例线段的定义得到，然后利用比例的性质求出d的值即可． 【详解】解：∵线段a，b，c，d是成比例线段， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：C． 3．（25-26九年级上·广东茂名·期中）已知，则下列比例式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质）是解决问题的关键．利用内项之积等于外项之积对各选项进行判断． 【详解】解：∵， ∴，， ∴A、C、D选项不符合题意，B选项符合题意． 故选：B． 4．（25-26九年级上·广东梅州梅县区·期中）已知，若，则______． 【答案】 【分析】根据已知，用表示、表示、表示，然后代入进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴，，， 又∵， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了比例的性质，掌握比例的基本变形是解本题的关键． 5．（25-26九年级上·广东清远清城区·期中）宽与长的比是（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD、BC的中点E、F，连接EF：以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（　　） A．矩形ABFE B．矩形EFCD C．矩形EFGH D．矩形DCGH 【答案】D 【分析】先根据正方形的性质以及勾股定理，求得DF的长，再根据DF=GF求得CG的长，最后根据CG与CD的比值为黄金比，判断矩形DCGH为黄金矩形． 【详解】解：设正方形的边长为2，则CD=2，CF=1 在直角三角形DCF中， ∴矩形DCGH为黄金矩形 故选：D． 【点睛】本题主要考查了黄金分割，解决问题的关键是掌握黄金矩形的概念．解题时注意，宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，图中的矩形ABGH也为黄金矩形． 6．（25-26九年级上·广东清远清城区·期中）若，则下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查比例的基本性质． 根据比例的基本性质，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．由可得，不符合已知条件，原式子不正确，不符合题意； B．由可得，符合已知条件，原式子正确，符合题意； C．由可得，不符合已知条件，原式子不正确，不符合题意； D．由可得，即，不符合已知条件，原式子不正确，不符合题意． 故选：B． 7．（25-26九年级上·广东茂名高州·期中）已知，那么______． 【答案】 【分析】本题考查比例的性质，利用设参法进行求解即可．熟练掌握设参数是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴设， ∴； 故答案为：． 8．（25-26九年级上·广东茂名高州·期中）某物质的分子结构如图所示，所有六边形都是正六边形，用放大镜观察该分子结构，则保持不变的是（   ） A．的长度 B．六边形的周长 C．六边形的面积 D． 【答案】D 【分析】本题考查相似图形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 利用相似三角形的性质判断即可． 【详解】解：∵所有六边形都是正六边形， ∴， 连接， ∴ 依题意，用放大镜观察该分子结构：原图形与放大后的图形是相似图形， ∴的长度变大，六边形的周长变大，面积变大， 故选：D 9．（25-26九年级上·广东茂名高州·期中）若，则下列比例式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例性质，熟练掌握比例式和等积式的互化是解题的关键．根据比例式和等积式的互化，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、由，得，与已知不符，故此选项比例式不成立，不符合题意； B、由，得，与已知相符，故此选项比例式成立，符合题意； C、由，得，与已知不符，故此选项比例式不成立，不符合题意； D、由，得，与已知不符，故此选项比例式不成立，不符合题意． 故选：B． 10．（25-26九年级上·广东深圳龙华区·期中）若，则______． 【答案】 【分析】根据比例的性质，即可． 【详解】∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查比例的知识，解题法关键是掌握比例的性质． 11．（25-26九年级上·广东深圳龙华区·期中）黄金分割率被视为最美丽的几何学比率，广泛地应用于建筑和艺术中．如图，已知点是笛子的黄金分割点（），若笛子长，则长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查黄金分割． 根据黄金分割点的定义，计算即可． 【详解】解：∵点是笛子的黄金分割点，， ∴， ∵笛子长， ∴， ∴长为． 故选：A． 12．（25-26九年级上·广东普宁·期中）已知，则的值是________． 【答案】1或 【分析】本题主要考查比例的性质，根据等比性质即可得出结论． 【详解】解：，，， ∴，，， 将三式相加，得。 若，则 ； 若，则，即，解得． 故答案为：1或． 13．（25-26九年级上·广东深圳宝安区区·期中）黄金分割率被视为最美丽的几何学比率，广泛地应用于建筑和艺术中．如图，已知是线段的黄金分割点，若线段长，则长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了黄金分割，解决本题的关键是掌握黄金分割定义．根据题意将进行代入求解即可． 【详解】解：∵线段长且， ∴， ∴， 故选：C． 14．（25-26九年级上·广东深圳宝安区区·期中）若，则______． 【答案】 【分析】该题考查了比例的基本性质，由已知等式变形，求解即可． 【详解】解：由，两边同时除以（其中），得：， 简化得：， 所以． 故答案为：． 15．（25-26九年级上·广东深圳龙岗区·期中）若，则下列结论一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了比例的基本性质．由比例关系，可设，（），代入各选项验证即可解答． 【详解】解：设，（）， A、 仅为特例，不一定成立； B、，，则，故不成立； C、，故不成立； D、，成立． 故选：D． 16．（25-26九年级上·广东深圳龙岗区·期中）黄金分割广泛存在于艺术、自然、建筑等领域，树叶的叶脉也蕴含着黄金分割（黄金比为）．如图，为的黄金分割点的长为，则的长为______．（用根号表示） 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：∵为的黄金分割点，的长为， ∴． 故答案为：． 17．（25-26九年级上·广东佛山南海区·期中）若，则的值是____________． 【答案】##0.5 【分析】直接利用已知条件设出相应未知数即设a＝x，b＝2x，c＝y，d＝2y，进而代入化简即可． 【详解】解：∵（b+d≠0）， ∴设a＝x，b＝2x，c＝y，d＝2y， ∴＝＝＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是正确设出未知数是解题关键． 18．（25-26九年级上·广东佛山南海区·期中）黄金分割在数学中有非常广泛的应用，已知顶角为的等腰三角形成为黄金三角形，它的底与腰之比为，如图正五边形的对角线恰好围成一个“五角星”（即阴影部分），已知，则的长为______． 【答案】## 【分析】先根据多边形内角和定理与正多边形的性质得出为黄金三角形，再根据黄金三角形的底与腰之比求出，即可得出结果．本题考查了黄金三角形、正五边形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识；熟练掌握正五边形的性质得出为黄金三角形是解题的关键． 【详解】解：∵如图正五边形的对角线恰好围成一个“五角星”（即阴影部分）， ∴设 ∵黄金三角形的底与腰之比为， ∴在中， 即， 解得， 即， 五边形是正五边形， ，正五边形内角和， ， ∴， ， 则， ， 则， ∴为黄金三角形， 黄金三角形的底与腰之比为， 即， ∴， 故答案为：． 考点02 平行线分线段成比例 1．（25-26九年级上·广东茂名·期中）折叠花架因设计巧妙、充分利用空间、灵活收纳等功能受到人们的喜爱．图是一个三层折叠花架，已知，若，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解答本题的关键．根据平行线分线段成比例定理可得，代入数据计算得的长，进一步计算即得答案． 【详解】解：∵ ∴， 即， ∴， ∴， 故选：D． 2．（25-26九年级上·广东梅州梅县区·期中）如图，已知直线m，n被一组平行线所截，交点分别为A，B，C和D，E，F，则下列结论中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理．根据平行线分线段成比例定理得到，，，得不到，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴，，， 但不能得到，即选项D不正确． 故选：D 3．（25-26九年级上·广东茂名高州·期中）如图，在中，，．求的长． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得出，代入数据求出，即可求出． 【详解】解：∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴． 4．（25-26九年级上·广东普宁·期中）如图，E是菱形的边上的一点，交的延长线于F，连接，交于G点，求证：．    【答案】 证明：∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【分析】由四边形是菱形，即可得，，又由，根据平行线分线段成比例定理，即可证得． 【详解】略 【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理与菱形的性质．解题的关键是数形结合思想的应用． 5．（25-26九年级上·广东深圳宝安区区·期中）如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点都在横格线上．若线段，则线段长为（    ） A．12 B．16 C．18 D．2 【答案】A 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例得到求解即可． 【详解】解：如图，过作交横格线于，则于，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 6．（25-26九年级上·广东佛山南海区·期中）如图是一架人字梯及其侧面示意图，已知，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理列比例式成为解题的关键．根据平行线分线段成比例定理列比例式求解即可． 【详解】解：∵， ， ， 解得：， 故选：A． 考点03 三角形相似的判定 1．（25-26九年级上·广东河源部分学校·期中）如图，将沿方向平移得到，与重叠部分（图中阴影部分）的面积是的面积的，已知，则平移的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平移的性质，相似三角形的判定与性质，由平移性质可得，所以，故有，则，然后代入即可求解，熟练掌握平移的性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：∵沿方向平移得到， ∴， ∴， ∵与重叠部分（图中阴影部分）的面积是的面积的， ∴， ∴， ∴， 故选：． 2．（25-26九年级上·广东河源部分学校·期中）海螺有一定的数学形态美，我们把它抽象出来变成数学中的一个小模型：如图1，若点在的边上，且满足（或），则称满足这样条件的点为边上的“海螺点”．如图2，直角坐标系中，点，，，在轴上存在点使点为边的“海螺点”，则点的坐标为______． 【答案】或 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，理解题意，掌握相似三角形的判定和性质，数形结合分析，分类讨论是解题的关键． 根据题意，分类讨论：当时；当时，设；结合图形，由相似三角形的判定和性质即可求解． 【详解】解：已知，，， ∴，， 如图所示， 当时， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， ∴； 当时，设， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得，， ∴； 综上所述，点的坐标为或， 故答案为：或 ． 3．（25-26九年级上·广东河源部分学校·期中）如图，反比例函数图象经过正方形的顶点A，边与y轴交于点D，若正方形的面积为12，，则k的值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】过点A作轴于点E，过点A作轴于点G，过点B作于点G，过点C作轴于点F，过点B作轴于点M，过点C作轴于点N，，根据已知条件分别证明，，四边形，四边形和四边形为矩形，即可得出，，，根据已知条件可以证明，得出，设点A的坐标为：，即可得出，得出，根据勾股定理，结合正方形的面积，列出，最后将代入求出k的值即可． 【详解】解：过点A作轴于点E，过点A作轴于点G，过点B作于点G，过点C作轴于点F，过点B作轴于点M，过点C作轴于点N，如图所示： ∵四边形为正方形， ∴，， ∵轴，轴， ∴， ，， ∴， ∴， ∴， ∵，轴， ∴， ，， ∴， ∴， ， ∵轴，轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， 同理可得：四边形和四边形为矩形， ，，， 设点A的坐标为：， ，， ， ，即， ∵正方形的面积为12， ， 在中，由勾股定理得，即， 把代入得：， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，矩形的判定和性质，勾股定理，反比例函数与几何综合，相似三角形的性质与判定等等，设出点A的坐标，找出m与k的两个关系式，是解题的关键． 4．（25-26九年级上·广东茂名·期中）如图，点、在线段上，△是等边三角形，． (1)证明：； (2)线段、、之间有怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】(1) 证明：∵是等边三角形， ∴，， ∴； ∵，即：， ∴，， ∴，, ∴； (2) 结论：．证明： ∵， ∴； ∵， ∴，， 又∵， ∴ 【分析】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定． （1）由等边三角形性质得，，从而有；由得，由相似三角形的判定得证； （2）根据，，求出，由等角对等边即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 5．（25-26九年级上·广东梅州梅县区·期中）材料：对于一个关于的二次三项式（），除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外，爱思考的小宁同学还想到了利用根的判别式的方法，如下例： 例：求的最小值； 解：令 ，的最小值为． 请利用上述方法解决下列问题： 题一：如图1，在中，，高，矩形的一边在边上，、两点分别在、上，交于点．设． ①用含的代数式表示的长为________； ②求矩形的面积最大值． 题二：如图2，有一老板打算利用一些篱笆，一面利用墙，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．若要围成面积为平方米的花圃，需要用的篱笆最少是多少米？ 【答案】题一：①；②最大值为；题二：米 【分析】题一：①运用矩形的性质，证明△AEF∽△ABC，用相似三角形的相似比等于对应高的比列式计算即可； ②设矩形的面积为S，建立等式，转化为给出的方法计算即可． 题二：设的长为米，则米，需要用的篱笆长为米，则，转化为给出的方法计算即可． 【详解】（1）∵四边形EFPQ是矩形, ∴EQ=DH=PF，EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵四边形EFPQ是矩形, ∴EQ=DH=PF，EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC， ∴， ∴， ∴， ， ， ， ， 有最大值，最大值为． 题二：设的长为米，则米，需要用的篱笆长为米， ， 整理，得， ， ， ∴ ， 需要用的篱笆最少是米． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，相似三角形的判定与性质，能准确理解新方法，并运用新方法是解题的关键． 6．（25-26九年级上·广东清远清城区·期中）如图，一张锐角三角形纸片，点D、E分别在边、上，，沿的平行线将剪成两部分，则的值为________． 【答案】 【分析】此题考查了相似三角形的性质和判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 如图所示，由证明出，得到，即可作答． 【详解】解：∵， 则， ∵沿的平行线将剪成两部分， ∴， ∴， ∴， 则， 故答案为： 7．（25-26九年级上·广东清远清城区·期中）如图，已知，，． (1)实践与操作：用尺规作图在内部作，射线交线段于点D． (2)应用与证明：在（1）的条件下，求的长． 【答案】(1) 为所求： (2) 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题意，按照要求在内部作，射线交线段于点D，即可作答． （2）根据（1）中的，再结合，证明，再代入数值到进行计算，即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 8．（25-26九年级上·广东茂名高州·期中）中，P为上的一点．下列四个条件：①：②：③；④等，其中能判断的有（    ） A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③ 【答案】D 【分析】由相似三角形的判定依次判断可求解． 【详解】解：①，，可证，故①符合题意； ②，，可证，故②符合题意； ③，，可证，故③符合题意； ④，，不能证明，故④不符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，灵活运用相似三角形的判定是本题的关键． 9．（25-26九年级上·广东茂名高州·期中）如图，中，D、E分别是、的点，要使，需添加一个条件是______．（只要写一个条件） 【答案】或或 【分析】 由是公共角，根据相似三角形的判定方法，即可得要使，可添加：或或等． 此题考查了相似三角形的判定．此题属于开放题，答案不唯一．注意掌握两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似与有两组角对应相等的两个三角形相似是解此题的关键． 【详解】 解：是公共角， 要使，可添加：或或等． 故答案为：如或或等（此题答案不唯一）． 10．（25-26九年级上·广东深圳龙华区·期中）如图，，，，，五个点均在边长为1的小正方形组成的网格线的格点上，若于点，则的长为________． 【答案】## 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定及性质．利用勾股定理求得，再证得，进而可得，进而可求解． 【详解】解：由图可知， 在中，由勾股定理得：， ， ， 又， ， ，即， 解得：， 故答案为：． 11．（25-26九年级上·广东深圳龙华区·期中）如图，等腰梯形纸片中，，，，且点在上，．以为折线将点向左折后，点恰落在上，如图所示．，，则图的与的长度比为何？（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由折叠得，，，，证明四边形是平行四边形，通过性质和等腰三角形的性质证明，则，即，求出，最后由线段和差即可求解． 【详解】解：如图， 由折叠得：，，，，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【点睛】本题考查了梯形性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质等，熟练运用相似三角形的判定和性质是解题关键． 12．（25-26九年级上·广东深圳龙华区·期中）综合与实践： 综合与实践课上，老师带领同学们，以“特殊四边形旋转”为主题，开展数学活动． 【问题发现】 如图1，在矩形中，，点在对角线上，过点分别作和的垂线，垂足为，，则四边形为矩形．请问线段与的数量关系为______； 【拓展探究】 如图2，将图1中的矩形绕点逆时针旋转，记旋转角为，当时，连接，，在旋转的过程中，与的数量关系是否仍然成立？请利用图2进行证明． 【解决问题】 如图3，当矩形的边时，点为直线上异于，的一点，以为边作正方形，点H为正方形的中心，连接，若，，直接写出的长． 【答案】问题发现：； 拓展探究：仍然成立．理由如下： 图1中，，， ∴， ∴， 图2中，由旋转可得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 解决问题：或 【分析】问题发现：先证，推出，利用等比的性质可得； 拓展探究：由旋转的性质可得，进而证明，利用相似三角形对应边成比例即可求解； 解决问题：分“点在线段上”和“点在线段延长线上”两种情况，证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】问题发现 解：矩形中，， ， ，， ， 又， ， ， ， ，即， , 故答案为：； 拓展探究：略 解决问题 解：①如图3，当点在线段上时，连接、， ∵四边形，四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②如图4，当点在线段延长线上时，连接、， ∵四边形，四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质．解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题． 13．（25-26九年级上·广东普宁·期中）【情境再现】 （1）如图1，在正方形中，点E、F分别在边、上，且，求证：． 【迁移应用】 （2）如图2，在矩形中，（k为常数），点E、F、G、H分别在矩形的边上，且，求证：． 【拓展延伸】 （3）如图3，在四边形中，，，，点E、F分别在边、上，且，，求的长． 【答案】（1）证明：∵四边形为正方形， ， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：过点D作交于点M，过点A作交于点N， ∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， 同理可得， 由（1）同理可得， ∴， ∴， ∴； （3） 【分析】（1）由“”可证，可得； （2）过点D作交于点M，过点A作交于点N，通过证明，可得结论； （3）过点D作交的延长线于点G，过点C作于点H，由相似三角形的性质和直角三角形的性质分别求出，的长，即可求解． 【详解】（1） 略 （2） 略 （3）解：过点D作交的延长线于点G，过点C作于点H． ∵，， ∴， 又∵， ∴四边形为矩形， 由（2）同理可得：， ∵， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 14．（25-26九年级上·广东普宁·期中）在中，，，，以为圆心，为半径作弧，与交于点，再分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和点，作直线，分别交于点，交于点，则的长度为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查作图-基本作图，线段垂直平分线、相似三角形的判定与性质．由题意得，，直线为线段的垂直平分线，得到，证明，据此求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 由题意得：，直线为线段的垂直平分线， ∴，， ，， ， ∴， ， ， 故选：C． 15．（25-26九年级上·广东普宁·期中）问题提出： （1）如图1，已知在矩形中，，若点E、F分别在边上，，，则_________    问题解决 （2）如图2，已知在矩形中，，F是的中点，延长至E，且满足，连接，则的长为多少？ 问题探究 （3）如图3，已知在矩形中，，点E是边上一动点，连接，作，并且满足，则在点E运动过程中，是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由．    【答案】（1）；（2）；（3）存在， 【分析】（1）通过证明，得到，即可求解； （2）证明，则，求出，由勾股定理即可求解； （3）过点F作，交的延长线于点H，则，证明，则，得到，设，则，，由勾股定理得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： （2）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵F是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即的长为； （3）过点F作，交的延长线于点H，则，    ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时，有最小值，即的最小值为． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、矩形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 16．（25-26九年级上·广东普宁·期中）如图在矩形中，，，，是线段上的点，且，．连接，并延长，两线相交于点，则点到的距离是________． 【答案】5 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的性质和判定，掌握相关知识是解决问题的关键．因为，所以，利用相似三角形对应高的比等于相似比，可得，据此列方程求解即可． 【详解】解：作交于M，交于N， ∵ ∴设 到 的距离为 ，则 到的距离为 ． ∵， ∴ ∴ ， ∴ 即 ∵，，， ∴ 故答案为：5． 17．（25-26九年级上·广东普宁·期中）如图，是的中位线，是的中位线，连接、、．已知，，，．则的长度为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，中位线的性质，掌握相似三角形的判定方法是关键． 根据题意得到相似比为，，则，再根据中位线的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的中位线， ∴， 故选：A ． 18．（25-26九年级上·广东深圳宝安区区·期中）【定义】连接三角形的一个顶点与对边上任意一点的线段，把这个三角形分割成两个三角形，其中一个是等腰三角形，另一个与原三角形相似，就称这条线段是该三角形的完美分割线． 【应用】 (1)如图1，中，，，，是上一点，，求证：是的完美分割线； (2)如图2，菱形中，，点是边的中点，点是边上一点，连接交线段于，若是的完美分割线，且，求的长； (3)如图3，矩形中，点是的中点，为射线上的动点，连接并延长交射线于，是射线上一点，，若是的完美分割线，请直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)的值为1或或． 【分析】（1）证，得，即可得解； （2）易得是的完美分割线，，进而可得，再证，进而设参建立方程求解即可； （3）由题意分三种情况讨论，画出图形，进而求解． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， ∵， ∴． ∵，，， ∴． ∴是的完美分割线； （2）解：∵菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的完美分割线，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴设，则，， ∴； ∴，即； （3）解：①或时，如图， 则四边形是正方形； ∴； ②时，如图： 此时可设， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 由，可得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴； ③时，如图， 此时， 同理可得， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴平分， ∴； 设，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上，的值为1或或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 19．（25-26九年级上·广东深圳宝安区区·期中）如图，正方形中，点、是、边上的点，连接、分别交、的延长线于点、，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，同角的余角相等，由四边形是正方形，得，，，然后证明，则，再通过同角的余角相等得，证明，所以，从而求出，则，又，则，由性质可得，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 20．（25-26九年级上·广东深圳宝安区区·期中）如图，中，，，点是线段上一点，将沿折叠，使点落在边上的点处，若，则______． 【答案】 【分析】本题考查直角三角形的性质、相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 设，则，，根据垂直和折叠的性质证得、 和，过点作于点，证得是等腰直角三角形，设，则，证得，根据相似三角形的性质和勾股定理进行计算求解即可． 【详解】解：设，则， ， ， 由折叠的性质得 过点作于点， 是等腰直角三角形 设 ， ， 在中，由勾股定理得， 故答案为：． 21．（25-26九年级上·广东深圳龙岗区·期中）综合与实践：如何拍出大长腿的效果？ 【数学眼光】如图，低角度拍摄，并结合仰拍技巧，可以有效地拉长腿部线条． 【数学思维】（1）针孔相机的成像原理：如图，由于光的直射，人的足部与头部通过小孔的成像分别在处，线段的像是线段上点的像是点．若，求证：； 【数学语言】（2）如图，小美站立在处，摄影师给小美仰拍．小美的身高的像为，腿部的像为．试说明能拍出大长腿效果的理由． 【答案】 （1）证明：如图， ， ，， ， ． ； （2）解：若照片中的腿部与上半身的比值大于它们实际的比值（即，则能拍出大长腿的效果． 理由：过点作交于点，连接交于点， 摄影师仰拍， 是△的外角． ． 过点作的平行线交线段于点． ， 由（1）得． ， ， ， ， ． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键； （1）易证，，即可得证； （2）依据题意证即可，过点作交于点，连接交于点，过点作的平行线交线段于点．易得，则，再根据，即可得解． 【详解】（1）略 （2）略 22．（25-26九年级上·广东深圳龙岗区·期中）【阅读】“关联”是解决数学问题的重要思维方式，角平分线的有关联想就有很多…… (1)【问题提出】如图，是的角平分线，求证：； 小明思路：关联“平行线、等腰三角形”，过点作交的延长线于点，利用“三角形相似”； 小红思路：关联“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，过点分别作交于点，作交于点，利用“等面积法”； 请根据小明或小红的思路，选择其中一种并完成证明． (2)【理解应用】填空：如图，平行四边形中，平分交于点，则的长度为______； (3)【深度思考】如图（c），矩形中，点是对角线上一点，连接，将沿所在直线折叠，点恰好落在边上的点处．若，求的长； (4)【拓展升华】如图（d），正方形中，为上一点，连接，将沿过点的直线折叠，使点的对应点落在上，折痕与交于点，与的延长线交于点．若，求的长． 【答案】(1) 解：小明思路：过点作，交的延长线于点， ，， 是△的角平分线， ， ， ， ， ， ； 小红思路：过点作交于点，作交于点，过点作交于点， 是△的角平分线， ， ， ， ． (2)4； (3)； (4)． 【分析】本题主要考查了折叠的性质、矩形的性质、正方形的性质、角平分线的性质、相似三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键； （1）根据两问同学的思路续写过程即可； （2）由（1）中结论直接得解即可； （3）由题意易得，再求出即可得解； （4）连接，先求得，再证，得到，进而利用相似求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）结论可知， ， 故答案为：4； （3）解：将△沿所在直线折叠， ，， ， 四边形为矩形， ， ，， ， ， ， ； （4）解：连接， 四边形为正方形， ， ，， ． ， 将沿过点的直线折叠， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 23．（25-26九年级上·广东深圳龙岗区·期中）如图，线段是菱形的对角线，，点分别是边上的动点，连接，将沿折叠，使点的对应点始终落在上，当为直角三角形时，线段的长为_______． 【答案】或 【分析】连接与交于点，根据四边形是菱形，，得出，勾股定理求出，根据折叠得出，设，则，分两种情况：当时，如图，证明，列方程求解即可；当时，如图，证明，列方程求解即可； 【详解】解：连接与交于点， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∵将沿折叠，使点的对应点始终落在上， ∴， 设， 则， 当时，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 即； 当时，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 即； 综上，当为直角三角形时，线段的长为或． 故答案为：或． 【点睛】该题考查了菱形的性质，勾股定理，折叠的性质，相似三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点，用分类讨论思想解答． 24．（25-26九年级上·广东佛山南海区·期中）由边长相等的小正方形组成的网格，以下各图中点A、B、C、D都在格点上． (1)在图1中，______； (2)利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法． ①如图2，在上找点P，使得； ②如图3，在上找点P，使得． 【答案】(1) (2)①如图中，点P即为所求； ②如图中，点P即为所求； 【分析】本题考查了作图-应用与设计，相似三角形的判定，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想思考问题，属于中考常考题型． （1）根据网格性质可得，进而可得，即得； （2）①仿照（1）的图形构造相似比为的相似三角形即可； ②利用对称，即可图形转化为（1）的形式． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）①略 ②略 25．（25-26九年级上·广东佛山南海区·期中）如图，△ABC中，点D是AB上一点，补充下列条件后，仍不能判定△ADC∽△ACB的是（　　） A．∠ADC＝∠ACB B．∠ACD＝∠ABC C．＝ D．＝ 【答案】D 【分析】根据三角形相似的判定方法一一判断即可． 【详解】解：A、根据题意可知：∠CAD＝∠BAC，∠ADC＝∠ACB，由两角对应相等两三角形相似．本选项不符合题意． B、根据题意可知：∠CAD＝∠BAC，∠ACD＝∠ABC，由两角对应相等两三角形相似．本选项不符合题意． C、根据题意可知：∠CAD＝∠BAC，＝，根据两边成比例夹角相等两三角形相似，本选项不符合题意． D、根据题意可知：由条件无法判断两三角形相似．本选项符合题意， 故选：D． 【点睛】相似三角形的判定： （1）两角对应相等，两三角形相似； （2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； （3）三边对应成比例，两三角形相似； （4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似． 考点04 相似三角形的性质 1．（25-26九年级上·广东茂名·期中）如图，，若，，那么________． 【答案】##75度 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，三角形内角和定理，熟知相似三角形的对应角相等是解题的关键．根据相似三角形的性质求出，再根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴. 故答案为：． 2．（25-26九年级上·广东梅州梅县区·期中）若两个相似三角形的面积比为1：9，则它们周长的比为（    ） A．1：2 B．1：3 C．1：6 D．1：9 【答案】B 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求解． 【详解】两个相似三角形的面积比为1：9，则它们的周长比为1：3， 故选：B． 3．（25-26九年级上·广东清远清城区·期中）如图，在平面直角坐标系中，，其中点A的坐标为，点C的坐标为，则与的面积比是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了相似三角形的性质，先求出，，由得到相似比为：，即可得到答案. 【详解】解：∵点A的坐标为，点C的坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴相似比为：， ∴与的面积比是， 故选：A 4．（25-26九年级上·广东茂名高州·期中）如图，在中，动点P从点B出发以速度向点C移动，同时动点Q从点C出发以的速度向点A移动，设它们的运动时间为t秒． (1)根据题意知： （用含t的代数式表示） (2)当t为何值时，的面积等于面积的？ (3)当运动几秒时，与相似？ 【答案】(1) (2)或秒 (3)或秒 【分析】本题考查了一元二次方程的实际运用，动点问题，相似三角形的判定和性质，三角形的面积，掌握相似三角形的性质是解决问题的关键；特别是（3）注意分类讨论． （1）结合题意，直接得出答案即可； （2）根据三角形的面积列方程即可求出结果； （3）设经过t秒后两三角形相似，则可分下列两种情况进行求解：①若，②若，然后列方程求解． 【详解】（1）解：根据题意得：经过t秒后，； （2）解：根据题意得：经过t秒后，，则； 当的面积等于面积的时， 即， 解得；或； 答：经过或秒后，的面积等于面积的； （3）解：设经过t秒后两三角形相似，则可分下列两种情况进行求解， ①若则，即，解得； ②若则，即，解得； 由P点在BC边上的运动速度为，Q点在边上的速度为，可求出t的取值范围应该为， 验证可知①②两种情况下所求的t均满足条件． 答：当运动的时间为或秒时，与相似． 5．（25-26九年级上·广东普宁·期中）如图1，在矩形中，点在上，，点从点出发，沿的路径匀速运动到点停止，作于点，设点运动的路程为，长为，若与之间的函数关系图象如图2所示，当时，的值是（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】B 【分析】由图象可知：AE＝3，BE＝4，根据勾股定理可得AB=5，当x=6时，点P在BE上，设此时的PQ为，先求出的长，再根据，求出 的长，即PQ的长． 【详解】解：由图象可知： AE＝3，BE＝4，， ∴AB= 当x=6时,点 P 在 BE 上,设此时的PQ为如图 此时=4-(7-x)=x-3=6-3=3 ∵ABCD是矩形, ∴AB // CD ∴   ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 即 故选：B． 【点睛】本题考查的是动点问题函数图象，涉及到三角形相似，勾股定理和矩形的性质，解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义,理解动点的完整运动过程． 考点05 相似三角形的应用 1．（25-26九年级上·广东河源部分学校·期中）身高1.6m的小刚在阳光下的影长是1.2m，在同一时刻，阳光下旗杆的影长是l5m，则旗杆高为（    ） A．14米 B．16米 C．18米 D．20米 【答案】D 【分析】利用同一时刻身高和影长之比等于旗杆与其影长之比列式计算即可． 【详解】解：设旗杆高为x米， 根据同一时刻身高和影长之比等于旗杆与其影长之比可得： ，解得：， 故旗杆高20米， 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，能够把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比列出方程计算出结果，是解决本题的关键． 2．（25-26九年级上·广东河源部分学校·期中）根据背景素材，探究解决问题． 测算旗杆的高度 背景素材：如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧；入射角等于反射角，这就是光的反射定律． 问题解决1：如图2，小雅同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜，手电筒的灯泡在点处，距离地面的高度，到平面镜的水平距离，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，墙到木板的水平距离为，已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点在同一水平面上． 任务1：求灯光反射到墙面上的高度． 问题解决2：某学校要测量校园中旗杆的高度（旗杆垂直于地面），携带的测量工具有皮尺，标杆（标杆比人高）、平面镜． 任务2：假如你是该校的学生，请你适当选用给出的工具，设计一种测量旗杆的高度的方案（不能攀登旗杆），画出测量示意图（不必写出测量过程），写出测量数据（线段长度用、、…表示，在示意图上标注），并根据你的测量方案，计算出旗杆的高度（结果用含、、…的式子表示）． 【答案】任务1：灯光反射到墙面上的高度为 任务2： 如图， 旗杆的高度 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，理解题意，掌握相似三角形的判定方法和性质的运用是关键． 任务1：根据题意证明，，即可求解； 任务2：结合任务1的方法求解即可． 【详解】任务1：∵光在镜面反射中的入射角等于反射角， ， ， ， ， ， 解得， 由题意，得， ，， ， ，即， 解得． 答：灯光反射到墙面上的高度为． 任务2：①将平面镜放在处， ②人走到适当的地方：刚好能从平面镜中看到旗杆的顶部， ③测出人的高度，人到平面镜的距离，平面镜到旗杆底部的距离， ④计算出旗杆的高度： ， ， 所以旗杆的高度． 3．（25-26九年级上·广东梅州梅县区·期中）如图是小明设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．在地面上点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端C处，已知，且测得，那么该古城墙的高度是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意知：，可得：，再由，代入即可求得答案． 【详解】由题意知：， ∴ ∴ ∵，， ∴ ∴ 故选：C 【点睛】本题主要考查了相似三角形的实际应用问题，熟练地掌握相似三角形的判定和性质、并正确的列出相似比的关系式是解题的关键，属于基础应用题型． 4．（25-26九年级上·广东梅州梅县区·期中）【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内：反射光线和入射光线分别位于法线两侧；入射角等于反射角．这就是光的反射定律． 【问题解决】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点处，灯泡到地面的高度，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为．图中在同一条直线上． (1)求的长； (2)求点到地面的高度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查相似三角形的应用，理解题意，利用相似三角形的性质求解是解答的关键． （1）证明，利用相似三角形的性质求解即可； （2）证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得，经检验，符合题意； （2）解：由题意，，， ∴， ∴，即， ∴． 5．（25-26九年级上·广东深圳龙华区·期中）如图，路灯下，广告标杆AB的影子是BC，小明（用线段DE表示）的影子是EF，在M处有一棵树，它的影子是MN． （1）请在图中画出表示树高的线段．（不写作法，保留作图痕迹） （2）若已知点N、F到路灯的底部距离相等，小明身高1.6米，影长EF为1.8米，树的影长MN是6米，请计算树的高度． 【答案】 （1）如图所示： （2） 【分析】（1）根据中心投影的特点可知，连接物体和它影子的顶端所形成的直线必定经过点光源．所以分别把AB和DE的顶端和影子的顶端连接并延长可交于一点，即点光源的位置，从而可确定大树高的线段MP． （2）根据题意得出△PMN∽△DEF，再根据相似三角形的对应边成比例即可得出MP的长． 【详解】解：（1）略 （2）∵点N、F到路灯的底部距离相等， ∴∠N＝∠F， ∵PM⊥NF，DE⊥NF， ∴∠PMN＝∠DEF＝90°， ∴△PMN∽△DEF， ∵小明身高1.6米，影长EF为1.8米，树的影长MN是6米， ∴，即，解得PM＝（米）． 【点睛】此题主要考查相似三角形的应用，解题的关键是根据图形的特点利用相似三角形的性质进行求解. 6．（25-26九年级上·广东深圳宝安区区·期中）在小孔成像问题中，根据如图所示，蜡烛长，若到的距离是，到的距离是，则像的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的对应高的比等于相似比是解题的关键．作于，的延长线交于，结合可得，由相似三角形的性质可得，即可获得答案． 【详解】解：如图，作于，的延长线交于， ∵， ∴，， 根据题意，可得，， ∴，即 ∴． 故选：C． 7．（25-26九年级上·广东深圳宝安区区·期中）在一次综合实践课上，小华测得旗杆的影子长为12米，同时测得旗杆顶端到其影子顶端的距离为13米，如果此时附近一座纪念塔的影子长为60米，那么这座纪念塔的高度为______米． 【答案】25 【分析】此题考查了勾股定理，相似三角形的应用，解题的关键是掌握以上知识点． 根据勾股定理求出旗杆高度，再利用平行投影中物体高度与影长成比例的关系求解． 【详解】由题意，旗杆顶端到其影子顶端的距离为13米，影子长为12米， ∴旗杆高度为（米）． 设纪念塔的高度为h米， 根据题意得，物体高度与影长成比例， ∴， 解得． 故答案为：25． 8．（25-26九年级上·广东深圳龙岗区·期中）如图是装满了液体的高脚杯示意图（左侧图）（数据如图），用去一部分液体后如右侧图所示，此时液面的宽度是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的应用，解本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．高脚杯前后的两个三角形相似．根据相似三角形的判定和性质即可得出结果． 【详解】解：如图：过O作，垂足为M，过O作，垂足为N， ∵， ∴ ∴， 即相似比为， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 考点06 位似 1．（25-26九年级上·广东梅州梅县区·期中）如图，平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为 ，，． (1)画出关于轴对称的图形，并直接写出点坐标； (2)以原点为位似中心，位似比为，在轴的左侧，画出放大后的图形，并直接写出点坐标； 【答案】(1) 如图，即为所求，由图可得点的坐标为． (2) 如图，即为所求，由图可得，点的坐标为． 【分析】（）根据关于对称的点的坐标特征：纵坐标相同，横坐标互为相反数，得到对称点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，顺次连接点，得到，即为所求； （）根据位似图形的性质，分别找到点的位置，顺次连接，得到，即为所求，由图可得到点的坐标； 本题考查了作轴对称图形和位似图形，掌握轴对称图形和位似图形的性质是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）略 2．（25-26九年级上·广东深圳龙华区·期中）如图，和是以点O为位似中心的位似图形，若，则和的面积比是______．    【答案】 【分析】本题考查求两个位似图形的相似比，利用相似三角形的性质求解． 根据已知可得和的相似比，由相似三角形的性质，即可得和的面积比． 【详解】解：∵， ∴， ∵和是以点O为位似中心的位似图形， ∴，， ∴， ∴， ∴和的面积比是． 故答案为：． 3．（25-26九年级上·广东深圳宝安区区·期中）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的顶点都在格点上，点、的坐标分别为、．请按要求完成下列问题： (1)以点为位似中心，在网格内画出，使与位似，且相似比为1：2； (2)的面积为 ； (3)点是边上的格点（不与顶点重合），若与相似，则点的坐标为 ． 【答案】(1) 如图，即为所求； (2)； (3)． 【分析】本题考查了位似的性质，相似三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据位似的性质即可求解； （）根据长方形面积减去四个直角三角形面积即可； （）根据位似的性质即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：的面积为， 故答案为：； （3）解：如图，， 故答案为：． 4．（25-26九年级上·广东深圳龙岗区·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查位似变换、坐标与图形性质，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键．结合位似的性质，分点与点在点的同侧和点与点在点的异侧两种情况，进而可得答案． 【详解】解：由题意知，当点与点在点的同侧时，点的对应点的坐标是，即； 当点与点在点的异侧时，点的对应点的坐标是，即． 点的对应点的坐标是或． 故选：C． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $