第一次月考重难点常考题型综合训练卷（测试范围：第1、2章）2026-2027学年北师大版九年级数学上册

第一次月考重难点常考题型综合训练卷（测试范围：第1、2章） 北师大版2026—2027学年九年级数学上册 (考试时间:120分钟 试卷满分:120分) 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分） 1．下列方程中一定是一元二次方程的是(　　) A．ax2-x+2=0 B．x2-2x-3=0 C． D．5x2-y-3=0 2．下列命题为真命题的是（    ） A．有两边相等的平行四边形是菱形 B．有一个角是直角的平行四边形是菱形 C．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 D．有三个角是直角的四边形是矩形 3．已知关于的一元二次方程的两个实数根是，且，则的值是（ ） A．8 B． C．6 D．5 4．根据下列表格的对应值： 1 由此可判断方程必有一个根满足（    ） A． B． C． D． 5．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，那么下列条件中，能判断▱ABCD是菱形的为（     ） A．AO＝CO B．AO＝BO C．∠AOB＝∠BOC D．∠BAD＝∠ABC 6．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D． 7．在菱形中，，，则（   ）． A． B． C． D． 8．我们规定一种新运算“★”，其意义为，已知，则x的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 9．如图，有六根长度相同的木条，小明先用四根木条制作了能够活动的菱形学具，他先将该活动学具调成图1所示菱形，测得，对角线，接着将该活动学具调成图2所示正方形，最后用剩下的两根木条搭成了如图3所示的图形，连接，则图3中的面积为（　　） A． B．50 C． D．25 10．如图，在菱形纸片ABCD中，AB=2，∠A=60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F，G分别在边AB，AD上，则EF的长为（    ）    A． B． C． D． 二、填空题（每小题3分，满分18分） 11．已知关于的－元二次方程的一个根为，则的值为______． 12．如图，矩形的对角线和相交于点，直线经过点，交于点，于点，若，，则阴影部分的面积为______． 13．若x＝﹣2是方程ax2+bx+3＝0（a≠0）的一个解，则代数式1﹣8a+4b的值是_____． 14．菱形有一个内角为，较长的对角线长为，则它的面积为__________． 15．如图，四边形是菱形，，对角线，相交于点O，于H，连接，则＝______度． 16．如图，点E是正方形内一点，是等边三角形，连接并延长交边于点，则________ 三、解答题:（17、18、19、20、21题每题8分，22、23每题10分，24题12分，共计72分，解答题要有必要的文字说明） 17．解方程： (1)； (2)． 18．某商场销售某款上衣，刚上市时每件可盈利100元，销售一段时间后开始滞销，经过连续两次降价后，每件盈利81元，平均每天可售出20件． (1)求平均每次降价盈利减少的百分率； (2)为尽快减少库存，商场决定再次降价．每件上衣每降价1元，每天可多售出2件．若商场每天要盈利2940元，每件应降价多少元？ 19．如图，在中，，，，动点从点出发沿边向点以的速度移动，同时动点从点出发沿边向点以的速度移动，当运动到点时P，Q两点同时停止运动，设运动时间为． (1)_________；_________；（用含的代数式表示） (2)若是的中点，连接、、，当为何值时的面积为？ 20．已知四边形为菱形，于点H，延长至点E，使得，连接，交于点O，连接； (1)求证：四边形为矩形； (2)已知菱形的周长20，菱形的面积为24，试求线段的长； 21．已知关于的方程． (1)当为何值时，该方程是一元二次方程？ (2)当为何值时，该方程是一元一次方程？ 22．阅读下列材料： 方程两边同时除以，得，即．因为，所以． 根据以上材料解答下列问题： (1)已知方程，则_____；_____． (2)若m是方程的根，求的值． 23．如图1，在正方形和正方形中，点在同一条直线上，P是线段的中点，连接，． (1)探究与的位置关系及的值（写出结论，不需要证明）； (2)如图2，将原问题中的正方形和正方形换成菱形和菱形，且度．探究与的位置关系及的值，写出你的猜想并加以证明； (3)如图3，将图2中的菱形绕点顺时针旋转，使菱形的边恰好与菱形的边在同一条直线上，问题（2）中的其他条件不变．你在（2）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明． 24．我们定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做“神奇四边形”．    (1)在我们学过的下列四边形①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，是“神奇四边形”的是 　 　（填序号）； (2)如图1，在正方形中，E为上一点，连接，过点B作于点H，交于点G，连、． ①求证：四边形是“神奇四边形”； ②如图2，点M、N、P、Q分别是、、、的中点．试判断四边形是不是“神奇四边形”； (3) 如图3，点F、R分别在正方形的边、上，把正方形沿直线翻折，使得的对应边恰好经过点A，过点A作于点O，若，正方形的边长为6，求线段的长． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D D C C A A D D A 11． 【详解】解：将代入方程， 得：， 解得：， 故答案为：． 12．15 【详解】解：四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 故答案为：15． 13．7 【详解】把代入方程得， 即， 则， 故答案为：7． 14． 【详解】解：如图， 菱形中，， ， ， ， ， 在中，设，则， ， ， 解得， ， ， 菱形的面积， 故答案为：． 15．25 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，. ∵， ∴， ∴. 又∵， ∴. 在中，， 在中，， ∴. 故答案为：25． 16．/75度 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴，     ∴， ∴， ∴． 故答案为： 17．【详解】（1）解： 或 解得：或， ∴原方程的根为：，； （2）解： 或 解得：或， ∴原方程的根为：，． 18．【详解】（1）解：设平均每次降价盈利减少的百分率为， 依题意，得， 解得（不合题意，舍去）． 答：平均每次降价盈利减少的百分率为． （2）设每件应降价元，则每天可售出件， 依题意，得， 解得：，． 要尽快减少库存， ． 答：每件应降价60元． 19．【详解】（1）根据题意得：，， 所以； （2）如图，过点D作于H， ∵，即， ∴， ∴ ∴ 又∵D是的中点， ∴ ∴，， ∴ ∵的面积为 ∴ ∴ ∴ 整理得， 解得：，， ∴当或4时，的面积是． 20．(1)证明：∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，   ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形为矩形． （2）解：∵四边形为菱形，周长为20， ∴， ∵菱形的面积为24， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴． 21．【详解】（1）解：根据题意，， 解得：， 故当时，该方程是一元二次方程； （2）解根据题意，且， 解得：， 故当时，该方程是一元一次方程． 22．【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4；18； （2）解：∵m是方程的根， ∴， ∴（时不满足原方程）， ∴， ∴， ∴， ∴． 23．【详解】（1）解：如图1，延长交于点，        ∵四边形和四边形是正方形， ，，，， ， ∵点P是的中点， ， 又， 在和中， ， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， 又， ，， ； (2)猜想：线段与的位置关系是，； 理由如下：∵是线段的中点， 如图2，延长到交于点H，    ∵点P是的中点， ， 由题意可知， ， ， 在和中， ， ， ，， ∵四边形是菱形，， ，， ， 是等腰三角形， 又， ，， ， ， ， ； (3)解：（2）中得到的两个结论仍成立， 理由如下：如图3，延长到H，使，连接，，，    是线段的中点， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ∵四边形是菱形， ，，点A、B、G又在一条直线上， ， ∵四边形是菱形， ， ， 在和中， ， ， ，， ，即， ，， ，， ， ， ． （2）略 （3）略 24．【详解】（1）平行四边形的对角线互相平分，矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线互相垂直平分，正方形的对角线互相垂直平分且相等， 正方形是“神奇四边形”， 故答案为：； (2) ①证明：四边形是正方形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又， 四边形是“神奇四边形”； ②四边形是“神奇四边形”，理由如下： ，为，的中点， 为的中位线， ，， 同理：，，，，，， ，， 四边形为平行四边形， ， ， 平行四边形为菱形， ，， ， ， ， 四边形为正方形， 四边形是“神奇四边形”； （3）如图，延长交于S，      由翻折的性质可知，，，，， 四边形是正方形，边长为， ，， ，， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， ， ， 即线段的长为． 学科网（北京）股份有限公司 $