弦长问题 练习-2027届高三数学一轮复习圆锥曲线的专题复习

**基本信息** 聚焦直线与圆锥曲线位置关系，以韦达定理、弦长公式为核心，系统整合函数求最值、基本不等式等方法，构建“几何问题代数化”的解题逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |抛物线|1题|联立方程求交点、函数单调性求最值|抛物线方程→直线斜率范围→弦长表达式→函数最值| |椭圆|4题|韦达定理、中点坐标公式、设而不求、基本不等式|椭圆方程→直线与椭圆联立→韦达定理求弦长/中点→定值/定点/最值问题|

弦长问题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、解答题 1．如图，已知抛物线.点A，抛物线上的点P（x,y）,过点B作直线AP的垂线，垂足为Q. （I）求直线AP斜率的取值范围； （II）求的最大值 2．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆．如图所示，斜率为k（k＞0）且不过原点的直线l交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为E，射线OE交椭圆C于点G，交直线x=﹣3于点D（﹣3，m）． （1）求m2+k2的最小值； （2）若|OG|2=|OD|∙|OE|， （i）求证：直线l过定点； （ii）试问点B，G能否关于x轴对称？若能，求出此时△ABG的外接圆方程；若不能，请说明理由． 3．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，焦点到相应准线的距离为. (1) 求椭圆E的标准方程； (2) 已知P(t，0)为椭圆E外一动点，过点P分别作直线l1和l2，直线l1和l2分别交椭圆E于点A，B和点C，D，且l1和l2的斜率分别为定值k1和k2，求证：为定值． 4．已知椭圆E:的焦点在轴上，A是E的左顶点，斜率为k （k > 0）的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA． （Ⅰ）当t=4，时，求△AMN的面积； （Ⅱ）当时，求k的取值范围. 5．设椭圆的右焦点为，过的直线与相交于两点. （1）若，求的方程； （2）设过点作轴的垂线交于另一点，若是的外心，证明:为定值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《弦长问题》参考答案 1．（I）（-1，1）；（II）. 【详解】（Ⅰ）设直线AP的斜率为k， ， 因为，所以直线AP斜率的取值范围是． （Ⅱ）联立直线AP与BQ的方程 解得点Q的横坐标是． 因为|PA|==， |PQ|= ， 所以． 令， 因为， 所以 f(k)在区间上单调递增，上单调递减， 因此当k=时，取得最大值． 【点睛】本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力，通过表达与的长度，通过函数求解的最大值． 2．（1）2    （2）（i）见解析（ii）能, 【分析】（1）联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理求得中点坐标，进而得到km关系，再根据基本不等式求最值；（2）（i）利用坐标化简条件得到t=k，即可确定定点，（ii）根据对称求得k，再确定圆心与半径. 【详解】（1）设y=kx+t（k＞0）， 由题意，t＞0，由方程组，得（3k2+1）x2+6ktx+3t2﹣3=0， 由题意＞0， 所以3k2+1＞t2，设A（x1，y1），B（x2，y2）， x1+x2=﹣，所以y1+y2=， ∵线段AB的中点为E，∴xE=，yE=， 此时kOE=． 所以OE所在直线方程为y=x， 又由题设知D（﹣3，m）． 令x=﹣3，得m=，即mk=1， 所以m2+k2≥2mk=2， （2）（i）证明：由（1）知OD所在直线方程为y=x， 将其代入椭圆C的方程，并由k＞0，解得G（﹣，）， 又E（，），D（﹣3，）， 由距离公式和t＞0，得 |OG|2=， |OD|=， |OE|=． 由|OG|2=|OD|∙|OE|， 得t=k， 因此直线l的方程为y=k（x+1）， 所以直线l恒过定点（﹣1，0）； （ii）由（i）得G（﹣，）， 若点B，G关于x轴对称，则B（﹣，﹣）， 将点B坐标代入y=k（x+1）， 整理得， 即6k4﹣7k2+1=0，解得k2=或k2=1， 验证知k2=时，不成立，故舍去 所以k2=1，又k＞0，故k=1， 此时B（﹣，﹣），G（﹣，）关于x轴对称， 又由（I）得x1=0，y1=1，所以点A（0，1）， 由于△ABG的外接圆的圆心在x轴上，可设△ABG的外接圆的圆心为（d，0）， 因此d2+1=（d+）2+，解得d=﹣， 故△ABG的外接圆的半径为r=， 所以△ABG的外接圆方程为． 3．(1)＋y2＝1；(2)证明见解析 【解析】（1）题中已知条件为＝，则－c＝，结合可求得椭圆标准方程； （2）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，设直线l1的方程为y＝k1(x－t)，代入椭圆E的方程中，并化简，应用韦达定理得，代入化简，同理得，作比值可得定值． 【详解】(1)设椭圆的半焦距为c，由已知得， ＝，则－c＝，c2＝a2－b2， 解得a＝2，b＝1，c＝， 所以椭圆E的标准方程是＋y2＝1. (2) 由题意，设直线l1的方程为y＝k1(x－t)，代入椭圆E的方程中，并化简得 (1＋4)x2－8tx＋4t2－4＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)． 则x1＋x2＝，x1x2＝， 因为PA＝|x1－t|，PB＝|x2－t|， 所以PA·PB＝(1＋)|x1－t||x2－t|＝(1＋)|t2－(x1＋x2)t＋x1x2| ＝(1＋)|t2－＋|＝， 同理，PC·PD＝， 所以＝为定值． 【点睛】本题考查求椭圆标准方程，考查椭圆中的定值．本题定值问题中采取“设而不求”的思想方法，即设交点坐标A(x1，y1)，B(x2，y2)，直接方程与椭圆方程联立消元由韦达定理得，代入计算PA·PB，同理计算PC·PD，作比值后得结论． 4．（Ⅰ）；（Ⅱ）. 【详解】试题分析：（Ⅰ）先求直线的方程，再求点的纵坐标，最后求的面积；（Ⅱ）设，写出A点坐标，并求直线的方程，将其与椭圆方程组成方程组，消去，用表示，从而表示，同理用表示，再由及t的取值范围求的取值范围. 试题解析：（Ⅰ）设，则由题意知，当时，的方程为，. 由已知及椭圆的对称性知，直线的倾斜角为.因此直线的方程为. 将代入得.解得或，所以. 因此的面积. （Ⅱ）由题意，，. 将直线的方程代入得. 由得，故. 由题设，直线的方程为，故同理可得， 由得，即. 当时上式不成立， 因此.等价于， 即.由此得，或，解得. 因此的取值范围是. 【考点】椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系 【名师点睛】由直线（系）和圆锥曲线（系）的位置关系，求直线或圆锥曲线中某个参数（系数）的范围问题，常把所求参数作为函数值，另一个元作为自变量求解． 5．（1）；（2）证明见解析. 【解析】（1）根据题意，设直线的方程为，代入椭圆方程消，根据韦达定理求出两根之和、两根之积，由，可得，两根之和、两根之积即可求解. （2）由（1）得的中点坐标为，利用弦长公式求出，根据题意可得的垂直平分线方程，求出点的坐标，进而求出，进而可求解. 【详解】（1）由题意知，直线的斜率存在，且不为0，设直线的方程为， 代入得， 设，则， 若，则，解得， 所以，的方程为 （2）由（1）得的中点坐标为 所以 因为是的外心，所以是线段的垂直平分线与的垂直平分线的交点， 的垂直平分线为 令，得，即， 所以， ，所以为定值. 【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系以及椭圆中的定值问题，考查了学生的计算能力，属于中档题. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $