专题04 全等三角形及其性质、判定 培优讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册

专题04全等三角形及其性质、判定同步培优讲义 ✺知识框架 1.全等基本概念：全等图形、全等三角形定义、对应元素识别、规范表示方法. 2.全等核心性质：对应边、对应角相等，衍生等量性质与应用. 3.通用判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS 四种三角形全等判定方法. 4.直角三角形专属判定：HL定理的适用条件与规范应用. 5.易错辨析：明确AAA、SSA无法判定全等，规范几何证明逻辑. ✅本节内容分为性质与判定两大核心模块：全等三角形的性质用于由全等推等角、等边，各类判定定理用于由边角条件证全等。普通三角形可使用SSS、SAS、ASA、AAS判定，直角三角形额外适用HL定理。学习重点为精准识别对应边角、严格区分定理适用条件，规避经典易错模型，规范几何证明书写. ✺学习目标 1. 理解全等图形与全等三角形的定义，掌握全等三角形的规范表示方法，能够准确识别全等三角形的对应顶点、对应边、对应角。 2. 熟练掌握全等三角形的核心性质与衍生性质，能利用性质完成线段、角度的计算与等量推理。 3.熟记五种全等判定定理的内容与适用范围，明确不可判定全等的两种情形。能够根据已知条件灵活选择判定方法，规范书写几何证明步骤，养成严谨的逻辑推理习惯，夯实几何证明基础。 ✺题型归纳 题型1.图形的全等 题型2.全等三角形的概念 题型3.全等三角形的性质 题型4.用SAS证明三角形全等（SAS） 题型5.用SAS间接证明三角形全等（SAS） 题型6.全等的性质和SAS综合（SAS） 题型7.用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 题型8.全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 题型9.用SSS证明三角形全等（SSS） 题型10.用SSS间接证明三角形全等（SSS） 题型11.全等的性质和SSS综合（SSS） 题型12.用HL证全等（HL） 题型13.全等的性质和HL综合（HL） 题型14.添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 题型15.灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 题型16.结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合） ✺知识清单 知识点一、全等三角形的概念 1.全等图形：能够完全重合的两个图形叫做全等图形。 全等图形形状、大小完全一致，一个图形经过平移、翻折、旋转后，所得图形与原图形全等。 2.全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。其中，相互重合的顶点、边、角，分别为对应顶点、对应边、对应角。 3.表示规范：全等符号为“≌”，书写时必须保证对应顶点字母顺序一一对应。 知识点二、全等三角形的性质 1.核心性质:全等三角形的对应边相等，对应角相等。 2.衍生性质:全等三角形周长相等、面积相等；对应边上的中线、对应边上的高、对应角的角平分线相等。 3.几何语言: ∵△ABC≌△DEF，∴AB=DE,BC=EF,AC=DF，∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F。 4.核心用途:是几何中等量代换的核心依据，常用于证明线段相等、角相等，求解边长与角度。 知识点三、三角形全等的判定定理 1.边边边（SSS）:三边对应相等的两个三角形全等。 几何语言：∵AB=DE,AC=DF,BC=EF，∴△ABC≌△DEF。如下图： 2.边角边（SAS）:两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。 注意：必须为两边夹角，非夹角不成立。 几何语言：∵AB=DE,∠ABC=∠DEF,BC=EF，∴△ABC≌△DEF。如下图： 3.角边角（ASA）:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。必须为两角公共夹边。 几何语言：∵∠BAC=∠EDF,AC=DF,∠BCA=∠EFD，∴△ABC≌△DEF。如下图： 4.角角边（AAS）:两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。 几何语言：∵∠BAC=∠EDF,∠ABC=∠DEF,BC=EF，∴△ABC≌△DEF。如下图： 知识点四、直角三角形全等的判定（HL） 1.定理内容：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简记为HL。 2.适用条件：仅适用于直角三角形，无需角度条件；直角三角形也可使用SSS、SAS、ASA、AAS判定全等。 3.几何语言:在Rt△ABC和Rt△DEF中，∵AB=DE(斜边)，BC=EF（直角边）。∴△ABC≌△DEF。 【易错提醒】 1.AAA：三个角对应相等，仅能判定三角形形状相同，大小不一定相等，不能判定全等。 2.SSA：两边及其中一边的对角对应相等，无法唯一确定三角形形状，不能判定全等。 3.判定定理使用时，必须严格对应边角位置，区分夹角、夹边、对边，禁止混用定理。 ✺题型精讲 题型1.图形的全等 1．下列各组图形中，属于全等图形的是（     ） A．两个面积相等的长方形 B．两个周长相等的等腰三角形 C．能够完全重合的两个图形 D．两个大小相近的正方形 【答案】C 【分析】全等图形的定义是能够完全重合的两个图形，面积、周长相等不一定全等，据此求解即可． 【详解】解：A.两个面积相等的长方形不一定是全等图形； B.两个周长相等的等腰三角形不一定是全等图形； C.能够完全重合的两个图形是全等图形； D.两个大小相近的正方形不一定是全等图形. 2．（1）判断两个图形是不是全等图形的关键是看两个图形能否 _________． （2）试找出图中的全等图形：________________． 【答案】 完全重合 ②与⑦；③与⑫；⑤与⑨ 【分析】本题考查全等图形的定义和性质，熟练掌握全等图形的定义和性质是解题的关键． （1）根据全等图形的定义求解即可； （2）根据题意，找到图中的全等图形，即可求解； 【详解】解：（1）判断两个图形是全等图形的关键是看两个图形能否完全重合； （2）图中的全等图形的有②与⑦；③与⑫；⑤与⑨． 故答案为：（1）完全重合； （2）②与⑦；③与⑫；⑤与⑨． 3．如图所示的是两个全等的五边形，，，点B与点H、点D与点J分别是对应顶点，指出两图中其他的对应顶点、对应边和对应角，并说出图中a、b、c、d、e、各字母所表示的值． 【答案】点A与点G、点C与点I、点E与点F分别是对应顶点， 边和边、边和边、边和边、边和边、边和边分别为对应边，和、和、和、和、和分别为对应角， 【分析】根据全等图形的性质解答即可． 【详解】解：∵五边形和五边形为两个全等的五边形，点B与点H、点D与点J， ∴点B与点H、点D与点J、点A与点G、点C与点I、点E与点F分别是对应顶点， 边和边、边和边、边和边、边和边、边和边分别为对应边，和、和、和、和、和分别为对应角， ∵，， ∴． 题型2.全等三角形的概念 1．下列说法正确的是（   ） A．周长相等的三角形是全等三角形 B．形状相同大小相等的三角形是全等三角形 C．面积相等的三角形是全等三角形 D．所有的等边三角形都是全等三角形 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的概念，牢记概念，要从形状和大小两个方面来考虑两个三角形是否完全重合是解题的关键． 根据全等三角形的定义“能够完全重合的两个三角形”对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A. 周长相等的三角形，形状不一定相同，大小不一定相等，所以不一定是全等三角形，原说法错误，故选项不符合题意； B. 形状相同大小相等的三角形能够完全重合，是全等三角形，原说法正确，故选项符合题意； C. 面积相等的三角形，形状不一定相同，所以不一定完全重合，原说法错误，故选项不符合题意； D. 所有的等边三角形形状相同，但是大小和边长有关，边长不相等，则不能够重合，原说法错误，故选项不符合题意； 故选：． 2．已知在和中，A与，B与是对应点,,则和全等用符号语言表示为：______． 【答案】 【分析】根据对应点以及全等三角形的判定书写即可． 【详解】解：∵在和中，A与，B与是对应点，, ∴和全等用符号语言表示为：． 3．写出下列每组全等图形中的对应边和对应角． 【答案】 图（1）中的对应边分别是：与，与，与， 对应角分别是：与，与，与； 图（2）中的对应边分别是：与，与，与，与， 对应角分别是：与，与，与，与． 【分析】本题主要考查全等图形的概念，熟练掌握其概念是做题的关键．根据全等图形的概念和图示即可得出答案． 【详解】略 题型3.全等三角形的性质 1．如图，在四边形中，，，，，点为边的中点，点在边上由点向点运动，同时点在边上由点向点运动，连接、．当时，点运动的路程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，点为边的中点，求得，由，得，而，则，即点运动的路程为，于是得到问题的答案． 【详解】解：，点为边的中点， ， ， ，， ， ， ， 点运动的路程为． 2．如图，，若，，则的长度是___________． 【答案】5.5 【分析】根据全等，可证，那么可证，从而可算得的长度，最后利用算得答案． 【详解】解： ， ，即， ，， ， ， ． 3．如图所示，已知，其中． (1)求证：． (2)求的长． 【答案】(1)证明：， ， ． (2) 【分析】（1）根据全等三角形的性质可得，根据内错角相等两直线平行，即可得证； （2）根据全等三角形的性质可得，进而可得，结合已知，求得，进而可得的长． 【详解】（1）略 （2）， ， ， ， ， ， ． ． 题型4.用SAS证明三角形全等（SAS） 1．如图，两根钢条、的中点O连在一起，使、 可以绕着点 O自由转动，就做成一个测量工具，的长等于内槽宽 ，那么判定的理由是（     ） A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．角角边 【答案】A 【分析】由是、的中点， 可得：，，再由，可以根据全等三角形的判定方法，判定． 【详解】解：∵是 、的中点， ∴，， 在和 中， ， ∴． 2．如图，于，，则的判定依据是________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴． 3．根据下面的条件，能否判断如图所示的两个三角形全等？ (1)如图①，； (2)如图②，． 【答案】(1)能判断 (2)能判断 【分析】根据全等三角形的判定定理（）进行判断即可． 【详解】（1）解：能判断，理由如下： 在和中， ， ∴； （2）解：能判断，理由如下： 在和中， ， ∴． 题型5.用SAS间接证明三角形全等（SAS） 1．如图，将两根钢条，的中点钉在一起，使，能绕点自由转动，就做成一个测量工具，测的长即等于内槽宽，那么判定的理由是（     ）．    A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．斜边直角边 【答案】A 【分析】由是、的中点， 可得：，，再由，可以根据全等三角形的判定方法，判定． 【详解】∵是 、的中点， ∴，， 在和 中， ， ∴， 故选：． 【点睛】此题考查了全等三角形判定方法的应用，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法： 、、、、，要证明两个三角形全等，必须有对应边相等这一条件． 2．如图，在中，是边的中点，，，，则的取值范围是___________ 【答案】 【分析】延长到，使得，连接，．由“”可证，推出，利用三角形的三边关系即可解决问题． 【详解】解：如图，延长到，使得，连接，． 是边的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ． 3．如图，点C在线段上，，且，．连接，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． 【分析】根据平行线的性质得，再根据即可得证． 【详解】略 题型6.全等的性质和SAS综合（SAS） 1．如图，点D为内一点，点P为外一点，连接，，，，且，平分，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用证明，得出，再根据角平分线的定义求出的度数即可． 【详解】解：平分，， ， 在和中， ， ， ． 2．如图，在锐角三角形中，，的面积为6，平分．若、分别是、上的动点，则的最小值为________． 【答案】3 【分析】在上取点，使得，连接、，过点作于点，利用三角形面积公式求出，再证明，得到，则当、、三点共线，且时，有最小值为的长，即可得解． 【详解】解：如图，在上取点，使得，连接、，过点作于点， 在锐角三角形中，，的面积为6， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， 当、、三点共线，且时，有最小值为的长， 的最小值为3． 3．解决以下问题 (1)如图，，，，交于点，交于点求证： ① ； ② ． (2)将（1）中条件“”改为“”，如图． ①（1）中的结论①____填“成立”或“不成立”． ②（1）中的结论②是否仍然成立若不成立，请求出与的夹角的度数． 【答案】(1)①证明∶ ， ， 即， 在和中 ， ． ； ②证明∶， ． ， ， ． (2)①成立；②不一定成立， 【分析】（1）①证明，即可证明，推出； ②根据全等三角形的性质和角度的转换即可解答； （2）①根据（1）中证明方法即可解答； ②利用全等三角形的性质和角度的转换即可解答． 【详解】（1）略 （2）成立，理由如下： ， ， 即， 在和中 ， ． ； ②不一定成立， 同（1）可得， ． ， ． 题型7.用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 1．如图，点在线段上，点在线段上，，．则的理论依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据已知条件，，结合公共角，利用全等三角形判定定理即可判断； 【详解】解：在和中， ∵， ∴． 2．如图，一块三角形玻璃破裂成，号两块，现需划同样大小的一块三角形玻璃，为方便起见，只需带上______________号碎片． 【答案】Ⅱ 【分析】根据两角对应相等且夹边相等的两个三角形全等判断即可． 【详解】略 3．如图，和相交于点，，．求证：． 【答案】证明：∵，， 又， ∴． 【分析】利用即可证明． 【详解】略 题型8.全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 1．如图，平分，于点C，点D在上，若，，则的面积为（     ） A．4 B．8 C．12 D．18 【答案】C 【分析】过点作于点，证明出，则，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点， 平分， ， ，， ， 又， ， ， 的面积． 2．如图，，，，，垂足分别为，若，则的长为_____． 【答案】 【分析】由，，可以得到，再根据，可以得到，从而求得，然后利用全等三角形的性质可以求得的长． 【详解】解：，，， ，， ， ， 在和中， ， ， ，． ， ． 3．如图，在和中，与交于点，且，．证明：． 【答案】证明：在和中， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【分析】先证，推导出，进而利用得到，推导出． 【详解】略 题型9.用SSS证明三角形全等（SSS） 1．油纸伞是中国传统手工艺品，也是国家级非物质文化遗产，其制作工艺精巧，伞骨结构蕴含着丰富的几何智慧．如图是某款油纸伞撑开后倒置在地面上的示意图，已知，则的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，， ∴． 2．如图是的正方形网格，以点为两个顶点作位置不同的格点三角形，使所作的格点三角形与全等，这样的格点三角形最多可以画出___________个． 【答案】4 【分析】运用可得与全等的三角形有个，即可求解． 【详解】解：根据题意，运用可得与全等的三角形有个，线段的上方有两个点，下方也有两个点． 3．如图，，，点是线段的中点．求证：． 【答案】证明：∵点是线段的中点， ∴， 在和中， ， ∴． 【分析】利用判定方法“”证明即可． 【详解】略 题型10.用SSS间接证明三角形全等（SSS） 1．如图，点、在线段上，，，，要判定，较为快捷的方法为（  　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形全等的判定，得到是解题的关键．由推出，再根据，，三边对应相等，即可求解． 【详解】，, ， ，， ． 故选：A． 2．如图，在中，，、、是的四等分点，，则图中的全等三角形共有________对． 【答案】4 【分析】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法． 由“边边边”可证明图中4对三角形全等． 【详解】解：、、是的四等分点， ， ，，，， ，， ，，， ，，，． 图中的全等三角形共有4对． 故答案为：4． 3．如图，在四边形中，是对角线上一点，，，求证：． 【答案】 证明：在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．先证明得出，再证明，即可证明． 【详解】略 题型11.全等的性质和SSS综合（SSS） 1．如图，在中，点D、E分别在、上，已知，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用证明，得出对应角相等，结合平角定义和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：在和中， ， ， ，， 点在上， ， ， ， ， 在中，． 2．如图所示，在中，平分交于点，点在的延长线上，过点作交的延长线于点，为上的一点，连接，且，，，若，则的度数为___________． 【答案】30 【分析】先证明，则，，再根据角的和差和角平分线的定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 3．如图，已知，．求证：． 【答案】证明：如图，连接， 在和中， ， ， ． 【分析】连接，通过证明得到． 【详解】略 题型12.用HL证全等（HL） 1．如图，在和中，，，若要用“斜边直角边”直接证明，则还需补充条件（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直角三角形的全等判定解答即可． 【详解】解：补充，可得：， 在和中， ， ∴． 【点睛】斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等． 2．如图，在和中，，，若要用“”直接判定，则需要添加的条件是________． 【答案】 【详解】 在和中， ， ． 故需添加条件． 3．如图，点A，E，F，B在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】证明见详解 【分析】先求出，再利用“”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得． 【详解】证明：， ，即， 在和中， ， ， ． 题型13.全等的性质和HL综合（HL） 1．如图，在中，，点E在边上，连接，过点E作于点D，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】证明，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 2．如图，在中，，于点，．如果，那么______． 【答案】6 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定，熟练掌握直角三角形全等判定的方法是解题的关键； 先证明推出，则，即可推出结果． 【详解】解：在和中， ∴ ∴ ∴ 故答案为：6 ． 3．如图，在中，，点D、E分别在的延长线上，连接，若，．求证：． 【答案】证明：， ． 在和中， ， ， ． 【分析】证明，即可证明结论． 【详解】略 题型14.添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 1．如图，已知 ，添加下列条件不能判定的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵ ，， ∴， 故A能判定，不符合题意； ∵， ， ∴， 故B能判定，不符合题意； ∵， ∴， 又∵ ， ∴， 故D能判定，不符合题意； 不能判定的是． 2．如图，点在上，点在上，，添加一个条件________________，使（填一个即可）． 【答案】（或） 【详解】解：∵，， ∴当添加时，； 或当添加时，． 3．要使题图中的各对三角形全等，还需要增加什么条件？ (1)如图①，； (2)如图②，． 【答案】(1)增加(答案不唯一) (2)增加(答案不唯一) 【分析】根据全等三角形的判定方法逐一分析即可． 【详解】（1）解：增加， ∵，， ∴； 增加， ∵，， ∴； 增加， ∵，， ∴； （2）解：增加， ∵，， ∴； 增加， ∵，， ∴； 增加， ∵，， ∴． 题型15.灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 1．判定两个直角三角形全等，不能使用的方法是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵仅能保证形状相同，无法保证大小相等，因此不能用于全等判定， ∴不能判定三角形全等． 2．如图，，将沿方向平移，使点A与点D重合，此时点E平移至点F处，则______，______． 【答案】 【分析】根据平移的性质，平移前后的两个图形全等，对应角相等．由题意可知平移后得到，且与是对应角． 【详解】解：根据平移的性质，平移前后的图形全等， 沿方向平移，使点与点重合，点平移至点， ， 平移前后对应角相等， ， ， ， ． 3．如图，，，，与交于点F，连接、． (1)请找出图中的全等三角形； (2)你认为线段与之间存在怎样的数量关系，请说明理由． 【答案】(1)；；；； (2) 解：，理由如下： 在和中， ， ∴； ∴，，， ∴， ∴， 在与中， ； ∴，， ∴，即， 在与中， ， ； ∴． 【分析】（1）利用全等三角形的判定定理判定即可； （2）利用得到即可． 【详解】（1）解：在和中， ， ∴； ∴，，， ∴， ∴， 在与中， ； ∴，， ∴，即， 在与中， ， ； 在和中， ， ∴； ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； 综上，全等三角形有；；；；； （2） 略 题型16.结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合） 1．根据下列已知条件，画出的不唯一的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断． 【详解】解：A、根据，，，能画出唯一三角形，故本选项不合题意； B、，，，能画出唯一，故此选项不符合题意； C、，，，能画出唯一三角形，故本选项不合题意； D、，，，不能画出唯一三角形，故本选项符合题意； 故选：D． 2．如图，已知点P在直线l外，按以下步骤作图：①在直线l上任取一点A，以点A为圆心，以AP的长为半径作弧，交直线l于点B，连接PB；②以点P为圆心，以PA的长为半径作弧；③以点A为圆心，以PB的长为半径作弧，交前弧于点C，作直线PC．若，则的度数为________． 【答案】 【分析】通过作图步骤得到线段相等关系，可以证明三角形全等，进而利用全等三角形对应角相等以及三角形内角和定理求解的度数即可； 本题考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】如图，连接AC，由作图可得，， ∴在和中 ∴ ∴， ∵． ∴， ． 3．（1）过的顶点A作高线和角平分线，若与的夹角为，且，求的度数； （2）如图1，已知，，请用尺规作图，在图2画出，使，，并证明． 【答案】（1）或； （2）证明：如图，以为圆心，长为半径画弧，交的一边为；再以为圆心，长为半径画弧，交的另一边为，连接；即为所求作的三角形． 在和中， ， ， ． 【分析】（1）题考查了三角形内角和定理、直角三角形性质以及角平分线性质，要注意分类讨论． （2）题考查尺规作图以及全等三角形的判定与性质，通过尺规作图构造全等三角形，再利用全等三角形性质得出对应角相等． 【详解】解：（1）当在内时， 是高线，，在中， ， 又， ， 是角平分线， ， ； 当在内时， 是高线，，在中， ， 又， ， 是角平分线， ， ； （2） 略 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形的性质，角平分线的性质，尺规作图，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确应用三角形内角和定理和直角三角形的性质． ✺课堂小练 一、单选题 1．下列说法正确的是（   ） A．全等图形的形状、大小都相同 B．两个圆是全等图形 C．两个形状相同的图形称为全等图形 D．面积相等的两个三角形是全等图形 【答案】A 【分析】本题考查了全等图形的定义，根据全等图形的定义，形状和大小都相同的图形才是全等图形，逐项判断即可． 【详解】解：A、全等图形必须形状和大小都相同，故 A正确； B、两个圆只有半径相同时才全等，故 B错误； C、形状相同但大小不同的图形不全等，故C错误； D、面积相等但形状不同的三角形不全等，故D错误． 故选：A． 2．如图，一个池塘两端A，B处各有一棵大树，由于水面阻隔无法利用现有皮尺直接测量A，B间的距离，为此，小思和小维两位同学设计了如下测量方案：①在池塘一侧选定点O，②连接，，并分别延长到点，，使，，③连接，测量的长度即为、间的距离．这种测量方法的原理是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，，又， ∴． 3．如图，在与中，点，，，在同一条直线上，，，．若，，则的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，证明，得到，进而计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 4．如图，和的边在一条直线上，且，，要使，可以添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理． 根据线段的关系得出，然后利用全等三角形的判定定理逐项进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， A.添加，无法证明； B.添加， 又∵， ∴； C. 添加，无法证明； D. 添加，无法证明； 故选：B． 二、填空题 5．如图，于点P，，添加一个条件，能利用“”判定的条件是___________． 【答案】 【详解】解： ∵， ∴， ∵， ∴要利用“”判定 ， 需添加斜边相等的条件，即 ． 6．木工师傅常用角尺平分一个角，如图①所示．学生小明可用三角尺平分一个角，如图②所示．他们在两边上分别取出，前者使角尺两边相同刻度分别与，重合，角尺顶点为；后者分别过，作，的垂线，交点为，则射线平分，均可由得知，其依据分别是________、________． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形两种不同判定方式，都实现了角的平分. 【详解】如图①所示，由角尺两边相同刻度分别与，重合，可知， 故在和中， 由 ，得； 如图②所示，由所作垂线可知， 故在和中， 由 ，得. 7．如图，中，，，，点D是的中点，点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由点C向点A运动，若两点在运动过程中和会出现全等的情况，则点Q的速度为________． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边对等角的性质，根据对应角分情况讨论是本题的难点，表示出，再根据全等三角形对应边相等，分①是对应边，②与是对应边两种情况讨论即可． 【详解】解：，， ， 点D为的中点， ， 设点P、Q的运动时间为t，则，， ①当，时， ， 解得：， 则， 故点Q的运动速度为：； ②当，时， ， ， ， 故点Q的运动速度为， 故答案为：或． 三、解答题 8．如图，已知． (1)与平行吗？为什么？ (2)若，，求的长． 【答案】(1)平行，理由如下： ， ， ． (2) 【分析】（1）利用全等三角形对应角相等得到内错角相等，证得两直线平行； （2）由全等得，结合线段总长列等式求出． 【详解】（1）略 （2）解：根据题意可得， ， ， ，， , 解得． 9．如图，点，，，在同一直线上，，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴． 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据得，根据得，进一步推出，再根据即可得证．掌握全等三角形的判定是解题的关键． 【详解】略 10．如图，在中，，点，分别在边和上，连接，，交点为，且，．求证：． 【答案】证明：∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】先证出，则可得，再证出，由此即可得证． 【详解】略． 11．在中，，，，三点都在直线上． (1)若． ①如图1，若，则与的数量关系为__________，与的数量关系为__________； ②如图2，猜想，与的数量关系并说明理由． (2)如图3，若，，，其余条件不变．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在射线上以的速度由点向点的方向运动，请直接写出使得与全等时的值． 【答案】(1)①，； ②，理由如下： ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴； (2)或 【分析】（1）①推出，然后证明，即可得到，； ②同①证明，即可得到，，进而求解即可； （2）设运动时间为，根据题意分两种情况讨论，分别根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，； ②略 （2）解：设运动时间为， ∵， ∴当时，，， ∴，， ∴，； 当时，，， ∴， ∴， 综上所述，或． 12．已知，于点，平分，交于点． (1)如图1，若，，则______； (2)如图2，点为上一点，连接，，，求的长． 【答案】(1)50 (2) 【分析】（1）依据角平分线定义得，结合，用证，由全等性质得，结合求出． （2）作，由得（等腰三线合一），结合推出，再用证明，得． 【详解】（1）解：平分， ， 在和中， ， ， ， ， ． （2）解：过点作于点，如图2所示： ， ， ， ， ， 又， ， ， 平分，于点，于点， ，， 在和中， ， ， ． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04全等三角形及其性质、判定同步培优讲义 ✺知识框架 1.全等基本概念：全等图形、全等三角形定义、对应元素识别、规范表示方法. 2.全等核心性质：对应边、对应角相等，衍生等量性质与应用. 3.通用判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS 四种三角形全等判定方法. 4.直角三角形专属判定：HL定理的适用条件与规范应用. 5.易错辨析：明确AAA、SSA无法判定全等，规范几何证明逻辑. ✅本节内容分为性质与判定两大核心模块：全等三角形的性质用于由全等推等角、等边，各类判定定理用于由边角条件证全等。普通三角形可使用SSS、SAS、ASA、AAS判定，直角三角形额外适用HL定理。学习重点为精准识别对应边角、严格区分定理适用条件，规避经典易错模型，规范几何证明书写. ✺学习目标 1. 理解全等图形与全等三角形的定义，掌握全等三角形的规范表示方法，能够准确识别全等三角形的对应顶点、对应边、对应角。 2. 熟练掌握全等三角形的核心性质与衍生性质，能利用性质完成线段、角度的计算与等量推理。 3.熟记五种全等判定定理的内容与适用范围，明确不可判定全等的两种情形。能够根据已知条件灵活选择判定方法，规范书写几何证明步骤，养成严谨的逻辑推理习惯，夯实几何证明基础。 ✺题型归纳 题型1.图形的全等 题型2.全等三角形的概念 题型3.全等三角形的性质 题型4.用SAS证明三角形全等（SAS） 题型5.用SAS间接证明三角形全等（SAS） 题型6.全等的性质和SAS综合（SAS） 题型7.用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 题型8.全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 题型9.用SSS证明三角形全等（SSS） 题型10.用SSS间接证明三角形全等（SSS） 题型11.全等的性质和SSS综合（SSS） 题型12.用HL证全等（HL） 题型13.全等的性质和HL综合（HL） 题型14.添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 题型15.灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 题型16.结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合） ✺知识清单 知识点一、全等三角形的概念 1.全等图形：能够完全重合的两个图形叫做全等图形。 全等图形形状、大小完全一致，一个图形经过平移、翻折、旋转后，所得图形与原图形全等。 2.全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。其中，相互重合的顶点、边、角，分别为对应顶点、对应边、对应角。 3.表示规范：全等符号为“≌”，书写时必须保证对应顶点字母顺序一一对应。 知识点二、全等三角形的性质 1.核心性质:全等三角形的对应边相等，对应角相等。 2.衍生性质:全等三角形周长相等、面积相等；对应边上的中线、对应边上的高、对应角的角平分线相等。 3.几何语言: ∵△ABC≌△DEF，∴AB=DE,BC=EF,AC=DF，∠A=∠D,∠B=∠E,∠ C=∠F。 4.核心用途:是几何中等量代换的核心依据，常用于证明线段相等、角相等，求解边长与角度。 知识点三、三角形全等的判定定理 1.边边边（SSS）:三边对应相等的两个三角形全等。 几何语言：∵AB=DE,AC=DF,BC=EF，∴△ABC≌△DEF。如下图： 2.边角边（SAS）:两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。 注意：必须为两边夹角，非夹角不成立。 几何语言：∵AB=DE,∠ABC=∠DEF,BC=EF，∴△ABC≌△DEF。如下图： 3.角边角（ASA）:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。必须为两角公共夹边。 几何语言：∵∠BAC=∠EDF,AC=DF,∠BCA=∠EFD，∴△ABC≌△DEF。如下图： 4.角角边（AAS）:两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。 几何语言：∵∠BAC=∠EDF,∠ABC=∠DEF,BC=EF，∴△ABC≌△DEF。如下图： 知识点四、直角三角形全等的判定（HL） 1.定理内容：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简记为HL。 2.适用条件：仅适用于直角三角形，无需角度条件；直角三角形也可使用SSS、SAS、ASA、AAS判定全等。 3.几何语言:在Rt△ABC和Rt△DEF中，∵AB=DE(斜边)，BC=EF（直角边）。∴△ABC≌△DEF。 【易错提醒】 1.AAA：三个角对应相等，仅能判定三角形形状相同，大小不一定相等，不能判定全等。 2.SSA：两边及其中一边的对角对应相等，无法唯一确定三角形形状，不能判定全等。 3.判定定理使用时，必须严格对应边角位置，区分夹角、夹边、对边，禁止混用定理。 ✺题型精讲 题型1.图形的全等 1．下列各组图形中，属于全等图形的是（     ） A．两个面积相等的长方形 B．两个周长相等的等腰三角形 C．能够完全重合的两个图形 D．两个大小相近的正方形 2．（1）判断两个图形是不是全等图形的关键是看两个图形能否 _________． （2）试找出图中的全等图形：________________． 3．如图所示的是两个全等的五边形，，，点B与点H、点D与点J分别是对应顶点，指出两图中其他的对应顶点、对应边和对应角，并说出图中a、b、c、d、e、各字母所表示的值． 题型2.全等三角形的概念 1．下列说法正确的是（   ） A．周长相等的三角形是全等三角形 B．形状相同大小相等的三角形是全等三角形 C．面积相等的三角形是全等三角形 D．所有的等边三角形都是全等三角形 2．已知在和中，A与，B与是对应点,,则和全等用符号语言表示为：______． 3．写出下列每组全等图形中的对应边和对应角． 题型3.全等三角形的性质 1．如图，在四边形中，，，，，点为边的中点，点在边上由点向点运动，同时点在边上由点向点运动，连接、．当时，点运动的路程为（     ） A． B． C． D． 2．如图，，若，，则的长度是___________． 3．如图所示，已知，其中． (1)求证：． (2)求的长． 题型4.用SAS证明三角形全等（SAS） 1．如图，两根钢条、的中点O连在一起，使、 可以绕着点 O自由转动，就做成一个测量工具，的长等于内槽宽 ，那么判定的理由是（     ） A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．角角边 2．如图，于，，则的判定依据是________． 3．根据下面的条件，能否判断如图所示的两个三角形全等？ (1)如图①，； (2)如图②，． 题型5.用SAS间接证明三角形全等（SAS） 1．如图，将两根钢条，的中点钉在一起，使，能绕点自由转动，就做成一个测量工具，测的长即等于内槽宽，那么判定的理由是（     ）．    A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．斜边直角边 2．如图，在中，是边的中点，，，，则的取值范围是___________ 3．如图，点C在线段上，，且，．连接，．求证：． 题型6.全等的性质和SAS综合（SAS） 1．如图，点D为内一点，点P为外一点，连接，，，，且，平分，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．如图，在锐角三角形中，，的面积为6，平分．若、分别是、上的动点，则的最小值为________． 3．解决以下问题 (1)如图，，，，交于点，交于点求证： ① ； ② ． (2)将（1）中条件“”改为“”，如图． ①（1）中的结论①____填“成立”或“不成立”． ②（1）中的结论②是否仍然成立若不成立，请求出与的夹角的度数． 题型7.用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 1．如图，点在线段上，点在线段上，，．则的理论依据是（     ） A． B． C． D． 2．如图，一块三角形玻璃破裂成，号两块，现需划同样大小的一块三角形玻璃，为方便起见，只需带上______________号碎片． 3．如图，和相交于点，，．求证：． 题型8.全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 1．如图，平分，于点C，点D在上，若，，则的面积为（     ） A．4 B．8 C．12 D．18 2．如图，，，，，垂足分别为，若，则的长为_____． 3．如图，在和中，与交于点，且，．证明：． 题型9.用SSS证明三角形全等（SSS） 1．油纸伞是中国传统手工艺品，也是国家级非物质文化遗产，其制作工艺精巧，伞骨结构蕴含着丰富的几何智慧．如图是某款油纸伞撑开后倒置在地面上的示意图，已知，则的依据是（    ） A． B． C． D． 2．如图是的正方形网格，以点为两个顶点作位置不同的格点三角形，使所作的格点三角形与全等，这样的格点三角形最多可以画出___________个． 3．如图，，，点是线段的中点．求证：． 题型10.用SSS间接证明三角形全等（SSS） 1．如图，点、在线段上，，，，要判定，较为快捷的方法为（  　） A． B． C． D． 2．如图，在中，，、、是的四等分点，，则图中的全等三角形共有________对． 3．如图，在四边形中，是对角线上一点，，，求证：． 题型11.全等的性质和SSS综合（SSS） 1．如图，在中，点D、E分别在、上，已知，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．如图所示，在中，平分交于点，点在的延长线上，过点作交的延长线于点，为上的一点，连接，且，，，若，则的度数为___________． 3．如图，已知，．求证：． 题型12.用HL证全等（HL） 1．如图，在和中，，，若要用“斜边直角边”直接证明，则还需补充条件（   ） A． B． C． D． 2．如图，在和中，，，若要用“”直接判定，则需要添加的条件是________． 3．如图，点A，E，F，B在同一条直线上，，，．求证：． 题型13.全等的性质和HL综合（HL） 1．如图，在中，，点E在边上，连接，过点E作于点D，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，于点，．如果，那么______． 3．如图，在中，，点D、E分别在的延长线上，连接，若，．求证：． 题型14.添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 1．如图，已知 ，添加下列条件不能判定的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，点在上，点在上，，添加一个条件________________，使（填一个即可）． 3．要使题图中的各对三角形全等，还需要增加什么条件？ (1)如图①，； (2)如图②，． 题型15.灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 1．判定两个直角三角形全等，不能使用的方法是（    ） A． B． C． D． 2．如图，，将沿方向平移，使点A与点D重合，此时点E平移至点F处，则______，______． 3．如图，，，，与交于点F，连接、． (1)请找出图中的全等三角形； (2)你认为线段与之间存在怎样的数量关系，请说明理由． 题型16.结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合） 1．根据下列已知条件，画出的不唯一的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．如图，已知点P在直线l外，按以下步骤作图：①在直线l上任取一点A，以点A为圆心，以AP的长为半径作弧，交直线l于点B，连接PB；②以点P为圆心，以PA的长为半径作弧；③以点A为圆心，以PB的长为半径作弧，交前弧于点C，作直线PC．若，则的度数为________． 3．（1）过的顶点A作高线和角平分线，若与的夹角为，且，求的度数； （2）如图1，已知，，请用尺规作图，在图2画出，使，，并证明． ✺课堂小练 一、单选题 1．下列说法正确的是（   ） A．全等图形的形状、大小都相同 B．两个圆是全等图形 C．两个形状相同的图形称为全等图形 D．面积相等的两个三角形是全等图形 2．如图，一个池塘两端A，B处各有一棵大树，由于水面阻隔无法利用现有皮尺直接测量A，B间的距离，为此，小思和小维两位同学设计了如下测量方案：①在池塘一侧选定点O，②连接，，并分别延长到点，，使，，③连接，测量的长度即为、间的距离．这种测量方法的原理是（     ） A． B． C． D． 3．如图，在与中，点，，，在同一条直线上，，，．若，，则的长度是（    ） A． B． C． D． 4．如图，和的边在一条直线上，且，，要使，可以添加的条件是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．如图，于点P，，添加一个条件，能利用“”判定的条件是___________． 6．木工师傅常用角尺平分一个角，如图①所示．学生小明可用三角尺平分一个角，如图②所示．他们在两边上分别取出，前者使角尺两边相同刻度分别与，重合，角尺顶点为；后者分别过，作，的垂线，交点为，则射线平分，均可由得知，其依据分别是________、________． 7．如图，中，，，，点D是的中点，点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由点C向点A运动，若两点在运动过程中和会出现全等的情况，则点Q的速度为________． 三、解答题 8．如图，已知． (1)与平行吗？为什么？ (2)若，，求的长． 9．如图，点，，，在同一直线上，，，．求证：． 10．如图，在中，，点，分别在边和上，连接，，交点为，且，．求证：． 11．在中，，，，三点都在直线上． (1)若． ①如图1，若，则与的数量关系为__________，与的数量关系为__________； ②如图2，猜想，与的数量关系并说明理由． (2)如图3，若，，，其余条件不变．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在射线上以的速度由点向点的方向运动，请直接写出使得与全等时的值． 12．已知，于点，平分，交于点． (1)如图1，若，，则______； (2)如图2，点为上一点，连接，，，求的长． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $