专题14.2 三角形全等的判定 ）培优讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册

专题14.2 三角形全等的判定 知识点1：判定两个三角形全等的基本事实与判定定理 　　1.全等判定的探索：满足一组条件或两组条件，不能保证两个三角形全等；要判定两个三角形全等，至少需要三组条件。 2.三种基本事实与两种判定方法如下表所示。 名称 内容（条件） 适用范围 图例 边边边（SSS） 三边分别相等的两个三角形全等 一般三角形 边角边（SAS） 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 一般三角形 角边角（ASA） 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等 一般三角形 角角边（AAS） 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 一般三角形 斜边、直角边（HL） 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 仅适用于直角三角形 　　3.说明：（1）HL是直角三角形特有的判定方法，使用前必须指明两三角形为直角三角形；（2）三个角分别相等的两个三角形不一定全等。 知识点2：用“边角边”（SAS）判定三角形全等 　　1.基本事实：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”。 　　2.书写规范：证明时用“｛”把三组条件括起来，按照“边—角—边”的顺序排列，且对应顶点的字母要写在对应位置上。 　　3.警示：满足“两边及一边的对角”（即“边边角”）分别相等的两个三角形不一定全等，不能作为判定条件。 知识点3：用“角边角”（ASA）与“角角边”（AAS）判定三角形全等 　　1.“角边角”（ASA）：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”。书写时把夹边相等写在两角相等的中间。 　　2.“角角边”（AAS）：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”。书写时把两角相等写在一起，边相等放在最后。 　　3.联系：由三角形内角和定理可知，AAS与ASA可以互相转化，解题时常根据已有条件选择其中一种。 知识点4：用“边边边”（SSS）判定三角形全等与三角形的稳定性 　　1.“边边边”（SSS）：三边分别相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”。 　　2.三角形的稳定性：只要三角形三边的长度确定，三角形的形状和大小就完全确定。三角形具有稳定性，在房屋支架、斜拉桥架等生活与生产中应用广泛。 知识点5：用“斜边、直角边”（HL）判定直角三角形全等 　　1.定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”。 　　2.注意：HL只适用于直角三角形，判定时须指明直角，且两组对应边分别为斜边和一条直角边。 知识点6：尺规作图与全等的联系 　　1.基本作图“作一个角等于已知角”的依据是“三边分别相等的两个三角形全等（SSS）”。 　　2.利用基本作图可以作三角形：已知三边、已知两边及其夹角、已知两角及其夹边，分别依据SSS、SAS、ASA完成作图。 　　3.尺规作图只允许使用直尺和圆规，作图结果能保证所作三角形与原三角形全等。 【基础必考题型】 【题型1】直接应用SSS证明三角形全等 1.核心知识点 　　三边分别相等的两个三角形全等；对应角相等。 2.解题方法技巧 　　（1）在图形中找出公共边，公共边是判定SSS时常用的隐含条件； 　　（2）将三组边相等分别列出，按对应顶点顺序书写； （3）利用全等得到的对应角相等，可继续求角或证线段关系。 【例题1】.（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在四边形中，，，则证明的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理：、、、、是解题的关键．由，，又因为，即可由判定两三角形全等． 【详解】解：∵，，， ∴， 故选：D． 【变式题1-1】.（25-26九年级上·云南玉溪·期末）如图，点，，，在同一直线上，点和点分别在直线的两侧，且，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴． 【分析】本题主要考查了三角形的判定，利用证明三角形全等即可． 【详解】略 【变式题1-2】.（25-26八年级上·广东汕尾·阶段检测）如图，．求证： 【答案】 证明：， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 【分析】本题考查了全等三角形的判定，利用即可证和全等． 【详解】略 【变式题1-3】.（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图，已知，，是的中点，求证：． 【答案】 证明：∵是的中点， ∴， 在与中， ， ∴． 【分析】本题考查两个三角形全等，掌握三角形全等的判定定理是关键；由是的中点，可得，再结合已知条件用边边边的判定即可证明． 【详解】略 【题型2】直接应用SAS证明三角形全等 1.核心知识点 　　两边及其夹角分别相等的两个三角形全等；全等三角形对应边相等、对应角相等。 2.解题方法技巧 　　（1）在图形中找出两个三角形，判定已知的三组条件是否为“两边及其夹角”； 　　（2）按“边—角—边”顺序书写条件，用“｛”括起，对应顶点字母写在对应位置； 　　（3）证得全等后，利用对应边相等、对应角相等继续求线段或角的度数。 【例题2】.（2026八年级上·江苏·专题练习）如图，两根钢条、的中点O连在一起，使、 可以绕着点 O自由转动，就做成一个测量工具，的长等于内槽宽 ，那么判定的理由是（     ） A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．角角边 【答案】A 【分析】由是、的中点， 可得：，，再由，可以根据全等三角形的判定方法，判定． 【详解】解：∵是 、的中点， ∴，， 在和 中， ， ∴． 【变式题2-1】.（25-26七年级下·广东清远·期末）如图，与交于点，点分别是线段、的中点，连接、．则与全等吗？请说明理由． 【答案】与全等，理由如下： ∵点分别是线段、的中点 ∴ ∵ ∴． 【详解】略 【变式题2-2】.（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，，并且，那么与全等吗？请说明理由． 【答案】解：，理由如下， ∵， ∴， 在和中， , ∴． 【分析】由得，然后通过“”证明即可． 【详解】略． 【变式题2-3】.（25-26七年级下·河南郑州·期中）如图，点A、D、B、E在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， 即， ∵，， ∴． (2) 【分析】（1）先求得，再结合已知条件运用可证结论； （2）根据邻补角及全等三角形的性质求得与，再结合三角形的内角和定理即可求解. 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴，， 又∵， ∴，， ∴． 【题型3】直接应用ASA或AAS证明三角形全等 1.核心知识点 　　角边角（ASA）、角角边（AAS）判定定理；等角（等边）的代换。 2.解题方法技巧 　　（1）先找两对角相等，再看已知边是“夹边”还是“某角的对边”，据此选用ASA或AAS； 　　（2）由平行线、垂直、角平分线等条件可得到等角； （3）书写条件时，把夹边写在两角之间（ASA）或把边放在最后（AAS）。 【例题3】.（2026·吉林·模拟预测）如图，为了测量点B到河正对面点A之间的距离，小明在与点B同侧的河岸上选择点C和点D，测得，（B，C，D三点共线），过点作，使得点A，C，E在同一直线上，得到，测得的长就是A，B两点之间的距离，这里判定的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂线的定义得到，利用对顶角的性质得到，根据“”的判定方法证明． 【详解】解：， ， ， 由题可得，， ． 【变式题3-1】.（25-26八年级上·福建泉州·阶段检测）已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，，，，求证：． 【答案】证明：， ． ． ， ． 在和中 ． 【分析】首先证明，再根据定理判定即可． 【详解】略 【变式题3-2】.（26-27八年级上·广东汕头·阶段检测）如图，在中，于点，于点，，，与相交于点． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即． 在和中， ， ∴； (2)证明：∵， ∴． 又， ∴， ∴． 【分析】（1）由和可以证明，，即可求解． （2）由全等三角形的性质即可得到，再由即可求证． 【详解】（1）略 （2）略 【变式题3-3】.（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，与相交于点，，．求证：． 【答案】证明：在和中， ， ∴． 【分析】结合已知条件与对顶角相等，使用“角角边”的判定定理证明全等即可． 【详解】略 【题型4】应用HL判定直角三角形全等 1.核心知识点 　　斜边、直角边（HL）定理；直角三角形的识别。 2.解题方法技巧 　　（1）先确认两个三角形是直角三角形（有直角标记或已知垂直）； 　　（2）找出一组斜边相等和一组直角边相等，按“直角—斜边—直角边”书写； （3）HL是直角三角形特有的方法，不能用HL判定一般三角形全等。 【例题4】.（25-26八年级下·山西晋中·期中）如图，有两个长度相等的滑梯，左边滑梯的高度与右边滑梯的水平长度相等，两个滑梯都是垂直地面放置的．能直接判断和全等的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据题意，得，，， ∴， 故选项C符合题意. 【变式题4-1】.（25-26八年级上·云南德宏·期中）如图，已知点在同一条直线上，，垂足分别为、． (1)求证：； (2)若时，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴和， ∴； (2) 【分析】本题主要考查了直角三角形全等的判定定理“”以及平行线的判定，“”即为在直角三角形中，一组直角边和一组斜边对应相等的两个三角形全等，根据题意确定全等条件是解题的关键． （1）由，可得出，即可证明； （2）由（1）可得，即可得，从而求证． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴． 【变式题4-2】.（25-26八年级上·吉林松原·期中）如图，点在同一条直线上，，，， (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定、线段的和与差，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． （1）利用全等三角形判定定理证明即可； （2）设，利用线段的和差列出方程，求出的值即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得，， 设， ∵， ∴， 解得 ∴的长为． 【变式题4-3】.（25-26八年级上·福建南平·期中）如图，在中，，，F为延长线上一点，点E在上，且 (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∴和是直角三角形． ∵，， ∴； (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）可根据“”判断； （2）由，，可判断为等腰直角三角形，则，可得到，再根据得到，然后根据进行计算． 【详解】（1）略 （2）解：，， ， ， ， ∵， ， ． 【培优高频题型】 【题型5】添加条件，利用SAS使三角形全等 1.核心知识点 　　SAS判定定理的逆用；分析已知条件缺什么。 2.解题方法技巧 　　（1）先列出题目已给的条件，判断已满足哪些条件； 　　（2）要使两个三角形按SAS全等，还缺“夹角相等”，据此确定应添加的条件； 　　（3）注意添加的条件必须是“两已知边的夹角”，否则不能用SAS判定。 【例题5】.（26-27八年级上·全国·阶段检测）如图，已知 ，添加下列条件不能判定的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵ ，， ∴， 故A能判定，不符合题意； ∵， ， ∴， 故B能判定，不符合题意； ∵， ∴， 又∵ ， ∴， 故D能判定，不符合题意； 不能判定的是． 【变式题5-1】.（26-27八年级上·全国·阶段检测）判定两个直角三角形全等，不能使用的方法是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵仅能保证形状相同，无法保证大小相等，因此不能用于全等判定， ∴不能判定三角形全等． 【变式题5-2】.（25-26七年级下·河北张家口·期末）如图，已知、交于点，，添加下列哪个条件后，仍不能使的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】已知及公共边，根据全等三角形判定定理逐项验证即可． 【详解】解：已知，且为公共边，即． A．添加． ，，， ，不符合题意． B．添加，此时为，，，属于，不能判定，符合题意． C．添加． ，，， ，不符合题意． D．添加． ， ，即． ，，， ，不符合题意． 【变式题5-3】.（25-26八年级上·广东汕头·期末）如图所示，点，在线段上，，，_____．求证：． 请在上面横线中添加一个使和全等的条件，并完成证明过程． 【答案】 解：可添加，证明如下： ，点，在线段上， ， ， ，， ． 【分析】本题考查全等三角形的证明，熟练掌握全等三角形的证明方法是解题关键；利用全等三角形的证明方法添加条件证明即可． 【详解】略 【题型6】挖掘隐含条件的全等证明 1.核心知识点 　　公共边、公共角、对顶角、垂直、角平分线等隐含相等关系；全等判定方法的选择。 2.解题方法技巧 　　（1）认真观察图形，找出公共边、公共角、对顶角等未直接给出的隐含条件； 　　（2）结合平行线（同位角、内错角）、垂直（直角）、角平分线等推出等角； （3）根据已有条件与隐含条件，判断选用SAS、ASA、AAS或SSS。 【例题6】.（26-27八年级上·湖北·阶段检测）如图，在和中，与交于点，且，．证明：． 【答案】证明：在和中， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【分析】先证，推导出，进而利用得到，推导出． 【详解】略 【变式题6-1】.（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）已知：如图，，．求证：． 【答案】证明：因为，， 所以，即， 又因为， 所以， 所以． 【分析】首先得到，然后证明，即可得到． 【详解】略 【变式题6-2】.（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在与中，，，．试说明：． 【答案】解：因为， 所以，即， 又因为，， 所以， 所以． 【分析】由，易得，再根据可证即可得． 【详解】解：略． 【变式题6-3】.（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，在四边形中，，．求证：． 【答案】证明：在和中， ，，, ， ． 【分析】先通过已知条件证明和全等，再利用全等三角形的性质得出结论即可． 【详解】略． 【压轴素养题型】 【题型7】多次全等证明（二次全等） 1.核心知识点 　　两次全等的综合运用；全等三角形对应边、对应角相等的多次传递。 2.解题方法技巧 　　（1）先找到第一次全等，利用其结论（对应边相等、对应角相等）作为第二次全等的条件； 　　（2）必要时添加辅助线（如连接线段）构造新的全等三角形； 　　（3）由两次全等逐步推出目标线段或角相等。 【例题7】.（25-26八年级上·陕西渭南·阶段检测）如图，在四边形中，，，，是的中点，连接，，与相交于点． (1)求证：； (2)判断线段与之间的数量关系及位置关系，并说明理由． 【答案】(1) 证明：，， ， ， ，是的中点， ， 在和中， ， ； (2) 解：，； 理由：由（1）可知， ，． ， ， ， 即． ∴， 【分析】本题主要考查了平行线的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识，证明三角形全等是解题的关键． （1）根据已知条件，利用证明即可； （2）根据，得出，，即，即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 【变式题7-1】.（25-26八年级上·四川泸州·阶段检测）如图，已知，， 相交于点M，，． (1)试说明：． (2)探究线段的位置关系，并证明你的猜想． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， 在与中，， ∴， ∴； (2) 解：,理由如下： 如图，设交于O， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质． （1）利用说明，进而可得结论； （2）利用全等三角形的性质说明，再利用对顶角相等得，因此得到，进而可得结论． 【详解】（1）略 （2）略 【变式题7-2】.（25-26八年级上·山西忻州·阶段检测）如图，已知和，，，，且，A，D，E三点在一条直线上． (1)求证：． (2)求证：． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴. (2) 证明∵， ∴，， ∵， ∴. 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质的应用． （1）要证明，需根据已知条件，结合全等三角形的判定定理来证明； （2）要证明，可利用全等三角形的性质得到对应边相等，再通过线段的等量代换得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 【变式题7-3】.（25-26七年级下·辽宁铁岭·期末）如图，是的边上的高，且，以为直角边，在上方作，使，，过点E作，交的延长线于点F，连接交于点H． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵是的边上的高，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； (2)证明：由（1）可得， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）先证明出，再利用“”即可证明； （2）由（1）可得，则，结合题意得出，再证明，即可得证； （3）由（1）可得，则，，由（2）可得，结合题意得出，由，得出，求出，即可得出结果． 【详解】（1）略； （2）略； （3）解：由（1）可得， ∴，， 由（2）可得， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型8】生活中的实际测量问题（情境应用） 1.核心知识点 　　全等三角形的判定与性质；将实际问题抽象为几何模型。 2.解题方法技巧 　　（1）把实际情境（测量距离、跷跷板、木鸢等）抽象为几何图形，找出两个待证全等的三角形； 　　（2）确定隐含的相等条件（如垂直、公共边、已知等长线段）； （3）选择合适判定方法证明全等，利用对应边相等求出未知量。 【例题8】.（25-26七年级下·陕西汉中·期末）某数学兴趣小组计划利用假期测量某棵倾斜的树的长度，测量方案如表： 课题 测量某棵倾斜的树的长度 测量工具 测量角度的仪器、皮尺等 测量步骤及示意图 在地面上取一点，测量的长，在上取一点，使得；在地面上取一点，连接，使得；用皮尺测得米． 说明 点、、在一条直线上，图中所有点均在同一平面内． 请根据上述信息，求出树的长度． 【答案】树的长度为8米． 【分析】分析题目条件，证明即可． 【详解】解：由图可知：， 在和中，，，， 所以， 所以米， 所以树的长度为8米． 【变式题8-1】.（25-26八年级下·贵州毕节·期末）如图，数学实践活动小组为了测量一幢楼的高度，在旗杆与楼之间选定一点（点在同一直线上），测得，点到楼底的距离，旗杆的高度为．若旗杆与楼之间的距离，请你计算楼的高度． 【答案】楼的高度为 【分析】证明，进一步利用全等三角形的性质可得答案. 【详解】解：由题意，得． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 答：楼的高度为． 【变式题8-2】.（25-26七年级下·陕西西安·期末）关中八大景之一的“雁塔晨钟”，吸引了很多来西安旅游的人，它是由荐福寺内的小雁塔和荐福寺钟楼内的古钟共同构成．某数学小组为了测量小雁塔的高度，进行了如下操作：如图，先操作无人机甲在塔的底端处起飞，沿直线飞行米至点（米），在此处测得，再操作无人机乙，从塔的顶端处沿直线飞行米至点（米），并在此处测得，发现与恰好互余，测得甲、乙两架无人机之间的水平距离为米（米），已知、、三点共线，、、三点共线，且，图中所有点均在同一平面内，请帮助该小组计算小雁塔的高度． 【答案】小雁塔的高度为米． 【分析】根据全等三角形的判定和性质，可得，得到，，根据线段之间 的数量关系，即可求出． 【详解】解：由题意可得，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 答：小雁塔的高度为米． 【变式题8-3】.（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）近年来，随着“双减”政策的深入推进，项目化学习已经成为实践育人的重要方式．为了激发学生的学习兴趣，某学校开展了“依数学之托，解生活之谜”的数学项目化实践活动． 项目背景 依数学之托，解生活之谜 项目主题 测量河（河的两岸平行）的宽度 项目工具 测角仪、皮尺 项目实施   ①在河流的一条岸边点，选对岸正对的一棵树，使垂直于河岸（如图）； ②在点所在河岸同侧平地上取点、．使，，三点在同一直线上，且，测得，；③在的延长线上取一点，使； ④测得的长度为． 求这条河的宽度． 【答案】 【分析】先利用三角形内角和定理可得，再利用证明，然后利用全等三角形的性质可得，再利用等式的基本性质进行计算，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【题型9】动点问题中的全等（分类讨论） 1.核心知识点 　　全等判定；用含时间或速度的式子表示线段长；分类讨论思想。 2.解题方法技巧 　　（1）用运动时间表示相关线段长度，明确运动范围与停止条件； 　　（2）三角形全等时对应关系可能不唯一，需根据“对应边、对应角”分类讨论； （3）对每种对应情况列方程求解，并检验解是否符合运动范围。 【例题9】.（26-27八年级上·江苏南京·单元测试）如图①，在中，，，，，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为． (1)如图①，当P在上时 ，当P在上时 ．（用含t的式子表示） (2)如图②，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点Q的运动速度． 【答案】(1)， (2)Q的运动速度为或 【分析】（1）利用题目所给条件推导即可； （2）由可得，，设点Q的运动速度为，分①当点P位于，点Q位于上时和②当点Q位于，点P位于上时两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：动点P的速度为，运动时间为， 当点P在边上时，； 当点P在边上时，； （2）解：设点Q的运动速度为， ①当点P位于，点Q位于上时，此时，， ， ，， ，， 解得：，， 此时点Q的运动速度为； ②当点Q位于，点P位于上时，此时，， ， ，， ，， 解得：，， 此时点Q的运动速度为； 综上所述，点Q的运动速度为或． 【变式题9-1】.（25-26八年级上·吉林延边·期中）如图①，线段，，，垂足分别为A，B，，动点P 从点A 出发，以每秒2个单位的速度沿向终点B 运动；同时动点Q从点B 出发，沿射线 运动、当点P 停止时，点Q 也随之停止运动．设点P 的运动的时间为， (1)当时 ， ， ． (2)若点Q的运动速度和点P 的运动速度相等，时， ①求证：； ②求证：． (3)如图②，若点Q 的运动速度为每秒a个单位，将“，”改为“”， 其它条件不变．若与全等，直接写出a 的值． 【答案】(1)2，4 (2) 证明：①由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (3)或． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定． （1）根据路程等于速度乘以时间可得的长，进而可得的长； （2）①可证明，再由垂线的定义可得，据此可证明结论； ②由全等三角形的性质得到，则可证明，再由平角的定义即可证明结论； （3）分和两种情况，根据全等三角形的性质讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，当时，， ∴， 故答案为：2，4； （2）略 （3）解：当时，则， ∴， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∴； 综上所述，或． 【变式题9-2】.（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）数学课上，老师让同学们准备等腰三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系．已知：在中，． 【初步探究】 (1)如图1，若，点，，在直线上，，则与有怎样的数量关系？请直接写出结论； (2)【变式训练】 如图2，若，点，，在直线上，，试判断线段、和的数量关系，并说明理由． (3)【拓展应用】 如图3，若，，，是中点，点在线段上以的速度由点到点运动，同时点在线段上由点到点运动，它们运动的时间为，当点的运动速度为多少时，能使与以，，三点为顶点所构成的三角形全等．（直接写出结果） 【答案】(1) (2)，理由：∵点、、在直线上， ∴， 由三角形内角和定理知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (3)或 【分析】（1）利用平角的定义和三角形内角和定理得，再利用证明，得； （2）同（1）可证明，得，可得答案； （3）过点A作于F，可证明，得到；再分和两种情况，利用全等三角形的性质讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）略 （3）解：如图所示，过点A作于F， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵E是中点， ∴； 当时，则， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∴， ∴； 综上所述，点Q的运动速度为或． 【变式题9-3】.（25-26八年级上·广西贵港·期末）实践与探究 已知，在中，，点，，三点都在直线m上，． 【初步感知】（1）如图①，若，则，与的数量关系为______． 【变式探究】（2）如图②，当不垂直于时，（1）中的结论是否成立？请说明理由． 【拓展应用】（3）如图③，将条件中“”改为“”．已知，，点A在线段上以的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段上以的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为．当与全等时，求出相应的t与x的值． 【答案】（1）； （2）解：成立； 理由：， 而， ， ，， ， ，， ； （3），或， 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，一元一次方程的应用，熟练掌握全等三角形的判定与性质是关键． （1）先根据三角形外角性质，证明，即可证明，可得，，即得答案； （2）同（1）的方法，证明，可得，，即得答案； （3），则，， ①当时，则有，所以，，据此列方程求解即可； ②当时，则有，所以，，据此列方程求解即可． 【详解】解：（1），， ， 而， ， ，， ， ，， ． 故答案为：． （2）略 （3）依题意得，则，， ，， 与全等时，有两种情形： ①当时，则有， ，， 即，， ，； ②当时，则有， ，， ，， ，， 综上所述，当与全等时， ，或，． 易错点 1、混淆五种判定方法的使用范围，用“HL”判定一般三角形全等，或在一般三角形中误用HL。 2、使用“边边角”（SSA）或“角角角”（AAA）判定三角形全等，这是不成立的，常导致错误。 3、书写证明时条件顺序混乱：用SAS时未按“边—角—边”顺序，用ASA时未把夹边写在两角之间，对应顶点字母位置写错。 4、忽略图形中的隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、垂直、角平分线等，导致条件不足。 5、利用“添加条件”题时，添加的条件不是“已知两边的夹角”，不能依据SAS判定，考虑不全面。 重点 1、掌握判定三角形全等的五种方法（SSS、SAS、ASA、AAS、HL），能根据已知条件正确选择。 2、规范书写全等证明，正确使用“｛”列出三组条件，对应顶点字母写在对应位置。 3、能利用全等三角形的性质（对应边相等、对应角相等）求线段长度和角度，进行简单的推理。 难点 1、在较复杂图形中挖掘隐含条件，准确选择判定方法，完成规范的证明书写。 2、综合运用全等判定与性质解决线段和差证明、位置关系证明等问题。 3、动点、跨学科、构造辅助线等创新情境中，灵活进行分类讨论，构造全等三角形解决问题。 【对应练习题】 一、单选题 1．化学老师布置了“测量锥形瓶内部底面的内径”的任务．如图，小明将两根小棒，的中点固定在一起，将两根木棒、端放入瓶内底部并最大程度分开，根据三角形全等的判定和性质，测得，之间的距离即内径的长度．判定图中三角形全等的依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据中点的定义可得两组对应边相等，结合对顶角相等，利用“边角边”即可判定三角形全等． 【详解】解：是，的中点 ， 在和中 判定依据是． 2．如图，点E，F在上，，，下列条件中不能使成立是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形全等的判定方法，逐项进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 由，，根据“”不能得出，故A符合题意； ∵， ∴， 即， 由，，根据“”能得出，故B不符合题意； ∵， ∴， 由，根据“”能得出，故C不符合题意； 由，，根据“”能得出，故D不符合题意． 3．如图，是的高线，与相交于点F．若，且的面积为12，则的长度为（　　） A．1 B．2 C．2.5 D．3 【答案】B 【分析】利用证明，得，再根据三角形面积可得的长，从而可得答案． 【详解】解：是的高线，与相交于点F． ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，且的面积为12， ∴， ∴， ∴， ∴． 二、填空题 4．如图，一块三角形玻璃破裂成，号两块，现需划同样大小的一块三角形玻璃，为方便起见，只需带上______________号碎片． 【答案】Ⅱ 【分析】根据两角对应相等且夹边相等的两个三角形全等判断即可． 【详解】略 5．如图，用尺规作的依据是__________． 【答案】 【详解】解：由作法得： 在和中， ， ． 6．如图，，，，，垂足分别为，若，则的长为_____． 【答案】 【分析】由，，可以得到，再根据，可以得到，从而求得，然后利用全等三角形的性质可以求得的长． 【详解】解：，，， ，， ， ， 在和中， ， ， ，． ， ． 三、解答题 7．如图，C是的中点，，，连接．求证：． 【答案】证明：∵C是的中点， ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】根据平行线的性质和中点的定义以及全等三角形的判定和性质解答即可． 【详解】略 8．如图，在中，点在边上，连接，，延长至点，使得，连接，，试说明． 【答案】解：在和中， ， ∴， ∴． 【分析】先利用证明，再利用全等三角形的性质即可证明结论． 【详解】略 9．如图，在中，，是的平分线，于点，点在上，且． (1)求证：． (2)试判断与，之间存在的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明：∵是的平分线，，， ， 在和中， ， ∴， ； (2)解：，理由如下： 在和中， ， ∴， ， ． 【分析】（1）根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质证明； （2）证明，根据全等三角形的性质证明． 【详解】（1）略 （2）略 10．在中，D是边上的点（不与点B、C重合），连接． (1)如图1，当点D是边的中点时， ； (2)如图2，当平分时，若，，求的值（用含m、n的式子表示）； (3)如图3，平分，延长到E．使得，连接，若，，，求的值． 【答案】(1) (2) (3)16 【分析】（1）过点A作于点E，根据三角形面积公式求出即可； （2）过点D作交于点E，作交于点F，根据角平分线性质求出，根据三角形面积公式求出即可； （3）根据已知和（1）（2）的结论求出和的面积，即可求出答案． 【详解】（1）解：如图1，过点A作于点E， ∵点D是边上的中点， ∴， ∴． （2）解：如图2，过点D作交于点E，作交于点F， ∵为的角平分线， ∴， ∵，， ∴． （3）解：∵， ∴由（1）知：， ∵， ∴， ∵，，平分， ∴由（2）知：， ∴， ∴． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14.2 三角形全等的判定 知识点1：判定两个三角形全等的基本事实与判定定理 　　1.全等判定的探索：满足一组条件或两组条件，不能保证两个三角形全等；要判定两个三角形全等，至少需要三组条件。 2.三种基本事实与两种判定方法如下表所示。 名称 内容（条件） 适用范围 图例 边边边（SSS） 三边分别相等的两个三角形全等 一般三角形 边角边（SAS） 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 一般三角形 角边角（ASA） 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等 一般三角形 角角边（AAS） 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 一般三角形 斜边、直角边（HL） 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 仅适用于直角三角形 　　3.说明：（1）HL是直角三角形特有的判定方法，使用前必须指明两三角形为直角三角形；（2）三个角分别相等的两个三角形不一定全等。 知识点2：用“边角边”（SAS）判定三角形全等 　　1.基本事实：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”。 　　2.书写规范：证明时用“｛”把三组条件括起来，按照“边—角—边”的顺序排列，且对应顶点的字母要写在对应位置上。 　　3.警示：满足“两边及一边的对角”（即“边边角”）分别相等的两个三角形不一定全等，不能作为判定条件。 知识点3：用“角边角”（ASA）与“角角边”（AAS）判定三角形全等 　　1.“角边角”（ASA）：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”。书写时把夹边相等写在两角相等的中间。 　　2.“角角边”（AAS）：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”。书写时把两角相等写在一起，边相等放在最后。 　　3.联系：由三角形内角和定理可知，AAS与ASA可以互相转化，解题时常根据已有条件选择其中一种。 知识点4：用“边边边”（SSS）判定三角形全等与三角形的稳定性 　　1.“边边边”（SSS）：三边分别相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”。 　　2.三角形的稳定性：只要三角形三边的长度确定，三角形的形状和大小就完全确定。三角形具有稳定性，在房屋支架、斜拉桥架等生活与生产中应用广泛。 知识点5：用“斜边、直角边”（HL）判定直角三角形全等 　　1.定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”。 　　2.注意：HL只适用于直角三角形，判定时须指明直角，且两组对应边分别为斜边和一条直角边。 知识点6：尺规作图与全等的联系 　　1.基本作图“作一个角等于已知角”的依据是“三边分别相等的两个三角形全等（SSS）”。 　　2.利用基本作图可以作三角形：已知三边、已知两边及其夹角、已知两角及其夹边，分别依据SSS、SAS、ASA完成作图。 　　3.尺规作图只允许使用直尺和圆规，作图结果能保证所作三角形与原三角形全等。 【基础必考题型】 【题型1】直接应用SSS证明三角形全等 1.核心知识点 　　三边分别相等的两个三角形全等；对应角相等。 2.解题方法技巧 　　（1）在图形中找出公共边，公共边是判定SSS时常用的隐含条件； 　　（2）将三组边相等分别列出，按对应顶点顺序书写； （3）利用全等得到的对应角相等，可继续求角或证线段关系。 【例题1】.（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在四边形中，，，则证明的依据是（    ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（25-26九年级上·云南玉溪·期末）如图，点，，，在同一直线上，点和点分别在直线的两侧，且，，．求证：． 【变式题1-2】.（25-26八年级上·广东汕尾·阶段检测）如图，．求证： 【变式题1-3】.（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图，已知，，是的中点，求证：． 【题型2】直接应用SAS证明三角形全等 1.核心知识点 　　两边及其夹角分别相等的两个三角形全等；全等三角形对应边相等、对应角相等。 2.解题方法技巧 　　（1）在图形中找出两个三角形，判定已知的三组条件是否为“两边及其夹角”； 　　（2）按“边—角—边”顺序书写条件，用“｛”括起，对应顶点字母写在对应位置； 　　（3）证得全等后，利用对应边相等、对应角相等继续求线段或角的度数。 【例题2】.（2026八年级上·江苏·专题练习）如图，两根钢条、的中点O连在一起，使、 可以绕着点 O自由转动，就做成一个测量工具，的长等于内槽宽 ，那么判定的理由是（     ） A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．角角边 【变式题2-1】.（25-26七年级下·广东清远·期末）如图，与交于点，点分别是线段、的中点，连接、．则与全等吗？请说明理由． 【变式题2-2】.（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，，并且，那么与全等吗？请说明理由． 【变式题2-3】.（25-26七年级下·河南郑州·期中）如图，点A、D、B、E在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【题型3】直接应用ASA或AAS证明三角形全等 1.核心知识点 　　角边角（ASA）、角角边（AAS）判定定理；等角（等边）的代换。 2.解题方法技巧 　　（1）先找两对角相等，再看已知边是“夹边”还是“某角的对边”，据此选用ASA或AAS； 　　（2）由平行线、垂直、角平分线等条件可得到等角； （3）书写条件时，把夹边写在两角之间（ASA）或把边放在最后（AAS）。 【例题3】.（2026·吉林·模拟预测）如图，为了测量点B到河正对面点A之间的距离，小明在与点B同侧的河岸上选择点C和点D，测得，（B，C，D三点共线），过点作，使得点A，C，E在同一直线上，得到，测得的长就是A，B两点之间的距离，这里判定的依据是（   ） A． B． C． D． 【变式题3-1】.（25-26八年级上·福建泉州·阶段检测）已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，，，，求证：． 【变式题3-2】.（26-27八年级上·广东汕头·阶段检测）如图，在中，于点，于点，，，与相交于点． (1)求证：； (2)求证：． 【变式题3-3】.（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，与相交于点，，．求证：． 【题型4】应用HL判定直角三角形全等 1.核心知识点 　　斜边、直角边（HL）定理；直角三角形的识别。 2.解题方法技巧 　　（1）先确认两个三角形是直角三角形（有直角标记或已知垂直）； 　　（2）找出一组斜边相等和一组直角边相等，按“直角—斜边—直角边”书写； （3）HL是直角三角形特有的方法，不能用HL判定一般三角形全等。 【例题4】.（25-26八年级下·山西晋中·期中）如图，有两个长度相等的滑梯，左边滑梯的高度与右边滑梯的水平长度相等，两个滑梯都是垂直地面放置的．能直接判断和全等的依据是（    ） A． B． C． D． 【变式题4-1】.（25-26八年级上·云南德宏·期中）如图，已知点在同一条直线上，，垂足分别为、． (1)求证：； (2)若时，求的度数． 【变式题4-2】.（25-26八年级上·吉林松原·期中）如图，点在同一条直线上，，，， (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式题4-3】.（25-26八年级上·福建南平·期中）如图，在中，，，F为延长线上一点，点E在上，且 (1)求证：； (2)若，求的度数． 【培优高频题型】 【题型5】添加条件，利用SAS使三角形全等 1.核心知识点 　　SAS判定定理的逆用；分析已知条件缺什么。 2.解题方法技巧 　　（1）先列出题目已给的条件，判断已满足哪些条件； 　　（2）要使两个三角形按SAS全等，还缺“夹角相等”，据此确定应添加的条件； 　　（3）注意添加的条件必须是“两已知边的夹角”，否则不能用SAS判定。 【例题5】.（26-27八年级上·全国·阶段检测）如图，已知 ，添加下列条件不能判定的是（     ） A． B． C． D． 【变式题5-1】.（26-27八年级上·全国·阶段检测）判定两个直角三角形全等，不能使用的方法是（    ） A． B． C． D． 【变式题5-2】.（25-26七年级下·河北张家口·期末）如图，已知、交于点，，添加下列哪个条件后，仍不能使的是（     ） A． B． C． D． 【变式题5-3】.（25-26八年级上·广东汕头·期末）如图所示，点，在线段上，，，_____．求证：． 请在上面横线中添加一个使和全等的条件，并完成证明过程． 【题型6】挖掘隐含条件的全等证明 1.核心知识点 　　公共边、公共角、对顶角、垂直、角平分线等隐含相等关系；全等判定方法的选择。 2.解题方法技巧 　　（1）认真观察图形，找出公共边、公共角、对顶角等未直接给出的隐含条件； 　　（2）结合平行线（同位角、内错角）、垂直（直角）、角平分线等推出等角； （3）根据已有条件与隐含条件，判断选用SAS、ASA、AAS或SSS。 【例题6】.（26-27八年级上·湖北·阶段检测）如图，在和中，与交于点，且，．证明：． 【变式题6-1】.（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）已知：如图，，．求证：． 【变式题6-2】.（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在与中，，，．试说明：． 【变式题6-3】.（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，在四边形中，，．求证：． 【压轴素养题型】 【题型7】多次全等证明（二次全等） 1.核心知识点 　　两次全等的综合运用；全等三角形对应边、对应角相等的多次传递。 2.解题方法技巧 　　（1）先找到第一次全等，利用其结论（对应边相等、对应角相等）作为第二次全等的条件； 　　（2）必要时添加辅助线（如连接线段）构造新的全等三角形； 　　（3）由两次全等逐步推出目标线段或角相等。 【例题7】.（25-26八年级上·陕西渭南·阶段检测）如图，在四边形中，，，，是的中点，连接，，与相交于点． (1)求证：； (2)判断线段与之间的数量关系及位置关系，并说明理由． 【变式题7-1】.（25-26八年级上·四川泸州·阶段检测）如图，已知，， 相交于点M，，． (1)试说明：． (2)探究线段的位置关系，并证明你的猜想． 【变式题7-2】.（25-26八年级上·山西忻州·阶段检测）如图，已知和，，，，且，A，D，E三点在一条直线上． (1)求证：． (2)求证：． 【变式题7-3】.（25-26七年级下·辽宁铁岭·期末）如图，是的边上的高，且，以为直角边，在上方作，使，，过点E作，交的延长线于点F，连接交于点H． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，求的长． 【题型8】生活中的实际测量问题（情境应用） 1.核心知识点 　　全等三角形的判定与性质；将实际问题抽象为几何模型。 2.解题方法技巧 　　（1）把实际情境（测量距离、跷跷板、木鸢等）抽象为几何图形，找出两个待证全等的三角形； 　　（2）确定隐含的相等条件（如垂直、公共边、已知等长线段）； （3）选择合适判定方法证明全等，利用对应边相等求出未知量。 【例题8】.（25-26七年级下·陕西汉中·期末）某数学兴趣小组计划利用假期测量某棵倾斜的树的长度，测量方案如表： 课题 测量某棵倾斜的树的长度 测量工具 测量角度的仪器、皮尺等 测量步骤及示意图 在地面上取一点，测量的长，在上取一点，使得；在地面上取一点，连接，使得；用皮尺测得米． 说明 点、、在一条直线上，图中所有点均在同一平面内． 请根据上述信息，求出树的长度． 【变式题8-1】.（25-26八年级下·贵州毕节·期末）如图，数学实践活动小组为了测量一幢楼的高度，在旗杆与楼之间选定一点（点在同一直线上），测得，点到楼底的距离，旗杆的高度为．若旗杆与楼之间的距离，请你计算楼的高度． 【变式题8-2】.（25-26七年级下·陕西西安·期末）关中八大景之一的“雁塔晨钟”，吸引了很多来西安旅游的人，它是由荐福寺内的小雁塔和荐福寺钟楼内的古钟共同构成．某数学小组为了测量小雁塔的高度，进行了如下操作：如图，先操作无人机甲在塔的底端处起飞，沿直线飞行米至点（米），在此处测得，再操作无人机乙，从塔的顶端处沿直线飞行米至点（米），并在此处测得，发现与恰好互余，测得甲、乙两架无人机之间的水平距离为米（米），已知、、三点共线，、、三点共线，且，图中所有点均在同一平面内，请帮助该小组计算小雁塔的高度． 【变式题8-3】.（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）近年来，随着“双减”政策的深入推进，项目化学习已经成为实践育人的重要方式．为了激发学生的学习兴趣，某学校开展了“依数学之托，解生活之谜”的数学项目化实践活动． 项目背景 依数学之托，解生活之谜 项目主题 测量河（河的两岸平行）的宽度 项目工具 测角仪、皮尺 项目实施   ①在河流的一条岸边点，选对岸正对的一棵树，使垂直于河岸（如图）； ②在点所在河岸同侧平地上取点、．使，，三点在同一直线上，且，测得，；③在的延长线上取一点，使； ④测得的长度为． 求这条河的宽度． 【题型9】动点问题中的全等（分类讨论） 1.核心知识点 　　全等判定；用含时间或速度的式子表示线段长；分类讨论思想。 2.解题方法技巧 　　（1）用运动时间表示相关线段长度，明确运动范围与停止条件； 　　（2）三角形全等时对应关系可能不唯一，需根据“对应边、对应角”分类讨论； （3）对每种对应情况列方程求解，并检验解是否符合运动范围。 【例题9】.（26-27八年级上·江苏南京·单元测试）如图①，在中，，，，，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为． (1)如图①，当P在上时 ，当P在上时 ．（用含t的式子表示） (2)如图②，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点Q的运动速度． 【变式题9-1】.（25-26八年级上·吉林延边·期中）如图①，线段，，，垂足分别为A，B，，动点P 从点A 出发，以每秒2个单位的速度沿向终点B 运动；同时动点Q从点B 出发，沿射线 运动、当点P 停止时，点Q 也随之停止运动．设点P 的运动的时间为， (1)当时 ， ， ． (2)若点Q的运动速度和点P 的运动速度相等，时， ①求证：； ②求证：． (3)如图②，若点Q 的运动速度为每秒a个单位，将“，”改为“”， 其它条件不变．若与全等，直接写出a 的值． 【变式题9-2】.（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）数学课上，老师让同学们准备等腰三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系．已知：在中，． 【初步探究】 (1)如图1，若，点，，在直线上，，则与有怎样的数量关系？请直接写出结论； (2)【变式训练】 如图2，若，点，，在直线上，，试判断线段、和的数量关系，并说明理由． (3)【拓展应用】 如图3，若，，，是中点，点在线段上以的速度由点到点运动，同时点在线段上由点到点运动，它们运动的时间为，当点的运动速度为多少时，能使与以，，三点为顶点所构成的三角形全等．（直接写出结果） 【变式题9-3】.（25-26八年级上·广西贵港·期末）实践与探究 已知，在中，，点，，三点都在直线m上，． 【初步感知】（1）如图①，若，则，与的数量关系为______． 【变式探究】（2）如图②，当不垂直于时，（1）中的结论是否成立？请说明理由． 【拓展应用】（3）如图③，将条件中“”改为“”．已知，，点A在线段上以的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段上以的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为．当与全等时，求出相应的t与x的值． 易错点 1、混淆五种判定方法的使用范围，用“HL”判定一般三角形全等，或在一般三角形中误用HL。 2、使用“边边角”（SSA）或“角角角”（AAA）判定三角形全等，这是不成立的，常导致错误。 3、书写证明时条件顺序混乱：用SAS时未按“边—角—边”顺序，用ASA时未把夹边写在两角之间，对应顶点字母位置写错。 4、忽略图形中的隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、垂直、角平分线等，导致条件不足。 5、利用“添加条件”题时，添加的条件不是“已知两边的夹角”，不能依据SAS判定，考虑不全面。 重点 1、掌握判定三角形全等的五种方法（SSS、SAS、ASA、AAS、HL），能根据已知条件正确选择。 2、规范书写全等证明，正确使用“｛”列出三组条件，对应顶点字母写在对应位置。 3、能利用全等三角形的性质（对应边相等、对应角相等）求线段长度和角度，进行简单的推理。 难点 1、在较复杂图形中挖掘隐含条件，准确选择判定方法，完成规范的证明书写。 2、综合运用全等判定与性质解决线段和差证明、位置关系证明等问题。 3、动点、跨学科、构造辅助线等创新情境中，灵活进行分类讨论，构造全等三角形解决问题。 【对应练习题】 一、单选题 1．化学老师布置了“测量锥形瓶内部底面的内径”的任务．如图，小明将两根小棒，的中点固定在一起，将两根木棒、端放入瓶内底部并最大程度分开，根据三角形全等的判定和性质，测得，之间的距离即内径的长度．判定图中三角形全等的依据是（     ） A． B． C． D． 2．如图，点E，F在上，，，下列条件中不能使成立是（     ） A． B． C． D． 3．如图，是的高线，与相交于点F．若，且的面积为12，则的长度为（　　） A．1 B．2 C．2.5 D．3 二、填空题 4．如图，一块三角形玻璃破裂成，号两块，现需划同样大小的一块三角形玻璃，为方便起见，只需带上______________号碎片． 5．如图，用尺规作的依据是__________． 6．如图，，，，，垂足分别为，若，则的长为_____． 三、解答题 7．如图，C是的中点，，，连接．求证：． 8．如图，在中，点在边上，连接，，延长至点，使得，连接，，试说明． 9．如图，在中，，是的平分线，于点，点在上，且． (1)求证：． (2)试判断与，之间存在的数量关系，并说明理由． 10．在中，D是边上的点（不与点B、C重合），连接． (1)如图1，当点D是边的中点时， ； (2)如图2，当平分时，若，，求的值（用含m、n的式子表示）； (3)如图3，平分，延长到E．使得，连接，若，，，求的值． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $